ЛЕКЦИЯ 1

Препис

1 ЛЕКЦИЯ 1 ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ. ПОЛЯРИЗАЦИЯ. УРАВНЕНИЯ НА МАКСУЕЛ И ВЪЛНОВО УРАВНЕНИЕ. ВЪЛНОВА И ГЕОМЕТРИЧНА ОПТИКА. В началото на тази лекция възниква нелекият проблем максимално прецизно, доколкото това е възможно, да дефинираме съдържанието на понятия, които физическата интуиция е възприела като всеобщо известни [1,]. Най-общо с понятието вълна се обозначава изменение в съвкупност от величини (полета), което се разпространява, отдалечавайки се от областта на възникването си, или остава локализирано в ограничена област на пространството. За всички процеси, които физическата интуиция отнася към вълните, практически не могат да бъдат намерени общи признаци, но при известно конкретизиране такива съществуват. Асоциацията на вълна с колебателното движение на водна повърхност, разпространяващо се на забележимо голямо разстояние чрез въртеливо движение на водните частици, води до важен извод. Вълните пренасят енергия, импулс и други характеристики посредством последователното им предаване от една частица на друга, без непременно да се пренася вещество. Такъв е случаят и при еластичните вълни в газове, течности и твърди тела. Съпровождащият общ пренос на вещество (напр. в турбулентна атмосфера) сам по себе си не предопределя възможността за разпространение на вълни в средата, но може да промени някои нейни характеристики. В този смисъл ролята на евентуалния дрейфов пренос на вещество е второстепенен. Формирането на вълна не изисква непременно наличието на частици от някакво вещество. Гравитационните вълни, най-общо казано, се свеждат до изменения на геометрията на пространството и времето. Електромагнитните вълни във вакуум са взаимносвързани изменения на електричното и магнитното поле. Дори общоприетото подразделяне на обектите на вълни и частици не е строго. Вълните на Луи дьо Бройл (L. deboglie) се свързват с произволна микрочастица (фотон, електрон, протон, атом и др.) и отразяват квантовата им природа. Ако частицата е с енергия и импулс с абсолютна стойност p, свързаните с нея вълна е с честота Å / h и с дължина B h / p, където h е константата на Планк (Plank). Необходимостта от теория, в която вълновите и корпускулярните свойства да влизат като взаимно допълващи се, е довела до създаването на квантовата механика. В нея концепцията на дьо Бройл се отразява дори и във възприемането (M. Bon, 196) на термина вълнова функция величина, квадратът от модула на която определя вероятността частицата да е в различни точки на пространството в различни моменти от времето.

2 Корпускулярно-вълнов дуализъм се среща и в макроскопични мащаби. Локализирани вълни в определени условия проявяват свойствата на дискретни обекти (квазичастици). Те са в състояние да запазят без промяна структурата си и своята идентичност след взаимодействие една с друга. Такива са, например, оптичните солитони. Оптичният диапазон обхваща областта от дължини на вълните между рентгеновата и микровълновата област. Оптичното лъчение представлява електромагнитна вълна и, в този смисъл, оптиката се явява част от електродинамиката. Обособяването на оптичния диапазон е условно и до голяма степен се дължи на сходството в методите и апаратурата за изследване на явленията. Терминът оптика произхожда от гръцката дума opos т.е. видим. В тесен смисъл светлината обхваща дължините на вълните между 4 nm и 76 nm (т.е. интервала от честоти между z и z), към който човешкото око е чувствително. В по-широкия смисъл възприет в този курс лекции, светлината ще схващане като синоним на електромагнитна вълна от инфрачервената, видимата и ултравиолетовата част на спектъра. ПРИМЕР 1.1: Константата на Планк има стойност h J. s. За частици, движещи се с нерелативистка скорост, дължината на вълната на дьо Бройл е B h / ( mv). На частица с маса m 1 g, движеща се със скорост V 1m/ s, B 1 19 nm и е извън областта, достъпна понастоящем за наблюдение. По тази причина в механиката на макроскопичните тела вълновите им свойства играят пренебрежима роля. За електрон с енергия от 1 4 ev (1eV е енергията, която получава електрон с маса m 1V ; 1eV J), B nm å kg при преминаването си през потенциал с разлика от 1. Следователно вълновите свойства на електрони, движещи се със скорост от порядъка на m / s трябва да са забележими в меката рентгенова област на спектъра. През 197 година Джермер (Geme) и Дейвисън (Davisson) експериментално потвърждават, че електрони с енергия ( 1 15) ev дифрактират от кристал на Ni точно по същия начин, както би следвало да дифрактира вълна с дължина B 1. nm. Опростената работна дефиниция, която ще използуваме по-нататък, определя оптичната вълна като изменение на състоянието на средата, разпространяващо се в тази среда и пренасящо енергия, но не и вещество. Веднага възниква въпросът как е ориентирано направлението на промянатана състоянието на средата спрямо посоката и на разпространение. При надлъжните вълни пертурбацията възниква в направление на разпространението на вълната. Интуитивно близък пример за такава вълна е звуковата вълна, при която съществуват локални промени на положението на частиците (Фиг. 1а).

3 a Отместване на частиците Направление на разпространение b Фиг. 1 Отместване на частиците Вълна в струна се разпространява в направление, перпендикулярно на направлението на осцилациите на всяка точка от струната. Когато направлението на пертурбацията и направлението на разпространение на предизвиканата от нея вълна са перпендикулярни, вълната се класифицира като напречна (Фиг. 1b). Както малко по-късно ще бъде показано, електромагнитните ( и в частност оптичните) вълни в свободно пространство са напречни. В анизотропни среди картината е малко поразлична. Общите характеристики на хармоничните вълни са следните: Характеристика Дефиниция Забележка Дължина Разстоянието между два максимума или два минимума на пертурбацията Период Време за един пълен цикъл на колебанието Ò Честота Брой на периодите за единица време 1 / T В система SI се измерва в метри (m). В система SI се измерва в секунди (s). В система SI се измерва в s 1 (=z). Кръговата честота.

4 Вълново число ê Амплитуда À Скорост на разпространение c Вълновото число е абсолютната k / стойност на вълновия вектор, насочен по направление на разпространение на вълната. Максималното отклонение В система SI се измерва във V / m. от равновесното положение на величината на пертурбацията c / T Вярно за хармонични трептения с каквато и да е природа. Най-общо хармоничната вълна може да се запише във вида A A T ( ) sin A sin k c, /1.1/ който отразява и закъснението / c на вълната в точка на разстояние от точката на възбуждане на вълната. Величината ( Ò ) ( ) се нарича фаза на вълната. Повърхнината, върху която лежат всички точки, които в даден момент имат една и съща фаза, се нарича фазов фронт. Видът му зависи от условията на възникване на вълната и може да бъде плосък, сферичен, цилиндричен и т.н. Интуитивно ясно, но от съществено значение е локализирането на вълната в пространството и времето. В зависимост от това, дали пертурбацията, предизвикала вълната, е кратка и непериодична (Фиг. а), дали резултат от последователност от повтарящи се само за определено време пертурбации (Фиг. b) или повторението им е безкрайно (Фиг. с), вълните се обозначават като импулс, вълнов пакет или безкрайна периодична вълна. a b c (Под безкрайна следва да се разбира, че хармоничното колебание протича в много по-дълъг интервал от време от този, в който протича интересуващия ни процес). С прекъсната линия на Фиг. е обозначена обвивката на амплитудата ограничената във времето вълна. Тук е мястото да се отбележи, че колкото продължителността на един импулс е по-малка, толкова по-широк е неговият спектър. В общия случай обратното твърдение не е вярно. За описание на еволюцията на къси светлинни импулси квазимонохроматичното приближение c не е изпълнено ( c - централна дължина на вълната за спектъра) и високите порядъци на дисперсията на груповата скорост започват да играят съществена роля. Като добър пример за силно локализирана вълна в пространството могат да послужат лазерните снопове. Още в края на тази лекция ще се опитаме да

5 дадем отговор на въпроса кои процеси противодействуват на това пространствено локализиране и причиняват разширяване на сноповете. ПРИМЕР 1.: Какъв е броят на периодите на електромагнитната вълна под обвивката на импулс с продължителност T 1 fs (1fs 1 15 s)? Нека приемем, че импулсите са трансформационно-ограничени, т.е че амплитудата на електромагнитната вълна е еднозначно свързана с Фурие-трансформацията на спектралното разпределение на амплитудата. Нека поведението на интензитета на този импулс се описва с Гаусова функция с пълна ширина на полувисочина T, т.е. A ( ) exp 4ln / T. Показано е, че когато в лазерен източник са изпълнени условията за синхронизация на модовете, ширината на честотната лента спектралното разпределение на интензитета е свързана с T посредством зависимостта T В по-общия случай на други форми на импулсите T, където е коефициент със стойност от порядъка на 1. Нека c 6 nm. Тогава 1 ( / c) ( / c) T 13nm. Тогава /. на c 7 и очевидно квазимонохроматичното приближение не е валидно. Броят на периодите на оптичната вълна в рамките на този импулс е N Т / Т Т /( / c ) 4! Примерът е заимстван от превъзходната книга на Звелто (Svelo) [3]. Поляризацията на вълните се изразява в нарушаване на симетрията в разпределението на пертурбацията по отношение на направлението на разпространение на предизвиканата вълна. y a z=c x

6 y z=c x От тази дефиниция веднага става ясно, че надлъжните вълни не могат да бъдат поляризирани, защото при тях посоката на разпространение съвпада с направлението на пертурбацията. Ако по дължината на разпространение на вълната напречните трептения на пертурбацията остават само в едно направление, вълната е линейно поляризирана (Фиг. 3а). Ако векторът на амплитудата на електричното поле описва в равнината на трептенията елипса или окръжност, вълната е съответно елиптично или кръгово поляризирана (Фиг. 3b). При всеки отделен акт на излъчване светлината, излъчена от произволен елементарен излъчвател (атом, молекула), е поляризирана. Тъй като макроскопичните източници се състоят от огромен брой елементарни излъчватели, в общия случай моментите на излъчване и ориентацията на електричните вектори при излъчването са случайни. Така посоката на електричния вектор на полето във всеки момент е непредсказуемо, а лъчението се класифицира като неполяризирано. Ако фазовото съотношение между проекциите на върху две взаимно перпендикулярни оси се променя за време, много по-малко от времето, необходимо за измерване на състоянието на поляризацията, вълната се характеризира като частично поляризирана. Напълно поляризирана е вълната, чиито две напречни компоненти извършват трептения с постоянна във времето фазова разлика. Имайки предвид казаното, става ясно, че една монохроматична вълна е винаги поляризирана. Графично представяне Фазова разлика между ортогоналните компоненти x и y ( /6) ( /) (5 /6) ( ) (7 /6)

7 Първите резултати, отнасящи се до напречната анизотропия на светлината, са получени от Хюйгенс (uygens) през 169 г. при опити с исландски шпат. Понятието поляризация е въведено в оптиката от Нютон (Newon) около 174 г. До поляризиране на вълната води несиметрията във възбуждането. Поляризиране на светлината се получава при пречупването и отражението и на границата между две среди с различни оптични характеристики (виж следващата лекция). Светлината се поляризира и при преминаването си през анизотропни среди. Един от възможните механизми се основава на разликата между коефициентите на поглъщане за различните поляризации, в резултат на което едната се поглъща практически изцяло, а другата незначително. Такъв дихроизъм проявяват органични полимерни молекули, които са ориентирани пространствено еднородно. Анизотропията може да се дължи и на ефекта на двулъчепречупване, в основата на който е зависимостта на показателя на пречупване и, съответно, на фазовата скорост, от поляризацията. Поляризирана светлина се получава и при оптично възбуждане на резонансно лъчение в пари, течности и твърди тела. ЗАДАЧА 1.1 Какви трябва да бъдат елементите, обозначени с 1 и, за да се получи от светлинна вълна, съдържаща и двете поляризации, кръгово поляризирана вълна. 1 Отговор: 1- поляризатор, завъртян под ъгъл от 45 о ; - четвъртвълнова пластинка, създаваща фазова разлика от /. ЗАДАЧА 1. Дихроичният поляризатор селективно поглъща светлина с поляризация, съвпадаща с уникално за материала направление на поляризацията. Интуитивно това не е трудно да се разбере, като се има предвид как излъчва един елементарен дипол [4]. Да приемем, че материалът на поляризатора представлява подредена структура от проводящи метални нишки, разстоянието между които е много по-малко от дължината на вълната. Нека, за определеност, разсъжденията да се отнасят до микровълновия обхват ( ~(1-3 -1)m). Защо след проводящата решетка вълната е ефективно хоризонтално поляризирана?

8 Отговор: Електричното поле принуждава свободните електрони в решетката да извършват осцилиращо движение. Всеки така осцилиращ електрон е диполен източник който излъчва електромагнитна енергия във всички направления, с изключение на това, в което осцилира самият той. Това не обяснява генерирането, след решетката, само на вълна с една поляризация. Основната причина за изчезването на вертикалната поляризация във вълната, преизлъчена напред, е в деструктивната интерференция между падащата и генерираната вълна. Вторичната преизлъчена вълна с вертикална поляризация е отместена по фаза на спрямо падащата и интерференцията между тях е деструктивна. Хоризонтално поляризираната компонента на вълната, падаща върху вертикалната решетка, води до осцилации не електроните, които са значително ограничени в направление, напречно на нишките. Вследствие на това преизлъчената вторична вълна с хоризонтална поляризация е по-слаба и деструктивната интерференция не е пълна. В оптичния диапазон проводящите нишки следва да са много по-близко разположени. През 1938 година dwin Land открива за Polaoid, че когато фолио от поливинилов алкохол (polyvinil alcohol) се нагрее и разпъне, дългите полимерни молекули се ориентират по направление на разпъването. След това ориентираните молекули се дотират с йодни атоми, осигуряващи проводящи електрони. Така аналогията с решетката с метални нишки е пълна. УРАВНЕНИЯ НА МАКСУЕЛ Максуел (Maxwell) е извлякъл тези уравнения чрез обобщаване на експерименталните резултати и на теоретичните анализи на предшествениците си. Уравненията са постулирани като основни в електродинамиката. Съвременната им форма е дадена от Хевисайд и Херц (ez). През 1865 г. Максуел постулира възможността електромагнитните вълни да се разпространяват със скоростта на светлината. През 1887 г. на Херц се отдава да потвърди това експериментално. Така оптиката заема своето място в електродинамиката [5]. По същество уравненията на Максуел свързват величините, характеризиращи електромагнитното поле амплитуда на електричното поле; [ ]=V/m; - амплитуда на магнитното поле; [ D електрична индукция; [ B - магнитна индукция; [ ]=A/m; D ]=A.s/m =]=C/m ; B ]=V.s/m ; с източниците на това поле j плътност на електричния ток; [ j ]=A/m ; - плътност на електричните заряди; [ ]=C/m 3.

9 Те позволяват да се определят характеристиките на електромагнитното поле (,, D, B) във всяка точка на пространството и във всеки момент от времето, ако са известни източниците на това поле ( j и ) като функция на пространството и времето. Уравненията имат диференциална и интегрална форма, но в настоящия курс основно ще ползуваме диференциалното представяне. Уравнения Физическа интерпретация Графична интерпретация o( ) Променливата във времето магнитна индукция поражда вихрово електрично поле. B B o( ) D j Променящата се във времето електрична индукция и променливата плътност на тока пораждат вихрови магнитни полета. D j div( D) Свободни електрични заряди съществуват и те са източниците на електричните полета. + D div( B) Доколкото е известно, магнитни заряди не съществуват и магнитната индукция няма други източници, освен токове с плътност j. j X B B По принцип в електродинамиката полетата се измерват чрез силата, която упражняват върху електричен заряд e движещ се със скорост V F e ev B. /3/ Под влияние на външните електромагнитни полета в атомите и молекулите се индуцират електрични (съотв. магнитни) диполи. Индуцираният диполен момент, отнесен към единица обем, се нарича електрична (съответно магнитна) поляризация, като Електричната поляризация D P( ) /4a/ B J( ). /4b/ P се измерва в C/m, магнитната съответно във V.s/m, a и електричната и магнитната константа, наричани по-рано още диелектрична и магнитна проницаемост на вакуума ( C / ( V. m); 4. 1 V. s / ( A. m )). 7

10 Средите, в които електричната и магнитната индукция са линейни функции съответно на амплитудите на електричното и магнитното поле се наричат линейни среди, а в останалите случаи нелинейни. Необходимо условие за такава линейна зависимост е средата мигновено (без закъснение) да откликва на въздействието. Тогава където и L P ( ) ( ) L J ( ) ( ), /5a/, /5b/ се наричат съответно линейна електрична и магнитна възприемчивост. Те са тензорни величини от втори ранг, зависещи от поведението на полетата във времето. При мигновен отклик на средата възприемчивостите не зависят от времето. Ало полетата се менят бързо в сравнение с характерното време на отклик на средата, електричната и магнитната възприемчивости са честотнозависими величини. В електродинамиката към уравнения /5a-b/ се прибавя и едно трето уравнение, свързващо плътността на протичащия в средата ток с амплитудата на електричното поле По същество това е законът на Ом, а j, /5c/ ( в A/(V.m)) е подвижността на носителите. В общия случай зависещата от времето диполна поляризация не е локална във времето и пространството и има сложен аналитичен вид. Разделянето и на линейна и нелинейна компонента L NL P( ) P ( ) P ( ) /6/ е оправдано, когато откликът и на въздействието е мигновен. (Това условие се нарушава, например, при насищане на оптичните преходи в атоми.) Когато пространствената нелокалност е пренебрежима, а откликът мигновен, зависещата от времето електрична поляризация може да бъде разложена по степените на амплитудата на електричното поле, т.е. P NL ( ) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).... /7/ Тъй като амплитудата на електричното поле е векторна величина, нелинейната възприемчивост от n-ти ред ( n) е тензорна величина от (n+1)-ви ранг. Както ще бъде показано по-нататък в курса, при определени условия нелинейната поляризация може да се окаже решаваща за определени оптични взаимодействия. Разложението /7/ веднага поставя въпроса за сходимост, не който следва да се обърне внимание. Нека оценката на порядъка на величините да направим за среда с електронна нелинейност ( ) ( ) P ( ) ( ) P L ( ) ( ) стане съизмерима с вътрешноатомното поле a ( a e / ( a ) [6]. Може да се очаква, че нелинейната поляризация от втори ред съизмерима с линейната поляризация поле a 11 става когато амплитудата на електричното 4 ).Величината / ( me ) m e Боровият радиус на орбитата на електрона във водородния атом, а

11 m kg и e C са съответно масата и зарядът на електрона. Така амплитудата на вътрешноатомното поле се оценява на a V / m (т.е. a 1 7 esu. ). Би могло приблизително да се очаква, че при ~ a е в сила съотношението ( 3 ) ( ) ( ) ~ / ~ 1 / a a. В твърди тела и далеч от резонанси ( 1 ) ~ 4 (т.е. оценката показва, че ( ) 9 ~ 11.. m/ V (т.е. ( ) 8 ~ 51. esu) и ( 1 ) ~ 1esu) и ( 3 ) 3 ~ m / V (т.е. ( 3 ) 15 ~ 31. esu). В действителност нелинейните процеси стават забележими при полета, значително по-слаби от вътрешноатомното, при които разложението /7/ е с бърза сходимост. Коментар К1: Уравнения на Максуел и други основни зависимости в системи SI и CGS Уравнения /а-d/ са записани в международната система измерителни единици SI. Идеята за рационализация на уравненията принадлежи на Хевисайд. Той я е мотивирал с фундаменталния характер на системата уравнения, в която множители от типа на (4 ) могат да се избягнат чрез подходящ избор на измерителните единици за и. На практика изчезвайки в тези уравнения, коефициентите се появяват в други. В система SI, в уравн. /а-d/ не съществува и размерната величина скорост на светлината във вакуум. Основните измерителни единици в система SI са метър, килограм, секунда (като мащаби на основните величини от механиката) и ампер (мярка за независима, четвърта, чисто електродинамична величина), като и нейната производна кулон (ампер за секунда). Преимуществата на система SI са чисто инженерни и главно в областта на електротехниката, защото оценките на формулите се получават веднага в практически приложими измерителни единици. Строго научната система CGS, в която основна роля играят измерителните единици за дължина, маса и време (сантиметър, грам и секунда) е разработена на основата на законите на Нютон. Тя позволява електродинамичните величини да се въведат напълно последователно като производни на механичните. В система CGS уравненията на Максуел се записват във вида където o( ) o ( ) div( D) div( B) 1 B c 1 D 4 c c j /K!.1a/ /K1.1b/ 4 /K1.1c/, /K1.1d/ D, /K1.a/ B, /K1.b/

12 j, /K1.c/ а, и са величини, характеризиращи електромагнитните свойства на средата и наричани, съответно, диелектрична и магнитна проницаемост и електропроводимост на средата. Съотношението D P( ) от система SI в система CGS се трансформира в D 4 P( ). Обширен коментар по проблема може да бъде намерен в [7]. Уравнения /6/ и /7/ се записват във вида ( ) ( 3) P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).... /К1.3/ Основното, от физическа гледна точка, преимущество на системата CGS за физически пресмятания е в това, че всички полета (,, D, B, P) се измерват в едни и същи единици. Например 3 / P eg / cm 1. /K1.4a/ От уравн. /К1.3/ следва, че в система CGS e безразмерна величина, ( ) 3 1/ eg / cm /K1.4b/ ( 3) 3 1 eg / cm и т.н. /K1.4c/ В тази система размерностите на нелинейните възприемчивости не е прието да се дават, а се показва, че това са т.нар. електростатични единици (esu, elecosaic unis). За сравнение, при ( ) възприетия в система SI запис на уравн. /5a/, /6/ и /7/ е безразмерна величина, ( 3) m / V. Отново в система SI съществува и алтернативната дефиниция при което размерностите на ( ) ( 3) P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( i ) ( i ) се променят съответно в, /К1.5а/ m / V, а ( ) C / V ( 3) 3 C. m / V /К1.5b/ /K1.5c/ ВЪЛНОВО УРАВНЕНИЕ От уравненията на Максуел /а-d/ и материалните уравнения /4а-b/, /5a-b/ може да се изведе уравнение, описващо динамиката на векторните компоненти на електромагнитното поле. Прилагайки операцията ротация към уравнения /а-b/ и предполагайки, че средата е линейна, B 1 /7a/

13 D j 1 j. /7b/ Уместно е да се въведат обозначенията 1 1 където безразмерните материални константи и, /8a/, /8b/ са комплексни величини и се наричат съответно диелектрична и магнитна проницаемост и (Pemiiviaeszahl u. Pemeabiliaeszahl). Имайки предвид векторното тъждество A. A A, (алтернативно обозначавано още като o oa gad diva A заряди в средата ( =, т.е. divd D j. ) уравн. /7а-b/ се трансформират в, при отсъствие на обемни /9a/. /9b/ В хомогенна и изотропна среда (т.е при cons и cons ) D j където j, а е електропроводимостта на средата. (В система SI, /1a/ j A / m ; V / m и, следователно, A / ( V. m).) Ако разглежданата среда е и непроводяща (т.е. =), уравнението за еволюцията на комплексната амплитуда на електричното поле в средата добива вида. /1b/ По-нататък в курса ще бъдат ползувано и представянето на оператора на Лаплас (Laplace) в картезиански координати / x / y / z. ЗАДАЧА 3: Покажете, че при същите приближения вълновото уравнение, описващо еволюцията на амплитудата на магнитното поле, формално се получава от уравн. /1b/ при замяна на с., т.е.

14 . Уместно е да бъдат систематизираме по тип и стойности, и за различните видове среди [5]. Среда Свободно пространство 1 1 (вакуум) Хомогенна Независещи от пространствените координати Анизотропна Тензорни величини Изотропна Скаларни величини Непроводяща 1 1 Диелектрична 1 =1 Без загуби Реални величини Линейна Независещи от амплитудата на електромагнитните полета Нелинейна Зависещи от електромагнитните полета ЗАДАЧА 4: Докажете, че в нехомогенна проводяща среда, при = и имат вида [8] На необходимите места ползувайте векторните равенства A A A. A. A A. j =, вълновите уравнения j Разглеждайки електромагнитните вълни като монохроматични, посредством формалната замяна ei

15 можем да отделим амплитудите от бързите осцилации на носещата честота. Така се получава стационарното вълново уравнение за хомогенна, изотропна, непроводяща,. линейна среда, без свободни заряди. /11/ Пълното решение на вълновото уравнение /1b/ е плоска монохроматична вълна от вида където exp i k., /1/ k. cons дефинира равнината на постоянна фаза, е радиус-векторът на произволна точка от тази равнина, k е вектор с големина k 1/ и посока, съвпадаща с посоката на разпространение на равнината на постоянна фаза (т.е. с единичен вектор e k k / ), а е константно фазово отместване. Имайки предвид, че / ke. / стигаме до следния израз за скоростта на разпространение V ph на равнината на постоянна V k e, ph. /13a/ Така за големината на фазовата скорост получаваме съотношението което показва, че във вакуум ( V ph 1/, /13b/ 1; 1) светлината се разпространява със скорост c 1/ = m/s. В конкретна оптична среда ( 1; 1) тази скорост намалява n -пъти. Величината n пречупване, k - като вълново число, а Представянето на векторите 1/ c / Vph се обозначава като показател на и k ek - като вълнов вектор. направлението на разпространение на вълновия фронт (т.е. на като взаимно перпендикулярни и перпендикулярни на k ) не е случайно. То показва, че електромагнитните вълни са напречни и сравнително просто може да бъде показано за хомогенен незареден диелектрик който не внася загуби за електромагнитните вълни. Да се върнем към първите две уравнения на Максуел. o( ) където /виж уравн. /4a-b/ и /8a-b/) монохроматични вълни B D exp i k. ; ; o( ) и B D, /14/. Разглеждането на плоски i k exp. /15a/

16 с постоянни амплитуди ( cons cons ; ) дава формалното предимство резултатът от операцията диференциране по всяка пространствена координата x и по времето да се сведе до умножаване с комплексно число, а именно i ; Разписвайки покомпонентно, ex ey ez ex ey ez o( ) x y z i k x k y kz i k x y z x y z Аналогично, o( ) i k. Тогава уравн. /14/ се трансформират в k k x ik x. /15b/, /16a/.. /16b/ Резултатът показва, че векторите на електричното и магнитното полета са перпендикулярни на посоката на разпространение на вълновия фронт, задавана от k и, следователно, електромагнитните вълни са напречни. В изотропни среди и са скаларни величини и и са взаимно перпендикулярни и помежду си. В общия случай на анизотропни среди и са тензори и последното не е непременно вярно. Тук е мястото да се отбележи, че при направените разглеждания материалните константи бяха приети за честотнонезависими, което е вярно при честоти 1 14 z. В оптичния диапазон, в близост до резонанси на средите, и са комплексни величини, загубите престават да са пренебрежими и дисперсионните свойства на средите са от съществено значение. ВЪЛНОВА И ГЕОМЕТРИЧНА ОПТИКА След като бе показано мястото на вълновата оптика в системата на електродинамиката следва да си дадем сметка къде е условната граница на прехода между нея и геометричната оптика. В геометричната оптика основополагащи са концепцията на светлинните лъчи (линии, по направление на които се разпространява енергията) и няколко емпирични закона (за праволинейното разпространение на светлината в еднородна среда, законът за пречупване (Snellius и Descaes, 17в.)и отражение (Евклид, 3 г. преди Новата ера) на светлината на границата между две еднородни среди, и законът за независимото разпространение на светлинните лъчи). Геометричната оптика е пример за теория, в която на основата на малък брой основни понятия и закони са получени много голям брой практически важни резултати. Да припомним само, че през 17в. Геометричната оптика бързо се е развивала и във връзка с изобретчването на телескопа, микроскопа и други оптични прибори. Вълновата теория на светлината, разработена от Хюйгенс

17 (uygens) е ползувана за описване на редица вълнови явления. Както бе споменато, теоретичната основа на вълновата оптика в рамките на електродинамиката е изградена от Максуел. Зомерфелд (Sommefeld) и (Runge) са показали [9], че при определени приближения уравненията на геометричната оптика могат да бъдат изведени от вълновото уравнение, описващо разпространението на електромагнитните вълни. На основата на уравнението на ейконала ще покажем теоретично връзката и условната граница между класическата геометрична оптика и електромагнитната теория на светлината. Анализът ще започнем от стационарното вълново уравнение /11/, записано във вида k n, /17/ където k е вълновото число в свободно пространство (вакуум), а n е показателят на пречупване на средата. Нека вълната да е монохроматична и напречно поляризирана по направление на единичния, т.е. вектор e, с реална амплитуда a( ) a( )exp ik L( ) e Функцията L( ). /18/ е реална скаларна функция на пространствената координата и се обозначава като ейконал. След заместване на уравн. /18/ в /17/ се достига до резултата a ik a. L ak L kn a ika L. /19/ Тъй като ейконалът L( ) и амплитудата a( ) са реални функции, можем да отделим реалните от имагинерните членове в уравн. /19/ и достигаме до системата уравнения L n a k a /a/ a L a. L. /b/ Класическото уравнение на ейконала (Клаузиус, г.) в геометричната оптика L n /1/ е частен случай на уравн. /а/, ако е в сила съотношението То е изпълнено при a k a амплитуди на полетата a( ) дължини на вълните a a n., постоянни или бавно изменящи се в пространството;, много по-малки от характерния размер на нееднородностите. Запазването на втория член в уравн. /а/ дава възможност в математическото описание да се съхрани вълновия характер на светлината. От уравн. /18/ се вижда, че повърхнините с L( ) cons са повърхнини на константна фаза, т.е. дефинират фазовия фронт на вълната. Направлението на лъчите е нормално спрямо вълновия фронт

18 и се задава от L( ). От уравнението на Максуел /а/, имайки предвид дефиницията на вектора на електричното поле (уравн. /18/), векторът на амплитудата на магнитното поле следва да има вида 1 ik /. Плътността на потока на енергията P се дефинира чрез вектора на Пойнтинг (Poyning) P /a/ и има смисъла на плътност на мощността, измервана в система SI във W / m. Интензитетът на светлината I е модулът на вектора на Пойнтинг и се измерва в същите единици. Може да се покаже, че P n c I P /b/ a L, /3/ т.е. посоката на потока на енергията на вълната съвпада с тази на лъчевия вектор ЗАДАЧА 5: На основата на уравнение /3/ покажете, че в система SI P W / m. L( ). Анализът на уравнението на ейконала в общия му вид /а/ позволява да се изследва разпространението на светлинни импулси в дисперсивни среди [1] (като алтернатива на метода на Фурие-трансформацията) и на светлинни снопове в линейни и нелинейни среди [11]. С това то е съществено за постигането на целите на курса и позволява осмислянето на прехода между линейната и нелинейната оптика. ЛИТЕРАТУРА 1. А. М. Прохоров (гл. ред.), Физический энциклопедический словарь (Москва, Советская Энциклопедия, 1984).. А. М. Прохоров (гл. ред.), Физическая энциклопедия (Москва, Научное издательство Большая Российская Энциклопедия, ; ISBN ). 3. O. Zvelo, Pinciples of Lases, 4-h diion (Plenum Pess, New Yok, 1998; ISBN ). 4. F. L. Pedoi, S. J., L. S. Pedoi, Inoducion o Opics (Penice all Inc., 1987, ISBN ). 5. W. De Guye, Opik, Begmann-Dschaefe Lehbuch de xpeimenalphysik, Band 3 (Belin, N.Y., 1993) 6. R. W. Boyd, Nonlinea Opics, (Academic Pess Inc., 1991; ISBN 11168) 7. Д. И. Сивухин, Общий курс физики, т. 3 Оптика (Москва, Наука, 198). 8. M. Banoski, Inoducion o Inegaed Opics (Plenum Pess, 1974). 9. A. Sommefeld, J. Runge, Ann. Phys. (Leipzig). 35, (1911). 1. B. C. Quek, B. R. Wong., K. S. Low, J. Op. Soc. Am. B15, 7-74 (1998). 11. S. C. Yap, B. C. Quek, K. S. Low, J. Op. Soc. Am. B15, (1998).