Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни части с помощта на точките < < < L < така че във всеки интервал ( ) K функцията ( ) е непрекъсната и има непрекъсната производна като в краищата на интервала ( ) K се предполага наличието на двете едностранни граници ( + ) i ( ) i + и освен това наличието на двете едностранни производни ( + ) ( + ) + i ( + ) ( ) i + От направеното предположение в частност се получава че във всеки ограничен интервал функцията ( ) е или непрекъсната или има евентуално само краен брой прекъсвания от първи род и следователно във всяка точка R съществуват двете едностранни граници ( + ) и ( ) i + i Освен това във всяка точка R съществуват и двете едностранни производни ( + ) ( + ) + i ( + ) ( ) i + Определеният по този начин клас функции покрива нуждите на елементарните приложения на редовете на Фурие Такива функции се конструират например по следната схема ) Определяне на гладка по части функция ( ) в някой основен интервал с дължина от вида [ + ) или ( + ] ) -периодично продължение на функцията над останалата част от числовата ос Основният интервал се избира обикновено [ ) или [ ) Сходимостта на фуриеровия ред в дадена точка предявява определени изисквания към поведението на ( ) в тази точка По нататък ще използваме по много съществен начин резултата от следното твърдение Твърдение Нека функцията ( ) е -периодична и гладка по части Тогава за всяко R функцията () ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ϕ притежава дясна граница в нулата те съществува границата на ϕ () при със стойности > Доказателство Съгласно формулата на Тейлър имаме ( > ) ( ) ( ) + + + + ( ) + o( ) ( ) ( ) ( ) + o( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) + o( ) ( + ) ( ) + o [ ] () +
от което следва че във всяка точка i ϕ É + () + R е изпълнено За да изследваме сходимостта на реда на Фурие в отделни точки преди всичко трябва да познаваме в детайли структурата на неговите частични суми () () () τ + d + cosd cos si d si Въз основа на линейното свойство на интеграла последното се преобразува във вида τ ( ) + cos( ) ( ) d понеже cos cos + si si cos ( ) По индукция може да се докаже верността на тъждеството si + u D ( u) + cosu + cosu + L + cosu K u si следователно за частичните суми намираме представянето si + ( ) () τ D d () d si Тук D ( u) се нарича ядро на Дирихле След смяна на променливата θ () приема вида + si + θ () τ ( + θ) dθ θ + si Твърдение Нека g () е -периодична интегруема функция Тогава за всяко число е изпълнено равенството + g () d g() d Доказателство От адитивното свойство на интеграла имаме + (3) () d g() d + g() + g d Сега във втория интеграл от дясната страна извършваме смяна на променливата θ след което за този интеграл получаваме + g () d g( θ + ) dθ откъдето отчитайки -периодичността на g ( ) g ( θ + ) g( θ) + () d g( θ + ) dθ g( θ) dθ g() g d намираме Сега отново от адитивността на интеграла следва верността на (3)
+ g () d g() d + g() d g() d É Подинтегралната функция в () si + θ ( + θ) θ si е -периодична по θ откъдето въз основа на твърдение за частичните суми получаваме формулата si + τ ( + ) d si Последният интеграл записваме като сбор si + si + τ ( + ) + d ( + ) d si si В първия интеграл от дясната страна сменяме променливата след което отчитайки нечетността на функцията синус получаваме si + si + ( + ) d ( ) d si si следователно частичните суми могат да се запишат във вида si + (4) τ [ ( + ) + ( ) ] d si По нататък се нуждаем от Тогава Теорема (Риман-Лебег) Нека g е интегруема в интервала [ ] ( ) cosλd i g( ) si λd i g λ λ Доказателство Нека ε > По условие ( ) да се намери някакво интегрално разделяне { < < < L < } g е интегруема следователно може на интервала ε [ ] за което разликата между горната и долната сума на Дарбу не надвишава те където M ε M < ( ) sup g( ) g( ) i K Ще докажем само съотношението 3
λ (5) i ( ) si λd g понеже другото се доказва по същия начин От основните свойства на интеграла намираме последователно ( ) λd ( ) cosλd ( ) [ ] si λd + cos si λd ( ) cosλd [ ( ) ] si λd + [ cosλ cosλ ] ( ) cosλd ( ) si λ d + λ λ cosλ cosλ ( ) cosλd ( M ) d + ( M ) + λ λ ε C λ ( ) cos λd + C ( ) sup Избираме едно λ достатъчно голямо че ε C ε ε λ ( ) cosλd < + < + ε C ε < λ Тогава при всяко λ > λ е в сила което по определение означава верността на съотношението (5) É С елементарни модификации на горното доказателство може да се установи че теоремата на Риман-Лебег е валидна и в случая когато интегралът е несобствен в безкрайни граници и абсолютно сходящ Подинтегралната функция в (4) има особеност в нулата понеже знаменателят клони към нула когато С цел да изолираме тази особеност да изберем едно δ > ( δ < ) и да запишем интеграла като сбор δ si + si + [ ( + ) + ( )] + τ d [ ( + ) + ( ) ] d si δ si Вторият интеграл в горната сума може да се запише във вида ( + ) + ( ) (6) si + d δ si Първият множител тук представлява непрекъсната функция на променливата в интервала [ δ ] а поради наличието на втория множител si + от теорема следва че интегралът (6) клони към нула за Оказа се че границата на τ при ако съществува е същата като границата частичните суми 4
δ si + i [ ( + ) + ( ) ] d si Този интеграл в граници от до δ съдържа множителя [ ( + ) + ( ) ] който отчита поведението на функцията ( ) само в околността [ δ + δ] при което δ > може да бъде фиксирано произволно малко По този начин доказахме Теорема (принцип за локализацията) Сходимостта на реда на Фурие в дадена точка зависи само от поведението на функцията в околност на тази точка É В следващото твърдение се предполага че разглежданата функция е регулярна което практически означава че е налице условието от твърдение Твърдение 3 Нека функцията ( ) е -периодична и гладка по части Тогава за всяко R и всяко δ > ( δ ) интегралът δ si + (7) [ ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ] d si клони към нула при Доказателство Интегралът ( 7) записваме във вида δ ( ) + + + (8) si + d si Тук първият множител ( + ) + ( ) ( + ) ( ) съгласно твърдение представлява интегруема функция в интервала [ δ] Същото важи и за втория множител понеже i si По този начин функцията ( ) + + + si се оказа интегруема в интервала [ δ] Сега верността на твърдението се получава след прилагане на теорема É ще получим равенството Ако в израза (4) положим si + d si 5
( + ) + ( ) което след умножаване с приема вида si + ( + ) + ( ) [ ( + ) + ( ) ] d si следователно е в сила равенството ( + ) + ( ) τ (9) si + [ ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ] d si Сега сме готови да докажем следната основна теорема за поточкова сходимост на редовете на Фурие Теорема 3 (Дирихле) Нека функцията ( ) е -периодична и гладка по части Тогава за всяко R е изпълнено ( + ) + ( ) τ iτ те стойността на реда на Фурие в точката е равна на полусбора от лявата и дясната граници на функцията в тази точка Доказателство Доказателството на тази теорема следва веднага от представянето (9) и твърдение 3 É В частност ако ( ) е непрекъсната в точката Да разгледаме отново примера (9) за при < за която пресметнахме зададена като ( ) ( ) + то е изпълнено ( ) ( ) -периодичната функцията ( ) τ τ si Тук функцията ( ) е гладка по части при което има прекъсване от първи род само в точките ( + ) ± ± K за които (( + ) + ) + (( + ) ) В този случай съгласно теоремата на Дирихле имаме τ ( ) при < < и τ τ се повтарят периодично с период τ Останалите стойности на За примера () с -периодичната функцията ( ) зададена като ( ) при < намерихме следния ред на Фурие ( ) τ + 4 cos 3 е гладка по части и навсякъде непрекъсната В този случай Тук функцията съгласно теоремата на Дирихле имаме ( ) на τ ( ) се повтарят периодично с период τ при Останалите стойности Да разгледаме още следния пример Нека ( ) е -периодичната функция при < и ( ) при < определена като формулите за коефициентите пресмятаме Следвайки 6
cos d K ( ) si d si d cos K следователно 4 и + K ( + ) За реда на Фурие намираме 4 si + ~ τ + е гладка по части при което има прекъсване от първи род само в точките ± ± K за които ( + ) + ( ) На следващата заедно с графиката на частичните суми при Функцията ( ) рисунка е дадена графиката на ( ) 3 3 Рис В този случай съгласно теоремата на Дирихле имаме τ ( ) ( ) при ± ± K и τ( ) Ако в представянето на функцията ( ) положим ще получим интересното равенство + + + L + ( ) + L 4 3 5 7 9 + На рис се вижда явлението на Гибс което се състои в особеното поведение на реда на Фурие в околност на точките на прекъсване за функцията 3 3 Рис На рис е показана графиката на частичните суми при 7 Редове на Фурие за -периодични функции Сега ще разглеждаме функции ( ) с период T > При се получава вече познатия случай на - периодични функции В този случай функциите () c ( ) c ( ) cos s ( ) si K 7
образуват ортонормирана система за интервала [ ] Редът на Фурие тук има вида () ( ) ~ + cos + si където коефициентите се пресмятат по формулите ( ) cos d K ( ) si d K Когато функцията ( ) е четна всичките коефициенти са равни на нула а редът на Фурие приема вида () ( ) ~ + cos ( )cos d K При нечетна функция ( ) всичките коефициенти са равни на нула а редът на Фурие приема вида (3) ( ) ~ si ( )si d K В тези случаи формулата () се нарича развитие по косинуси а формулата (3) се нарича развитие по синуси Верността на () и (3) се получава веднага от следното твърдение чиято вярност се получава непосредствено g е четна функция то за всяко > е изпълнено Твърдение 4 Ако ( ) d g( ) g d Ако ( ) g е нечетна то g ( ) d É Теоремата на Дирихле за поточковата сходимост на реда на Фурие остава в сила и за редовете (-3) Всичките развития в ред на Фурие досега се отнасяха за интервала [ ] който е симетричен спрямо нулата Всъщност системата от функции () образува ортонормиран базис и за всеки интервал [ + ] По този начин всеки интервал от вида [ + ) може да бъде предварително избран за основен при което функцията ( ) се задава конкретно над основния интервал а останалите стойности се определят еднозначно от изискването за -периодичност Друг често използван основен интервал освен [ ) е интервалът [ ) който за -периодичните функции е интервалът [ ) Вида на реда на Фурие както и формулите за пресмятане на коефициентите остават същите 3 Диференциране на редовете на Фурие Тук ще разглеждаме непрекъсната и гладка по части -периодична функция ( ) Най-елементарен е случаят когато ( ) има непрекъсната производна навсякъде В общия случай производната съществува навсякъде с изключение евентуално на някои точки които са краен брой във всеки ограничен интервал а във всяка такава точка съществуват двете едностранни 8
при което така определената "обобщена" производна представлява непрекъсната по части функция Тук от особено значение е фактът че остава в сила формулата за интегриране по части производни В последния случай производната отново ще означаваме ( ) ( ) g( ) d ( ) g( ) ( ) dg( ) за всяка непрекъснато диференцируема функция g ( ) Верността на последната формула може да се проследи чрез елементарни разсъждения Нека ( ) е непрекъсната и гладка по части -периодична функция с ред на Фурие (4) ~ + [ cos + si ] Тогава нейната производна ( ) представлява интегруема функция която по определение има ред на Фурие (5) ~ + [ cos + si ] За коефициентите на реда имаме ( ) cos d cos d ( ) ( ) cos ( ) d cos ( ) d si K d ( ) si d si d ( ) ( ) si ( ) d si Следователно ( ) d cos K ( ) ~ [ cos si ] което означава че редът на Фурие (5) за производната ( ) почленно диференциране на реда на Фурие за функцията ( ) доказахме се е получил от По този начин Теорема 4 Нека ( ) е непрекъсната и гладка по части -периодична функция Тогава реда на Фурие за производната ( ) се получава посредством почленно диференциране реда на Фурие на функцията ( ) É Например за -периодичната функцията ( ) зададена като ( ) при < имаме ( ) + 4 cos ( ) 3 (6) След почленно диференциране получаваме вече известното развитие 9
+ ( ) 4 si ( ) 4 Интегриране на редовете на Фурие Нека ( ) е -периодична функция която предполагаме непрекъсната или имаща евентуално с краен брой прекъсвания от първи род в интервала [ ] Да разгледаме нейния ред на Фурие () ~ + [ cos + si ] След почленно интегриране последното приема вида () d ~ d + cosd + si d което дава основание на напишем следното (формално засега) равенство si cos (7) () d + + Теорема 5 Нека ( ) удовлетворява горното условие Тогава редът на Фурие за ( ) може да се интегрира почленно при което е вярна формулата (7) Доказателство Да разгледаме функцията Φ( ) ( ) d Непосредствено се проверява че ( ) Φ представлява непрекъсната и гладка по части -периодична функция Нейната периодичност се вижда от равенството Φ + ( + ) Φ( ) () d () d в което се използва твърдение За производната на ( ) ( ) ( ) Φ Φ имаме във всяка точка където ( ) е непрекъсната Да образуваме реда на Фурие за ( ) A (8) Φ + [ A cos + B si ] За коефициентите пресмятаме A A A B B Φ( ) cos d Φ( ) d si Φ( ) si si dφ si dφ( ) Φ ( ) si d ( ) si d ( ) d + d si si K Φ Φ( ) si d Φ( ) d cos Φ( ) cos + cos dφ cosdφ( ) Φ ( ) cosd ( ) cosd
B ( ) d d cos cos K Следователно (8) има вида A (9) Φ + cos + si За да пресметнем A във формулата (8) полагаме след което получаваме A A което след заместване в (9) дава формулата (7) É Например от (6) имаме + 4 cos ( ) 3 което след интегриране от до < получаваме ( ) d d + 4 cos d 3 ( ) 3 + 4 si ( ) 3 3 3 откъдето намираме следния ред на Фурие 3 4 si ( ) 3 3 3 5 Комплексна форма на запис на редовете на Фурие В този раздел ще разглеждаме комплекснозначни функции на реален аргумент ( ) + ig( ) където i е имагинерната единица i Диференцирането и интегрирането на такива функции се извършва почленно [ ( ) + ig( ) ] ( ) + ig ( ) и [ ( ) + ig( ) ] d ( ) d + i g ( ) d Да припомним формулата на Ойлер α e i cosα + i si α α R За да получим реда на Фурие в комплексна форма разглеждаме следните базисни функции i e ( ) e [ cos + i si ] ± ± K при което i e( ) e [ cos i si ] e( ) ± ± K Те изпълняват условията за ортонормираност ( ) e ( ) d e при Нека ( ) е ( ) c ( ) ( ) ( ) d e e -периодична функция Редът на Фурие в този случай има вида i ~ e ce където коефициентите се получават по формулите
( ) ( ) c c d ± ± K Горните формули могат да се модифицират по следния по-прегледен начин () където i ~ c e i () c ( ) e d ( ) cosd i ( ) si d ± ± K Съпоставяйки () с познатите формули за реда на Фурие ~ + [ cos + si ] където d cosd si d K намираме следните съотношения c c ( i ) c ( + i ) K откъдето получаваме c + c c c + c i( c c ) K Последното показва че (-) представлява алтернативна форма на запис на реда на Фурие която форма в много случаи се явява по-удобна е -периодична функция Тук базисните функции имат вида Нека сега i ( ) e cos + isi e ± ± K при което i e ( ) e cos isi ± ± K Те също изпълняват условията за ортонормираност ( ) e ( ) d e при ( ) e ( ) d e Редът на Фурие в този случай се записва () i ~ c e където коефициентите се получават по формулите (3) c ( ) e d ( ) cos d i ( ) i d ± ± K