Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a b] което пространство се означава със C [ a b] Преди всичко C [ a b] е линейно пространство понеже всяка линейна комбинация на непрекъснати функции също е непрекъсната функция Това пространство обаче не е крайномерно тъй като могат да се намерят произволен брой линейно независими елементи например степенните функции За всеки елемент на f C[ a b] може да се въведе норма f = ma f ( a b която притежава следните свойства f и f = единствено когато f ( λ f = λ f λ R f + g f + g (неравенство на триъгълника Първото и второто свойство са практически очевидни За доказателство на третото ще изходим от основното неравенство за модула f + g f + g f + ( ( ( ( g откъдето получаваме f + g = f ( + g( f ( + g( f + g ma a b Всяко линейно пространство в което има определена функция норма с посочените по-горе три свойства се нарича нормирано линейно пространство С помощта на нормата се задава разстояние между две функции както следва (6 ( f g = f + g а ( f g ρ( f g и ρ( g = ρ ( f g = ρ( g f ( f g ρ( f h + ρ( h g ρ ρ се нарича метрика породена от нормата Метриката има следните свойства f единствено когато f = g ρ (неравенство на триъгълника Тук първите две свойства също са практически очевидни Третото е следствие от неравенството на триъгълника за нормата ρ f g = f g = f h + h g f h + h g = ρ f h + ρ h g ( ( ( ( ( Всяко множество в което има определена функция метрика с посочените три свойства се нарича метрично пространство Метричното пространство представлява удобно ниво на абстракция където по естествен начин се определят базовите понятие f редица Редиците ще означаваме с { f } или просто с { } = Определение 6 Нека X е метрично пространство с метрика ρ Казва се че f е сходяща и клони към границата f когато lim ρ( f = В този редицата { } случай пишем lim = f f Определението означава че lim = f тогава и само тогава когато за всяко f > съществува такова че ρ( f f < за всяко > Основните свойства на редиците в метрични пространства са аналогични на тези за числовите редици Аналогията се поражда от факта че R се явява метрично пространство където f
разстоянието между две числа и се задава от модула на тяхната разлика ( = ρ Определение 6 Нека X е метрично пространство с метрика ρ Казва се че f е фундаментална когато lim ρ( f f = редицата { } m От определението следва че редицата { f } е фундаментална тогава и само такова че ρ( f < > и тогава когато за всяко > съществува m f m когато f е m > Последното е удобно да бъде формулирано по следния начин Редицата { } фундаментална тогава и само тогава когато за всяко > съществува такова че ρ ( f + p f < за всяко > и за всяко p N Както при числовите редици се проверява че всяка фундаментална редица е сходяща За да бъде вярно обратното метричното пространство трябва да притежава някои допълнителни свойства В такъв случай метричното пространство се нарича пълно Примери за пълни метрични пространства са евклидовите пространства R с метрика ρ ( = Определение 6 Казва се че метричното пространство X е пълно когато всяка фундаментална редица е сходяща От горното определение се получава критерият за сходимост на Коши Твърдение 6 Нека X е пълно метрично пространство с метрика ρ Редицата { } f е сходяща тогава и само тогава когато за всяко > може да се намери такова че ρ ( f + p f < за всяко > и всяко p N Оказва се че метричното пространство C [ a b] снабдено с метриката (6 която се нарича равномерна метрика е пълно метрично пространство C a b е пълно Теорема 6 Метричното пространство [ ] Доказателство Нека { f } е фундаментална редица от непрекъснати функции определени в интервала [ b] a Да изберем едно > Тогава съществува такова че (6 ρ ( f = ma ( ( + < + p f f p f за > и p N a b a b f към някаква граница f ще покажем че е непрекъсната и освен от (6 следва че f + p ( f( < за > и p N откъдето след граничен преход по p получаваме (6 f ( f ( за > Да фиксираме някакво > (например = + Функцията f ( е непрекъсната и равномерно непрекъсната в [ a b] следователно може да се намери δ > за което f ( f( < когато < δ a b Тогава Горното показва че при всяко [ ] числовата редица { ( } която ще означим с f ( За тази функция ( това се явява граница на редицата { f } по равномерната метрика При всяко [ a b] [ ]
f ( f ( = f ( f( + f( f( + f ( f ( следователно ако < δ [ a b] то f ( f ( < + + = което показва направо равномерната непрекъснатост на граничната функция f ( Сега от неравенството (6 показва че ma f ( f( за > a b следователно за всяко > успяхме да намерим такова че ρ( f f < когато lim = f в смисъла на > Последното по определение означава че ( ( f равномерната метрика Сходимостта на функции в C [ a b] се нарича равномерна сходимост Аналогично на вече известни случаи се определя δ - околност на дадена точка B ( δ f = { g X : ρ( f g < δ} както понятията отворено и затворено множество при което може да се докаже че едно множество F X е затворено тогава и само тогава когато съдържа границите на всичките свои сходящи редици По този начин е вярно Твърдение 6 Нека X е пълно метрично пространство с метрика ρ а F X е негово затворено подмножество Тогава F представлява също пълно метрично пространство с метрика ρ Пълнотата на метричното пространство [ a b] C има особена роля при доказване на основната теорема за съществуване и единственост за решенията на началната задача за уравнение от първи ред Теорема за свиващото изображение Тук ще разглеждаме пълно метрично пространство X с метрика ρ и изображение Φ : X X което е определено за всеки елемент от X и приема стойности в X Едно такова изображение се нарича свиващо когато ρ ( Φ( f Φ( g κρ( f g за някоя константа κ за която κ < Ако за някое ξ X е изпълнено Φ ( ξ = ξ то ξ се нарича неподвижна точка на изображението Теорема 6 Нека X е пълно метрично пространство с метрика ρ а Φ : X X е свиващо изображение Тогава Φ има при това единствена неподвижна точка ξ Тази неподвижна точка се получава като граница на последователните приближения f = Φ( f f = Φ( f f = Φ( f f+ = Φ( f при произволно начално f X Доказателство Да изберем някакво f X и да разгледаме редицата от последователни приближения f+ = Φ( f = K Ще докажем че тя е ρ f имаме оценката фундаментална За разстоянието ( + f ρ( f = ρ( Φ( f Φ( f ( f f f + κρ = K Прилагайки последователно горното неравенство намираме ρ( f + f κρ( f f ρ f f κρ f f ( ( ρ ( f f κρ ( f f откъдето след почленно умножаване и съкращаване на равните множители получаваме ρ f + f κ ρ f f = K (64 ( (
Ако някой от множителите подлежащи на съкращаване ( f f f + = f следователно f се явява неподвижна точка Сега неравенството на триъгълника ни дава ρ f f ρ f f + ρ f f + L + f f ( + p ( + p + p ( + p + p ρ( + + p + p ρ( f p f κ ρ( f f + κ ρ( f f + + κ ρ( f f p p κ ρ( + p f κ ρ( f f [ κ + κ + + ] = κ ρ( f f ρ (65 ( ( f f f f + L f L κ p ρ + = ρ + p κ p N κ Дясната страна на (65 клони към нула когато следователно за всяко > може да се намери такова че ( f f < когато > и p N Последното ρ + p означава че редицата { f } е фундаментална и следователно сходяща понеже метричното пространство X се предполага пълно Нека то f = lim f Тогава като направим граничен преход в равенството f + = Φ( получаваме f Φ( f f означава че f е неподвижна точка за изображението Нека f и g са неподвижни точки за Φ Тогава ρ ( f g = ρ( Φ( f Φ( g κρ( f g ( κ ρ( f g което е възможно само когато ρ( f g = = което Последното разсъждение показва че Φ може да има само една неподвижна точка Когато за дадено изображение Φ съществува множество X такова че Φ е определен за всеки елемент на X и Φ : X X се казва че X е инвариантно множество за оператора Φ Неподвижните точки са минимални инвариантни множества Теорема 6 показва че за да намерим неподвижна точка за даден оператор е необходимо да притежава някакво инвариантно множество и да удовлетворява определение допълнителни свойства Теорията на неподвижните точки на абстрактни оператори е самостоятелен клон в съвременната математика са най-разнообразни приложения Теорема 6 в много случаи оправдава метода на последователните приближения за търсене на решения на някакво уравнение Този метод е особено удобен за компютърна реализация понеже операторът за присвояване в програмирането всъщност реализира поредните итерации на метода Теорема за съществуване и единственост на началната задача В този раздел ще установим един важен резултат който касае решенията на началната задача = f ( (66 ( = където функцията f ( както и нейната частна производна f ( непрекъснати в околност на точката ( разбира непрекъснато диференцируема функция ( малка околност ( δ + δ δ > която удовлетворява уравнението ( = f ( ( ( δ + δ се предполагат Под решение на началната задача (66 се определена в някаква достатъчно и началното условие ( = Твърдението за съществуване има локален характер понеже не се прави уточнение за размера на околността ( δ + δ 4
Като интегрираме уравнението ( t = f ( t ( t в граници от до и приложим формулата на Нютон-Лайбниц с отчитане на началното условие ( = получаваме интегралното уравнение (67 ( = f ( t ( t + dt Под решение на интегралното равнение (67 се разбира непрекъсната функция ( която удовлетворява уравнението в някаква околност на точката Всяко решение на началната задача (66 е решение на интегралното уравнение (67 и обратно ако функцията ( е решение на (67 следвайки правилото за диференциране на интеграла като функция на горната си граница получаваме че ( е решение на диференциалното уравнение = f ( при което ( = По-нататък ще търсим решение на интегралното уравнение (67 От направените предположения следва съществуването на затворен правоъгълник Π = {( : a + a b + b} a > b > в който функциите f ( и f ( са непрекъснати От свойствата на непрекъснати функции определени в ограничени и затворени (компактни множества следва че съществуват константи M > и K > за които f и ( K за всяко ( Π ( M f Нека ( Π и ( Π f ( f ( = f ( η( Тогава от формулата за крайните нараствания имаме където η е точка между и следователно е изпълнено неравенството f f K (68 ( ( Нека X е множеството от непрекъснати функции определено по следния начин X = { C[ δ : ( M } където b (69 δ = mi a M K Условието δ a осигурява че интервала [ δ се съдържа в b [ a + a] Условието δ осигурява че стойностите на функциите от конуса X M не напускат интервала [ b + b] понеже ( M Mδ b Условието δ е свързано по-нататък с изискването операторът определен от (6 да бъде K свиващ Непосредствено се проверява че X е затворено подмножество на C [ δ следователно съгласно твърдение 6 X е пълно метрично пространство с равномерната метрика Всичките елементи на X изпълняват началното = Да разгледаме оператора условие ( (6 Φ( = f ( t ( t + dt 5
породен от дясната страна на уравнението (67 Очевидно решението което търсим се явява неподвижна точка за Φ Ще докажем че при направените предположения Φ се явява свиващ оператор определен за всяка функция X и приемащ стойности отново в X Имаме Φ( ( f ( t ( t dt M [ δ което показва че образът на всяка функция от друга страна Φ ( Φ( = [ f ( t ( t f ( t ( t ] dt откъдето съгласно (68 получаваме Φ X се съдържа в X Φ : X X От ( Φ( K ( t ( t dt Kρ( dt = [ K ] ρ( което съгласно (69 води до неравенството (6 Φ ( Φ( ρ( [ δ От последното получаваме ρ( Φ( Φ( = ma Φ( Φ( ρ( δ +δ което показва че операторът Φ : X X е свиващ Сега от теорема 6 следва че Φ има при това единствена неподвижна точка X Тази неподвижна точка представлява непрекъсната функция в интервала [ δ която удовлетворява интегралното уравнение (67 следователно се явява решение на началната задача (66 Съществуването на решение на началната задача е локално свойство В този смисъл единствеността означава че всеки две решения съвпадат в някаква околност на точката Определение 64 Казва се че решението ( на началната задача (66 е единствено когато всяко друго решение съвпада с ( в някаква (достатъчно малка околност на началната точка Изложената по-горе схема чрез която доказахме съществуването на решение показва че всяко решение на началната задача (66 определено в интервала ( δ + δ е неподвижна точка за оператора Φ : X X при допълнителното условие δ δ което не ограничава общността на разсъжденията следователно намереното решение е единствено по смисъла на определение 6 Друго директно доказателство на единствеността се получава по следния начин Нека и са две решения на (66 определени в интервала [ δ + δ ] където < δ δ Тогава както при неравенството (6 намираме ( ( K ( t ( t dt ma ( ( [ δ + δ ] което води до неравенството ma δ +δ δ +δ ( ( ma ( ( δ +δ 6
Последното е възможно единствено когато ( ( в интервала [ δ + δ ] По този начин доказахме са Теорема 6 Нека функцията f ( и нейната частна производна f ( непрекъснати в някаква околност на точката ( която съдържа правоъгълника = {( : a + a b + b} a > b > Π Тогава началната задача = f ( = ( има при това единствено решение което е определено поне в интервала ( δ + δ където b δ = mi a M = ma f ( и K = ma f ( M K ( Π ( Π Без уточняване интервала на съществуване теорема 6 може да бъде изказана по следния съкратен начин Нека функцията f ( и нейната частна производна f ( са непрекъснати в околност на точката ( Тогава началната задача има при това единствено решение определено в някаква достатъчно малка околност на началната точка f не е необходимо за Условието за непрекъснатост на производната ( съществуването на решение Съгласно една знаменита теорема на Пеано началната задача винаги има решение стига функцията f ( да бъде непрекъсната в околност на точката ( Това решение обаче може да не бъде единствено Например да разгледаме началната задача (6 = ( = Едно решение на (6 е функцията ( Друго решение ( = можем да получим ако решим уравнението = по правилото за решаване на уравнения с разделящи се променливи Тези две решения обаче се различават във всяка околност на началната точка = следователно в този случай нямаме единственост Отсъствието на единственост при решенията на началната задача нарушава интуитивната представа за смисъла на решението и се явява нежелан ефект в приложенията 4 Сведения за системи диференциални уравнения В повечето случаи от практическо значение се разглеждат системи диференциални уравнения = f( K = f( K (6 LLLLLLLL = f K ( където функциите в десните страни се предполагат непрекъснати Когато за търсените функции се поставят начални условия 7
(64 ( ( = = LLLL ( = се получава начална задача Под решение на началната задача (6-(64 се разбира които удовлетворяват система от непрекъснати функции ( ( ( уравненията (6 в някаква околност на точката и удовлетворяват началните условия (64 Тук е валидна теорема за съществуване и единственост която има аналогичен характер с теорема 6 Теорема 64 Нека функциите f k ( K k = K както и всичките частни производни fk ( K k = K j = K j са непрекъснати в околност на точката ( K Тогава началната задача (6-(64 има при това единствено решение определено в някаква достатъчно малка околност на началната точка 8