Тема 9: Параметри на синусоидалните напрежения и токове Символично представяне на синусоидални и несинусоидални величини Елементарни двуполюсници в установен синусоидален режим Теоретична част Параметри на синусоидалните напрежения и токове ) Моментна стойност Общият вид на функциите на синусоидалните напрежения и токове е следният: ( t ) sn( ω t + ψ ) и ( t ) I sn( ω t + ψ ) където - I са максималните или амплитудни стойности на синусоидалните величини; - ω t + ψ ) ω t + ψ ) - фази на синусоидалните величини; ( - ψ ( ψ - начални фази - определят стойността на величините в началния момент (t0); - Т - период на синусоидалната величина - времето за което величината прави едно пълно изменение [s]; - f - честота - броят на периодите за една секунда [Hz]; T π - ω πf - ъглова честота - ъгълът с който фазата на синусоидалната величина T нараства за един период [rad/s s ]; - ϕ ψ ψ - фазова разлика - разликата между началните фази на напрежението и тока в една верига ) Средна стойност - средноаритметичната стойност на синусоидалната величина за един положителен полупериод: Т ср ( t )dt 0637 T 0 π Т ; I ср ( t )dt I 0637I T 0 π 3) Ефективна стойност - под ефективна (средноквадратична) стойност на един синусоидален ток се разбира такава стойност на постоянен ток при която за едно и също време двата тока предизвикват един и същ енергиен ефект в два еднакви резистора: Т I I ( t )dt 0 707I Т 0 Под ефективна стойност на едно синусоидално напрежение се разбира такова постоянно напрежение което обуславя ток равен по ефективната стойност на тока обусловен от синусоидалното напрежение: Т ( t )dt 0 707 Т 0
Мощности при синусоидални режими ) Моментна мощност Ако в една електрическа верига общият вид на функциите на входното напрежение и входния ток е ( t ) snωt ( t ) I sn( ωt ϕ ) произведението от моментните стойности на напрежението и тока във веригата p( t ) ( t )( t ) snωti sn( ωt ϕ ) I csϕ I cs( ωt ϕ ) се нарича моментна мощност Физическият смисъл на моментната мощност е скорост на обмен на енергия между източника и консуматора в електрическата верига ) Активна мощност - средната стойност на моментната мощност за един период която съответства на постоянната съставка: T P p( t )dt I csϕ T [W] 0 Tва е мощността свързана с електрическата енергия която се преобразува необратимо в друг вид (напр топлинна светлинна механична и др) 3) Пълна мощност - амплитудната стойност на променливата съставка на моментната мощност: S I [VA] Това е най-голямата възможна стойност на активната мощност която се получава при csφ Отношението P P csϕ I S се нарича фактор на мощността и показва каква част от пълната мощност е активната или частта която отива за извършване на полезна работа 4) Реактивна мощност Променливата съставка на моментната мощност може да бъде представена по следния начин: I cs( ωt ϕ ) I csϕ cs ωt + I snϕ sn ωt Pcs ωt + Q sn ωt Изразът: Q I snϕ [VA] се нарича реактивна мощност - мощността свързана с енергията запасявана в електрическите полета на кондензаторите и магнитните полета на бобините 5) Връзка между различните видове мощности P I cs ϕ S csϕ ; Q I snϕ S snϕ ; P csϕ Q snϕ S I + P Q 3 Символично представяне на синусоидалните величини с комплексни числа Комплексната функция ( t ) e j( ωt + ψ ) cs( ωt + ψ ) + j sn( ωt + ψ )
3 съдържа в имагинерната си част синусоидалната функция и се приема за нейно изображение те: j( ωt+ ψ ) jωt ( t ) e & e sn( ωt + ψ ) Величината j & ψ e - се нарича комплексна амплитудна стойност а j & ψ e ψ - се нарича комплексна ефективна стойност или комплекс на синусоидалната величина Ако разгледаме комплекса на синусоидална величина като комплексно число то последното може да се запише със следните форми (алгебрична експоненциална и тригонометрична): b ψ & jarctg a j a + jb a + b e re r csψ + jr snψ където а r csψ b r snψ r a + b - са съответно реална и имагинерна част на комплексното число а b - модул и аргумент на синусоидалната величина ψ arctg a Модулът на комплексното число съответства на ефективната стойност на синусоидалната величина а аргументът съответства на началната фаза 4 Символично представяне на несинусоидални величини с комплексни числа Комплексното изображение дава възможност като комплексни числа да бъдат представени и електрически величини които не са синусоидални функции като например импеданс и мощност Нека комплексите на напрежението и тока в една верига са съответно & и j ψ Ie I ψ jψ e ψ ) Комплексно съпротивление (импеданс) Отношението на комплексите на напрежението и тока в една верига се нарича комплексно съпротивление или комплексен импеданс на електрическата верига: jψ & e j( ψ ψ ) jϕ Z е ze jψ Ie I където - z е модулът на импеданса равен на отношението на ефективните стойности на I напрежението и тока; - φ е аргументът на импеданса равен на фазовата разлика във веригата ) Комплексна мощност Произведението от комплекса на напрежението и комплексно спрегнатата стойност на тока се нарича комплексна мощност: S& j j j & ψ I e ψ ϕ Ie Ie I csϕ + ji snϕ P + jq Активната мощност е реалната част на комплексната мощност: P e{ S& } I csϕ а реактивната мощност е имагинерната част от комплексната мощност Q I S& I sn { } ϕ
4 5 Елементарни двуполюсници ) Двуполюсник от съпротивителен елемент Ако на изводите на един съпротивителен елемент с активно съпротивление e подадено синусоидално напрежение ( t ) sn( ω t + ψ ) то за тока през по закона на Ом се получава ( t ) ( t ) sn( ω t + ψ ) I sn( ωt + ψ ) Амплитудната и ефективната стойност са съответно I ; I а началната фаза на тока и фазовата разлика във веригата са: ψ ψ ; ϕ ψ ψ 0 Изразът за комплекса на тока е & jψ jψ Ie e откъдето & Мощността която се отделя в елемента jϕ { Ie } I csϕ + ji snϕ P + j0 P S& & I ϕ 0 е чисто активна и може да се определи от изразите: P I I ) Двуполюсник от индуктивен елемент Ако на изводите на един индуктивен елемент с индуктивност e подадено синусоидално напрежение ( t ) sn( ω t + ψ ) изразът за тока през него е π ( t ) ( t )dt sn( t )dt sn( t ) ω + ψ ω + ψ ω Амплитудната и ефективната стойност на тока в елемента са I ; I където ω [Ω] - се нарича индуктивно съпротивление Началната фаза на тока и фазовата разлика във веригата са: π π ψ ψ ; ϕ ψ ψ Комплексът на тока е j( ) j ψ & π ψ Ie e j или & j I & където j е комплексното съпротивление на индуктивния елемент Мощността която се отделя в елемента
5 jϕ { Ie } π I csϕ + ji snϕ 0 + jq jq S& & I ϕ е чисто реактивна и може да се определи от изразите: Q I snϕ I 3) Двуполюсник от капацитивен елемент Ако на изводите на един капацитивен елемент с капацитет e подадено синусоидално напрежение ( t ) sn( ω t + ψ ) тока през него е d( t ) d sn( ωt + ψ ) π ( t ) sn( ωt + ψ + ) dt dt ω Амплитудната и ефективната стойност на тока в елемента са: I ; I където [Ω] - се нарича капацитивно съпротивление ω Началната фаза на тока и фазовата разлика във веригата са: π π ψ ψ + ; ϕ ψ ψ Комплексът на тока е π j( ) j ψ + & ψ Ie e j или & j I & където j е комплексното съпротивление на капацитивния елемент Мощността която се отделя в елемента: jϕ { Ie } π I csϕ + ji snϕ 0 jq jq S& & I ϕ е чисто реактивна и може да се определи от изразите: Q I snϕ I Решени примери 3- Двуполюсник от последователно свързани резистор с активно съпротивление 0Ω и бобина с индуктивност 796H е захранен от източник на синусоидално напрежение с моментна стойност ( t ) 33 sn 346t V (фиг3а) Да се определят моментните стойности на тока във веригата напреженията на резистора и бобината както и фазовата разлика между входното напрежение и тока Да се построи векторната диаграма на веригата
6 a) б) фиг3 Решение: Такава верига се анализира чрез преобразуване За нея се записва уравнение по II закон на Кирхоф с моментните стойности на напреженията + чиито комплексен образ е & + & + j ( + j ) Z & Комплексното съпротивление (импеданс) на веригата е сума от комплексните съпротивления на двата елемента (фиг3б): Z където Тогава jarctg jϕ + j + e ze 3 ω 3467960 5Ω e индуктивното съпротивление на бобината Z 0 + j5 0 + 5 e 5 jarctg 0 j68 693e 693 68 Ω Аргументът на импеданса е точно фазовата разлика във веригата: φ68 Комплексът на тока във веригата е & 0 0 ψ Z z ϕ 693 68 87 68 A а неговата моментна стойност ( t ) 87sn( 346t 68 ) A Комплексната ефективна стойност на напрежението върху резистора е & 087 68 87 68 V откъдето за моментната стойност се получава ( t ) 87 sn( 346t 68 )V По аналогичен начин за напрежението на бобината: & j j587 68 5 90 87 68 045 8 V и ( t ) 045sn( 346t + 8 )V Векторната диаграма на веригата включва комплексите на напреженията на елементите и входното напрежение както и комплекса на тока в обща диаграма Тя е построена принципно на фиг3
7 фиг3 От векторната диаграма може да се направи проверка на получените резултати Напреженията образуват правоъгълен триъгълник при което за връзката между ефективните стойности на тези напрежения е в сила равенството: + или в числов вид с получените стойности 87 + 045 0 998 0 3-4 На фиг34 е показан двуполюсник от последователно свързани резистор с активно съпротивление 0Ω бобина с индуктивност 386H и кондензатор с капацитет 59μF захранен от източник на синусоидално напрежение с моментна стойност ( t ) 0sn 346t V Да се определят: импедансът на веригата фазовата разлика ефективните стойности на тока и напреженията на елементите Да се построи векторната диаграма на веригата Решение: фиг34 За дадената верига по II закон на Кирхоф се записва уравнението: + + или в комплексен вид & + & + & + j + ( j ) [ + j( )] Z & Комплексният импеданс на веригата е Z + j( ) + ( където: 3 - ω 346380 0Ω - 0Ω 6 ω 346590 Тогава ) e ( jarctg ) ze jϕ
8 Z 0 + j(0 0 ) 0 + 0 e 0 jarctg 0 j6 57 36e 36 657 Ω те фазовата разлика във веригата е φ 657 Минусът пред φ показва че токът изпреварва входното напрежение и веригата като цяло има капацитивен характер За комплекса на тока във веригата се получава & 0 984 657 A Z 36 657 Комплексните ефективни стойности на напреженията на елементите са: & 0984 657 968 657 V & j 0 90 984 657 984 657 V & j 0 90 984 657 968 6343 V Векторната диаграма на веригата е построена принципно на фиг35 при ψ 0 те завъртяна на ъгъл φ 657 фиг35 3-6 Един от начините за опитно определяне на параметрите на един пасивен двуполюсник е чрез измерване на входното напрежение входния ток и активната мощност както е показано на фиг37a Да се определят еквивалентните параметри на двуполюсника ако измерените стойности са следните: 36V; I0945A; P34W и f50hz Решение: a) б) в) фиг37 ) Последователна заместваща схема - фиг37б Активната мощност консумирана от двуполюсника е P I csϕ I откъдето за активното съпротивление се получава P 34 5Ω I 0945 Отношението на ефективните стойности на напрежението и тока дава импеданса на веригата:
9 36 z 38095Ω I 0945 От друга страна при последователно свързани елементи импедансът на веригата е z + откъдето z 350Ω Тогава за стойностите на реактивните елементи се намира 350 5 H ω π 50 или 9089 μf ω π 50350 ) Паралелна заместваща схема - фиг37в При паралелно свързани елементи за да бъдат двата двуполюсника еквивалентни трябва да е изпълнено условието: Y j j G jb Z + j j + + В случая G 5 000335 s + 5 + 350 и B 350 0043s + 5 + 350 Тогава за съпротивленията на елементите от паралелната схема се получава: 96 76 Ω G 000335 и 444 Ω B 0043 За стойностите на реактивните елементи се намира 444 39 H ω π 50 или 768μF ω π 50444 Проверка: Еквивалентният импеданс на елементите от последователната схема е j 96 76 j444 Z 5 + j350 Ω + j 96 76 + j444 На практика за определяне на характера на еквивалентния реактивен елемент паралелно на двуполюсника се включва кондензатор и по промяната на входния ток се съди за вида на елемента: ако токът нарасне елементът е капацитивен ако намалее е индуктивен
0 3-8 За стойностите на елементите от схемата на фиг38 е дадено: 5Ω 5Ω 0H 00μF и ( t ) 00 sn 500t V Да се определят показанията на уредите във веригата ако последните се приемат за идеални Решение: фиг38 Съпротивленията на реактивните елементи във веригата са: 3 ω 50000 5Ω 0Ω ω 500000 6 Входният ток във веригата който амперметърът измерва може да бъде намерен като сума от токовете в двата паралелни клона включени директно към захранващия източник където : & + 4 j 44 83 A I & 00 0 j0 44 45 A + j 5 + j5 & 00 4 + j8 894 6343 A j 5 j0 Показанието на амперметъра е ефективната стойност на този входен ток: I A I 44 A Напрежението което волтметърът измерва се намира по II закон на Кирхоф за някой от възможните контури свързващи двата извода на волтметъра: & j j5( 0 j0 ) 5( 4 + j8 ) V 30 + j0 36 843 V или ефективната стойност която волтметъра показва е V 36V 3- Еднофазен асинхронен двигател (АД) с мощност PkW свързан към захранваща линия с напрежение 0V и честота f50hz работи при csφ 07 (φ>0) Да се определи капацитетът на кондензатор който трябва да се включи паралелно на консуматора за да се повиши факторът на мощността на захранващата линия до csφ 095
Решение: a) б) фиг3 Консуматорът (АД) може да се представи с паралелна заместваща схема както е показано на фиг3а Тогава токът през него I може да се разложи като сума от чисто активна (I ) и чисто реактивна (I ) съставка както е показано на векторната диаграма на фиг3б: I & + със стойности I I csϕ и I I snϕ При включване на кондензатор паралелно на консуматора се компенсира част от реактивната съставка и токът в линията намалява: I & + а с това и ъгълът на дефазиране между напрежението и тока в линията и става φ От векторната диаграма се вижда че една и съща активна мощност може да се постигне за различни стойности на тока в линията и csφ: P I csϕ I csϕ При това положение колкото по-висок е csφ толкова по-ниски са загубите на мощност в линията които зависят от квадрата на тока За стойността на тока през кондензатора се получава: I I I I snϕ I snϕ P P P snϕ snϕ ( tgϕ tgϕ ) csϕ csϕ От друга страна по закона на Ом I ω откъдето за капацитета се получава I P ( tgϕ tgϕ ) ω ω 00 [ tg(arccs0 7 ) tg(arccs095 )] 00μF π 500 3-5 Да се определи показанието на ватметъра в показаната на фиг35 електрическа верига ако е дадено: 5Ω 0Ω 3 0Ω 50V
фиг35 Решение: Изразът за мощността отчитана от ватметъра е P W e{& I } W ab * 3 където - & ab е комплексът на напрежението върху напрежителната намотка на ватметъра която образува самостоятелен клон; * - I 3 е комплексно спрегнатата стойност на тока през токовата намотка която се включва последователно на някой от клоновете във веригата Трябва да се обърне внимание че началният индекс на напрежението както и знакът на тока в този израз се определят от положението на едноименните изводи на ватметъра (отбелязани със звездички на схемата) Първият индекс за напрежението се присвоява от точката чийто потенциал има белязания извод на напрежителната намотка Ако избраната посока на тока постъпва в белязания извод на токовата намотка то токът участва в израза за мощността със знак + Входният ток на двуполюсника е & Z ( & j 3 Σ + j3( ) а комплексът на тока I & 3 е j I & 3 I & 5 45 A + j 3 Напрежението на напрежителната намотка е & ( j ) j50v ab + ) 0A Тогава за показанието на ватметъра се получава: P e{ j505 45 } 50W Знакът минус в получения резултат означава че практически ватметърът ще се отклонява в обратна посока За да се получи правилно отклонение трябва да се смени посоката на тока в една от двете намотки В конкретния случай ватметърът не измерва реално потребявана мощност За да отчита реално консумирана активна мощност напрежението и токът през намотките му трябва да са входни величини на един двуполюсник
3 Нерешени задачи 3- Към източник на синусоидално напрежение с параметри 0V и f50hz е включен двуполюсник от последователно съединени резистор със съпротивление 9Ω и бобина с индуктивност 4H Във веригата са включени амперметър и два волтметъра както е показано на фиг33 Да се определят показанията на уредите и фазовата разлика между входното напрежение и входния ток (Уредите измерват ефективните стойности на синусоидалните величини и се приемат за идеални: ; 0 ) V А фиг33 Отг: 75 A; 676 V ; 99V ; ϕ 55 7 I 3-3 През двуполюсник от последователно свързани резистор със съпротивление 50Ω и кондензатор с капацитет 4μF протича синусоидален ток с ефективна стйност I08A и честота f00hz Да се определят: импедансът Z ефективните стойности на входното напрежение напреженията на елементите и и фазовата разлика φ между входното напрежение и тока Да се построи векторната диаграма на веригата Отг: Z 4699 Ω ; 846 V ; 45V ; 76 V ; ϕ 5786 3-5 При измерване на напреженията в една верига от последователно свързани и елементи е допусната грешка в свързването поради което са измерени не напреженията на отделните елементи а ефективните стойности на входното напрежение и на сумарните напрежения ( + ) и ( + ) както е показано на фиг36 Определете напреженията на отделните елементи ако показанията на така свързаните уреди са: 0V 55V 3 V и е известно че фазовата разлика е положителна (φ>0) фиг36 Отг: 6V 50V 38V 3-7 Комплексният импеданс на един двуполюсник е Z(560 j750)ω а активната мощност измерена на входа му е P4W Да се определят еквивалентните параметри на двуполюсника напрежението и токът на източника и фазовата разлика между тях ако честотата е f800hz Отг: 560 Ω ; 065 μf 79V ; I 00845 A; ϕ 535
4 3-9 Да се определят показанията на уредите във веригата на фиг39 ако е дадено: 0Ω 0H 50μF 40Ω 40H 5μF и ( t ) sn 000t A фиг39 Отг: 40V; 0V; I A V V A 3-0 Да се определът комплексният импеданс и комплексът на входната мощност за веригата от фиг30 ако захранващото напрежение е синусоидално с ефективна стойност 50V и честота f4775hz а стойностите на елементите са: 5Ω 005H μf 3 5Ω 3 005H 4 0H фиг30 Отг: Z Σ ( 40 + j30 ) Ω ;S & Σ (000 + j750 )VA 3-3 Консуматор на електроенергия с параметри 0V f50hz P50kW csφ 07 (φ>0) се захранва посредством двупроводна линия с активно съпротивление л 0Ω Да се определи капацитетът на кондензатор включен паралелно при който факторът на мощността на захранващата линия ще се повиши до csφ 09 и да се определи икономията от загуби на мощност в линията вследствие на това повишение Отг: Δ P P л ( I I ) л ( ) 4645 W cs ϕ cs ϕ ; 76μ F