3. Условия за успоредност, сливане и пресичане на две прави y1 k1. x n1. y y. ; /; 4. Условие за перпендикулярност на две прави y1 k1.

Препис

1 ПРИЛОЖЕНИЯ НА МЕТОДА НА КООРДИНАТИТЕ В ГЕОМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ Теоретични знания необходими за прилагане на метода на координатите в геометрични задачи: Декартово уравнение на права в равнината / n /; Уравнение на права в равнината минаваща през две дадени точки M ( ) и M ( ) / /; Условия за успоредност сливане и пресичане на две прави n и n в равнината/ n n II ; n n ; /; 4 Условие за перпендикулярност на две прави n и n в равнината / /; 5 Разстояние между две точки в равнината /Ако M( ) и M ( ) то d( M M ) MM / или в пространството /Ако M ) и M ) то M ) ( z ( z M M z /; d( M z Уравнение на окръжност с център O( ; ) и радиус r в равнината : r ; 7 Общо уравнение на равнина в пространството: : cz d 0 ; 8 Координати на точка М която дели дадена отсечка M M в отношение в равнината /Ако са дадени в равнината точките M( ) и M ( ) и точка M ( ) дели отсечката M M в отношение то / или в пространството /Ако са дадени в пространството точките M( z) и M ( z) и точката M ( z) дели отсечката M M в отношение то z z z /; 9 Координати на точка М която е среда на дадена отсечка M M в равнината или в пространството /частен случай от 8 за /; 0 Координати на медицентър G на ABC в равнината или пространството /следствие от 8 и 9/

2 Задача (бр 0г сп Математика плюс ) Върху страната наabc има точка D за която DC AB Докажете че правата минаваща през средите М и N съответно на отсечките AC и BD е успоредна на ъглополовящата BE( E AC) на ABC Решение:Въвеждаме правоъгълна координатна система O с координатно начало О А и единична отсечка e AB c оста О съвпада с лъча AB а оста ОAB и лежи в полуравнината на правата AB съдържаща точката C В тази координатна система координатите на върховете А и В на ABC са съответно A A00 и B B0 Нека координатите на върха С са C C Тогава координатите на средата c c c и От BE-ъглополовяща на c или M координатите на точка E e e са M на страната AC са AE AB c ABC следва откъдето EC CB c и e c e или Точките В и Е определят правата ВЕ: n където E 0 e BC BC Аналогично от следва e DC AB c BC DC BD D d d DC DC са c d и на средата N на отсечката DB са ( ) ( ) N откъдето координатите на точка c ( ) ( ) d те D Тогава координатите d n и n d или Точките M и N определят правата MN: n

3 n където От следва че BEIIMN (ако D B то n n n и BEIIMN ; ако D B то n n и BE MN ) Задача В ABC дължините на страните са съответно AB 4 BC и AC 5 Да се докаже че медианите AK ( K BC) и CM ( M AB) на ABC са перпендикулярни Решение:Въвеждаме правоъгълна координатна система O с координатно начало О А и единична отсечка e оста О съвпада с лъча AB а оста ОAB и лежи в полуравнината на правата AB съдържаща точката C В тази координатна система координатите на върховете А и В на ABC са съответно A A00 и B B40 Координатите на средата M на страната AB c са и или M 0 Нека координатите на върха С саcc c C От формулата за разстояние между две точки намираме че AC и BC 4 0 откъдето получаваме 5 4 системата с решения 9 Следователно координатите на върха С са C лежи в полуравнината на правата AB съдържаща точката C защото оста ОAB и

4 Координатите на средата K на страната BC са 4 4 c и c или K Точките A и K определят медианата АК: n където 4 4 Точките С и М определят медианата СМ : n c където От следва че AK CM c Задача Окръжностите O r O и O r с радиуси съответно r r r 8 и r 0 се допират външно две по две Намерете дължината на хордата отсечена от окръжността от общата външна допирателна на окръжностите и Решение: Въвеждаме правоъгълна координатна система O с координатно начало O O и единична отсечка e оста О съвпада с лъча O O а оста О O O и лежи в полуравнината на точката O При така въведената координатна система координатите на точките O O и T Нека координатите на точка са съответно O 00) O 00) и 0) O са O T От формулата за разстояние между две точки получаваме O O 0 0 и O откъдето следва системата Координатите на точка O са 8 O с решения 4 8 O 4 тъй като оста О O O и лежи в

5 полуравнината на точката O откъдето следваче точките от окръжността удовлетворяват равенството общата външна допирателна през точката Ако правата е T 0) то координатите на пресечните точки на правата с окръжността удовлетворяват системата с решения 8 8 Ако пресечните точки на правата с окръжността са точките X и Y то 8 8 X 8 8 Y и тогава дължината на търсената хорда е разстоянието (8 8 8) (8 8) XY Задача 4 Дадена е окръжност с център точката O и диаметър AB 4 Точката C е среда на радиуса OB Намерете точките X и Y от окръжността симетрични относно AB такива че правата YC XA Решение: Въвеждаме правоъгълна координатна система O с координатно начало центърът O и единична отсечка e оста О съвпада с лъча OB а оста O OB и лежи в горната полуравнина на правата AB При така въведената координатна система координатите на O точките O C B и A са съответно 00 C 0 B 0 и A 0 на точка X са Ако координатите X то координатите на симетричната точка Y спрямо AB са Y Точките A и X определят правата AX : n където Точките Y и C определят правата YC : n където c От условието XA c YC следва че От формулата за разстояние между две точки

6 получаваме OX откъдето 4 Допустимото решение на системата от са 4 7 и 7 е решението 7 те търсените точки Задача 5 Във вътрешността на квадрат ABCD е взета произволна точка P От върха A е спуснат перпендикуляр към правата BP от върха B към правата CP от върха C към правата DP и от върха D към правата AP Докажете че четирите перпендикуляра (или техните продължения) се пресичат в една точка Решение: Въвеждаме правоъгълна координатна система O с координатно начало O A и единична отсечка e AB оста О съвпада с лъча AB а оста О съвпада с лъча AD При така въведената координатна система координатите на точките A B C и D са 0) ) D 0) съответно 00) A B C и Нека координатите на точка P са P Точките B и P определят правата BP : n където (може да определим и n но не е необходимо) Ако перпендикулярът от точката A към правата BP е правата n от равенството пределяме а от условието A определяме n 0 т е перпендикулярът е правата то

7 С аналогични разсъждения определяме правите CP DP и AP и съответните перпендикуляри q r и s към тях спуснати съответно от върховете B C и D: CP : n ( n ) q : ; DP : n r : ; AP : s : Ако F q то F Ако F r s то F Следователно F F F с което исканото твърдение е доказано Задача (Есенен математически турнир0г0клас) 0 Даден е ACB с ACB 90 Правите през върха С перпендикулярни на страните АС и ВС пресичат съответно правите през върховете А и В перпендикулярни на страните ВС и АС в точките Р и Q Ако М е средата на страната АВ то да се докаже че правите РQ и СМ са перпендикулярни Решение: Нека през върха С на ABC са построени права BC права AC и медианата CM ( M AB) Да построим през върха A права BC апрез върха В- права AC Съгласно условието Q и P Въвеждаме правоъгълна координатна система O с координатно начало О А и единична отсечка e AB c оста О съвпада с лъча AB а оста ОAB и лежи в полуравнината на правата AB съдържаща точката C В тази координатна система координатите на върховете А и В на ABC са съответно A A00 и B B0

8 Нека координатите на върха С са C C определят правата AC : където Точките A (00) и C ( ) c c c те AC : Точките B (0) и C ( ) определят правата BC : n където c c и n т е c BC : Точките M (0 ) и C ( ) определят правата СМ : n където c c и n т е CM : Ако перпендикулярът определяме от равенството те от точката A към правата BC е правата n определяме n 0 и следователно : Ако перпендикулярът определяме от равенството те определяме n а от условието A от точката B към правата AC е правата n и следователно : а от условието B Ако перпендикулярът в точката C към правата BC е правата l то определяме от равенството или от условието II те от условието C определяме : l и следователно то то а Ако перпендикулярът в точката C към правата AC е правата l то определяме от равенството или от условието II те от условието C определяме l и следователно а :

9 Координатите на точката P определяме като пресечна точка на правите и а координатите на точката 4 Q като пресечна точка на правите и Точките P и Q определят правата PQ : n където тъй като то CM PQ q и q Задача7 Дължината на страната на основата на правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF е равна на 4 а дължината на височината на пирамидата SO Намерете разстоянието между върха A и пресечната точка на медианите на SCD Решение: Нека точката O (ABCDEF ) и SO (ABCDEF ) Въвеждаме правоъгълна координатна система Oz с координатно начало точката O и единична отсечка e оста О съвпада с лъча OE оста ОOE и лежи в полуравнината на точката C а оста Оz съвпада с лъчаos При така въведената координатна система координатите на върховете О SС DG и А са съответно 000 C O S (00) c c zc C 0 Dd d zd D 0 и A z A 0 Координатите на медицентъра Gна SCD са z g zc zd zs или 4 G 0 g c d s g c d s и От формулата за разстояние между две точки намираме търсеното разстояние AG z z g g g

10 Задача8 В триъгълна пирамида ABCD са известни дължините на ръбовете AB 8 BC 9 AD BD 57 и CD 4 Намерете дължината на височината DH на пирамидата Решение: Ако построим височината DO( O AB) в ABD то от теоремата за трите перпендикуляра следва че CO AB и тогава височината от върха Dкъм СО в OCD е височината DH на пирамидатавъвеждаме правоъгълна координатна система Oz с координатно начало точката O и единична отсечка e оста О съвпада с лъча OB оста О съвпада с лъча OC а оста Oz е еднопосочна на лъча DH Ако AO то BO 8 и тъй като DO AD AO BD BO (Теорема на Питагор) 9 57 (8 ) AO и BO 7 При така въведената координатна система координатите 00) B 700) Нека на точките O A и B са съответно 000) координатите на точките H C O A и и D са съответно H 0 0) C 0 0) и D z 0 От формулата за разстояние между две точки следват равенствата AD z BC и DC 0 ( ) z 4 откъдето получаваме 4 и 8 z 74 8 Следователно височината 74 DH 8 Задача 9Основата на четириъгълна пирамида е правоъгълник ABCD с дължини на страните AB и AD 4 Околният ръб AM е перпендикулярен на равнината на основата и с дължина AM Равнината построена през средата K на ръба MC и перпендикулярна на него пресича правите AB и AD съответно в точките X и Y Определете дължината на XY

11 Решение: Въвеждаме правоъгълна координатна система Oz с координатно начало O A и единична отсечка e оста О съвпада с лъча AB оста О съвпада с лъча AD оста Оz съвпада с лъча AM Оттук и условието на задачата следва че координатите на върховете A B C D и М са съответно A000 B00 C40 D040 M 00 Ако точката E z точка от равнината то и е произволна EM EC защото равнината е симетралната равнина за ръба MC От формулата за разстояние между две точки намираме EM 0 0 z и EC 4 z 0 и тъй като EM EC то z 4 z те общото уравнение на равнината е : 4z 8 0 () Точката X O X 00 и тъй като X то координатите на X удовлетворяват () откъдето следва че 5 Точката Y O Y0 0 и тъй като Y то координатите на Y удовлетворяват () откъдето следва че 5 От формулата за разстояние между две точки 5 8 намираме че XY 4 75 без да се налага да построяваме сечението на спирамидата Задача 0 ABCDA BC D е правоъгълен паралелепипед за който AB BC 4 и BB Построена е равнина през средата P на диагонала D B и перпендикулярна на него Намерете отношението в което равнината дели страната A B вътрешно или външно Решение: Въвеждаме правоъгълна координатна система Oz с координатно начало О B и единична отсечка e оста О съвпада с лъча BC оста О съвпада с лъча BA оста Оz съвпада с лъча BB Оттук и условието на задачата следва че

12 координатите на върховете B A C D и P са съответно 00 A 00 C 400 D 4 F z е произволна B и P Ако точката 0 точка от равнината то FD FB защото равнината е симетралната равнина за ръба D B От формулата за разстояние между две точки намираме FD 4 z и FB 0 0 z 0 и тъй като FD FB то 4 z z те общото уравнение на равнината е : 8 4 z 5 0 () Ако точката X е пресечната точка на оста O с равнината то от X O X 00 и тъй като X то координатите на X удовлетворяват () откъдето следва че 7 Ако точката Y е пресечната Y O Y 0 0 и тъй катоy то точка на оста O с равнината то от координатите на Y удовлетворяват () откъдето следва че 4 Аналогично ако точката Z Oz то от Z Oz Z00 z и тъй като Z то координатите 4 на Z удовлетворяват () откъдето следва че z Нека Q AA YZ AA и M A B YZ A От подобието на AQY и BZY определяме AQ 4 B Аналогично от подобието на MA Q и MB Z определяме което е търсеното отношение /М дели външно A B / MA MB AQ 4 B 4 Z Задача В правилна четириъгълна пирамида с основен ръб е построено сечение през връх на основата и средата на срещуположния околен ръб като сечението е перпендикулярно на този ръб Да се намери лицето на сечението Решение:Нека правилната четириъгълна пирамида е ABCDE с височина OE ( O AC BD ) а сечението е построено през върха В и средата М на ръба DE Въвеждаме правоъгълна координатна система Oz с координатно начало точката O и единична отсечка e оста О съвпада с лъча OA оста О съвпада с лъча OB оста Оz съвпада с лъча OE Оттук и условието на

13 задачата следва че координатите на върховете A 00 B 0 0 A B C и D са съответно C 0 0 и 0 0 D Ако координатите на върха Е са E 0 0 то 0 Ако точката F z FD FE е произволна точка от равнината на сечението то защото равнината е симетралната равнина за ръба DE От формулата за разстояние между две точки намираме FD 0 z 0 и FE 0 0 z и следователно z z те общото уравнение на равнината е : 4z 0() Тъй като върха B то координатите на В удовлетворяват () откъдето следва че координатите на върха Е са ръба DE са E 00 те Тогава координатите на средата M на M Ако точката N AE то от N AE координатите на точката N са където откъдето AN NE следва че e e z ze N 0 ( ) ( ) а от N следва че координатите на N удовлетворяват () те координатите на N са симетричната точка N на точка N 0 N спрямо оста Оzса Координатите на N 0 и N CE Сечението на равнината с правилната четириъгълна пирамида ABCDE е делтоид и неговото лице S NN BM От формулата за разстояние

14 между две точки намираме 0 NN и BM Тогава BM NN S Методът на координатите при подходящо избрана правоъгълна координатна система улеснява решенията на определени геометрични задачи в равнината и в пространството Използването на метода на координатите в ПП ЗИП СИП и формите на извънкласна работа по математика съдейства за подобряване на знанията и уменията на учениците от прогимназиален и гимназиален етап за правоъгълна координатна система линейна функция и сечения на многостен с равнина и способства за развитието на аналитичното им мислене Този метод съчетан с изработване на геометричните чертежи с помощта на динамичен софтуер е добър пример за изследователски подход в обучението по математика Литература: АБВасилевский Методы решения задач изд Выcшая школа Минск974г