КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ по математика за 8. клас

Препис

1 Емил Колев Стелиана Кокинова Иван Георгиев КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ по математика за 8. клас БУЛВЕСТ ООО

2 Книга за учителя по математика за 8. клас Автори Емил Миланов Колев, 07 Стелиана Миткова Кокинова, 07 Иван Георгиев Георгиев, 07 Графичен дизайн Николай Йорданов Пекарев, 07 Издателство БУЛВЕСТ ООО, 07 ISN

3 Настоящата книга за учителя е разработена с цел да подпомогне преподавателите по математика в съответствие с учебната програма за 8. клас. Обучението по математика в 8. клас е насочено към овладяване на базисни, умения и отношения, свързани с постигане на изискванията за резултатите от обучението по учебния предмет математика и с изграждане на ключови компетентности на ученика. Според учебната програма за 8. клас, областите на компетентности са: Числа. Алгебра Сравнява реални числа и извършва операциите събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване; Пресмята числови изрази в множеството на реалните числа; Извършва тъждествени преобразувания на рационални и ирационални изрази (съдържащи квадратни корени); Умее да решава квадратни уравнения по формулата за намиране на корените им; Умее да прилага формулите за връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение; Умее да решава дробни уравнения, свеждащи се до линейни и квадратни. Фигури и тела Знае основните равнинни геометрични фигури: триъгълник, четириъгълник, правилен многоъгълник и окръжност; Знае основните забележителни точки в триъгълник и може да прилага техните свойства; Знае взаимното положение на прави и окръжности и може да прилага техните свойства; Определя по вид и намира ъгли, свързани с окръжност, познава вписани и описани многоъгълници. Функции. Измерване Знае еднаквостите в равнината (осева симетрия, ротация, централна симетрия и транслация) и техните свойства; Намира образ на точка, отсечка, окръжност и познати геометрични фигури при еднаквост; Дели отсечка в дадено отношение в конкретни ситуации. Основни акценти в учебника по математика и работата на учителя с него Учебникът е структуриран по теми и уроци. Изложението на учебното съдържание следва последователността в разпределението на темите в учебната програма. Обемът на една урочна единица е съответен на продължителността на един учебен час. Разработени са 06 урока в теми:. Начален преговор;. Основни комбинаторни понятия;. Вектори; 4. Триъгълник и трапец; 5. Квадратен корен; 6. Квадратни уравнения; 7. Окръжност; 8. Рационални дроби; 9. Вписани и описани многоъгълници; 0. Еднаквости в равнината;. Годишен преговор. Урочните единици във всяка тема следват логическата последователност за въвеждане на новите понятия, дефиниции и и за изграждане на необходимите компетентности. За лесно усвояване на новите използваната структура на урочните единици са идентични. Основен стремеж при разработване на всеки урок е лесното възприемане и запомняне на дефинициите, новите понятия и правилата за решаване. Решенията на задачите от урока са подробни, като целта е да се илюстрират основните правила и методи за решаване, както и модел за записване на решението. В уроците за упражнение се припомнят основните факти и правила и приложениято им за решаване на съответните типове задачи.

4 . СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ВЕКТОРИ. СВОЙСТВА Вид на урока: За нови Цел: Въвеждане и усвояване на действията сбор и разлика на вектори.. СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ВЕКТОРИ. СВОЙСТВА Първо може да се обърне внимание на това, че броят на различните точки е равен на броят на двуцифрените числа, записани с различни цифри. y R L Q P N x На три картончета са написани числата, и и са сложени в шапка. От шапката се изваждат две картончета едно след друго и така се образуват координатите на точка, като първото картонче е за абсцисата, а второто за ординатата. а) Ако след всяко изваждане картончетата се връщат в шапката, след като точката е отбелязана в правоъгълна координатна система, то колко различни точки най-много може да построим? Напишете координатите им. б) Най-късно след кое изваждане на картончета ще започнем да повтаряме някоя от отбелязаните точки? Да се обърне внимание на това, че за да са равни два вектора те трябва да са еднопосочни и да имат равни дължини. ЩЕ НАУЧИТЕ Как се събират и изваждат вектори Решение: а) Начините, по които от числата, и можем да образуваме наредена двойка от различни числа, са 6 и те са Q (;), R (;), (;), L (;), N (;) и P (;). б) Най-късно след шестото изваждане. В координатна система са построени точките А(;), В(;0) и С(0;). Колко вектора с начало и край от точките от задача ще са: а) равни с ; б) противопосочни с O ; в) еднопосочни с ; г) равни на O? Решение: а) Равни на са векторите PN и RQ. б) Противопосочни с O са векторите NP, L и QR. в) Рднопосочни с са векторите N, QP и RL. г) Равни на O са векторите QL и P. Преместването от О до А, като минем през В, бихме могли да разглеждаме като резултат от сбора от преместванията O и т.е. O = O +. Да се обърне внимание на факта, че за произволен вектор b и произволна точка X съществува единствена точка Y, за която XY = b. Това свойство помага да събираме вектори, зададени по произволен начин, като пренесем втория вектор така, че началото му да съвпадне с края на първия вектор. a a a + b a + b b b СБОР НА ДВА ВЕКТОРА Сборът на два вектора a и b, при които краят на първия вектор е начало на втория вектор, е вектор с начало началото на първия и край краят на втория вектор. Описаното в определението правило за сбор на два вектора се нарича правило на триъгълника. 4

5 . СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ВЕКТОРИ. СВОЙСТВА b+ a b O a a a + b b. Като използвате чертежа от задача, намерете: N NP ; L LP ; Q QP.. Вярно ли е, че ако: а) a b, то ( a+ b) a ; б) a b, то ( a b) b?. На чертежа са построени вектори abc,,, d, e, f, g и h. В дясната страна на всяко от равенствата е записан вектор, който е резултат от действията в лявата страна на тези равенства. Проверете верността на равенствата. ) b+ f = h ) e + h= g ) f + h= o 4) e f = g Когато търсим сбора на два вектора O и O с общо начало, постъпваме по следния начин: Построяваме успоредник O и заместваме вектора O с равния му вектор. Тогава O + O = O + = O. Това правило се нарича правило на успоредника. b a b РАЗЛИКА НА ВЕКТОРИ a Разликата a b на два вектора a и b O се нарича векторът a+ ( b ). O O = Ако двата вектора са с общо начало, тяхната разлика намираме по следния начин: O O = O + ( O)= O + O = O + O = Когато изваждаме вектори с общо начало, разликата се намира по следното правило: b O O = O a b. a b b За произволни вектори a, b и c са изпълнени равенствата: O O = O = a+ b= b+ a a+ ( b+ c)= ( a+ b)+ c a+ o= a a+ ( a)= o. ЗАДАЧИ 5) b h= h 6) d c= b 7) a+ c + d = o 8) e+ b h= g 9) d c + f = h 0) a+ b + c+ d+ f = h g f a h e d c b Да се коментира, че b е противоположния вектор на b, т.е. вектор със същата големина, но с противоположна посока. На практика намирането на разлика на два вектора се свежда до намиране на сбор на два вектора. Намирането на разлика на два вектора с общо начало се определя лесно по даденото правило. Възможност за работа по групи за всеки един от примерите и обсъждане на начина за решаването им. Възможност за диференцирана и индивидуална работа с част от примерите. Обсъждане на задачата. Възможност за оценяване. 5

6 86. ОПИСАНА И ВПИСАНА ОКРЪЖНОСТ. УПРАЖНЕНИЕ Вид на урока: Цел: Да се упражнят необходимите и достатъчни условия за вписани и описани триъгълници. Означенията за страните a, b и c, ъглите α, β, γ и центровете на описаната окръжност O и на вписаната окръжност I са стандартни означения и е препоръчително да не се използват за други означения. ЩЕ УПРАЖНИТЕ Свойствата на описаната и вписаната окръжност 86. ОПИСАНА И ВПИСАНА ОКРЪЖНОСТ. УПРАЖНЕНИЕ Ще използваме стандартните означения за елементите на триъгълник. страни = c, = a и = b ъгли = α, = β, = γ център на описаната окръжност O Точка O е пресечна точка на симетралите на триъгълника. център на вписаната окръжност I Точка I е пресечна точка на ъглополовящите на триъгълника. γ O I Големината на I = 90 + γ зависи само от ъгъла γ при върха. γ I α β Да се докаже, че I = 90 + γ. Решение: Тъй като I е ъглополовяща на и I е ъглополовяща на, то: I = α и I = β. Големината на O = α зависи само от ъгъла α при върха. α O β Тогава I + I = ( + )= ( )= α β γ γ. От триъгълник I получаваме: I = 80 ( I + I )= = 90 + γ γ Да се намерят ъглите αβ, и γ, ако O = 40 и O = 0. Решение: Тъй като O = γ, то γ= 70. Аналогично от O = α следва, че α= 60. За ъгъл β пресмятаме: β= 80 ( α+ β)= 80 ( )=

7 86. ОПИСАНА И ВПИСАНА ОКРЪЖНОСТ. УПРАЖНЕНИЕ Ако I= O, да се намери ъгъл γ. Решение: От задача знаем, че I = 90 + γ. Освен това O= = γ, откъдето получаваме: 90 + γ = γ. Решението на това уравнение е γ= 60. За правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза c е изпълнено равенството a + b = c, което се нарича Питагорова теорема. Да се намери радиусът на описаната окръжност на триъгълник, за който = = cm и = 0 cm. Някои питагорови тройки: (,4,5), (5,,), (8,5,7), (7,4,5). R cm Решение: Нека е средата на. От Питагоровата теорема за триъгълник получаваме: cm R O 0 cm = = 44, т.е. = cm. Ако описаната окръжност има център O и радиус R, то имаме, че O = R = R. От Питагоровата теорема за триъгълник O получаваме: R = 5 + ( R), откъдето R = 69 4 cm. Височината в равнобедрен триъгълник може да се намери, като се използва питагоровата теорема. ЗАДАЧИ. Ако I = 0, то ъгъл γ е равен на: А) 0 Б) 40 В) 50 Г) 60. Ако O = 90, то ъгъл α е равен на: А) 0 Б) 45 В) 50 Г) 75. Правоъгълен триъгълник има страни 7 cm, 4 cm и 5 cm. Да се намерят радиусът на описаната окръжност R и радиусът на вписаната окръжност r. 4. Да се намерят ъглите α, β и γ, ако I = 0 и I = Даден е триъгълник със страни a = m, b = 4 m и c = 7 m. Вписаната окръжност се допира до страните, и съответно в точките, и. Да се намерят дължините на отсечките,,,, и. 6.* Да се докаже, че ако точките I и O съвпадат, то триъгълникът е равностранен. 7. Точка е среда на дъгата, която не съдържа точката, от описаната окръжност на триъгълник. Да се докаже, че = = I, където I е центърът на вписаната окръжност в триъгълник. Обсъждане на задачата. Възможност за демонстрация с електроните ресурси. Подходящи са за индивидуална домашна работа. 87 Обсъждане на задачата подходяща е за домашна работа. Възможност за устно изпитване. Самостоятелна работа на базата на задача. от урока. Възможност за оценяване. Подходяща е за домашна работа. Обсъждане на задачата и самостоятелна работа. Подходяща е за домашна работа или за оценяване. 7

8 68. ОКРЪЖНОСТ. ОБОБЩЕНИЕ Вид на урока: Обобщение Цел: Да се обобщят основните свойства на хорди в окръжност и видовете ъгли в окръжност. Двете допирателни от точка към окръжност са равни. Медианата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата. Следователно центърът на описаната окръжност за правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата. Вписани ъгли, които се измерват с една и съща дъга са равни. q Q O ЩЕ СИ ПРИПОМНИТЕ Свойствата на хорда в окръжност Свойствата на видовете ъгли в окръжност O R S P D O s p 68. ОКРЪЖНОСТ. ОБОБЩЕНИЕ Във вътрешността на poq = 90 е построен произволен лъч Os. Окръжностите (O ) и (O ) се допират съответно до раменете на pos и qos, като P и S са допирните точки на с Op и Os, а Q и R са допирните точки на с Oq и Os. Да се намери: а) градусната мярка на O OO ; б) дължината на отсечката RS, ако OP = 6 cm и OQ = 4 cm. Решение: a) От свойството на допирателните от външна точка за окръжност следва, че OO и OO са ъглополовящи съответно на pos и qos. Тогава O OO = pos + qos = poq =.90 = 45. б) От ОP = OS и ОR = OQ (допирателни отсечки към и ) следва, че RS = OS OR = OP OQ = 6 4 = cm. Отсечката АВ е хипотенуза на правоъгълните триъгълници А и D, като върховете С и D лежат в различни полуравнини относно правата АВ. Да се докаже, че = D и D = D. Решение: От В = D = 90 следва, че точките А, В, С и D лежат на окръжност с диаметър АВ. Тогава = D = и D = D = D като вписани ъгли в. Диаметърът, перпендикулярен на хорда, разполовява съответните на тази хорда дъги. Периферен ъгъл се измерва с половината на съответната му дъга. P O В окръжност (О) мерките на съответните дъги на хорда АВ се отнасят както :. Допирателните на през точките А и В се пресичат в точка М. Правата МО пресича в точка Р, като Р е между М и О. Да се докаже, че: а) АМВ е равностранен; б) правата АР е симетрала на отсечката МВ. Решение: а) От P : =: и P + = 60 следва, че P = 0, = 40 и АМВ = ( P ) = (40 0 ) = 60. От МА = МВ и АМВ = 60 следва, че АМВ е равностранен. б) Тъй като O е ъглополовяща на АМВ, то МО АВ и P = P. Тогава МАР = P, ВАР = P, МАР = ВАР и P е ъглополовяща на ВАМ. Но в равностранния АМВ ъглополовящата е и височина и медиана. Следователно правата АР е симетрала на отсечката МВ. 50 8

9 68. ОКРЪЖНОСТ. ОБОБЩЕНИЕ t R O N T O R Дадени са две външно допирателни окръжности (O ; R ) и (O ; R ) (R > R ) с обща външна допирателна t. Общата им вътрешна допирателна пресича t в точка М, а N е средата на О О. Дa се докаже, че: а) МN = (R + R ); б) окръжността с диаметър О О се допира до t в точка М. Решение: а) Означаваме с Т общата точка на и, а с А и А допирните точки на t с двете окръжности. От T = А и T = А следва, че А = А. В трапеца А O O А отсечката N е средна основа, N А O и Разстоянието между центровете на външно допирателни окръжности е равно на сбора от двата радиуса. Триъгълниците T и O O са правоъгълни. L β α β α α T N МN = (А O + А O ) = (R + R ). б) От N А O и А O t следва, че N t. Окръжността N; R = R + R се допира до t в точка М, тъй като N t и N = R = OO. * Дадени са две вътрешно допирателни окръжности с обща точка Т. През произволна точка L на малката окръжност е построена допирателна, която пресича голямата окръжност в точки А и В. Да се докаже, че TL е ъглополовяща на T. Решение: Нека и са две вътрешно допирателни окръжности, TN е общата им допирателна, а ТВ пресича в точка М. От T = T и NT = T следва, че T= NT =α. Аналогично от TL = T и NT = T следва, че TL =α. Когато е построена обща външна допирателна в точката на допиране на две окръжности, съответният периферен ъгъл (в случая NT ) може да се изрази чрез дъги и от двете окръжности. LT LT От друга страна, LT =, LT = и LT = LT =β. Триъгълниците LT и LT имат по два равни ъгъла α и β. Тогава и третите им ъгли са равни TL = LT. Следователно TL е ъглополовяща на T.. В четириъгълника D В = D = 90. Докажете, че D = D и D = D.. През точка М от окръжност с диаметър АВ е построена хорда МN, перпендикулярна на АВ, и допирателна t на. Докажете, че: а) разстоянията от точката А до правите t и N са равни; ЗАДАЧИ б) разстоянията от точката В до правите t и N са равни.. Правата t е обща външна допирателна на окръжностите (O ; R = 6) и (O ; R = ), а О O = 8. Общата вътрешна допирателна на и пресича t в точка М, а N е средата на О O. Намерете дължината на отсечката N. Сравнете със задача 4 от урока. Подходяща е за домашна работа. 5 Самостоятелна работа на базата на задача. от урока. Възможност за оценяване. Възможност за работа по групи за всяко едно от подусловията и обсъждане на начина за решаването им. Използвайте равенство на ъгли с перпендикулярни рамене и равенство на вписан и периферен ъгъл. 9

10

11 ВАРИАНТИ ЗА ДИАГНОСТИКА НА РЕЗУЛТАТИ ОТ ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В 8. КЛАС

12 . НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР АЛГЕБРА. Ако 0% от дължината на дадена отсечка са 78 cm, то 0% от отсечката са равни на: А) 9,5 cm Б) 5 cm В) 8,08 cm Г), cm. Ако n е естествено число, едночленът 6nx y е подобен на: ( ) Б) y( xy) В) А) nxy x ( ny) ( ) Г) 6xy 6. Ако m 0 е параметър, определете степента на многочлена mxy 4xy+ m xy m. А) Б) 4 В) 5 Г) 6 4. Колко на брой от дадените равенства са тъждества? ( x+ y) = x + xy+ 4y ; ( x y) ( x + xy+ y )= x y ; ( x+ y) = x + y + xy ( x+ y). А) 0 Б) В) Г) 5. Числото x = НЕ е корен на уравнението: ( ) = Б) x x x 0 А) x x 0 4 ( ) = В) x 6x 0 ( )( ) Г) ( x + ) 8= 0 ( )= 6. В кой от посочените случаи са изобразени графично решенията на неравенството x x? n ( ) > ) x Б) x В) x Г) x 7. Многочленът ( x ) ( 4x 6) ( x )+ x ( ) е тъждествено равен на: А) ( x ) Б) x В) ( x + ) Г) никое от посочените 8. Сумата на естествените числа, които са решения на неравенството x+ 7 < x 5 6, са: А) 0 Б) 9 В) 6 Г) никое от посочените

13 . НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР ГЕОМЕТРИЯ. Еднакви ли са два правоъгълни триъгълника, ако катет и остър ъгъл на единия триъгълник са равни на катет и остър ъгъл на другия триъгълник? А) еднакви са по I признак Б) еднакви са по II признак В) еднакви са по признака за правоъгълни триъгълници (IV признак) Г) не може да се твърди, че са еднакви. В правоъгълна координатна система хоу са y дадени точките (;), (5;), (;5), ( 5;) и 5 N( ;). Триъгълникът с върхове точките М, N и 4 P е еднакъв на, ако точката Р е с координати: N А) ( ; 5) Б) ( 5 ; ) В) ( 6 ; ) Г) ( 5; ) O 4 5 x. На чертежа правите a и b са успоредни. Как ще се изменят стойностите на ъгъл α, ако β ( 0 ; 50 )? β 600 А) α ( 0 ; 0 ) Б) α ( 0 ; 40 ) В) α ( 0 ; 50 ) Г) α ( 0 ; 50 ) α a 4. Кои от твърденията (), ( ) и ( ) са неверни? () Ъглополовящите на вътрешен и външен ъгъл при връх на триъгълник са перпендикулярни. ( ) Ъглополовящите на два вътрешни ъгъла на триъгълник са перпендикулярни. ( ) Ъглополовящите на два външни ъгъла на триъгълник са перпендикулярни. А) само () и ( ) Б) само () и ( ) В) само ( ) и ( ) Г) и трите твърдения са неверни 5. Отсечките L и са ъглополовящи на вътрешния и на външния ъгъл при върха С на. Ако L = и = 00, то градусната мярка на е равна на: L А) 0 Б) 5 В) 0 Г) 0 6. Височината към бедро на равнобедрен триъгълник е два пъти по-малка от бедрото. Коя от посочените стойности не може да бъде мярка на ъгъл в триъгълника? А) 5 Б) 45 В) 75 Г) 50 ( ) 7. В = 90, D D е височина и = D. Посочете невярното твърдение. А) = D Б) = 4 D В) = D Г) = 8. В = 90, = 0 и H. Колко на брой от твърденията: = H; H = H; H = не са верни? А) 0 Б) В) Г) 000 b

14 . ОСНОВНИ КОМБИНАТОРНИ ПОНЯТИЯ Вариант I част 4. Стойността на израза P4 + V5 + 6 е: А) 99 Б) 4 В) 79 Г) 00. Тест се състои от 5 въпроса с избираем отговор, като на всеки въпрос има 4 възможни отговора. По колко различни начина може да се попълни теста? А) 500 Б) 000 В) 04 Г) 65. Колко са петцифрените числа, записани с различни четни цифри? А) 64 Б) 96 В) 0 Г) 5 4. В отбор по футбол от човека трябва да се изберат капитан и помощник капитан. По колко различни начина може да стане това? А) 55 Б) 0 В) Г) 5. От град до град може да се стигне с автомобил или самолет, а от град до град може да се стигне с влак, автомобил или кораб. По колко различни начина може да стигне от до като се мине през? А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 0 II част 6. В клас от момичета и 4 момчета трябва да се избере комисия от три момичета и едно момче. По колко различни начина може да стане този избор? 7. В равнината са дадени 0 точки, никой три от които не лежат на една права. Колко триъгълници с върхове в тези точки могат да се построят? III част 8. На учредително събрание на политическа партия присъствали 0 човека. От тях трябва да се избере политическо ръководство от трима, като двама от тези трима трябва да са председател и секретар. Колко различни ръководства могат да се изберат? 4

15 . ОСНОВНИ КОМБИНАТОРНИ ПОНЯТИЯ Вариант I част. Стойността на израза P5 + V4 + 5 е: А) 46 Б) 87 В) 99 Г) 4. Тест се състои от 4 въпроса с избираем отговор, като на всеки въпрос има 5 възможни отговора. По колко различни начина може да се попълни теста? А) 500 Б) 000 В) 04 Г) 65. Колко са петцифрените числа, записани с различни нечетни цифри? А) 64 Б) 96 В) 0 Г) 5 4. В отбор по баскетбол от 0 човека трябва да се изберат капитан и помощник капитан. По колко различни начина може да стане това? А) 45 Б) 90 В) 0 Г) 0 5. От град до град може да се стигне с влак, автомобил или кораб, а от град до град може да се стигне с автомобил или самолет. По колко различни начина може да стигне от до като се мине през? А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 0 II част 6. В клас от 4 момичета и момчета трябва да се избере комисия от три момичета и едно момче. По колко различни начина може да стане този избор? 7. В равнината са дадени 9 точки, никой три от които не лежат на една права. Колко триъгълници с върхове в тези точки могат да се построят? III част 8. На учредително събрание на политическа партия присъствали 9 човека. От тях трябва да се избере политическо ръководство от трима, като двама от тези трима трябва да са председател и секретар. Колко различни ръководства могат да се изберат? 5

16 . ВЕКТОРИ 4. МЕДИЦЕНТЪР НА ТРИЪГЪЛНИК. СРЕДНА ОТСЕЧКА НА ТРИЪГЪЛНИК И ТРАПЕЦ Вариант I част. В равнобедрения с = 0 СМ е медиана, а G медицентър. Ако G =, то: А) = Б) = В) = 6 Г) = 6. В кой от посочените случаи точката G е медицентър на с медиани, и? А) G е на равни разстояния от А, В и С Б) G = В) G = Г) G дели в отношение :, считано от С. Голямата основа на трапец е 0 cm, а малката основа е равна на отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапеца. Големината на средната основа е: А) 0 cm Б) 5 cm В) 0 cm Г) 5 cm 4. Два вектора са противоположни, ако имат: А) равни дължини и обратни посоки Б) равни дължини В) еднакви посоки Г) еднакви дължини и посоки 5. Точката D е средата на страната АВ на. Ако = a, = b, то векторът D е равен на: А) a Б) b В) a+ b Г) a b II част 6. Ако G е медицентърът на, докажете, че G = ( + ). 7. Точката М дели вътрешно диагонала АС на успоредника АВСD в отношение :, считано от точка А. Докажете, че правите и D разполовяват съответно страните D и. III част 8. Точката е средата на бедрото D на трапеца АВD, а G е медицентърът на. Намерете МG, ако = 8, D = 6. 6

17 . ВЕКТОРИ 4. МЕДИЦЕНТЪР НА ТРИЪГЪЛНИК. СРЕДНА ОТСЕЧКА НА ТРИЪГЪЛНИК И ТРАПЕЦ Вариант I част. В равнобедрения = 0 СМ е медиана, а G медицентър. Ако G = 6, то: А) = 9 Б) = В) = 8 Г) = 8. В кой от посочените случаи точката G е медицентър на с медиани, и? А) G е на равни разстояния от А, В и С Б) G = В) G е на равни разстояния от А, В и С Г) G дели вътрешно в отношение :, считано от. Голямата основа на трапец е 8 cm, а малката основа е равна на отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапеца. Големината на средната основа е: А) cm Б) 0 cm В) 8 cm Г) 6 cm 4. Два вектора са равни, ако имат: А) равни дължини Б) еднакви дължини и посоки В) еднакви посоки Г) равни дължини и обратни посоки 5. Точката D е средата на страната АВ на. Ако = a, = b, то векторът D е равен на: А) a Б) b В) a b + Г) a b II част 6. Ако G е медицентърът на, докажете, че G = ( + ). 7. Точката М дели вътрешно диагонала АС на успоредника АВСD в отношение :, считано от точка А. Докажете, че правите и D разполовяват съответно страните D и. III част 8. Точката е средата на бедрото ВС на трапеца АВD, а G е медицентърът на D. Намерете МG, ако =, D = 6. 7

18 5. КВАДРАТЕН КОРЕН Вариант I част. Стойността на 6 8 е: А) 5 Б) В) Г) 5. Пресметнете стойността на, , 4 А) 6 Б) 7 В) 8 Г) 9. Коренът 9 с точност до десетите е равен на: А) 4 Б) 4, В) 4, Г) 4,4 ( ) Опростете израза 4 А) + 74 Б) В) Г) 5. За числата 7, 6 5 и 5 6 е вярно, че: А) 5 6 < 7 < 6 5 Б) 6 5 < 7 < 5 6 В) 7 < 6 5 < 5 6 Г) 7 < 5 6 < 6 5 II част 6. Опростете израза Представете израза III част във вида 8 0 a b, където a и b са естествени числа. 8. Сравнете околната повърхнина на куб със страна + m и пълната повърхнина на паралелепипед с измерения m, m и + m. 8

19 5. КВАДРАТЕН КОРЕН Вариант I част. Стойността на е: А) 5 Б) В) Г) 5. Пресметнете стойността на 44, , 4 А) 6 Б) 7 В) 8 Г) 9. Коренът 0 с точност до десетите е равен на: А) 4 Б) 4, В) 4,4 Г) 4,5 4. Опростете израза ( + ) 4. А) + 74 Б) В) Г) 5. За числата 7, 9 и 5 6 е вярно, че: А) 5 6 < 7 < 9 Б) 9 < 7 < 5 6 В) 7 < 9 < 5 6 Г) 7 < 5 6 < 9 II част 6. Опростете израза Представете израза III част във вида 8 0 a b, където a и b са естествени числа. 8. Сравнете околната повърхнина на куб със страна 5+ m и пълната повърхнина на паралелепипед с измерения 5 m, 5 m и 5+ m. 9

20 6. КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ Вариант I част. Корените на уравнението x x= са: А) и Б) и В) и Г) и ( )( ) е. Ако x и x са корените на уравнението x 6x+ = 0, то стойността на израза x x равна на: А) 6 Б) 6 В) 6 Г) 4. Кое от квадратните уравнения има корени с различни знаци? А) x + 7x + = 0 Б) x + 7x = 0 В) x 7x+ = 0 Г) x + 7x+ = 0 4. След съкращаване на дробта x + x се получава: x А) x x Б) x + x В) x x + Г) x + x + 5. Биквадратно уравнение има 4 корена, като сборът на два от тях е 5. Сборът на другите му два корена е: А) 0 Б) 5 В) 5 Г) 5 II част 6. Ако x и x са корените на уравнението x + x 4= 0, съставете квадратно уравнение с корени y =, y =. x x 7. Намерете сбора от корените на уравнението ( x x ) ( x + x+ )= 0. III част 8. Решете уравнението ( x+ ) ( x ) ( x )= ( x+ ). 0

21 6. КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ Вариант I част. Корените на уравнението x x= са: А) и Б) и В) и Г) и ( )( ) е. Ако x и x са корените на уравнението x x = 0, то стойността на израза x+ x равна на: А) 5 Б) В) 9 Г) 5. Кое от квадратните уравнения има два различни положителни корена? А) 4x + 7x = 0 Б) 4x 7x+ = 0 В) 4x 4x+ = 0 Г) 4x + 6x+ = 0 4. След съкращаване на дробта x x 4 се получава: x А) x 4 Б) x + 4 В) x 4 x x x + 5. Два от корените на биквадратно уравнение са и. Другите му корени са: Г) x + 4 x + А) 4 и Б) и В) и Г) и II част 6. Ако x и x са корените на уравнението x + x 4 = 0, съставете квадратно уравнение с корени y = x, y = x. 7. Намерете произведението от корените на уравнението ( x 7x+ ) ( x + x 5)= 0. III част 8. Решете уравнението ( x ) ( x+ ) ( x+ )= ( x ).

22 ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА I СРОК Вариант I част. Броят на всички възможни отсечки, свързващи върховете на десетоъгълник, е: А) P 0 Б) V 0 В) 0 Г) 0. В АВС = a, = b, а М е средата на АВ. Векторът е равен на: А) a + b Б) a b b В) b a Г) a b a. Ако G е медицентърът на правоъгълен АВС с хипотенуза =8 cm, то дължината на отсечката G е: А) cm Б) 4 cm В) 6 cm Г) 9 cm 4. В равнобедрен трапец D D = D и D = 4 cm. Дължината на средната основа на трапеца е: А) 4 cm Б) 8 cm В) 0 cm Г) 6 cm 5. Сборът + е равен на: D 4 А) 5 Б) 6 В) Г) 7 II част ( ) с периметър 08 cm 6. Пресметнете стойността на израза m = Намерете сбора от квадратите на корените на уравнението x x = 0. III част 8. Точката М дели вътрешно диагонала АС на успоредника АВСD в отношение : =:. Докажете, че правите и D разполовяват съответно страните D и.

23 ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА I СРОК Вариант I част. Броят на диагоналите на осмоъгълник е: А) 0 Б) 8 В) 40 Г) 56. В АВС = a, = b, а М е средата на АВ. Векторът е равен на: А) a + b Б) a b a b В) b a Г) a b ( ). Ако G е медицентърът на правоъгълен АВС = 90 и G = 6 cm, то дължината на страната АВ е: А) 9 cm Б) cm В) 5 cm Г) 8 cm ( ) е = cm, а 4. Голямата основа на равнобедрен трапец D D диагоналът АС е ъглополовяща на D. Ако средната основа на трапеца е 9 cm, то периметърът му е: А) 8 cm Б) 9 cm В) 4 cm Г) 45 cm 5. Сборът + 8 е равен на: D А) 0 Б) 8 В) Г) 6 II част ( )( ) 6. Пресметнете стойността на израза m = Ако x и x са корените на уравнението x x = 0, пресметнете стойността на израза xx + xx =. x + x III част 8. Точката P е средата на страната АВ на успоредника АВСD. Правата DP пресича диагонала АС в точка Q. Докажете, че = Q и DQ = QP.

24 7. ОКРЪЖНОСТ Вариант I част. Ако МN е диаметър в окръжност, а АВ е нейна хорда, в кой от случаите А), Б) или В) НЕ може да се твърди, че N? А) N е симетрала на АВ Б) М разполовява дъгата В) N разполовява хордата АВ Г) и от трите твърдения А), Б) и В) следва, че N. Четириъгълникът D е вписан в окръжност. Ако дъгата е с 40 по-голяма от дъгата D, то e: А) с 40 по-голям от D Б) с 0 по-малък от D В) с 40 по-голям от D Г) с 0 по-малък от D. Хордите АВ и D на окръжност се пресичат в точка М. Ако = 70 D и = 00, то D е равен на: А) 50 Б) 60 В) 70 Г) 80 O Отсечката МА е допирателна към окръжност, АВ е диаметър, а С е общата точка на и отсечката МВ. Ако : = :, то е равен на: А) 8 Б) 6 В) 48 Г) 54 O ( ) ( = ) имат две общи допирателни, ако отсечката OO 5. Окръжностите O; r = O ; r 5 е с дължина: А) Б) В) Г) 5 4

25 II част 6. В окръжност е построена хорда D, перпендикулярна на диаметъра АВ. Ако = 5, намерете отношението D :. 50 O D 7. През точка М, външна за окръжност ( O), са построени допирателните отсечки МА и МВ. Лъчът O пресича в точка С, а правата МА в точка D. Ако =, намерете големината на D. D O III част ( ) и ( O r ) ( r r ) ( ) 8. Окръжностите O; r ; > се допират външно в точка Р,, е тяхна обща външна допирателна, а М е пресечната точка на правите и OO. Намерете разстоянието от Р до, ако r = 6 cm и O = 0. 5

26 7. ОКРЪЖНОСТ Вариант I част ( ). В окръжност O; r = 6 АВ е хорда, а една от съответните ѝ дъги е с мярка 40. Разстоянието от О до АВ е: А) Б) В) 4 Г). Четириъгълникът D е вписан в окръжност. Ако D е с 60 по-голям от, то дъгата D e: А) със 0 по-голяма от дъгата Б) със 0 по-малка от дъгата В) с 0 по-голяма от дъгата Г) с 0 по-малка от дъгата. Хордите АВ и D на окръжност се пресичат в точка М. Ако D = 80 и = 90, то е равен на: А) 45 Б) 50 В) 55 Г) 60 O 800 D 4. Отсечката МА е допирателна към окръжност, АВ е диаметър, а С е общата точка на и отсечката МВ. Ако = 6, намерете отношението :. А) : Б) : В) 4: Г) 5: O 60 ( ) и ( O r ) приема стойности от множеството 5. Централата d на окръжностите O; r = ; = 5 { 5, 4, 5 }. За колко на брой от тези стойности окръжностите нямат общи точки? А) 0 Б) В) Г) 6

27 II част 6. В окръжност е построена хорда D, перпендикулярна на диаметъра АВ. Намерете, ако D : =:. O D 7. През точка М, външна за окръжност ( O), са построени допирателните отсечки МА и МВ, ВС е диаметър, а = 00. Намерете големината на. O III част 8. Окръжностите O; r ( ) и ( O; r ) ( r > r ) ( ) се допират външно в точка Р,, е тяхна обща външна допирателна, а М е пресечната точка на правите и OO. Намерете r и r, ако O = 0, a разстоянието от Р до е 6 cm. 7

28 8. РАЦИОНАЛНИ ДРОБИ Вариант I част. Колко на брой от числата, и са допустими стойности за израза x x 6 x+ + +? x x А) 0 Б) В) Г). При x y изразът x y x+ y е тъждествено равен на: А) x y Б) x+ y В) x y Г) x+ y. Разликата на рационалните дроби x x 4 и x е: А) x Б) x x x x + x 6 В) x 4 x Г) 4 x ( ) 4. След повдигане в трета степен на x x y x y ( ) А) x x y x y 6 ( ) Б) 6 x ( x y) се получава НЕСЪКРАТИМАТА дроб: В) 6 x ( x+ y) Г) 6 x ( x y) 5. Множеството от решенията на уравнението x 9 = е: x А) {} 0 Б) {} В) { } Г) ± { } II част x 6. Намерете стойността на израза x + + : x + за x = 07,. x x 7. Решете уравнението x x+ x = x. III част 8. Решете уравнението с полагане ( x + ) = 5 4 x +. 8

29 8. РАЦИОНАЛНИ ДРОБИ Вариант I част. Колко на брой от числата, и 4 са допустими стойности за израза x x 6 + x+ + +? x 4 x А) 0 Б) В) Г). При x y изразът x y x y е тъждествено равен на: А) x y Б) x+ y В) x+ y Г) x y x. Сборът на рационалните дроби = x и = x А) x Б) x ( ) 4. След повдигане в трета степен на y x y x y ( ) А) y x y x y 6 ( ) Б) 6 y x+ y ( ) е равен на: В) x 5. Множеството от решенията на уравнението x 5 = 5 е: x 5 се получава НЕСЪКРАТИМАТА дроб: В) 6 y x y ( ) Г) x + x А) Б) {} 5 В) { 5 } Г) 0 Г) 6 y x+ y. {} II част x 6. Намерете стойността на израза x + + : x + за x = x x Решете уравнението 9 x = x x +. III част 8. Решете уравнението с полагане 5 4 ( x ) = x. 9

30 9. ВПИСАНИ И ОПИСАНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ Вариант I част. Триъгълник е вписан в окръжност с център O. Ако O = = 74, да се намери. А) Б) 69 В) Г) 6. В триъгълник е вписана окръжност с център I. Ако = 8, то I е равен на: А) 4 Б) В) 0 Г) 90. Външновписаната окръжност към страната на триъгълник има център I a. Ако = 94, то I a е равен на: А) 94 Б) 88 В) 4 Г) 0 4. В триъгълник са построени височините, и. Ако α = 54, β = 70 и γ = 56, да се намерят ъглите на триъгълник. А) 7, 40 и 68 Б) 70, 4 и 76 В) 0, 60 и 90 Г) 6, 50 и В четириъгълник D е вписана окръжност. Ако = 7 cm, = cm и D = cm, то страната D е с дължина: А) 4 cm Б) cm В) 0 cm Г) 8 cm II част 6. Трапец D е описан около окръжност с радиус 4 cm и е вписан в окръжност. Ако бедрото на трапеца има дължина cm, да се намери лицето му. 7. Да се намери радиусът на вписаната окръжност на правоъгълен триъгълник с катет 5 dm и лице 0 dm. III част 8. В остроъгълен триъгълник е построена височината P. Точки Q и R са среди съответно на страните и на. Ако четириъгълникът QPR е вписан в окръжност, да се намери. 0

31 9. ВПИСАНИ И ОПИСАНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ Вариант I част. Триъгълник е вписан в окръжност с център O. Ако O = = 7, да се намери. А) 0 Б) 7 В) 70 Г) 65. В триъгълник е вписана окръжност с център I. Ако = 80, то I е равен на: А) 0 Б) 5 В) 0 Г) 90. Външновписаната окръжност към страната на триъгълник има център I a. Ако = 96, то I a е равен на: А) 95 Б) 86 В) 75 Г) 4 4. В триъгълник са построени височините, и. Ако α = 54, β = 74 и γ = 5, да се намерят ъглите на триъгълник. А) 7, 40 и 68 Б) 7, и 76 В) 0, 60 и 90 Г) 8, 40 и В четириъгълник D е вписана окръжност. Ако = cm, = 7 cm и D = 8 cm, то страната D е с дължина: А) 4 cm Б) cm В) cm Г) 8 cm, II част 6. Трапец D е описан около окръжност с радиус cm и е вписан в окръжност. Ако бедрото на трапеца има дължина cm, да се намери лицето му. 7. Да се намери радиусът на вписаната окръжност на правоъгълен триъгълник с катет 7 dm и лице 84 dm. III част 8. В триъгълник е построена височината P. Точки Q и R са среди съответно на страните и на. Ако четириъгълникът QPR е вписан в окръжност, да се намери.

32 0. ЕДНАКВОСТИ В РАВНИНАТА Вариант I част. Образът на точката с координати ( 6,) при централна симетрия с център началото на координатната система е точката: А) (6,) Б) (6, ) В) ( 6, ) Г) (,6). Точките (5, ) и ( 5, ) А) са симетрични спрямо абсцисната ос Б) са симетрични спрямо ординатната ос В) не са симетрични спрямо никоя права Г) са симетрични спрямо права, различна от абсцисната и ординатната ос. Даден е квадрат D с център O. Да се определи ъгъла на ротация φ с център O, ако точка се изобразяван в точка D. А) φ = 90 Б) φ = 90 В) φ = 45 Г) φ = Образът на точка (5,7) при транслация е точката (0, ). Образът на точката (0,0) при същата транслация е: А) (5,8) Б) ( 8,0) В) ( 5, 8) Г) (5,6) 5. Дадена е ротация ρ с център X и централна симетрия δ с център точка Y. За точка, съществува точка, за която = ρ() = δ(). Вярно е, че: А) XY = Б) точките X, Y, и лежат на една права В) е симетрала на XY Г) XY е симетрала на II част 6. В правоъгълна координатна система с център O е дадена е точка с координати (, 5), ротация ρ с център точка (,) и ъгъл 90 и транслация τ с вектор на транслацията O. Ако ρ() =, намерете τ(). 7. Даден е и вътрешна точка. Симетричните точки на относно средите на страните на триъгълника са X, Y и Z. Докажете, че XYZ. III част 8. В триъгълник образът на точка при осева симетрия с ос височината през върха е средата на страната. Ако =, намерете.

33 0. ЕДНАКВОСТИ В РАВНИНАТА Вариант I част. Образът на точката с координати ( 5,) при централна симетрия с център началото на координатната система е точката: А) (5,) Б) (5, ) В) ( 5, ) Г) (,5). Точките (7, 8) и ( 7, 8) А) са симетрични спрямо абсцисната ос Б) са симетрични спрямо ординатната ос В) не са симетрични спрямо никоя права Г) са симетрични спрямо права, различна от абсцисната и ординатната ос. Даден е квадрат D с център O. Да се определи ъгъла на ротация φ с център O, ако точка се изобразяван в точка. А) φ = 90 Б) φ = 90 В) φ = 45 Г) φ = Образът на точка (,9) при транслация е точката (0, ). Образът на точката (,) при същата транслация е: А) (9,) Б) (,9) В) (, 9) Г) ( 8, ) 5. Дадена е ротация ρ с център X и централна симетрия δ с център точка Y. За точка съществува точка, за която = ρ() = δ(). Вярно е, че: А) XY = Б) точките X, Y, и лежат на една права В) е симетрала на XY Г) XY е симетрала на II част 6. В правоъгълна координатна система с център O е дадена е точка с координати (, 4), ротация ρ с център точка (,) и ъгъл 90 и транслация τ с вектор на транслацията O. Ако ρ() =, намерете τ(). 7. Даден е и вътрешна точка. Симетричните точки на относно средите на страните на триъгълника са X, Y и Z. Докажете, че XYZ. III част 8. В триъгълник образът на точка при осева симетрия с ос височината през върха е средата на страната. Ако =, намерете.

34 ОТГОВОРИ НА ВАРИАНТИТЕ ЗА ДИАГНОСТИКА. НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР Алгебра А Б А Б Г Б А А Геометрия Г Г А В А Б Г Б. ОСНОВНИ КОМБИНАТОРНИ ПОНЯТИЯ Вариант А В Б Б Б. 4 = = = 70 Вариант Г Г В Б Б 4. = 47 9 = = 504. ВЕКТОРИ 4. МЕДИЦЕНТЪР НА ТРИЪГЪЛНИК. СРЕДНА ОТСЕЧКА НА ТРИЪГЪЛНИК И ТРАПЕЦ Вариант Вариант А Б В А Г МG = В Г А Б В МG = 6 5. КВАДРАТЕН КОРЕН Вариант Б В Г Г Г Околната повърхнина е 75 по-голяма70 6 4

35 Вариант Б Г Г Г В. 4 = 4004 Пълната 5 повърхнина е 6 по-голяма 6. КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ Вариант 6. 4y y = Б В А Г Б 7. x x x x = = 8. ( x+ ) ( x ) ( x )= ( x+ ) ( x+ ) ( x ) ( x ) x+ 0 ( ) = x+ ( x 5 x 6 ) ( x+ ) = 0 ( x + ) ( x 6 x + 5 )= 0 x = x =,, x = 5. ( ) + Вариант 4 5 Г Г А А Б 6. y + 4y = xx xx 4 =. = ( x ) ( x+ ) ( x+ )= ( x ) ( x ) ( x+ ) ( x+ )+ x 0 ( ) = x ( x 5 x 6 )+( x ) = 0 ( x ) ( x + 6 x + 5 )= 0 x = x =,, x = 5. ( ) + + 5

36 ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА I СРОК Вариант D В Б В В Г m =7 x + x =6 x O x x 8. Означаваме = 6 x и от : =: следва, че = = x и = = 4 x. Ако D = O, то O = O = = x и O = O = x x= x. Отсечката АО е медиана в D, O и : O = x: x= :. Следователно М е медицентърът на D. Тогава правите и D, свързващи връх на D с медицентъра М, ще разполовяват страните D и. ПРИМЕРНА КЛАСНА РАБОТА I СРОК Вариант А А Г Г В m = = 8. Нека D = O и O = O = x. Отсечките АО и DP са медиани в D, общата им точка Q e медицентър на триъгълника, DQ = QP и Q = O = x. Тогава = 6 x и = Q. 7. ОКРЪЖНОСТ Вариант В Г Б Б В D : =: D = 4 D x Q O x x P 8. В правоъгълните триъгълници АОМ и O с = 0 от O = r, O = r, OO = r+ r и O = O + OO следва, че r = r + r, r = r и Р е средата на ОМ. Ако PP е разстоянието от Р до, то PP е средна отсечка в O и PP O r = = = cm. t P r r 00 r O P r O 6

37 Вариант Б Б В А В D : =: = 5 8. В правоъгълните триъгълници АОМ и O с = 0 от O = r, O = r, OO = r+ r и O = O + OO следва, че r = r + r, r = r и Р е средата на ОМ. Ако PP е разстоянието от Р до то PP е средна отсечка в O и PP O r = = = 6 cm. Тогава r = cm и r = 4 cm. t P r r 00 r O P r O 8.РАЦИОНАЛНИ ДРОБИ Вариант А А Г В А,4 6 5 ; 0 Вариант Б Б А Б Г ; 0 7

38 9. ВПИСАНИ И ОПИСАНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ Вариант Б Б В А Г 88 cm dm 90 Вариант Б А Г Б Б 7 cm dm ЕДНАКВОСТИ В РАВНИНАТА Вариант Б Б А В Г (7,, τ( = (9, 0 Вариант Б Б А В Г (6,, τ( = (7, 0 8

39 УТВЪРДИЛ Директор:... (Име, фамилия, подпис) ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ по учебния предмет математика за 8. клас ПЪРВИ УЧЕБЕН СРОК 8 СЕДМИЦИ Х ЧАСА СЕДМИЧНО = 54 ЧАСА по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Формули за съкратено умножение Линейни уравнения. Степени Числови неравенства Еднакви триъгълници Входно равнище Умножение и събиране на възможности Урочна единица за Начален преговор Начален преговор Начален преговор Начален преговор Тема за самоконтрол Компетентности като очаквани резултати от обучението Знае формулите за съкратено умножение. Умее да решава линейни уравнения. Знае действията със степени. Умее да решава линейни неравенства. Знае признаците за еднаквост на триъгълници. Умее да решава линейни уравнения и неравенства. Прилага та си за еднакви триъгълници. Знае правилата за умножение и събиране на възможности. понятия Контекст и дейности за всяка урочна единица Използва формулите при решаване на задачи. Прилага уменията си при решаване на уравнения и действия със степени. Прилага уменията си при решаване на неравенства и да представя решенията им графично. Използва признаците за еднаквост на триъгълници при решаване на задачи. Диагностика на математическата грамотност на учениците от 8. клас. Определя кога се използват правилата за умножение и събиране на възможности. Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели Писмена работа Забележка 9

40 по ред Учебна седмица 7. Тема на урочната единица Умножение и събиране на възможности. Урочна единица за 8. Пермутации и вариации 9. Комбинации 0. 4 Вектор. 4 Събиране и изваждане на вектори. Свойства. 4 Събиране и изваждане на вектори. Компетентности като очаквани резултати от обучението Затвърждава та за умножение и събиране на възможности. Знае какво е пермутация и вариация и формулите за пресмятането им. Знае какво е комбинация от n елемента -ти клас. Знае понятието вектор и понятията, свързани с него. Знае операциите събиране и изваждане на вектори и техните свойства. Затвърждава та за операциите събиране и изваждане на вектори и техните свойства. понятия пермутации и вариации без повторение комбинация от n елемента -ти клас насочена отсечка, вектор, нулев вектор, дължина на вектор, посока на вектор, еднопосочни вектори, противопосочни вектори, равни вектори, противоположни вектори сбор на вектори, разлика на вектори Контекст и дейности за всяка урочна единица Пресмята пермутации и вариации в конкретни задачи. Пресмята комбинации в конкретни задачи. Използва правилно понятието вектор и понятията, свързани с него. Умее да извършва операциите събиране и изваждане на вектори и техните свойства. Затвърждава уменията да извършва операциите събиране и изваждане на вектори и техните свойства. Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели Устно изпитване. може да се даде темата за самоконтрол. или малък проект къде освен в математиката се използва това понятие. Забележка 40

41 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Умножение на вектор с число. Свойства Умножение на вектор с число. Делене на отсечка в дадено отношение Средна отсечка в триъгълник Средна отсечка в триъгълник. Медицентър в триъгълник Урочна единица за Компетентности като очаквани резултати от обучението Знае операцията умножение на вектор с число и нейните свойства. Затвърждава та за операцията умножение на вектор с число и нейните свойства. Знае в конкретна ситуация как се представя вектор като линейна комбинация на вектори. Знае понятието отношение на отсечки. Знае понятието средна отсечка в триъгълник и свойствата ѝ. Затвърждава та за средна отсечка в триъгълник и свойствата ѝ. Знае ситуации, свързани със средни отсечки. Знае понятието медицентър в триъгълник и свойствата му. понятия произведение на вектор с число, колинеарни вектори; неколинеарни вектори отношение на отсечки средна отсечка в триъгълник медицентър в триъгълник Контекст и дейности за всяка урочна единица Умее да извършва операцията умножение на вектор с число и нейните свойства Затвърждава уменията да извършва операцията умножение на вектор с число и нейните свойства. Умее в конкретна ситуация да представя вектор като линейна комбинация на вектори. Умее да намира отношение на отсечки. Умее да използва понятието средна отсечка в триъгълник и свойствата ѝ. Затвърждава уменията да използва понятието средна отсечка в триъгълник и свойствата ѝ. Умее да открива и създава ситуации, свързани със средни отсечки. Умее да използва понятието медицентър в триъгълник и свойствата му. Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели може да се даде темата за самоконтрол. Забележка 4

42 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Медицентър в триъгълник. Трапец. Равнобедрен трапец Трапец. Равнобедрен трапец. Средна отсечка (основа) на трапец Средна отсечка на трапец. Триъгълник и трапец. Тема за самоконтрол Урочна единица за Контрол Компетентности като очаквани резултати от обучението Затвърждава та за медицентър в триъгълник и свойствата му. Знае понятията трапец и равнобедрен трапец. Затвърждава та за понятията трапец и равнобедрен трапец. Знае понятието средна отсечка (основа) на трапец. Затвърждава та за понятието средна отсечка (основа) на трапец. Знае понятията отношение на отсечки, средна отсечка в триъгълник, медицентър на триъгълник, средна отсечка (основа) на трапец. понятия трапец; равнобедрен трапец средна отсечка (основа) на трапец Контекст и дейности за всяка урочна единица Затвърждава уменията да използва понятието медицентър в триъгълник и свойствата му. Умее да открива и създава ситуации, свързани със медицентър в триъгълник. Умее да използва понятията трапец и равнобедрен трапец. Умее да прилага свойствата на равнобедрен трапец. Умее да разграничава твърденията като необходими и достатъчни условия Умее да открива и създава ситуации, свързани със средни отсечки. Умее да анализира условието на твърдение и да избира подходящи средства за доказателство. Диагностика до колко умее да открива и създава ситуации, свързани със средни отсечки, и дали умее да анализира условието на твърдение и да избира подходящи средства за доказателството му. Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели Устно изпитване. Устно изпитване. Устно изпитване. Писмена работа Забележка 4

43 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Ирационални числа. Квадратен корен Ирационални числа. Приближена стойност на квадратен корен Свойства на квадратните корени Действия с квадратни корени Действия с квадратни корени. Сравняване на ирационални числа, записани с квадратни корени Преобразуване на изрази, съдържащи квадратни корени Урочна единица за Компетентности като очаквани резултати от обучението Знае кои числа са ирационални и какво е квадратен корен от неотрицателно число. Знае как се намира приближена стойност на квадратен корен. Знае свойствата на квадратните корени. Знае правилата за умножение и деление на корени. Затвърждава та за действия с квадратни корени. Знае как се сравняват квадратни корени. Знае как се преобразуват изрази с квадратни корени. понятия квадратен корен, радикал, подкоренна величина, ирационални числа приближена стойност Контекст и дейности за всяка урочна единица Знае как се намира квадратен корен. Намира приближена стойност на квадратен корен. Намира квадратен корен, като използва свойствата на квадратните корени. Извършва действия с квадратни корени. Сравнява квадратни корени и изрази, съдържащи квадратни корени. Преобразува изрази, съдържащи квадратни корени, като използва формулите за съкратено умножение. Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели Устно изпитване. Забележка 4

44 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Сравняване на ирационални числа и преобразуване на изрази, съдържащи квадратни корени. Рационализиране на изрази, съдържащи квадратни корени Квадратен корен. Обобщение Квадратен корен. Тема за самоконтрол Квадратно уравнение. Непълни квадратни уравнения Формула за корените на квадратното уравнение Формула за корените на квадратното уравнение. Урочна единица за Компетентности като очаквани резултати от обучението понятия Контекст и дейности за всяка урочна единица Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели Затвърждава та за преобразуване на квадратни корени. Устно изпитване. Знае как се рационализира дроб. Рационализира дроб. Обобщение Затвърждава та за квадратни корени. Устно изпитване. Контрол Проверка на та. Писмено изпитване Знае кое уравнение е квадратно, понятията, свързани с него, и видовете квадратни уравнения. Знае и използва формулата за решаване на пълни квадратни уравнения. квадратно уравнение, коефициенти на квадратното уравнение, непълно квадратно уравнение дискриминанта на квадратно уравнение, двоен корен Умее да определя коефициентите на квадратно уравнение и как се решават непълни квадратни уравнения. Умее да прилага формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Затвърждава та си за решаване на квадратни уравнения. Усвоява технически похвати при решаване на квадратни уравнения. Устно изпитване. Домашна работа Забележка 44

45 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Съкратена формула за корените на квадратното уравнение Зависимости между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Формули на Виет Зависимости между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Формули на Виет. Приложения на формулите на Виет Разлагане на квадратния тричлен на множители Решаване на уравнения от по-висока степен чрез разлагане на множители Урочна единица за Компетентности като очаквани резултати от обучението Знае съкратената формула за намиране на корените на квадратно уравнение. Знае какви зависимости има между корените на квадратното уравнение. Прилага теоремите на Виет за решаване на квадратни уравнения и за съставяне на квадратно уравнение по зададени корени. Прилага теоремите на Виет за пресмятане на симетрични изрази и за определяне на знаците на корените на квадратно уравнение. Знае да разлага на множители квадратен тричлен. Знае да решава уравнения от по-висока степен чрез разлагане. понятия съкратена формула симетричен израз квадратен тричлен, корени на квадратния тричлен кубично уравнение Контекст и дейности за всяка урочна единица Прилага съкратената формула. Умее да прилага правата и обратната теорема на Виет. Съобразява кои са корените на някои уравнения. Умее да съставя квадратни уравнения, чиито корени са в определена зависимост спрямо корените на дадено уравнение. Умее да преобразува симетричен израз на корените и да определя знаците на корените на квадратно уравнение. Прилага теоремата за разлагане на квадратния тричлен. Разлага на множители изрази от по-висока от втора степен. Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели Устно изпитване. Домашна работа Забележка 45

46 по ред Учебна седмица Тема на урочната единица Решаване на уравнения от по-висока степен чрез разлагане на множители. Решаване на уравнения от по-висока степен чрез въвеждане на помощно неизвестно Решаване на уравнения от по-висока степен чрез въвеждане на помощно неизвестно. Моделиране с квадратни уравнения Моделиране с квадратни уравнения. Квадратни уравнения. Тема за самоконтрол Класна работа Урочна единица за Компетентности като очаквани резултати от обучението понятия Контекст и дейности за всяка урочна единица Методи и форми на оценяване по теми и/или раздели Затвърждава та си за решаване на уравнения от повисока степен чрез разлагане. Усвоява различни похвати за решаване на уравнения чрез разлагане на множители. Устно изпитване. Домашна работа Знае да решава уравнения от по-висока степен чрез полагане. биквадратно уравнение, биквадратен тричлен Въвежда подходящо неизвестно при решаване на уравнения. Затвърждава уменията за решаване на уравнения от по-висока степен чрез полагане. Знае да разлага биквадратния тричлен на множители. Определя знаците на корените на биквадратно уравнение и разлага биквадратен тричлен на множители. Устно изпитване. Домашна работа Знае как се моделират различни ситуации с уравнения, свеждащи се до квадратни. Знае как да оценява формално и интерпретира съдържателно резултати, получени от решението на математически модел. Отчита етапите при решаване на текстови задачи. Прилага закони от механиката за решаване на практически задачи. Контрол Проверка на та Писмено изпитване Контрол Проверка на та Писмено изпитване Забележка 46