Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата ( квадратурите ) на равнинни фигури с по-сложен контур е причината за появата и развитието на понятието определен интеграл. Един характерен клас такива фигури са тези от типа криволинеен трапец. За напредъка в отговора на въпроса се оказва достатъчно да можем да пресмятаме лице на криволинеен трапец с единствено криволинейно бедро, представляващо графика на функция. Такъв един трапец можем лесно да построим по следния начин. Нека y = ( ) е дадена функция, дефинирана и непрекъсната в крайния и затворен интервал. Върховете на нашия трапец ще са точките A (,), B(,), C (, ( )), D (, ( )) (направете чертеж!). Частта от графиката на функцията ( ), кривата Γ = {(, y) : [, ], y = ( )}, която свързва върховете D и C, ще означим за удобство с CD. За простота ще считаме, че < ( ) < ( ) и кривата CD лежи изцяло над абсцисната ос. Ролята на основи на трапеца (съответно малка и голяма) играят вертикалните отсечки AD и BC. Отсечката AB (от абсцисната ос) е едното бедро, а кривата CD е другото. Въпросът, който ни интересува е как да пресметнем лицето на трапеца ABCD? (Допълнителен коментар в тази насока е даден в т. 3 б), по-долу.) За решаването на въпроса исторически известни са два подхода на Риман (Георг Фридрих Риман, 826 866, немски математик) и Дарбу (Жан Гастон Дарбу, 842 97, френски математик). Изходните идеи и в двата подхода произтичат от аналогията с квадратурата (лицето) на кръга като обща граница на редици от лица на вписани и описани фигури с по-проста геометрия (правилни n -тоъгълници). б) Дефинициите на Риман и Дарбу. Римановата дефиниция на определен интеграл (като величина със смисъл на лице на трапец като ABCD ) си служи с крайни суми от вида: n (.) σn[ ] = ( ξi)( i i ). i= В горния израз са използвани две системи от точки от интервала [, ]: { i}, i =,,2,..., n и { ξ k}, k =,2,..., n, като = < < 2 < < n < n =, а за системата от ξ -точките имаме, че ξi [ i, i], i = n (т.е. i ξ i ). i Системата точки { i } (делящи интервала [, ] на съседни подинтервали [ i, i] ) можем да наричаме система опорни възли, а точките { ξ k } междинни точки ( възли ). Ако направим чертеж на трапеца ABCD и върху същия чертеж нанесем в интервала [, ] точките { } и междинните ξ -точки, непосредствено i
се вижда, че величината σ n[ ] е всъщност сумата от лицата на съседни (долепени един до друг) правоъгълници: в частност k -тият от тях има дължина на основата k k и височина = ( ξ k ), т.е. лицето му е равно на ( k k ) ( ξk). С други думи, ако наречем риманов полигон фигурата, съставена от долепените правоъгълници, числото σ n[ ] е стойността на лицето на полигона. Сумите σ n[ ] обикновено се наричат риманови интегрални суми. m Да означим с Δ n максималната от дължинит е i i, i = n (на подинтервалите [ i, i] ). В конструкциите на Риман и Дарбу се имат предвид всевъзможни системи от опорни възли { i }, удовлетворяващи естесвеното предположение, че, при n, дължините на споменатите подинтервали клонят към нула, т.е.: m (.2) Δn ( n ). Дефиницията на Риман можем да формулираме по следния начин. Нека функцията y = ( ) е дефинирана в интервала [, ]. Ще казваме, че ( ) е интегруема или, че притежава определен интеграл (в смисъл на Риман), в интервала [, ], ако: (i) Всички безкрайни редици { σ n[ ]} са сходящи (при n ) и клонят към една и съща граница; т.е. число I : lim σ n[ ] = I, редица { σ n[ ]}. n (ii) Сходимостта на редиците { σ n[ ]} не зависи от междинните възли { ξ k }, в следния смисъл. За всяко (в т.ч. произволно малко) число ε > положително число δ (изобщо зависещо от ε, т.е. δ = δ( ε) ), така че m неравенството σn[ ] I < ε е изпълнено за всички n : Δ n < δ, за всяка редица { σ n[ ]} и произволна система междинни възли { ξ k }. В такъв случай числото I наричаме определен (риманов) интеграл на функцията ( ) и вместо с I си служим с означението ( d ) ; числата и наричаме съответно долна и горна интеграционна граница. (Последния символ четем като определен интеграл, в граници от до, от/на функцията ( ).) Ограниченост на интегруемите (по Риман) функции. Оказва се, че, ако една функция ( ) е интегруема по Риман, в даден интервал [, ], тя е ограничена (за [, ]). Доказателството (което не е сложно) на това твърдение, може да се види например в учебника на проф. Тагамлицки /) Я. Тагамлицки, Интегрално смятане, изд. Наука и изкуство, София, 967 /. В конструкцията на Дарбу се предполага, че разглежданите функции са ограничени ( [, ]) и се използват съвместно две фамилии интегрални суми, сходни с римановите, като вместо ( ξ i ) участват величините mi = in ( ), [ i, i] или M i = sup ( ), [ i, i] ( i =,2,..., n): n n (.3) sn[ ] = mi( i i ), Sn[ ] = Mi( i i ). i= Сумите sn[ ], Sn[ ] се наричат съответно малка и голяма (интегрална) сума на Дарбу. (За удобство, на числата m i, M i можем да гледаме съответно като на min ( ) и m ( ), [ i, i] ; да припомним, че от теоремата на Вайерщрас когато ( ) е непрекъсната функция, за [, ], валидни са равенствата in ( ) = min ( ) и sup ( ) = m ( ).) Не е трудно да съобразим (вж. напр. i= 2
учебника []), че всяка безкрайна редица от малки суми { sn[ ]} е монотонно растящя, ако всеки неин член е сума, със система опорни възли, включваща системите на членовете с по-малък номер. (Последното означава, че системата възли на сумата s [ ] k + включва всички опорни възли на сумата sk[ ], k =,2,3,....) При същите обстоятелства, всяка редица от големи суми { Sn[ ]} е монотонно намаляваща. От тук се стига, сравнително просто (вж. []), до заключението, че, сравнявайки коя да е малка сума s със произволна голяма сума S, ще е изпълнено неравенството: (.4) s S. (Наистина, произволна двойка величини s и S са суми от вида s = sl и S = Sm, където l + е броят на опорните възли на s /съответно m + са възлите на S /. Като обединим двете системи възли и сгъстим допълнително това обединение, поставяйки нови възли между старите, ще получим система от N + възела, такава че l+ m+ < N, а възлите на s и S са част от тази система. Тогава от споменатите по-горе видове монотонност при редици от малки и големи суми виждаме, че sl sn и SN Sm; същевременно: sn SN очевидно, понеже mn MN. Т.е. имаме, че: s = sl sn SN Sm = S, значи s S.) Ако S е произволна фиксирана стойност на големите суми S, неравенството s S, валидно за всяка малка сума s, означава, че множеството на малките суми е ограничено отгоре; тогава от принципа за непрекъснатост (вж. лекцията за безкрайни числови редици) следва, че число I = sup{ Множеството на сумите s }, s I S, малка сума s. Но S беше произволна измежду големите суми на Дарбу, значи I S, голяма сума S ; т.е. множеството на големите суми е ограничено отдолу и (от принципа за непрекъснатост) число I = in{ Множеството на сумите S }, I I S, голяма сума S. Заедно с предходното неравенство s I така получаваме, че s I I S, за всички малки и големи суми на Дарбу. Числата I и интеграл на Дарбу. За тях е в сила следното твърдение. I наричаме съответно долен и горен Теорема на Дарбу. Нека ( ) е функция, дефинирана и ограничена в интервала [, ]. При условието (.2), всички редици от малки суми { sn[ ]}, както и всички редици от големи суми { Sn[ ]}, са сходящи и клонят (при n ) съответно към I и I ; т.е. : (.5) lim sn[ ] = I ; lim Sn[ ] = I. n n (Доказателството на това твърдение може да се види в учебника [].) Дефиниция на Дарбу. Ако ( ) е функция, дефинирана и ограничена в интервала [, ], ще казваме, че тя е интегруема (или, че притежава определен интеграл) в интервала [, ], ако е изпълнено равенството = I ; общата = = ще означаваме също с ( ) стойност I I I d. Предвид (.5), очевидно ако функцията ( ) е интегруема (в смисъл на Дарбу), интегралът е обща граница на двата вида редици от интегрални суми: I 3
(.6) ( d ) = lim sn[ ] = lim Sn[ ]. n в) Еквивалентност и разширение на дефинициите. Еквивалентност. Двете дефиниции на Риман и Дарбу се оказват еквивалентни, в следния смисъл. Ако ( ) е интегруема по Риман функция (в даден интервал [, ]), тя е като следствие ограничена (както вече отбелязахме) и освен това интегруема в смисъл на Дарбу, при което интегралите ( d ) [по Риман] и ( d ) [по Дарбу] са равни. И обратно, ако ( ) е огранична функция, интегруема по Дарбу, тя е интегруема и по Риман (и двата интеграла имат една и съща стойност). Доказателството, че от интегруемост по Дарбу следва инегруемост и по Риман, е на практика очевидно, предвид неравенствата mi ( ξi) Mi, i =,2,..., n; като умножим почленно неравенствата с i i и сумираме по i (от i = до i = n), намираме, че sn[ ] σ n[ ] Sn[ ], а от тук, предвид (.6), при n, стигаме до желаното заключение. Доказателството в обратната посока (от Риман към Дарбу ) е незначително по-трудоемко; тук ще пропуснем подробностите, които могат да се видят в учебника []. Разширения на дефинициите. Най-напред ще отбележим, че ако номерираме възлите на всевъзможните системи { i } от дясно на ляво, т.е. = n < n < n 2 < < < =, и повторим конструкцията на Дарбу (за дадена ограничена в интервала [, ] функция ( )), ще получим дефиниция (по Дарбу) за определен интеграл ( d ) този път интегрирането е от до. Аналогична дефиниция на интеграл ( d ) и в смисъл на Риман можем да получим, номерирайки от дясно на ляво и системите от междинни точки { ξ i }. Ако едно и също множество от опорни -възли веднъж номерираме от ляво на дясно, а после го преномерираме от дясно на ляво, непосредствено се вижда, например за големите суми на Дарбу, следното. Нека S е голямата сума, определена от системата -възли при номерирането на дясно, а S голямата сума, която получаваме от същите възли, при номерирането на ляво. Ако едно от събираемите в S е например M ( i i i ), участващите в него точки, i i и числото M i, при преномерирането са записани сътветно като k, k и M k (където k = n i) и участват в S посредством събираемото M k( k k ) ; но M k = M i, а k k i i i i n = = ( ), значи граничен преход, n ) следва, че ( d ) = ( d ) S = S, откъдето (след. Чрез последния коментар всъщност се убеждаваме, че е в сила твърдението: ако за дадена 4
функция ( ) съществува интегралът ( d ), то съществува и ( d ), при което еизпълнено равенството ( d ) = ( d ). Предвид геометричния смисъл на определения интеграл като лице на фигура, разположена между вертикалите = и =, интуитивно е видимо, че когато, лицето ще е приблизително нула. По тази причина е естесвено следното допълнение към дефиницията за определен интеграл (позволяващо да интегрираме между съвпадащи интеграционни граници). За произволна т. c [, ], по дефиниция имаме: ( ) d =. c c г) Основни случаи на интегруеми функции. Посредством следните класове от функции, с най-масова употреба във всевъзможни приложения, отговаряме на естествения въпрос дали има достатъчно много функции, притежаващи определен интеграл. (I) Всички непрекъснати функции в даден интервал [, ] са интегруеми. (II) Всички функции, имащи краен брой точки на прекъсване в интервала [, ], са интегруеми в този интервал. (III) Всички монотонни функции в интервала [, ] са интегруеми в него. Коментар. ) Ясно е, че можем да имаме монотонни функции, имащи безкрайно много точки на прекъсване в интервала [, ]. 2) Доказателствата на горните твърдения (чието разбиране не изисква никакви извънредни способности) могат да се намерят например в учебника [].. Начални основни свойства. Естествената първа двойка свойства са тези, които показват, че операцията интегриране е линейна, което, заедно с очевидния факт, че тривиалната функция ( ) е интегруема ( в смисъл на Риман ) във всеки интервал [,, ] означава, че множеството на интегруемите в даден интервал [, ] функции е линейно пространство. Тези свойства разглеждаме в първото твърдение по-долу. Твърдение. За функциите, интегруеми в даден интервал [, ] е в сила следното: а) За всяка интегруема функция ( ) и всяко число c, функцията c ( ) e също интегруема ( в [, ] ) и е изпълнено равенството: а c () d = c () d ; а б) Ако ( ), 2( ) са интегруеми функции, то и сумата им ( ) + 2( ) е интегруема и е в сила равенството: 5
[ () + ()] d= () d+ () d. 2 2 Забележка. За нашите цели е достатъчно да се ограничим с използването на това и следващите по-долу твърдения от т. без доказателства. Твърдение 2 (Интегруемост в подинтервали, адитивност). Една функция ( ), дефинирана в интервала [, ] е тогава и само тогава интегруема в този интервал, когато е интегруема във всеки негов (затворен) подинтервал. Освен това, ако ( ) е интегруема в [, ] и т. c [, ] e произволна вътрешна точка, в сила е следното равенство ( адитивност ): c (.) () d= () d+ () d. а а c Забележка. Свойството адитивност е в сила и в следния по-общ вариант: Ако, 2, 3 [, ] е произволна тройка числа ( от интервала [, ] ), независимо от посоката на неравенствата помежду им ( като някои от тях могат и да съвпадат ) и ( ) е интегруема в [,, ] в сила е равенството: (.2) 2 3 3 () d+ d () = d (). 2 За да се убедим във валидността на (.2), ще имаме предвид, че щом ( ) е интегруема в [,, ] тя е интегруема и във всеки (затворен) подинтервал на [, ] и за всяка двойка числа t, t2 [, ] от разширението на дефиницията за интегруемост имаме, че по дефиниция : =, то 3 t t 2 () d= d () ; освен това ще имаме предвид и че t 2 t t ( ) d=, за всяка т. t [, ]. Нека например 3 < 2. Ако t 3 ( ) d = ( ) d =, равенството (.) добива вида 2 d () + d () = 2 и е очевидно в сила ( понеже, както вече отбелязахме: 2 ( ) d= ( ) d ). 2 Когато < 3, за интервала [, 2] прилагаме (.): 2 3 2 ( ) d= ( ) d+ ( ) d, т.е. 3 2 2 3 ( ) d ( ) d= ( ) d, 3 6
koето всъщност е желаното (.2) ( предвид че 3 2 ( ) d= ( ) d ). 2 3 Твърдение 3 (Интегриране на неравенства). Ако ( ) и g ( ) са функции, дефинирани и интегруеми в интервала [,, ] и удовлетворяват в този интервал неравенството ( ) g( ) ( [, ]) то и за интегралите им е изпълнено неравенство в същата посока: (.3) () d gd (). а а Твърдение 4 (Интегруемост по абсолютна стойност). Ако () е интегруема функция в даден интервал [,, ] то и функцията () ( със стойности абсолютните стойности на ) e интегруема в този интервал, при което е изпълнено следното неравенство на триъгълника (интегрална форма): (.4) ( ) d ( ) d. Самото неравенство (на триъгълника) лесно може да се докаже по следния начин. Интегрираме почленно, съгласно Твърдение 3, всяко от очевидните неравенства ( ) ( ) и ( ) ( ), валидни [, ], откъдето получаваме, че () d () dи () d () d, т.е. в сила е (.4). Забележка. За произволна двойка числа, 2 [, ], независимо кое е по-голямото, от (.4) непосредствено стигаме до следната по-обща форма на неравенството на триъгълника: (.5) 2 2. ( ) d ( ) d Наистина, ако например > 2, прилагайки (.4) за интервала [ 2, ], имаме, че 2 2. ( ) d = ( ) d ( ) d = ( ) d 2 2 2. Интегрална теорема за средните стойности. Тук ще разгледаме едно следствие (и аналог) на известната Теорема на Болцано за междинните стойности на непрекъснатите функции. Твърдение (Теорема за средните стойности). Ако ( ) и ϕ ( ) са непрекъснати функции в интервала [, ] като ϕ ( ) не си мени знака в този 7
интервал, в смисъл че или ϕ( ), или ϕ( ), [, ], то съществува такава т. ξ [, ], за която е изпълнено равенството:. (2.) ()() ϕ d = (). ξ ϕ () d За да докажем твърдението, да означим с М и m съответно максимума и минимума на ( ) в интервала [ ;, ] съгласно известната Теорема на Вайерщрас (за непрекъснати функции) величините М и m са в частност две (екстремални) стойности на функцията ( ) (за интервала [ )., ] За ( ) е в сила неравенството: (2.2) m ( ) M, [, ] Нека например ϕ( ), [, ]. Умножавайки почленно (2.2) с ϕ ( ), имаме че mϕ( ) ( ) ϕ( ) Mϕ( ), [, ], след което интегрираме почленно последната двойка неравенства (съгласно Твърдение 3) и получаваме:. (2.3) m. ϕ( ) d ( ) ϕ( ) d M. ϕ( ) d В последната двойка неравенства множителят ϕ( ) d е неположителна величина (от предположението ϕ( ), [, ]). Наистина, всяка Риманова интегрална сума за функцията ϕ( ) е всъщност сума от неположителни числа, а интересуващият ни интеграл (от ϕ( ) ) е граница на Риманови интегрални суми; тогава, след граничнен преход (n ) в неравенства от видаσ n, се убеждаваме, че споменатият интеграл е. Ако ϕ ( ) d=, от (2.3) е ясно, че и ( ) ϕ( ) d е нула и (2.) ще е изпълнено за всяка т. ξ от интервала [., ] Когато ϕ ( ) d<, почленно делим в неравенствата (2.3) на числото ϕ( ) d и получаваме следното: (2.4) m ( ) ϕ( ) d ϕ( ) d M. Но частното на двата интеграла в (2.4) е едно число λ между стойностите m и M на функцията ( ); тогава от споменатата теорема на Болцано (за междинните 8
стойности) следва, че съществува поне една т. ξ [, ], такава че ( ξ) = λ, т.е. ( ξ ) = ( ) ϕ( ) d, с което доказателството на теоремата е завършено. ϕ( ) d Случаят ϕ( ) се изследва аналогично, но е малко по-прост, предвид че при почленното умножаване на изходните неравенства (2.2) (и на следващите) не се обръща посоката на съответните неравенства. Забележка. Теоремата за средните стойности е в сила и без изискването ϕ ( ) да бъде непрекъсната функция (достатъчно е да бъде интегруема). 3. Интеграли с променлива (подвижна) граница теорема на Нютон- Лайбниц. Ако функцията ( ) е дефинирана и интегруема в интервала [, ] и е някаква фиксирана точка (число) от този интервал, ще разглеждаме интеграли от вида () t dt, където [, ] е произволно (фиксирано) число от интервала. Ясно е, че съпоставяйки на всяко [, ] стойността на интеграла получаваме всъщност една нова функция F( ), дефинирана интервала [,, ] () t dt, (за всяко ) в F( ) = ( t) dt. Първите два въпроса, естествено възникващи за функцията F( ), са дали е непрекъсната Последователно ще се спрем на всеки от тях. и дали е диференцируема. а). Непрекъснатост на функцията F( ). Твърдение. Ако функцията ( ) е интегруема в интервала [,, ] функцията F( ) е непрекъсната в този интервал. Доказателство. За произволна стойност на аргумента [, ] ще дадем нарастване, така че + [, ] и ще разгледаме нарастването F( + ) F( ). Предвид дефиницията за непрекъснатост, достатъчно е да установим, че F( + ) F( ), когато. За целта посредством дефиниционната формула начин: F( ) = ( t) dt интересуващото ни нарастване преработваме по следния + + F( + ) F( ) = () t dt () t dt = () t dt; използвали сме свойството адитивност на определените интеграли. Сега от неравенството на триъгълника имаме: + + F( + ) F( ) = ( t) dt ( t) dt. 9
Тъй като функцията ( ) е ограничена (за [, ]), съществува (неотрицателна) константа C, така че ( t) C, t [, ].Последното неравенство интегрираме почленно в граници от до +; ако например < (тогава + < ), съгласно свойството за почленно интегриране на неравенства получаваме: + ( t) dt = ( t) dt C dt = C. dt = C( ( + )) = C, + + + т.е., като следствие от неравенството ( t) C, имаме, че () t dt C. От тук и вече полученото за F( + ) F( ) (по-горе), установяваме следното: + F( + ) F( ) ( t) dt C ; т.е. за интересуващото ни нарастване на функцията F( ) е в сила двойното неравенство (3.) F( + ) F( ) C. В (3.) е фиксикрано и участващите величини разглеждаме като функции на ; при, съгласно известното правило за граничен преход в неравенства между функции, от (3.) заключаваме, че F( + ) F( ) ( ). Т.е. функцията F е непрекъсната в т., която обаче беше произволно фиксирана в интервала [,, ] значи F е непрекъсната в интервала (което имахме да докажем). б). Диференцируемост на F( ) теорема на Нютон-Лайбниц. Най-напред нека отбележим, че ако съществува производната F ( ), естествено е да очакваме, че F ( ) = ( ). Това всъщност е една класически възникнала догадка по повод на т.н. проблем за квадратурите (т.е. за лицата на равнинни фигури, оградени от графики на функции). Ако например () t >, t [, ], > и >, от геометричния смисъл на определените интеграли е ясно, че F( ) -- това е лицето на фигурата (от типа криволинеен трапец ), разположена между вертикалните прави t = и t =, оградена отгоре от графиката на функцията y = (), t t, а отдолу от отсечката (от абсцисната ос) y =, t ; F( + ) F( ) това е нарастването на гореописаната площ, когато променливата е получила изменение (нарастване) със стойност до нова стойност +. Ако означим за удобство с T криволинейния трапец с лице F( ) (описан по-горе), ясно е, че F( + ) F( ) е също лице на такъв трапец да го означим с Δ T, долепен до трапеца T. При това обединението T = T ΔT е криволинейният трапец, аналогичен на T, с лице F( + ). С други думи, Δ T е нарастването на трапеца T до новото състояние T. Трапецът Δ T става безкрайно тесен, когато е почти ; тогава неговото лице става несъществено различно от лицето на вписания в (или описан около) него правоъгълник с основа отсечката y =, t и височина (). Понеже лицето на правоъгълника е.(), от така изложените +
интуитивни съображения заключаваме, че F( + ) F( ). ( ) ; тогава F( + ) F( ) ( ), F ( ) = ( ) (предвид че, от практическа гледна F( + ) F( ) точка F ( ), когато F ( ) съществува). Коментираната по-горе догадка получава своето строго потвърждение именно чрез теоремата на Нютон- Лайбниц, която ще разгледаме в традиционната й по-обща форма: Твърдение (Нютон-Лайбниц). Ако функцията ( ) е интегруема в интервала [, ] и е непрекъсната в дадена т. = ξ от този интервал, тогава функцията F( ) е диференцируема в тази точка и за производната й F ( ξ ) имаме, че F ( ξ) = ( ξ). Доказателство. Като имаме предвид дефиницията на производна, трябва F( ξ + ) F( ξ) да докажем, че диференчното частно има (крайна) граница, при ( ). За да установим едновременно с това дали тази граница е ( ξ ) (предвид коментираната по-горе хипотеза), ще изследваме разликата F( ξ + ) F( ξ) ( ξ ). От вече известните пресмятания за нарастването ξ + F( ξ + ) F( ξ) F( + ) F( ) имаме, че =. ( ) d и освен това ξ+ ξ+ ( ξ ) ( ξ) =. d =. ( ξ) d ξ +.(В последното равенство сме използвали, че ξ ξ. d = и че ( ξ ) е числов множител, който можем да внесем под знака на ξ съответния интеграл.) Следователно ξ (3.2) ξ+ ξ+ F( ξ + ) F( ξ) ( ξ) =. [ ( ) ( ξ)] d ( ) ( ξ) d. ξ ξ (Тук очевидно сме използвали свойството линейност на определените интеграли и неравенството на триъгълника.) Предположението за непрекъснатост на ( ) в т. = ξ означава, че ε > съществува число δ >, така че е в сила ε неравенството ( ) ( ξ) <, : ξ < δ, [, ] (съгласно известната 2 дефиниция на Коши за непрекъснатост на функция). Нататък е достатъчно да ε предполагаме, че < δ ; тогава ( ) ( ξ ) <, от интервала между точките 2 ξ и ξ +. Интергирайки последното неравенство в този интервал, получаваме: ξ+ ξ+ ξ+ ε ε ε ε ( ) ( ) d d d. ξ = ε 2 2 = = <, 2 2 ξ ξ ξ откъдето, предвид (3.2), следва: (3.3) F( ξ + ) F( ξ) ( ξ) < ε, : < δ (, ξ + [, ]).
Понеже числото ε е произволно (малко), неравенството (3.3) означава (от дефиницията за производна -- във формата на Коши), че функцията F( ) е диференцируема в т. ξ и F ( ξ) = ( ξ) (което трябваше да се докаже). Коментар. Следващите няколко твърдения илюстрират съществената практическа значимост на теоремата на Нютон-Лайбниц. Всяко от тях може да се разглежда като приложен вариант на основната тема. Това са основните СЛЕДСТВИЯ ОТ ТЕОРЕМАТА НА НЮТОН-ЛАЙБНИЦ: в). Съществуване на неопределени интеграли от непрекъснати функции. От таблицата на неопределените интеграли знаем, че съшествуват функции (такива са тъкмо познатите ни от таблицата основни елементарни функции), които притежават примитивни (т.е. неопределени интеграли). От гледна точка на основните (вече класически) идеи в развитието на математическия анализ е полезно да обърнем внимание на съществения (в т.ч. и за приложенията) по-общ въпрос съществува ли достатъчно широк клас от функции, които имат примитивни. Твърдение. Всяка непрекъсната в даден интервал Δ функция ( ) притежава примитивна в този интервал. Доказателство. Най-напред да отбележим, че интервалът Δ е произволен краен или безкраен, отворен или затворен и пр. Ако фиксираме произволна т. Δ, функцията F( ) ( t) dt е очевидно дефинирана за всяко Δ, предвид че интервалът [, ] (или [, ], когато < ) е краен и затворен и се съдьржа в Δ ; следователно определеният интеграл () t dt съществува (тъй като подинтегралната функция е непрекъсната в [, ] (или [, ] ) ). Сега оставяйки да се мени в произволен подинтервал (краен и затворен) [, ] Δ, съдържащ т., от теоремата на Нютон-Лайбниц имаме, че F( ) притежава производна Δ и F ( ) = ( ), Δ. Т.е. функцията F( ) е примитивна за ( ) в интервала Δ. Коментар. Ясно е, че ще получим цяла фамилия примитивни от вида () t dt, ако на гледаме като на параметър, който може да приема на свой ред произволни стойности от интервала Δ. Разнообразието от примитивни очевидно се разширява с прибавяне на произволни константи (т.е. функциите от вида () t dt+ C, C константа, също са примитивни за ( )). От т.н. основна теорема на интегралното смятане (известна още като критерий за константност) знаем, че по този начин получаваме всъщност описание за всички възможни примитивни (в даден интервал) на дадена функция ( ). Това допълнение на горния резултат разглеждаме по-долу като самостоятелно твърдение. г). Връзка между определени и неопределени интеграли. Въпросната връзка се изразява чрез популярната формула 2
(3.4) () d= tdt () + C. Тъкмо тази формула се среща понякога под името теорема на Нютон-Лайбниц (тя е всъщност практическата версия на теоремата). Формулата показва, че (за непрекъснати функции) всеки неопределен интеграл, с точност до адитивна (т.е. добавъчна чрез действието събиране) константа, е определен интеграл с подвижна граница. Има се предвид следното Твърдение. Ако ( ) е непрекъсната функция в даден интервал Δ и Δ е произволна фиксирана т. от интервала, то всяка функция от вида () t dt+ C, за всяка константа C, е примитивна за ( ) (в Δ ) и обратно за всяка примитивна на ( ) в Δ съществува константа C, така че е в сила (3.4). Доказателството на твърдението фактически се съдържа в казаното погоре. Наистина, в т.в) вече отбелязахме, че всяка функция FC () t dt+ C е примитивна за ( ). Обратно, ако φ( ) ( ) d е произволна примитивна на ( ) в Δ, предвид че и функцията F( ) ( t) dt е такава, заключаваме по очевиден начин, че разликата R( ) φ( ) F( ) e функция, чиято производна R ( ) е нула в интервала Δ ( R ( ) = φ ( ) F ( ) = ( ) ( ) = ). Следователно, от основната теорема на интегралното смятане, R( ) е константа в Δ, т.е. R( ) C (в Δ ) за някаква константа C, т.е. в сила е (3.4). д). Пресмятане на определени интеграли чрез неопределени. В пресмятането на определени интеграли с традиционния символ G ( ) означаваме разликата (нарастването) G ( ) G ( ) -- за дадена функция G, ( ) дефинирана в интервал, който съдържа числата и. Когато използваме това означение, можем да казваме, че функцията G ( ) е пресметната (или взета) в граници от а до. Твърдение. Ако ( ) е непрекъсната функция в интервала Δ,, 2 Δ са фиксирана двойка числа и φ ( ) е произволна примитивна (неопределен интеграл) на ( ) в Δ, в сила е следното равенство: (3.5) 2 2 () d= φ(). Доказателство. От (3.4) вече знаем, че φ ( ) = ( t) dt+ C, където Δ е някакво фиксирано число; тогава 2 2 2, φ ( ) = ( ) d + C [ ( ) d + C] = ( ) d като сме взели предвид свойството адитивност на определените интеграли. С това правилото (3.5) е доказано. 3