В настоящата тема ще разгледаме представянето на числата в изчислителните устройства. Ще покажем представянето на числата в позиционните бройни системи, като се акцентира на десетична, двоична и шестнадесетична бройна система. Тези бройни системи се използват най-често в компютърната техника и в програмирането. Ще обясним и начините за кодиране на числовите данни в компютъра цели числа без и със знак и различни видове реални числа. Още в древността човека е работил с числа. Първоначално хората са използвали подръчни средства (пръсти на ръце, клечици, камъчета и други елементи) за представяне на количествени елементи. В последствие са създадени и първите бройни системи и последвалото ги записване. Под бройна система се разбира начинът за представяне на числата с краен брой символи, имащи количествени стойности за десетична бройна система. Символите, с които се представят числата, се наричат цифри ( например,,2,3,4,5,6,7,8,9). Бройните системи биват позиционни и непозиционни. В компютърната техника се използват позиционни бройни системи. Позиционна е бройната система, в която числовата стойност на цифрата зависи не само от нейния символ, но и от нейното място (позиция) в записа на числото. Броят на различните цифри, които се използват за представяне на числата в позиционна бройна система, се нарича основа на бройната система. В позиционна бройна система числата се записват като последователност от цифри, например числото А в позиционна система с основа p (стойността на p може да бъде 2,8,,6) се записва по следния начин: ( ) =.... () Всяка цифра може да приема една от p възможни стойности, т.е. трябва да се изпълняват неравенствата: a p ( k =,, 2,, m ) a p ( i =, 2,, n) Номерът на дадена позиция по отношение на десетичната запетая се нарича разред на числата. Числото А (p) може да се представи и с полинома ( ) = + +... + + + + + + (2) Както се вижда от (2), основата на бройната система показва и отношението между теглата на два съседни разреда (на по-старшия към по-младшия).
Полинома (2) може да се представи и със сумата А ( ) = задаваща стойността на цялата част на числото и сумата А ( ) = задаваща дробната част на числото A (p). В компютърната техника се използват числа от различни бройни системи като десетични, двоични, BCD, шестнадесетични, реални числа и двоични числа със знак. Използваната бройна система се означава с долен индекс (например 354, 2, BCD ). Основата на десетичната бройна система е наличието на различни цифри, които позволяват броенето от до 9. Ако броенето надхвърли цифрата 9 се осъществява преход към цифра на следваща позиция. Стойността става, а следващия подобен преход се извършва при достигане на числото 99 [8]. За по-добра яснота да покажем едно малко примерче за число в представено в десетична бройна система. Нека имаме цифрата 263.543. Тя може да бъде представена със следната сума: ( ) = А ( ) + А ( ) =. +. +. А ( ) =. + 2. + 3. + 5. =. + 2. + 3. + 5. А ( ) = + 2 + 3 + 5 = 235 Дробната част на числото може да се представи по следният начин: А ( ) = 6. + 3. + 4. = 6 + 3 + 4 А ( ) =.6 +.3 +.4 =.634 Въпреки, че изглежда много прост, това е добър механизъм за запис на числа с цел сравняване на различни бройни системи. По аналогичен начин, както при десетичната бройна система, би могло да се разработи бройна система с друга основа, различна от. Колкото по-малко число е основата на бройната система, толкова по-малко символи съдържа азбуката на бройната система. Найпростата бройна система е двоичната бройна система. Азбуката на двоичната бройна система се състои от два символа и. Тъй като се използват само две цифри, мястото за преход не се изчислява на база х, а на база 2х. Оттук най-малкото възможно число (найвдясно) е 2 =, следва 2 = 2 и т.н. Съответствието между десетичните и двоични числа за началото на числовото множество (първите 6 числа) е дадено в таблица (нулите в началото на двоичните числа са незначещи и могат да не присъстват в записа на числата):
DE C BI N Таблица : Съответствие между двоични и десетични числа 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 От таблицата се вижда механизмът на образуване на двоичните числа. Начинът е същият както при десетичните числа, но тук се комбинират само две цифри вместо. Следващото двоично число 6 съдържа 5 цифри -. Двоичната система е най-простата бройна система. Тя е и най-лесна за използване в изчислителни системи. Едно двоично число може да се представи по следния начин: ( ) =. 2 +. 2 +. 2 +. 2 +. 2 +. 2 +. 2 +. 2 Ако се извършат действията в горния запис и се сумират отделните събираеми, ще се получи десетичният еквивалент на представеното двоично число. Това всъщност е и алгоритмът за преобразуване на двоично число в десетично. В таблица 2 е дадено съответствието между отделните степени на 2 и тяхното десетично представяне. Таблица 2: Представяне на десетично число с двоичен код 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 2 28 64 32 6 8 4 2 Обратното преобразуване, от десетично в двоично число, се извършва на основата на следните разсъждения които важат за всички позиционни бройни системи. Трябва да кажем, че цялата и дробната част на числото А се преобразуват поотделно, след което се обединяват. От анализа на (2) следва, че ако се раздели цялата част на числото A (p) на основата q на новата бройна система, се получава остатък а и частно в скобите, което е многочлен, подобен на изходния, но на степен с единица по-ниска. Ако се продължи делението, докато се получи частно, равно на нула, се получават всички остатъци а i (i=,,2,3,..,m-), които представляват цифрите на цялата част на числото в новата бройна система с основа q. Последният остатък а т- е най-старшата цифра, а първият остатък а o най-младшата цифра на числото. Тоест ако А е десетично число, което може да се представи във вида: А = a k. k + a k-. k- +.+ a. + a. където a i са цифри от десетичната бройна система: a i {,,2,3,4,5,6,7,8,9}; i =,,2,..k ; a k Същото число в двоична бройна система би изглеждало по следния начин: А = b m.2 m + b m-.2 m- +.+ b.2 + b. където b i са цифри от двоичната бройна система: b i {,}; i =,,2,..m ; b m
Задачата за преобразуване на десетично число в двоично се състои в определяне на цифрите b i, представящи десетичното число в двоичен формат. Ако се раздели числото N на 2 се получава: А/2 = А + b /2, където А = b m-.2 m- + b m-2.2 m-2 + + b 2.2 + b е частното от делението на числото А на 2. Цифрата b се явява остатък от целочисленото деление на десетичното число А. Остатъкът от делението b се явява същевременно и последна цифра от двоичното представяне на числото. При по-нататъшното прилагане на правилото към числото А, остатъкът ще представлява предпоследната цифра от двоичното представяне на А. Продължението на процеса води до определяне на следващите цифри в двоичното представяне на числото, докато се получи цялото двоично представяне на числото.преобразуването на дробната част на дадено число се получава като се умножи А ( ), с основата на новата бройна система q. Получената след умножението цяла час е а -. Останалата дробна част се умножава отново с q за да се получи следващата цифра от преобразуваното число. Ако се продължи този процес на умножение само на дробната част, се получават всички цели части а - j(j=,2,3,,n), които представляват цифрите на дробната част на числото в новата бройна система с основа q. Първата цяла част а - е първата цифра след десетичната запетая, т.е. цифрите се записват по реда на тяхното получаване. Процесът на преобразуване на дробната част от една бройна система в друга би се прекратил, ако на някоя стъпка се получи нулева дробна част. Това обаче на практика се случва рядко. Ето защо точността на преобразуване на дробната част се задава предварително до определен брой разреди. Пример: Да се преобразуват от десетична в двоична бройна система числата 9,625 и 32,724. Дробната част на второто число да се преобразува с точност до пети двоичен разред. Операция Остатък Запис 9 : 2 = 54 5 : 2 = 27 27 : 2 = 3 3 : 2 = 6 6 : 2 = 3 3 : 2 = : 2 = Резултат: 9 () = (2) Решение: а) Преобразуване на 9,625 Цялата част на числото 9,625 e 9. Числото 9 започваме да го делим на 2 (основа на двоична бройната система, ако искаме да преобразуваме в друга бройна система например в шестнадесетична ще делим на 6) до момента когато числото неможе да се дели на 2. Получените остатъци се
записват в обратен ред на получаването им. Дробната част както бе показано по-горе се получава като то се умножи по основата на новата бройна система, в случая това е 2. Получената цяла част се записва, а остатъка се умножава отново по 2. В случая умножението се прекратява при получаване на резултат.. Операция Цяла част Запис.625 * 2 =.25.25 * 2 =.5.5 * 2 =.. * 2 =. Резултат:,625 () =, (2) Крайният резултат от преобразуването се получава след като се съберат преобразуваните стойности на цялата и дробната част. Проверка: Резултат: 9,625 () =, (2) А = x2 7 + x2 6 + x2 5 + x2 4 + x2 3 + x2 2 + x2 +x2 = 9 () А 2 = x2 - + x2-2 + x2-3 =.5 + +.25 =.625 () А = А + А 2 = 9 +.625 = 9.625 б) Преобразуване на 32,724 Цялата част на числото 32,724 e 32. Числото 32 започваме да го делим на 2 до момента когато числото неможе да се дели на 2. Операция Остатък Запис 32 : 2 = 6 6 : 2 = 8 8 : 2 = 4 4 : 2 = 2 2 : 2 = : 2 = Резултат: 32 () = (2) Дробната част както бе показано по-горе се получава като то се умножи по основата на новата бройна система, в случая това е 2. Получената цяла част се записва, а остатъка се умножава отново по 2. В случая умножението се прекратява след петото умножение по
задание, независимо от това че не е получен резултат от умножението.. Операция.724 * 2 =.448.448 * 2 =.896.896 * 2 =.792.792 * 2 =.584.584 * 2 =.68 Резултат: Цяла част Запис,724 () =, (2) Крайният резултат от преобразуването се получава след като се съберат преобразуваните стойности на цялата и дробната част. Проверка: Резултат: 32,724 () =, (2) А = x2 7 + x2 6 + x2 5 + x2 4 + x2 3 + x2 2 + x2 +x2 = 32 () А 2 = x2 - + x2-2 + x2-3 + x2-4 + x2-5 = =.5 + +.25 +.625 +.325=.7875 () А = А + А 2 = 32 +.7875 = 32.7875 32,724 Както е видно от полученият по-горе резултат двете стойности не са еднакви. Получава се грешка от преобразуването.525. Ако продължи м преобразуването ( умножението на дробната част по 2) тази грешка ще намалява и дори може да изчезне, но за сметка на по-голям брой изчисления. Запомнете този пример, защото на този ефект се дължи получаването на грешни резултати при работа с дробни числа в компютърната техника. Двоичните числа са трудни за разчитане, тъй като хората са свикнали да работят с десетични числа. По тази причина е създадена бройната система BCD (Binary decoded Decimal, двоично кодирана десетична бройна система). При нея всяка от цифрите -9 се представя с 4-цифрено двоично число, както е показано на Таблица 3. Тази система е по-ясна за разчитане, но е необходимо повече място двоичната система позволява записа на числата от до 9 с 4 цифри. Двоичните числа от 2 до 2 не се използват в BCD системата. Ако някое от тези числа се появи в един BCD код, ПЛК ще даде грешка.
Таблица 3: Представяне на десетичните числа с BCD код BCD BCD 2 BCD 3 BCD 4 BCD 5 BCD 6 BCD 7 BCD 8 BCD 9 BCD Например десетичното число 847 ще бъде записано по следния начин в BCD код: 8 4 7 Следователно са необходими 6 бита за представянето на едно 4-цифрено десетично число в BCD код. Най-често се използва шестнадесетичната бройна система за представяне на BCD кода, като се използват само числата от до 9. Така например в една програма за PLC (програмируем логически контролер) десетичното число 847 ще бъде записано като: W#6#847. Отрицателни числа също могат да бъдат представяни в BCD код. Знакът на числото се отбелязва в най-левия бит на числото, записано в BCD код. Така само 3 бита се използват за представяне на най-лявото от четирите възможни десетични числа [6]. Ако стойността на най-левия бит е, числото е отрицателно (съответства на знак - ), а ако е числото е положително (знак + ). Например отрицателното десетично число -847 в BCD код ще бъде записано като: - 8 4 7 BCD BCD Двоичните числа често са трудни за разчитане, а BCD кодът заема много място. За преодоляване на тези недостатъци е разработена шестнадесетичната бройна система (HEX). При нея се ползват 4 бита за едно число, което позволява представянето на числата от до 5, т.е. имаме броене до 6. Цифрите от до 9 представят съответните числа, както в десетичната система, следват буквите A, B, C, D, E и F, където A =, B =, C =2, D = 3, E = 4 и F = 5. Нарастването на броя на цифрите на едно шестнадесетично число става на база 6 [8]. Например числото C53B HEX се разчита като: 2 x 6 3 + 5 x 6 2 + 3 X 6 + x 6 = 449 Таблица 4: Пример за шестнадесетично число 6 3 = 96 6 2 = 256 6 = 6 6 = C 5 3 B В програмирането шестнадесетичната бройна система се използва най-често за бързо записване на двоични числа. При преобразуване на двоично число в шестнадесетично, всяка четворка двоични цифри се заменя със съответна шестнадесетична цифра. При обратното преобразуване всяка шестнадесетична цифра трябва да се замести със съответна четворка двоични цифри. Съответствието между двоичните и
шестнадесетични цифри е дадено в таблицата (същата както по-горе, но с шестнадесетични цифри): Таблица 5: Бързо преобразуване от двоична в шестнадесетична бройна система 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Разделянето на двоичното число на четворки започва отзад напред и за последната група (първите цифри на двоичното число) се допълват незначещи нули, ако е необходимо. Ето един пример на преобразуване на число от двоична система в шестнадесетична (2) : (2) 3 C B 3 E - шестнадесетичното число е 3CB3E (6) Този лесен начин за преобразуване на числата прави шестнадесетичната бройна система основна за комуникация между компютърната система и системните и приложни програмисти, които създават програмното осигуряване. Вместо да изпраща съобщения, съдържащи двоични числа с голям брой цифри, компютърната система изпраща компактни шестнадесетични числа, които много по-лесно могат да бъдат анализирани от потребителите. В този смисъл, шестнадесетичната бройна система се явява помощна, използвана предимно при разработване на програмното осигуряване поради това всеки програмен език поддържа шестнадесетична бройна система. Например в програмният език C/C++ шестнадесетичното число C53B HEX се записва като xc35b, където префиксът x се добавя пред числото. Преобразуването от десетична бройна система в шестнадесетична се извършва по същите правила като при двоична бройна при условие че се дели или умножава не на 2 а на 6. Например за да се преобразува от десетична в шестнадесетична бройна система числото 35,325 се изпълняват следните действия. Операция Остатък Запис 35 : 6 = 9 (B) 9 : 6 = 3 : 6 = Резултат: 35 () = 3B (6) Операция.325 * 6 =.5.5 * 6 = 8.. * 6 =. Резултат: Цяла част 8 Запис.325 () =.8 (6)
Крайният резултат от преобразуването е 35,325 () =.3В,8 (6) 9,625 () =, (2) В таблица 6 е показано съответствието на числата от д 255 между различните бройни системи. 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 3 3 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 2 22 23 24 25 26 27 3 3 32 33 34 35 36 37 32 33 34 35 36 37 38 39 4 4 42 43 44 45 46 47 2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F 4 4 42 43 44 45 46 47 5 5 52 53 54 55 56 57 48 49 5 5 52 53 54 55 56 57 58 59 6 6 62 63 3 3 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F 6 6 62 63 64 65 66 67 7 7 72 73 74 75 76 77 64 65 66 67 68 69 7 7 72 73 74 75 76 77 78 79 4 4 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 4E 4F 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 8 82 83 84 85 86 87 88 89 9 9 92 93 94 95 5 5 52 53 54 55 56 57 58 59 5A 5B 5C 5D 5E 5F 2 2 22 23 24 25 26 27 3 3 32 33 34 35 36 37 96 97 98 99 2 3 4 5 6 7 8 9 6 6 62 63 64 65 66 67 68 69 6A 6B 6C 6D 6E 6F 4 4 42 43 44 45 46 47 5 5 52 53 54 55 56 57 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 22 23 24 25 26 27 7 7 72 73 74 75 76 77 78 79 7A 7B 7C 7D 7E 7F 6 6 62 63 64 65 66 67 7 7 72 73 74 75 76 77 28 29 3 3 32 33 34 35 36 37 38 39 4 4 42 43 8 8 82 83 84 85 86 87 88 89 8A 8B 8C 8D 8E 8F 2 2 22 23 24 25 26 27 2 2 22 23 24 25 26 27 44 45 46 47 48 49 5 5 52 53 54 55 56 57 58 59 9 9 92 93 94 95 96 97 98 99 9A 9B 9C 9D 9E 9F 22 22 222 223 224 225 226 227 23 23 232 233 234 235 236 237 6 6 62 63 64 65 66 67 68 69 7 7 72 73 74 75 A A A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD AE AF 24 24 242 243 244 245 246 247 25 25 252 253 254 255 256 257 76 77 78 79 8 8 82 83 84 85 86 87 88 89 9 9 B B B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD BE BF 26 26 262 263 264 265 266 267 27 27 272 273 274 275 276 277 92 93 C C 3 3 28 29 D D 32 32 224 225 E E 34 34 24 24 F F 36 36
94 95 96 97 98 99 2 2 22 23 24 25 26 27 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 CA CB CC CD CE CF 32 33 34 35 36 37 3 3 32 33 34 35 36 37 2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 22 22 222 223 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD DE DF 322 323 324 325 326 327 33 33 332 333 334 335 336 337 226 227 228 229 23 23 232 233 234 235 236 237 238 239 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 EA EB EC ED EE EF 342 343 344 345 346 347 35 35 352 353 354 355 356 357 242 243 244 245 246 247 248 249 25 25 252 253 254 255 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF 362 363 364 365 366 367 37 37 372 373 374 375 376 377 За да стане възможна работата с отрицателни числа е прието найлевият бит на едно двоично число да бъде използван за означаване на знака на числото: съответства на +, а на - [8]. Това означава, че първият бит най-отляво не се използва за представянето на стойността на числото. Отрицателните двоични числа се създават на базата на инвертирането на съответните положителни двоични числа, последвано от прибавяне на. Под инвертиране се разбира замяната на с и на с. Например десетичното число -3 се представя като: 2. 3-3 десетично число 2 двоичен код на положителното число 2 инвертирано двоично положително число 2 отрицателно двоично число Преобразуването на отрицателни двоични числа обратно в десетична бройна система се извършва на база, т.е. за изчисляването на десетичния аналог се използват само битовете със стойност. Към получения резултат се прибавя. Например отрицателното двоично число 2 ще се преобразува така: ((-) x ) x ( x 2 2 + x 2 + x 2 + ) = - Следователно: 2 = -27 и 2 = +27
Двоичната бройна система е основна за представяне на информацията в компютърните системи. Тъй като информацията трябва да се обработва, от съществено значение е как се извършват основните аритметични операции, когато числата са представени в двоична бройна система. Двоична и десетична бройна система са позиционни бройни системи. Правилата за изпълнение на аритметичните операции за двете бройни системи са еднакви. Различават се само в броят на цифрите. Правилата за събиране, изваждане и умножение на двоичните числа са следните: + = = x = + = - = x = + = - = x = + = - = x = Събирането и изваждането на многоразредни числа се изпълнява поразредно. При събиране на две единици се получава за дадения разред и пренос единица в следващия разред. При изваждане на от нула се взема заем от по-старшия разред. Умножение и деление на многоразредни двоични числа се извършва, както и умножение и деление на многоразредни десетични числа. Пример: а) Да се съберат числата, и,. б) От числото, да се извади,. в) Да се умножат числата, и,. г) Числото да се раздели на. а), б), +, -,,, в),, х, х, + +.,, Забележка: Умножението се извършва, като се започва с младшите разреди на множителя в първия случай и със старшите разреди във втория случай. г) : = -
- Пример. Да се запишат в двоично-десетичен код (BCD) и да се сумират десетичните числа 9 и 53. + + 9 53 Добавяне на числото 6 72 Старши Младши разред разред Забележка: Ако в процеса на сумиране на двоично-десетични числа за даден разред се получи забранена комбинация (от до ). необходимо е към нея да се добави числото 6, за да се получи десетичен пренос към по-старшия разред.. Да се преобразуват в двоична, осмична и шестнадесетична бройна система десетичните числа 2567,367 и - 756,93. 2. Да се запишат в прав, обратен и допълнителен код числата-,; -,;,. 3. Защо се налага да се използват модифицирани кодове? От сумирането на какви числа се получават препълванията и? 4. Да се сумират в модифициран обратен код числата -, и. и в модифициран допълнителен код числата +, и -,. 5. Да се сумират в модифициран код числата:, и,;-, и -,. 6. Да се умножат числата -, и,; -, и-,. 7. Какви предимства и недостатъци има представянето на числата с плаваща запетая в сравнение с представянето с фиксирана запетая?. http://bg.wikipedia.org/wiki/бройна_система 2. http://www.introprogramming.info/intro-csharp-book/readonline/glava8-broini-sistemi/