ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Механично и покой Отправно тяло Отправна система Относителност на то и покоя Материална точка Координати Радиус - вектор Степени на свобода Траектория Интервал от време Изминат път Преместване Скорост Средна скорост Моментна скорост Ускорение Средно ускорение Моментно ускорение Тангенциално ускорение Нормално ускорение Видове движения на материална точка Единици за измерване Единица за време Секунда Единица за път Метър Единица за скорост Единица за ускорение
1. Механично и покой на телата 1.1.Механично Механично се нарича изменението на разположението на телата (или на отделни техни части) с течение на времето. Когато положението на едно тяло не се изменя спрямо други тела в пространството, тялото е в покой спрямо тези тела. 2. Отправно тяло и отправна система 2.1.Отправно тяло Тяло, спрямо което се определя положението и то на другите тела, се нарича отправно тяло. За отправно тяло може да се избере всяко едно реално съществуващо тяло в природата. В кинематиката всички отправни тела са равноправни. Изборът на едно от тях се извършва от съображение за по-голяма простота на законите за. 2.2.Отправна система Отправната система се състои от отправно тяло и неподвижно свързани с него координатна система и часовник (фиг.1.). Координатната система се използва за определяне на пространственото положение на телата, а часовникът за измерване на времето. Фиг.1. 3.Относителност на то и покоя - 2 -
Покоят е относителен, тъй като дадено тяло може да е в покой спрямо едно отправно тяло (отправна система) и в същото време да се движи спрямо друго отправно тяло. Движението също е относително. То може да се извършва по различен начин спрямо различни отправни тела. Ето защо, за да говорим за или за покой на едно тяло, трябва предварително да изберем отправно тяло. 4. Материална точка При изучаване на то на телата в много случаи можем да се абстрахираме от техните размери, форма и вътрешна структура и да ги разглеждаме като точки. Например ако изучаваме то на Земята спрямо Слънцето (или на Слънчевата система спрямо центъра на Галактиката) можем да ги приемем за точки, независимо от огромните им размери. Това е така, защото тези размери са много по-малки в сравнение с разстоянията до избраните отправни тела. 4.1.Материална точка Материална точка се нарича тяло, чиито размери, форма и вътрешна структура са несъществени за дадена задача и се пренебрегват. Материалната точка има маса, която е равна на масата на тялото. Тя е един идеализиран модел, който се използва с цел по-просто и полесно да се описват движенията на телата. 5.Определяне на положението на материална - 3 -
точка в пространството Положението на една материална точка в пространството се определя чрез нейните координати и чрез нейния радиус-вектор. 5.1.Координати За простота дадена отправна система се представя чрез координатната система, свързана с избраното отправно тяло. В механиката на материална точка обикновено се използва дясна правоъгълна декартова координатна система (фиг.2.). Фиг.2 Координатите x, y и z на материалната точка, чието положение в даден момент от време е в токата М, са алгебрични величини и могат да имат както положителна, така и отрицателна стойност или нула. Те еднозначно определят положението, което материалната точка заема в пространството и се изменя с времето при нейното. 5.2.Радиус - вектор Радиус вектор се нарича насочената отсечка, която свързва началото (точка О) на координатната система с положението на разглежданата материална точка (фиг.2). Декартовите координати на точката М се наричат скаларни компоненти (или координати) на радиус-вектора r, който се записва по следния начина: r ( x, y, z). Големината (модулът) на радиус-вектора е 2 2 2 r = x + y + z. Зависимостта на радиус-вектора от времето r = r ( t) за то. Степени на свобода - 4 - се нарича закон
Минималният брой параметри, които са необходими за определяне на пространственото положение на едно тяло, се наричат степени на свобода. В правоъгълна декартова координатна система положението на материална точка в пространството се определя напълно от координатите й (x,y,z). Следователно тя има 3 степени на свобода. 6. Траектория. Интервал от време. Изминат път. Преместване 6.1.Траектория Траектория се нарича мислената линията, която материалната точка описва при своето спрямо определена отправна система. Видове движения според траекторията: -праволинейни движения (траекторията е права линия); -криволинейни движения (траекторията е крива линия). 6.2.Интервал от време Разликата между два момента от време, единият от които е приет за начален, се нарича интервал от време (или само време): t = t t 0 или t = t, ако t 0 = 0. Времето е положителна скаларна величина. Единица за време В Международната система измерителната единица за време е секунда (s). Секунда Една секунда е продължителността на 9 192 631 770 периода от лъчението, съответствуващо на преход между две свръхфини нива от основното състояние на атома на цезий-133. 6.3.Изминат път - 5 -
Разстоянието s, измерено по траекторията, което материалната точка изминава за определен интервал от време t, се нарича изминат път (фиг.3). На фиг.3 е представено то в равнината (x,y). Фиг.3 Пътят, както и времето, е положителна скаларна величина. Единица за път В Международната система измерителната единица за път е метър (m). Метър Един метър е пътят, който светлината изминава във вакуум за 1/299 792 458 част от секундата. 6.4.Преместване Векторът r, който е равен на изменението на радиусвектора на материалната точка за даден интервал от време t, се нарича преместване. r = r r. 2 1 Преместването е вектор, който свързва началното и крайното положение на материалната точка за интервала от време t (Фиг.3). - 6 -
7. Средна скорост. Моментна скорост 7.1.Средна скорост В практиката много често е необходимо да се знае бързината, с която се движат различни тела (превозни средства, хора и др.). За тази цел се използва скаларната величина средна скорост v cp. Скаларната средна скорост е равна на отношението между изминатия път s и съответния интервал от време t: s v =. t С помощта на преместването r се дефинира векторна величина средна скорост v ср, която се нарича средна скорост на преместване. Средната скорост на преместване е равна на отношението между преместването r и съответния интервал от време t: r v =. t Средната скорост не е точна величина, защото тя не характеризира то в даден момент, а дава някаква усреднена представа за него в интервал време t. 7.2.Моментна скорост Моментната скорост е физична величина, която характеризира бързината и посоката на на телата във всеки момент от време. За простота тя се нарича само скорост. Скоростта представлява границата, към която клони средната скорост на преместване, когато разглежданият интервал от време клони към нула, т.е. r dr v = lim =. t 0 t dt Скоростта е първа производна на радиус-вектора по времето. Направление и посока на скоростта В общия случай на произволно криволинейно направлението на вектора v във всеки момент от време е по съответната допирателна към траекторията, а неговата посока съвпада с посоката на на материалната точка (фиг.4). При праволинейните движения - 7 -
направлението на скоростта съвпада с траекторията. a) б) Фиг. 4 Зависимостта на скоростта от времето v = v( t) се нарича закон за скоростта. Единица за скорост В Международната система измерителната единица за скорост е метър в секунда (m/s). 8. Средно ускорение. Моментно ускорение При то на материална точка нейната скорост може да се изменя с времето както по големина, така и по посока. За да се характеризират тези изменения, се въвежда векторната величина ускорение. 8.1.Средно ускорение Отношението между изменението на скоростта v и интервала от време средно ускорение: t, за който се извършва това изменение, се нарича v acp = t Средното ускорение не е точна величина, защото зависи от големината на разглеждания интервал от време. Затова във физиката се въвежда величината моментно ускорение. 8.2.Моментно ускорение Моментното ускорение е векторна физична величина, която характеризира бързината на изменение на скоростта по големина и по посока в даден момент време.. - 8 -
Моментното ускорение представлява границата, към която клони средното ускорение, когато интервалът от време клони към нула, т.е. v dv a = lim = t 0 t dt Моментното ускорение е първа производна на скоростта по времето. Тъй като скоростта е първата производна на радиус-вектора, т.е. dr v =, ускорението може да се запише във вида: dt 2 d dr d r a = = dt dt 2 dt Моментното ускорение е втората производна на радиус-вектора по времето. Единица за ускорение В международната система измерителната единица за ускорение е метър в секунда на квадрат (m/s 2 ).. 9. Тангенциално и нормално ускорение За всяка точка от траекторията ускорението a може да се разложи на две съставящи ускорения a t и a n по осите на правоъгълна декартова координатна система (фиг.5). Фиг.5 9.1.Тангенциално ускорение Съставящата a t, на ускорението, която има направление по допирателната към траекторията в дадена точка, се нарича тангенциално ускорение. Тангенциалното ускорение характеризира бързината, с която се изменя само големината на скоростта. - 9 -
Големината на вектора a t се изразява чрез големината на първата производна на скоростта по времето: dv at =. dt 9.2.Нормално ускорение Съставящата a n на ускорението, която има направление по нормалата към допирателната в дадена точка от траекторията, се нарича нормално ускорение. Нормалното ускорение характеризира изменението на скоростта само по направление (по посока). Големината на вектора a n се представя по следния начин: 2 v an =, R където при произволно криволинейно R е радиусът на кривината на траекторията в разглежданата точка (при по окръжност R е радиусът на окръжността). 10.Видове движения на материална точка Според вида и големината на двете компоненти a t и a n на ускорението, движенията на една материална точка могат да бъдат следните: А) Ускорението a n = 0 скоростта не се изменя по посока. Тогава то е праволинейно. Според вида на тангенциалното ускорение на свой ред праволинейните движения се разделят на няколко вида: a t = 0 скоростта е постоянна по-големина, то е равномерно праволинейно a = const 0 t скоростта се изменя по големина равномерно с постоянна стойност, то е равнопроменливо праволинейно. at const скоростта се изменя неравномерно с времето, то е неравнопроменливо праволинейно. Ако a t е по посока на скоростта, то е ускорително. Ако a t е в обратна посока на скоростта, то е закъснително. - 10 -
Б) Ускорението an 0 скоростта се изменя по посока. В този случай то е криволинейно. при a t = 0 равномерно криволинейно ; при a t = const равнопроменливо криволинейно ; при at const неравнопроменливо криволинейно ; a t = 0 a = const t a const t a n = 0 Праволинейно Равномерно праволинейно Равнопроменливо праволинейно Неравнопроменливо праволинейно an 0 Криволинейно Равномерно криволинейно Равнопроменливо криволинейно Неравнопроменливо криволинейно - 11 -