Механика ISSN 131-383 Транспорт том 1, брой 3/3, 1 г. Комуникации статия 73 Научно списание hp://www.mc-aj.com ИЗСЛЕДВАНЕ НА СИНХРОНИЗАЦИЯТА МЕЖДУ ХАОТИЧНИ СИГНАЛИ, ГЕНЕРИРАНИ ОТ СВЪРЗАНИ СИСТЕМИ ЗА ФАЗОВА АВТОМАТИЧНА ДОНАСТРОЙКА НА ЧЕСТОТАТА Галина Чернева cherneva@vu.bg ВТУ Тодор Каблешков София, 1574, ул. "Гео Милев" 158, БЪЛГАРИЯ Ключови думи: хаотични сигнали, система за фазова автоматична донастройка на честотата, фазова синхронизация, уейвлет преобразуване Резюме: В настоящата работа се разглежда метод за определяне на фазата на хаотичния сигнал на базата на непрекъснато уейвлет преобразуване. Основната идея на метода е илюстрирана на примера на система с хаотично превключване, в която хаотичните генератори са на базата на схема за фазова автоматична донастройка на честотата (ФАДЧ). 1. Въведение в проблема Хаотичната синхронизация е едно от фундаменталните явления в съвременната теория на нелинейната динамика и се наблюдава в редица биологични, физиологични и физични системи [1]. В радиокомуникационната техника интересът към този въпрос основно е свързан с проблема за защита на предаваната информация. В литературата са известни различни методи за конфиденциално предаване на информация на основата на хаотична синхронизация [1,,3]. Болшинството от тях са свързани с пълна синхронизация на хаотичните генератори в предавателя и приемника. Принципен недостатък на тези схеми е необходимостта от идентичност както на хаотичните системи, така и на началните условия, от които те стартират, което на практика е трудно реализуемо. Освен това е доказано [3], че в тези случаи устойчивостта срещу смущения в канала за връзка е много ниска. При проектиране на комуникационни системи с динамичен хаос изборът на генераторната схема на хаотични сигнали се определя от възможността за генериране на слабо корелирани хаотични колебания, чийто характеристики да се управляват чрез въздействие върху параметрите на системата. От друга страна, от гледна точка на устойчивостта срещу смущения, в качеството на модулиран параметър е добре да се използва неенергиен параметър на сигнала, какъвто например е неговата фаза. Тези съображения определят добре известните системи за фазова автоматична донастройка на честотата (ФАДЧ) [4] като подходящи за генераторни схеми на хаотични сигнали в комуникационните системи с динамичен хаос [5]. Разположени в предавателя и BG-7.64
приемника, в качеството на управляваща и подчинена хаотични системи [1], ФАДЧ системите трябва да се синхронизират, за да е възможно отделянето на информационния сигнал. Това става чрез изравняване ( захващане ) на фазите на хаотичните сигнали, т.е. реализиране на фазова хаотична синхронизация [6]. Установяването на момента на фазова синхронизация между ФАДЧ системите в предавателя и приемника е свързано с определяне на моментните фази на синхронизираните сигнали. Фазата на хаотичния сигнал може да се търси по различни начини. Един от методите е [] тя да се определи като променлива, съответстваща на нулевия показател на Ляпунов за хаотичната система. Но този метод е трудно приложим за динамични системи от по-висок ред. Друг метод използва сечението на Пуанкаре [3], като предполага, че между две последователни пресичания на фазовата траектория със сечението на Пуанкаре фазата на сигнала се изменя линейно [3]. Но този метод е приложим за хаотични системи с по-проста топология на атрактора. Фазата на хаотичния сигнал може да се определи чрез непрекъснатото уейвлет преобразуване [7,9]. Този метод е приложим за по-широк кръг хаотични системи, в това число и за режими с почти неизвестна фаза на сигнала. В настоящата работа се изследва синхронизацията между свързани системи за ФАДЧ, използвани като хаотични генератори в комуникационна система за предаване на дискретни сигнали. Моментните фази на хаотичните сигнали са определени като е приложено непрекъснато уейвлет преобразуване с двупараметрична базисна комплексна функция.. Определяне фазата на хаотичен сигнал чрез непрекъснато уейвлет преобразуване Същността на метода за определяне фазата на хаотичния сигнал чрез непрекъснато уейвлет преобразуване се базира на конволюция на изследваната функция с двупараметрична базисна уейвлет функция. Подходяща за тази операция е базисната комплексна функция на Морлет [7], която представя сигнала в двумерно уейвлет пространство с координати време- честота (мащаб) : (1) ψ ( ) = 1 jπf c f e e w, πf w където f w е ширина на честотната лента, f c е централна честота на уейвлета. В това пространство е в сила съотношението : 1 s, f w + R където s е времеви мащаб, съответстващ на честотната компонента 1 () f w = s на Фурие преобразуването за изследваната времева реализация. От базисна функция (1) може да се получи уейвлет функция [7]: 1 ψ s, = ψ. s s (3) ( ) BG-7.65
Времевият мащаб s определя ширината на уейвлета, а - отместването във времето. Чрез въвеждането на (3) става възможно анализирането на хаотичния сигнал чрез разлагане по базисни функции, получени от прототип (1) чрез операциите свиване (разтягане) и преместване. Така се обхваща цялото сигнално пространство и всеки сигнал x ( ) може да се разложи в ред по използваната базисна функция (1), като се определят уейвлет-коефициентите: *, = ψ s,, * (4) C( s ) x( ) ( )d където ψ s, е спрегнатия комплекс на функция (3). Коефициенти (4) са комплексни от вида: jϑ (5) ( ) ( ) ( C s, ) = C s, s e, където (6) C ( s, ) = mod{ C( s, )} е амплитудата и характеризира присъствието на съответния времеви мащаб в момента, а (7) ( ) arg{ C( s )} θ s =,, е фазата, с която е свързан всеки времеви мащаб. Така динамиката на всяка хаотична система може да се илюстрира в тримерното пространство чрез повърхнините на амплитудата (6) и на фазата (7). Т.е. уейвлеткоефициентите (4) характеризират поведението времеви мащаб s и за всяко. на хаотичната система във всеки 3. Изследване на снхронизацията на свързани системи за ФАДЧ. Синхронизация на базата на времевите мащаби е изследвана за свързани системи за ФАДЧ, използвани като хаотични генератори в система с хаотично превключване за предаване на дискретни сигнали, фиг.1, [5]. Управляваща хаотична система s1, fs1 ud1 u y 1 OГ ФД НЧФ предавател u 1, f 1 УГ f y1 УЕ OГ приемник Подчинена хаотична система Ф НЧФ Д u, f УГ УЕ n ( ) + ФД u, f u 1, f 1 δ Фиг.1 За най-простия случай на нискочестотен филтър (НЧФ) - RC филтър от първи ред и дискриминационна характеристика на фазовия дискриминатор (ФД ) от вида cos ϕ, процесите в схемата от фиг.1 се описват с уравненията [5] : ( ) BG-7.66
(8) d ϕ π 1 1 dϕ U 1 ms y πf + + cosϕ1 = d τ d τ τ, d ϕ ϕ π 1 d U ms y πf ϕ δ ( ϕ ϕ ) ( ) + + cos + cos 1 + n = d τ d τ τ където: ϕ 1 и ϕ са разлики във фазите на сигналите, генерирани от опорния и управляемия генератори (съответно ОГ и УГ) в предавателя и приемника, f - начална разстройка на честотата, от която зависи и корекцията f y1, осъществявана от управляващия елемент (УЕ), τ - времеконстанта на НЧФ, U m - максималната стойност на изходното напрежение от ФД, S y - стръмност на характеристиката на УЕ, δ - параметър на връзката, n ( ) - адитивен бял шум Чрез изменение на началната честотна разстройка между две стойности f 1 и f в управляващата хаотична система могат да се реализират две хаотични колебания с различни атрактори [8]. Едното съответства на предаване на символ на дискретния информационен сигнал, а другото - на символ 1. Така управляващата хаотична система ще се превключва между двата атрактора в зависимост от двоичния информационен сигнал. Съответният параметър f на подчинената хаотична система през времето на предаване е с големина f 1, а всички останали параметри на двете хаотични системи са идентични. Стойността f се подбира така, че за нея двете хаотични системи да не могат да се синхронизират. Така синхронизация между управляващата и подчинената системи настъпва само за периодите на подаване на, когато има пълно съвпадане между параметрите им. Синхронизацията между управляващата и подчинената системи от фиг.1 е свързана с изравняване на моментните фази θ 1 и θ на сигналите u 1 и u. Тъй като това е много трудно установимо, то се счита за достатъчно [3] разликата на фазите да е ограничена по време, т.е. (9) lim θ 1( ) θ ( ) M, където М е положителна константа. Установяването на условие (9) може да се реализира като се използва непрекъснато уейвлет преобразуване с базисна функция (1) на сигнали u 1 и u. Това става по следния начин. След конволюция на всеки от сигналите от вида: * Ci s, = i ψ s,, i = 1,. се определят моментните фази: (11) θ si ( ) = arg{ Ci ( s, )}, i = 1,. (1) ( ) u ( ) ( )d BG-7.67
От разпределението на енергията на уeйвлет-спектъра: (1) Ei ( ) = Ci ( s, ) d, i = 1, s се разграничават тези времеви мащаби s [ s a, s b ], за които енергията е различна от нула sb (13) E = Ei ( ) ds >, i = 1, sa и за които е изпълнено условието: (14) θ s = θs1( ) θs ( ) cons. Времеви мащаби s [ s a, s b ], за които са изпълнени условия (13) и (14), са синхронизирани и за тях двете хаотични системи са в синхронизация. По описания алгоритъм, чрез пакет Wavele Toolbox на програма Malab, е проследена динамиката на управляващата и подчинената хаотични системи от фиг.1 за времеви мащаби s 1 = 1, s = 5, s 3 = 1, при f w = fc = 1, δ =, 1 = cons и без смущения в канала. Получените зависимости са дадени на фиг.. θ 15 1 5-5 -1-15 s 1 s s 3,s 4 6 8 Фиг. Вижда се, че фазите на хаотичните колебания u 1 и u се изравняват за s 3 = 1, т.е тогава хаотичните системи в предавателя и приемника от фиг.1 са синхронизирани. 4. Изводи Чрез предложения в работата алгоритъм за определяне на моментните фази на хаотичните сигнали и тяхната динамика чрез непрекъснато уейвлет преобразуване с двупараметрична базисна комплексна функция е получено семейство фази θ s, съответстващо на различни времеви мащаби на хаотичния процес. Чрез направените изчисления е установено, че най-напред се синхронизират тези времеви мащаби, за които частта от енергията на уeйвлетния спектър е най-голяма. Литература [1] Blekhman I.Synchronizaion in Science and Technology. New York: ASME Press, 1988 BG-7.68
[] Pecora L.M., T.L Caroll, Synchronizaion in chaoic sysems. Phys. Rev. Le., vol. 64.199 [3] Kocarev L., Halle K.S., Ecker K., Chua L., Parliz U. Experimenal demonsraion of secure communicaions via chaoic synchronizaion. In. J. Bifurcaion and chaos. 199/ 3. рp. 79-713. [4] Шахтарин Б. Н. Генераторы хаотических колебаний. Гелиос АРВ, М. 7 [5] Чернева Г. Приложение на схема за фазова автоматична донастройка на честотата.в системи за предаване на информация с хаотични сигнали. Годишник на Технически университет-софия, т.6, кн.1, 1, стр.47-5. [6] Kolumban G., M.P. Kennedy, L.O. Chua., The role of synchronisaion in digial communicaions using chaos - par II : Chaoic modulaion and chaoic synchronisaion, IEEE Transacions on Circuis and Sysems - I : fundamenal heory and applicaions, Vol. 45, No. 11, 1998 [7] Чуи Т.К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 1 [8] Чернева Г. Формиране на хаотични процеси в системи за фазова автоматична донастройка на честотата. Механика Транспорт Комуникации. Бр.3.11, стр.viii-8- VIII-1 [9] Короновский А.А., А.Е.Храмов. Анализ фазовой хаотической синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного преобразования. Письма в ЖТФ.4,т.3. [1] Pecora, L. M. & Carroll, T. L. Driving sysems wih chaoic signals," Phys. Rev. Le., A44, 374-383. 1991 BG-7.69