КОЛИЧЕСТВЕНИ ЗАДАЧИ Задача 1. Механика (15 точки) Републиканска студентска олимпиада по Физика 017 г. Фиг. а Фиг. б Фиг. в Две малки тела с маса m са поставени върху голямо тяло с маса М, което е с форма на о правоъгълен триъгълник с ъгъл 30. Телата са свързани с неразтеглива нишка, която е захваната за макара, задвижвана от електродвигател. Приемете, че повърхностите са идеално гладки (липсва сила на триене) и че голямото тяло e фиксирано за долната повърхност. а) Нека приложената сила от страна на двигателя да е такава, че телата се движат с постоянна скорост v в посока, указана на фиг. а. Намерете мощността на двигателя. [6т] б) Премахваме едното тяло (фиг. б). Намерете мощността на двигателя, такава че малкото тяло се изкачва по голямото с ускорение g. В началния момент тялото е в покой. (виж упътването) [6т] в) Отново имаме едно тяло (фиг. в). Сега вместо електродвигател, към макарата е прикрепено динамо, което зарежда кондензатор с капацитет С. В началния момент тялото е в покой, след което то започва да се спуска по наклонената повърхност. След известно време тялото се е спуснало с височина Н и е придобило скорост v. Намерете заряда на кондензатора. Приемете, че няма загуба на енергия в системата. [3т] Забележка: а) и б): Приемете, че цялата електрическа енергия се трансформира в механична работа, т.е. КПД на двигателя е 1. Задача 1. Механика (количествена задача) - Решение Ще използваме изцяло енергетичен подход. Друг възможен метод е чрез използване на сили. a) Фиг. 1
Тъй като телата се движат с постоянна скорост v, за време t те изминават разстояние x v t по наклонените повърхности. Така лявото тяло се спуска с H1 x/[1.5т] (sin 30 o 1/ ), а дясното тяло се изкачва с H x 3/ [1.5т] ( cos30 o 3 / ). 3 1 Промяната в енергията на системата за време t е Е mg H1 mg H mg x [т]. Така за мощността получаваме Е P t б) За време t тялото е изминало разстояние 3 1 mgv. [1т] x gt /[1т], съответстващо на относителна x gt височина H [1т], и се движи със скорост v gt [1т]. Енергията му е 4 mv 3 de( t) 3 Е mgh [1т], т.е. Е() t mg t [1т]. За мощността имаме P mg t.[1т] 4 dt в) При спускане с височина Н тялото губи потенциална енергия, част от която се превръща в кинетична енергия, а останалата част се превръща в енергия на кондензатора [1т]. Имаме mv q mgh [1т], откъдето получаваме q C mgh mv C ( ) [1т].
Задача. Молекулна физика (10 точки) Хладилно устройство работи по идеален цикъл на Карно за поддържане на температура на някакъв резервоар при t = -3ºC. Температурата на околната среда от въздух е t 1 =7ºC. а) Каква механична работа трябва да се извърши, за да се изпълни един цикъл на хладилното устройство, ако при това от обвивката на резервоара се отвежда топлина Q = 900 cal? [5.5т.] б) пресметнете изменението на ентропията на работното вещество при изотермния процес с температура t 1 [1.5т.] в) намерете израз за отношението на обемите в края и в началото на изотермния процес с температура t 1, ако е известно, че количеството работно вещество е n- мола [3т.] Задача. Молекулна физика (количествена задача) - Решение a) Изразени в градуси Келвин температурите са Т 1 =300 К, Т =70К [0.5т.]. За КПД на топлинна машина, работеща по идеален цикъл на Карно със същите температури имаме: η k = A Q 1 = 1 Q Q 1 = 1 T T 1 [т.], където Q 1 e полученото количество топлина за един цикъл (Q 1 >0), а Q е отдаденото количество топлина, взето по абсолютна стойност. Оттук изразяваме Q 1 = Q Т 1 /Т [0.5т.]. Работата, извършена от топлинната машина, е А = η k Q 1, т.е. A = T 1 T Q T [1.5т.] След заместване на числените стойности се получава А=100 cal. [0.5т.] Поради обратимостта на идеалния цикъл на Карно външната работа при обратния цикъл A е равна на работата А при правия цикъл. Следователно A' = A = 100 cal. [0.5т.]. б) При работа на хладилното устройство Q 1 < 0, а израз за абсолютната му стойност е получен в точка а) [0.5т.]. За изменението на ентропията на работното вещество имаме: ΔS = Q 1 T 1 = Q T = 3,33(3) cal/k [1т.] в) при изотермния процес на свиване с температура t 1 е в сила Q 1 = А из = nrt 1 ln ( V V 1 ), където Q 1 < 0, А из < 0, n е броят на моловете, R е универсалната газова константа, a V 1 и V са обемите в началото и в края на процеса (V 1 > V ) [т.]. Оттук изразяваме V V 1 = exp ( Q 1 nrt 1 ) = exp ( Q nrt ) [1т.] 3
Задача 3. Електростатика (15 точки) Три заряда с еднакви големина и заряд q са закрепени неподвижно във върховете на равностранен триъгълник. Четвърти заряд със същата големина и заряд q е поставен на безкрайно голямо разстояние от триъгълника. а) Намерете каква работа трябва да се извърши, за да се доближи (придърпа) свободният заряд до триъгълника, както е показано на фиг. а). На фигурата свободният заряд е на равни разстояния от заряди 1 и. [5т] б) Намерете с каква сила действа триъгълникът на свободния заряд [4т] и с каква сила действа свободният заряд на триъгълника [1т]. в) Каква допълнителна работа трябва са се извърши, за да се премести свободният заряд от положението, изобразено на фиг. а), до положението, изобразено на фиг. б)? Във фиг. б) зарядът лежи на основата на триъгълника на равни разстояния от заряди 1 и. [5т] Задача 3. Електростатика (количествена задача) - Решение а) Работата А намираме чрез потенциала на електричното поле φ a, създадено от триъгълника, в точката, където е поставен зарядът q: А = q φ a [1 т]. Потенциалът φ a е сума от потенциалите на трите заряда в триъгълника: φ a = k q s 1 + k q s + k q s 3 [1 т], където s 1, s и s 3 са разстоянията между свободния заряд и зарядите в точки 1, и 3, а k =1/4πε 0. Изпълнено е s 1 = s = s. От основни тригонометрични съображения директно намираме s = a 3 разстоянието s/: 3 [0.5 т] и x = a [0.5 т]. Намираме s 3 като сума от височината х и s 3 = 3 a a + = a 3 3. [0.5 т] 4
Така получаваме: φ а = k q a 5 3 [0.5 т] и съответно А = k q a 5 3 [1 т]. б) Силата, с която действат зарядите от триъгълника върху свободния заряд, е векторна сума от сили: F = F 1 + F + F 3 [1т]. От съображения за симетрия силата F е с вертикално направление (виж фигурата в дясно). Проекциите на F 1 и F във вертикално направление получаваме като разделим големините им на (имаме срещулежащ ъгъл от 30 градуса). Така големината на пълната сила F, която бележим с F, е равна на F = F 1 + F 3 [1т], където F 1 и F 3 са големините на F 1 и F 3 и сме отчели, че F 1 = F. Следователно имаме F = kq + kq = 15 kq [т]. s (x+s/) 4 a От третия принцип на Нютон следва, че големината на силата, с която свободният заряд действа на триъгълника, е равна на силата F, с която триъгълникът действа на свободния заряд [1т]. в) Допълнителната работа A може да се пресметне чрез напрежението между двете точки (виж фигурата долу): А = q(φ б φ а ) [т], където φ б е потенциалът на свободния заряд в положението, указано във фиг. б). Изведохме φ а = k q a 5 3. За φ б имаме φ б = kq ( 1 + 1 + 1 ) = kq (6+ 3) [т], където х е разстоянието ( a ) ( a ) x a 3 между свободния заряд и заряда в точка 3 (виж фигурата долу). Следователно за допълнителната работа получаваме А = kq a 4 11 3 6 [1т]. 5
КАЧЕСТВЕНИ ЗАДАЧИ (всяка задача носи 5 т.): Качествена задача 1 (Механика) Защо космонавтите се чувстват в безтегловност? Решение: Безтегловност е усещането, когато няма външни тела, които да оказват натиск върху нас, т.е. няма контактни сили. [т.] Например, ако седите на стол, докато падате (с ускорение, равно на земното ускорение), няма да усещате натиск върху себе си от страна на стола, т.е. ще се чувствате в безтегловност. Единствената сила, която ви действа тогава, е гравитационната, която не може да усетите. [1т.] Както човек на стол, космонавтите в космическия кораб също чувстват безтегловност, тъй като, обикаляйки по кръгова орбита, те се движат в отправната система, свързана със Земята с нормално ускорение, равно на земното ускорение. В отправната система, свързана с космическия кораб те са неподвижни и не чувстват сила, защото силата на земното привличане се уравновесява от центробежната сила. [т.] Качествена задача (Механика) В лунапарк влакче на ужасите с 5 еднакви колички се спуска по наклон, след което се изкачва. Профилът на пистата е симетричен от двете страни на точката с минимална височина. В коя количка трябва да седнем, за да се движим с най-голяма скорост когато сме в точката с минимална височина? Решение: Във всеки момент всички колички имат една и съща скорост. [0.5т.] Но потенциалната енергия на влакчето е минимална когато неговия център на масите е най-ниско, т.е. когато средната количка преминава през точката с минимална височина [т.]. Минимална потенциална енергия означава максимална кинетична енергия. [т.] Следователно средната количка ще се движи най-бързо в точката с минималнма височина. [0.5т.] 6
Качествена задача 3 (молекулна физика) Как плътността на идеален газ зависи от температурата при изобарен процес? Решение: Комбинирайки уравнението на Клапейрон-Менделеев pv = m RT [т.] µ и определението за плътност ρ = m/v [т.] се получава: ρ ~ 1/T. [1т.] Качествена задача 4 (молекулна физика) Два съда с еднакви обеми, напълнени единия с кислород (О ), а другия с хелий (Не) са адиабатно изолирани. Двата газа имат еднаква температура. Съдовете имат бутала, които позволяват промяна на обемите им. Обемите и на двата съда са намалени адиабатно 3 пъти. Кой газ ще повиши температурата си повече? Решение: За адиабатния процес е в сила: TV γ-1 =const. [т.] За началното и крайното състояние на всеки от двата газа можем да запишем T 0 V γ 1 = T i ( V 3 )γ 1. ( i= 1, ) [1т.] От тук и вземайки предвид, че γ 1 =1.4, а γ =1.66 [1т.] (индекс 1 се отнася за кислород), за двете температури се получава Т 1 = 30,4 Т 3 0,66 Следователно Т > Т 1. [1т.] 7
Качествена задача 5 (електростатика) На фигурата са показани два заряда с различен знак, като Q > q. В коя област (X, Y, или Z) има точка, в която електростатичното поле на системата е нула? Решение: Областта е Х. Тъй като Q > q, точката трябва да е по-близо до q [т.], което означава, че възможните области са X и Y. [1т.] Тъй като зарядите са с различни знаци, областта Y не може да е решение, защото в нея силите от двата заряда се събират, а не се изваждат. [т.] Единствено възможната област остава X. Качествена задача 6 (магнетизъм) Магнитното поле може да отклони електрон от праволинейното му движение, но не може да промени скоростта му. Защо? Решение: Магнитната сила е перпендикулярна на движението на електрона [т.]. Поради това тя не извършва работа (силата и преместването сключват прав ъгъл) [1т.]. Следователно тази сила не може да промени кинетичната енергия на електрона [т.] Ситуацията е подобна на центростремителната сила, която действа на тяло, обикалящо по кръгова орбита. 8
ТЕСТ (всеки въпрос носи 3 т.) Тест: Въпрос 1. Две идентични коли, движещи се със скорост 100 km/h, се сблъскват челно и остават на място. Това е равносилно на сблъсък в стена със скорост: A) 100 km/h D) 50 km/h B) 00 km/h E) Нито едно от горепосочените. C) 150 km/h Отговор: A) От съображение за симетрия (тъй като колите са идентични) можем да кажем, че всяка кола се сблъсква в неподвижен обект с безкрайна маса. И в двата случая изменението на импулса е едно и също от mv до 0. Тест: Въпрос. Дървено трупче е окачено на тавана с въже, чиято маса може да се пренебрегне. Куршум се забива в трупчето в момент t 0s и остава в него. Нека с S означим системата, състояща се от трупчето и куршума. Кои величини се запазват в интервала между t 10 s и t 10 s? A) Пълният импулс на S. B) Хоризонталната компонента на импулса на S. C) Механичната енергия на S. D) Моментът на импулса на S, мерен спрямо ос, минаваща през точката на окачване. E) Нито едно от горепосочените. Отговор: E) Причината е, че таванът действа със сила на опън на нишката. Тази сила се явява външна за системата S. Затова импулсът не се запазва. Моментът на импулса спрямо точката на окачване не се запазва, защото гравитационната сила оказва въртящ момент спрямо тази точка. Енергията не се запазва, защото ударът е нееластичен. Тест: Въпрос 3. На фигурата е показано тяло с неправилна форма и три оси А, В и С. Инерчните моменти са съответно I А, I В и I С. Изберете едно от следните: A) I А > I В > I С B) I С > I В > I А C) I В > I С > I А D) I В > I А > I С Отговор: D) Инерчният момент при фиксирана маса е по-голям при такова разпределение на масата, съответстващо на по-голямо средно разстояние до оста. 9
Тест: Въпрос 4. Шест заряда са поставени във върховете на правилен шестоъгълник. Зарядите са в устойчиво равновесно положение, ако A) q 1 = q = q 3 = q, q 4 = q 5 = q 6 = -q B) q 1 = q 4 = q 5 = q, q = q 3 = q 6 = -q C) q 1 = q = q 3 = q 4 = q 5 = q 6 = q D) Няма конфигурация на статично равновесие. E) Всички конфигурации са на статично равновесие. Отговор: D) Теорема от електростатиката. Тест: Въпрос 5. На фиг. а) са обозначени две сфери, заредени със заряди q и -q, а на фиг. b) са обозначени два точкови заряда отново q и q. Разстоянията между центровете на сферите и между зарядите са еднакви. Зарядите са равномерно разпределени по повърхностите на сферите. Изберете едно от следните: A) Сферите се привличат с по-голяма сила, отколкото зарядите. B) Сферите се привличат с по-малка сила, отколкото зарядите. C) Сферите се привличат със същата сила, както зарядите. D) Нито едно от горните. Необходима е още информация. Отговор: C) Причината е, че полето извън заредена сфера е идентично с полето, създадено от точков заряд, поставен в центъра на сферата. Лявата сфера чувства сила, сякаш е създадена от точков заряд q, поставен в центъра на дясната сфера. От третия принцип на Нютон следва, че зарядът q чувства същата сила от страна на лявата сфера. Обаче полето от лявата сфера е идентично на полето на заряд q, поставен в центъра на лявата сфера. Тест: Въпрос 6. Диелектрик е вкаран наполовина в обема на зареден плосък кондензатор. Електродите на кондензатора са свободни. Изберете едно от следните: A) Кондензаторът ще глътне диелектрика. B) Кондензаторът ще изплюе диелектрика. C) Нищо няма да се случи. Отговор: A) Тъй като при фиксиран заряд електростатичната потенциална енергия на кондензатор с диелектрик е по-малка, отколкото тази на кондензатор без диелектрик. 10
Тест: Въпрос 7. Хоризонтално разположен цилиндричен съд е разделен на части от подвижна преграда без триене. Коя част ще бъде по-голяма, ако едната част от съда е запълнена с кислород О, а другата част е запълнена със същата маса водород H? Двете части са при една и съща температура. Разглеждайте газовете като идеални. А) Частта с кислород ще е по-голяма от частта с водород. В) Частта с водород ще е по-голяма от частта с кислород. С) Двете части ще са равни. D) Няма достатъчно информация. Отговор: В) Тъй като буталото е подвижно ще се установи еднакво налягане в двете части. От уравнението на Клапейрон-Менделеев pv = m µ RT и p 1 = p следва V 1 m µ 1 = V m µ За моларните маси имаме µ 1 > µ. Следователно V 1 < V (индекс 1 се отнася за кислород). Имайки предвид, че V = S.l, (S е напречното сечение на съда) за дължините на двете части следва l 1 < l, т.е. частта с водород ще е по-голяма от частта с кислород. Тест: Въпрос 8 Идеален газ увеличава температурата си от о С до 4 о С чрез два различни процеса. При единия процес температурата нараства при постоянен обем, а при другия процес температурата нараства при постоянно налягане. Кое от следните твърдения е вярно (може да има повече от едно верни твърдения) А) Топлината, необходима за изменение на температурата е еднаква за двата вида процеси. В) Повече топлина е необходима за процеса при постоянно налягане. С) Изменението на вътрешната енергия на газа е едно и също за двата процеса. D) Средно-квадратичната скорост на молекулите на газа нараства повече при процеса с постоянно налягане. Отговори: В), С) Изменението на вътрешната енергия ΔU е едно и също за двата процеса, защото U на идеален газ зависи само от температурата (отг. С). При процеса с постоянен обем не се извършва работа. Oт 1-я принцип на термодинамиката Q = A + ΔU следва, че при процеса с постоянен обем ще е необходима по-малко топлина Q. (отг. В) 11
Тест: Въпрос 9 Производител на топлинна машина твърди, че разработената от него машина на всеки цикъл ще взема 100J топлина от резервоар с кипяща вода при 100 о С, ще извършва механична работа 80J и ще отдава 0J топлина на охладител при 10 о С. Възможно, или невъзможно е това? Изберете правилния отговор. А) Не е възможно, защото отдаваната топлина трябва винаги да е повече от извършената работа съгласно -я принцип на термодинамиката; В) Машината нарушава 1-я принцип на термодинамиката, защото 100 J =80 J + 0 J С) Коефициентът на полезно действие (КПД) на тази машина е по-голям от този на идеалния цикъл на Карно. D) Няма нищо грешно, защото 100 J = 80 J + 0 J Отговор: С) Наистина КПД на идеалния цикъл на Карно, работещ при тези температури е равен на 1-Т/Т = 1-83/373 1-0.76 =0.4, докато за тази машина се получава КПД=80/100 = 0.8 > 0.4. Според втората теорема на Карно, КПД на идеалния цикъл на Карно е по-голям от КПД на всяка друга топлинна машина. Следователно такава машина е невъзможна. Тест: Въпрос 10 Две различни книги (едната е по-дебела от другата) са завързани с връв. Връвта е опъната и едната книга е бутната през ръба на масата. Докато тя пада другата книга се движи хоризонтално по масата. Ако няма триене, ускорението й е: A) Нула B) g/. C) g. D) Стойност между нула и g. E) По-голямо от g. Отговор: D) В случая сила m 1 g движи две тела с обща маса m 1 +m. Поради това ускорението е по-малко от g. Отговор В би бил верен, ако двете книги имат равни маси. 1