Microsoft PowerPoint - 3_Results Propabilities & Treatment.ppt [Compatibility Mode]

Препис

1 Вероятностно описание на резултатите измерванията. Обработка на резултатите. Лекионен курс за ІІ-ри курс бакалаври ФЕТТ, ТУ-София До., д-р инж. Георги Милушев Видове грешки в зависимост от арактера на проявяването си Систематични многократни измервания на една и съща величина еднакви условия остават постоянни или се изменят по детерминиран закон. Открива се чрез измерване на величината по няколко независими метода, основани на различни физични явления. Случайни многократно измерване на една и съща величина еднакви условия се изменят по случаен закон. Груби значително превишават стойността на останалите грешки и се дължат на неправилни действия на оператора, внезапни откази в СИ и т.н. Характерът на проявяване на грешките определя начина на обработка на резултатите! измерванията. Обработка измерванията. Обработка Съдържание Систематична и случайна грешка 7. от измерванията: Представяне на резултатите от измерванията като случайни величини. Дискретни и непрекъснати случайни величини. Закони на разпределение. Статистически моменти. Интервална и точкова оенки. Систематични, случайни и груби грешки. 8. Обработка на резултатите. Резултати многократни и динамични измервания. Проверка на метрологични ипотези. Отстраняване на груби грешки. Сумиране на грешки: Определяне на общата систематична грешка и на общата случайна грешка. Методи на сумиране. Детерминирани, квазидетерминирани, случайни и стоастични сигнали, оенка на тените параметри и представяне на измервателни резултати. измерванията. Обработка Наличието на случайна компонента в описанието на резултата от измерването определя неговия случаен арактер и е предпоставка за разглеждането му като случайна величина. измерванията. Обработка 5 ПО РАЗМЕРНОСТ АБСОЛЮТНА ВИДОВЕ ГРЕШКИ ПО ПРОЯ- ВЯВАНЕ В РЕЗУЛТАТА СИТЕМА- ТИЧНА ИНСТРУ- МЕНТАЛНА ПО ПРОИЗХОД В ПРОЦЕСА СУБЕК- ТИВНА Случайни величини. Терминология Резултатът от измерването и неговата грешка в най-общия случай се явяват случайни величини. Това води до неопределеност на резултата, която трябва да бъде оенена. Случайно събитие явление, което може да се случи или да не се случи Случайна величина - която може да еме една или друга предварително неизвестна стойност СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ ОТНОСИ- ТЕЛНА СЛУЧАЙНА МЕТОДИЧНА ОТ ДРУГИ ИЗТОЧНИЦИ НЕПРЕКЪСНАТИ ДИСКРЕТНИ ПРЕКЪСНАТИ ПРИВЕДЕНА ГРУБА ДОПЪЛ- НИТЕЛНА ОТ МОДЕЛА ЕДНОМЕРНИ СКАЛАРНИ ЗАВИСИМИ МНОГОМЕРНИ НЕЗАВИСИМИ измерванията. Обработка измерванията. Обработка 6

2 Случайни величини. Терминология Случаен проес функия, която за всяка стойност на аргумента е случайна величина аргумент може да е и времето Вероятност числения израз на възможността за появяване на дадено събитие Доверителна вероятност е вероятността, която събитието може да се смята за практически достоверно.,95;,975;,9999 Ниво на значимост β е вероятността, която дадено случайно събитие може да се смята за практически невъзможно. β,5;,;, и,. -β и β - Разпределение на случайната величина е закономерно разпределена съвкупност от множество стойности и съответващите им вероятности. Разпределенията биват: Теоретични представят се чрез чрез интегралната или диферениалната функия на разпределение Емпирични на базата на експерменти Числови арактеристики на законите на разпределение на случайните величини Числови арактеристики мерки на положението - определят положението на ентъра на групиране ентъра на разсейване, ентъра на разпределението на случайната величина Характеристики мерки на разсейването - определят поголямата или по-малката съсредоточеност на ялата съвкупност от стойности на случайната величина около нейния ентър на групиране Допълнителни арактеристики: арактеристика на асиметрията, определя степента на асиметрия на разпределението спрямо ентъра на групиране арактеристика на стръмността, определя по-голямата или по-малка съсредоточеност на разпределението около ентъра едновъровото разпределение може да бъде островъро или плосковъро измерванията. Обработка 7 измерванията. Обработка Интегрална и диферениална функия Диферениалната функия а на разпределението f плътността на вероятността представя разпределението на вероятностите на всички възможни стойности на величината в областта на тяното възможно появяване. Интегралната функия б на разпределението F определя вероятността Р, че случайната величина има стойност помалка от дадена стойност на. F P P P F F Закон на разпределение на едномерна случайна величина - функията f f df f F P f Характеристики на положението M M f Мода Мо - стойност на случайната величина, която вероятността има максимум Медиана Ме - стойност на случайната величина, която площта под диферениалната функия на разпределение и оста се разделя на две равни части, за която е изпълнено условието Математическо очакване М - теоретичната средна стойност Me f f f Me f,5 f измерванията. Обработка 8 измерванията. Обработка Емпирични разпределения Хистограма на разпределението - Емпирична крива на разпределението а V абсолютни честоти F V / относителни честоти Хистограма на натрупаните честоти б Емпирична крива на натрупаните честоти комулативна крива V * V - * V f * f - * f d интервал на разпределението дискретни величини Характеристики на разсейването Дисперсия D Средноквадратично отклонение D [ M ] f f [ M ] D Зона на разпределение V- област, за която вероятността за попадане на случайната величина извън нея може да се еме за пренебрежимо малка V k за измерванията. Обработка 9 измерванията. Обработка

3 измерванията. Обработка Характеристики на разсейването Разма R - разликата между най-голямата α и наймалката α измерена стойност на случайната величина Коефииент на вариаия v R.% v измерванията. Обработка Допълнителни арактеристики µ ε Коефииент на асиметрия ν - оенка за асиметрията Екес ε - оенка за стръмността на разпределението Контраексес k - k µ ε µ ν ε k измерванията. Обработка 5 Основни закони на разпределение на случайната грешка Трапеоидални плосковъри разпределения: равномерно правоъгълно разпределение трапеоидално разпределение триъгълно Симпсон разпределение Експонениални разпределения нормално Гаусово разпределение разпределение на Лаплас разпределение на Стюдент разпределение на Релей Двумодални разпределения дискретно двузначно разпределение арксинусоидално разпределение островъри и кръгловъри двумодални разпределения измерванията. Обработка 6 Равномерно правоъгълно разпределение F а f 8 6 V Me M ν ε,, Мо отсъства измерванията. Обработка 7 Триъгълно разпределение а f [ ] F ] [ 9 V 6 Mo Me M ν ε,, измерванията. Обработка 8 Трапеоидален закон а f y [ ] F ] [

4 Трапеоидален закон. Параметри Нормиран нормален закон на разпределение M 6 V ε 9, ε 6, ε 8, ν Me Mo Нормирането се състои в преминаване от случайната величина към спомагателната линейна функия z M z f z F z π π z z e e z z dz измерванията. Обработка 9 измерванията. Обработка Нормален закон на разпределение f π е F π e Параметри: - е параметър на разсейването, равен на средното квадратично отклонение - е ентъра на разпределението равен на математическото очакване М. Разпределение на Стюдънт Параметър: k - - брой степени на свобода f k Ck k k F k. ϕ k k Г C k kπг Г e k измерванията. Обработка измерванията. Обработка Нормален закон различни параметри Разпределение на Релей f e F e СКО на изодното двумерно Гаусово р-ние, където y² z² ½ измерванията. Обработка измерванията. Обработка

5 Дискретно двузначно разпределение f, 5δ A, 5δ A δ е делта функия на Дирак F f Параметър: А възможните стойности на случайната величина СКО A; ε Точкови оенки на параметрите на законите на разпределение Математическо очакване оенка на разсейването Средноквадратично отклонение Коефииент на асиметрия Ексес ε [ ] ν ε измерванията. Обработка 5 измерванията. Обработка 8 Арксинусоидално разпределение f F π f А Параметър: А възможните стойности на случайната величина СКО А ε,5 Центрирано арксинусоидално разпределение А Интервални оенки на параметрите на законите на разпределение За МО и СКО доверителният интервал се определя от условията [ д M г] P където точковите оенки са д t t - коефииент на доверителна вероятност [ ] P г t t t д г j j д j г измерванията. Обработка 6 измерванията. Обработка 9 Островъри и кръгловъри двумодални разпределения Получават се, като композиия на дискретно двузначно разпределение и експонениално разпределение с различни стойности на коефииента α Коефииентът α е константа на експонениалното разпределение - α - островъри разпределения - α - кръгловъри разпределения. Параметри: - показателят на степента α за експонениалните разпределения α,5 - относителното съдържание в композиията на дискретната съставляваща С д Проедура за определяне на интервалните оенки за МО и СКО Определят се точковите оенки Избира се доверителната вероятност от препоръчителните стойности,9;,95;,99 Определя се коефииентът t в зависимост от вида на разпределението и броят на степените на свобода k Изчисляват се долните и горните грании на съответните интервали измерванията. Обработка 7 измерванията. Обработка 5

6 Оенки за измерваната величина и грешките Точкова оенка за истинската стойност на измерваната величина: едно-единствено число, което се провъзгласява за окончателен резултат от многократните измервания. Не съдържа информаия за грешката. Най-добрата точкова оенка на резултата от измерванията е средноаритметичната стойност на резултатите от всички наблюдения. Интервална оенка за измерваната величина - наличие само на случайни грешки и определена вероятност. Съдържа информаия за грешката, респ. неопределеността на оенката измерването. Xˆ I{ X} ± t ± t Свойства на оенките: Неизместеност МО е равно на истинската стойност на измерваната величина Ефективност с най-малка диспресия Достатъчност вложена е ялата информаия, съдържаща се в резултатите от измерванията Състоятелност увеличаване на обема на извадката се ближава към истинската стойност изключване на грубите грешки Свойства на случайната грешка Появяването на положителни и отриателни случайни грешки е еднакво вероятно алгебричната сума от случ. грешки е ; Появяването на по-големи по модул случайни грешки е помалко вероятно от появяването на по-малки по стойност такива; Вероятността за поява на случайни грешки извън граниите на интервала ± може де се счита за пренебрежимо малка,7% измерванията. Обработка измерванията. Обработка c Представяне на оенките за грешките M[ ] M[ ˆ] ˆ M[ ˆ] M[ ] M[ ˆ] M[ ˆ] ˆ Mˆ [ ˆ] ˆ c Д c ˆ ˆ c ˆ Mˆ [ ˆ] ˆ c Д Д Д ˆ M[ ˆ] Случайни вни Систематична случайна Систематичната съставка е математическо очакване на общата грешка Конкретна реализаия на случайната грешка Математическото очакване на случайната грешка е Работи се с оенки, защото не разполагаме с генерална съвкупност, а с ограничени реализаии Ползваме емпирични оенки на случайните величини Статистическа проверка на ипотези Статистически и метрологични ипотези Видове ипотези: нулева Н проверявана ипотеза Н y Є A алтернативна Н а различна от нулевата Н y не надлежи на A параметрични: прости, сложни Статистически критерий за проверка система от правила, възоснова на която се проверява степента на съответствие на експерименталните резултати с една от ипотезите. Статистически тест статистическа проедура която се решава дали нулевата ипотеза да бъде отвърлена Статистика една функия на случайна променлива извадка. Намер СКО, критериални стойности Допустима област Множество от стойности на статистическия критерий за които нулевата ипотеза се ема Критична област Множество от стойности на статистическия критерий за които нулевата ипотеза се отвърля Критична стойност гранична стойност на критичната област измерванията. Обработка измерванията. Обработка 5 Случайна грешка Определяне на граниите на случайната грешка: Закон на разпределение СКО Приетата доверителна вероятност Нормиран нормален закон на разпределение СКО Средноквадратична грешка ± t l Граниа на грешката Гранична грешка Доверителна граниа Грешки от І и ІІ род. Рискове Проверка на ипотезата сравняване със стойността на статистиката, получена на базата на изследваната извадка с критичната стойност на критерия т.е с граничната стойност на неговата критична област Неправилни решения проверка на ипотезата вземане на решение: Отвърляне на нулевата ипотеза, когато тя е вярна риск на производителя грешка от I род Ниво на значимост - Горна граниа на вероятността за грешка от І род, до, Приемане на нулевата ипотеза, когато тя е невярна риск на потребиталя - грешка от II род мощност на критерия Мощност на критерия вероятноста за недопускане на грешка от ІІ род измерванията. Обработка измерванията. Обработка 6 6

7 Алгоритъм за проверка на Метрологични Хипотези Избор на нулева и алтернативна ипотеза Н и Н а Задаване на елесъобразно ниво на значимост β Избор на пододящ статистически критерий. Желателно е избраният критерий да минимизира грешката от ІІ род Определяне на критичната област на критерия зададено ниво на значимост β така, че вероятността за отвърляне на нулевата ипотеза ако тя е вярна, да бъде равна или по-малка от β Изчисляване на стойността на извадковата статистика и сравняването й със стойностите от критичната област на критерия. При попадането в тази област нулевата ипотеза се отвърля Приемане отвърляне на нулевата ипотеза Изключване на груби грешки. Критерий на Романовски Ползва се y y t β y t' β модифииран аргумент на функията на Стюдънт β ниво на значимост рискът определена стойност на t' β обикновените случайни грешки да бъдат знати за груби При изпълнение на критерия, грешката е груба с доверителна вероятност [ y y t β y] β P измерванията. Обработка 7 измерванията. Обработка Изключване на груби грешки. Критерий на Райт Изключване на грубите грешки статистически критерии, предварително ет закон на разпределение на резултатите Нулева ипотеза Н : конкретният резултат y не съдържа груби грешки отвърляне на ипотезата изключване от извадката Ниво на значимост β вероятността съмнителния резултат, за който се предполага, че съдържа груба грешка, може действително да е част от разглежданата съвкупност от резултати от измерване, т.е да не съдържа груба грешка Критерий на Райт Резултатът от измерването y не надлежи на разпределението на разглежданата съвкупност съдържа ГГ със зададена вероятност ако: M t t ; t коефииент на доверителната вероятност или Изключване на груби грешки. Критерий на Диксон Ползва се. Достатъчна мощност обезпечава сигурност на оенката Нарастващ вариаионен ред Критична област област където се счита, че y съдържа ГГ P D K Zβ β ниво на значимост y, y, y,... y K β D yy y y y y y... y y измерванията. Обработка 8 измерванията. Обработка Изключване на ГГ. Критерий на Райт Граниа на ензуриране M ± t респ. ± t Резултатът от измерването y може да се счита, че съдържа ГГ, ако у е извън граниата на ензуриране За нормално разпределение обикновено,997, което t критерий на При нормален закон: β,7 Понякога се счита, че ± не е достатъчно Формулировка: Ако е изпълнено M резултатът y сигурно съдържа ГГ Ако [ M ] Може да се предполага ГГ Недостатък: изисква, за които може да се счита: M и Изключване на груби грешки. Критерий на Граб Gru Ползва се малък брой наблюдения 5 Нарастващ вариаионен ред y, y, y,... y y y y... y y y, y Прилага се към: Едно съмнително наблюдение Две съмнителни наблюдения Нулева ипотеза Н : конкретният резултат y не съдържа груби грешки, т.е. y или y не съдържат ГГ Статистики едно наблюдение: y y y y G G y y y y G G y y ; H се ема G kp G илиg kp y y G измерванията. Обработка 9 измерванията. Обработка 7

8 Изключване на груби грешки. Критерий на Граб Gru При две наблюдения Н : y -, y или y, y не съдържат ГГ G, y,, y y ; y y y, ; G, G, измерванията. Обработка y y G иg ;, y y, H се ема kp kp G последователните разлики Абе Използва се за откриване на променлива във времето систематична грешка Оенява се експерименталната дисперсия по два начина D y y yy D y y y y При изместване на ентъра на групиране на резултатите наличие на променлива систематична грешка и D yd y Критерий за систематично отместване: V D y/ D Критична област Резултатите съдържат систематична грешка PV Vβ β β ниво на значимост y измерванията. Обработка 6 Систематични грешки последователните разлики Абе Систематична грешка функия от неслучайни фактори, свързани с физическите, конструктивните и тенологичните особености на СИ, условията на тяното ложение и качествата на Субекта. По чина: Методични Инструментални Субективни По арактер: Постоянни Променливи: Монотонни прогресиращи нарастват или намаляват във времето Периодични изменят се по периодичен закон Променящи се по сложена закон Не могат да бъдат открити статистическа обработка При V V β предположението за отсъствие на систематична грешка H се отвърля. измерванията. Обработка измерванията. Обработка 7 Откриване на систематичните грешки Откриване на постоянни систематични грешки не влияят въру разсейването на резултатите. Откриват се само на базата на сравнение с по-точни методи и СИ. Откриване на променливи във времето СГ изкривяват оенката на случайната грешка и апроксимаията на разпределението й: анализ на знаите на случайните грешки Ако знаите на сл. грешки закономерно се редуват и --- монотонно променяща се систематична грешка Ако групи от знаи и --- се редуват периодична систематична грешка. Графичен метод най простия метод построява се графика на резултатите в реда в който са получени. Апроксимаията отразява тенденията в изменението на резултатите. последователните разлики критерий на Абе Дисперсионен анализ Критерий на Фишер Дисперсионен анализ критерий на Фишер Многократни измервания от достатъчен брой серии, всяка от които съответства на неизвестни, но различни ст-ти на влияещите фактори. N измервания се разделят на сериии от по j резултати от наблюдения във всяка серия N. Изчисляват се оенките за: Вътрешносерийната дисперсия Dy вс средна ст-т на дисперсиите във всяка серия арактеризира случайните грешки Междусерийната дисперсия Dy мс влиянието на факторите j j D y вс yjyj ; yj yj N j D y мс j y y ; j y N y j j j измерванията. Обработка 5 измерванията. Обработка 8 8

9 Дисперсионен анализ критерий на Фишер D y вс [ D y D y ] D y F D y P F F β F F β вс вс β оттабл. мс вс мс D y мс [ D y D y ] мс k k N ; Характеризира частта от дисперсията, обусловена от случайни грешки Характеризира частта от дисперсията, обусловена от междусерийни различия Критерий за оенка на наличието на систематични грешки Критична област на Фишер H за отсъствие на систематични грешки се отвърля Позволява да се анализира източника на възникване на систематична грешка! противопоставянето за изключване на постоянните систематични грешки Измерването се извършва чрез две наблюдения Условие: Причините за постоянната грешка да оказват различни, но известни по своята закономерност въздействия въру резултатите от наблюденията Пример: измерване на съпротивление с помощтта на постояннотоков мост R X неизвестно съпротивление R M магазин от съпротивления Не е известно отншението на другите две рамена на моста R и R Първо уравновесяване R X R /R R M R M и R X разменят местата си Второ уравновесяване R X R /R R M След умножение на двете равенства R X R R M M измерванията. Обработка 9 измерванията. Обработка 5 заместването изключване на грешката по знак Методи за изключване на систематичната грешка Постоянни Систематични Грешки противопоставянето рандомизаията Симетричните Наблюдения Променливи във времето Систематични Грешки Периодичните Наблюдения изключване на грешката по знак метод на инверсия на водната величина за изключване на постоянните систематични грешки Измерването се извършва чрез две наблюдения Условие: Постоянната систематична грешка влиза в наблюденията с различни знаи Пример: Измерване на малкото напрежение U с DC микроволтметър Наличие на Термо ЕДН U T в точките на съединение на източника с клемите на волтметъра Първо измерване U ИЗМ UU T Смяна на полярността Второ измерване U ИЗМ -UU T UU ИЗМ - U ИЗМ / е освободен от систематична грешка резултат измерванията. Обработка 5 измерванията. Обработка 5 заместването за изключване на постоянните систематични грешки Разновидност на метода на сравняване с мярка Измерваната величина се заменя с величина възпроизвеждана от мярката Средството за измерване се явява компаратор устройство за сравнение Предимства: Отстраняват се грешките от нелинейност на арактеристиката Отстраняват се грешките от неточност на градуировката Могат да се използват неградуирани и некалибрирани СИ Неободима е регулируема мярка с величина, еднородна с измерваната. Пример: измерването на съпротивление с постояннотоков мост и мярка за съротивление еталонен магазинен резистор рандомизаията за изключване на постоянните систематични грешки Най-универсалния начин за намаляване ограничаване на постоянни систематични грешки Причината предизвикваща систематична грешка се променя по случаен закон Извършват се наблюдения Резултата е Променливата систематична грешка се намалява с Примери: Y Y Измерване на величината с различни методи и/или средства Намаляване на систематичната грешка от установяване на уреда на дадено ниво, чрез -кратно повторение на проедурата на уравновесяване преди всяко наблюдение измерванията. Обработка 5 измерванията. Обработка 5 9

10 симетричните наблюдения за изключване на променливите във времето систематични грешки Ефективен откриване и изключване на грешки, които са линейна функия на съответните аргументи амплитуда, напрежение, време, температура, заранване y u измервана величина y резултатите от измерването зависят от времето Наблюдения през равни интервали от време t Пример: y t, y t, y t, y t, y 5 t 5 Две двойки симетрични спрямо y : y y 5 / и y y / При линеен арактер на систематичната грешка y y 5 / y y / Тогава: y y u kt, където k е константа y y u kt и y y u kt Решението на системата дава освободената от систематична грешка стойност y u y t - y t / t -t Сумиране на грешките отделни съставляващи на грешката на резултата Ако те са независими: Законът на разпределение на е композиия на законите на съставляващите M M D M D Всяка от съставляващите и сумарната грешка може да съдържа систематична сист и случайна сл част сист сист M За граниите на случайните грешки: l l ± t ± t ± t измерванията. Обработка 55 измерванията. Обработка 58 периодичните наблюдения за изключване на променливите във времето систематични грешки За изключване на периодичните систематични грешки Измерването се извършва чрез две наблюдения през интервал равен на половината от периодите на моментите, когато систематичната грешка има противоположни знаи, но равни стойности При осредняване на резултатите се изключва систематичната грешка, изменяща се по периодичен закон Сумиране на грешките Когато СКО на случайните грешки е неизвестно, а са известни само граниите l l ± t сист t ± t l t зависи от доверителната вероятност и вида на сумарното разпределение на грешката Видът на разпределението на грешката зависи от броя на съставляващите и тените закони на разпределения сист ± t t l измерванията. Обработка 56 измерванията. Обработка 59 Оеняване на неизключените систематични грешки Неизключените съставки се разглеждат като случайни величини с равномерен закон на разпределение и доверителни грании ±θ θ k θ Може да се предположи нормално разпределение на част от неизключените съставки θ k θ θ брой съставляващи на неизключената систематична грешка k зависи от етата доверителна вероятност и отношението между съставляващите θ lθ /θ Сумиране на грешките Грании на грешката l и коефииент на доверителната вероятност t за сума от съставляващи измерванията. Обработка 57 измерванията. Обработка 6

11 Сумиране на грешките При, независимо от вида на законите на разпределение, съгл. ЦГТ, композиията се счита за близка до нормалния закон, т.е. t t н Композиията на нормални закони за произволен брой е нормален закон При неизвестен закон на разпределение на, се ема, че разпределението на грешката в доверителния интервал ± l е равномерно равновероятно измерванията. Обработка 6 Сумиране на грешките При сумиране на равномерни разпределения с равни съизмерими грании:, разпределението е триъгълно, разпределението е параболично При сумиране на равномерни разпределения с различни несъизмерими грании l : брой съставляващи на равномерно разпределената случайна грешка k зависи от етата доверителна вероятност и отношението между съставляващите l l ± k Проедира се аналогично както неотчетените систематични грешки l l / l l измерванията. Обработка 6 ЛИТЕРАТУРА Електрически измервания под общата редакия на проф. Борис Матраков, София, ИПК ТУ, 999 Метрология и измервателна теника, том - под общата редакия на проф. Христо Радев, София, Софтрейд, Електрически измервания под общата редакия на проф. Ал. Балтаджиев, София, ДИ Теника, 977 Метрология, Пенчо Д. Чаушев, София, ТУ 997 Основи на метрологичното осигуряване, Н. Колев, П. Чаушев, В. Гавраилов, ДИ Теника, София 98 измерванията. Обработка 6