Математика и информатика Научно списание
|
|
- Elizabeth Traykova
- преди 2 години
- Прегледи:
Препис
1 Министерство на образованието и науката Национално издателство за образование и наука Математика и информатика Научно списание Mathematics and Informatics Bulgarian Journal of Educational Research and Practice Година LXIII Книжка Volume 6 Number София Sofia
2 Научно списание Математика и информатика Главен редактор: проф дпн Сава Гроздев Висше училище по застраховане и финанси ВУЗФ Ул Гусла София, България savagrozdev@gmailcom Bulgarian Journal of Educational Research and Practice Mathematics and Informatics Editor-in-Chief: Prof Sava Grozdev, DSc Professor, Doctor in Mathematics, DSc in Pedagogy University of Finance, Business and Entrepreneurship Gusla Street, Sofia, Bulgaria savagrozdev@gmailcom Издател: Национално издателство за образование и наука Аз-буки Директор: Д-р Надя Кантарева-Барух Научен ръководител направление Обществени и хуманитарни науки : проф дфн Добрин Добрев Научен ръководител направление Природни науки и математика : проф дхн Борислав Тошев Дизайн на корицата: Ива Батаклиева Графичен дизайн: Гергана Попиванова Стилист-коректор: Анелия Врачева Разпространение: Иван Шопов Адрес на издателството: бул Цариградско шосе 15, бл София тел / 45 47; / ; / wwwazbukibg mathinfo@azbukibg Печат: Алианс принт ЕООД Формат 7/1/16 Печатни коли: 7,5 Publisher: Az-buki National Publishing House Director: Dr Nadya Kantareva-Baruh Scientific Head of Section Social Sciences and Humanities : Prof Dobrin Dobrev, DSc Scientific Head of Section Natural Sciences and Mathematics : Prof Borislav Toshev, DSc Cover Design: Iva Bataklieva Layout Design and Prepress: Gergana Popivanova Stylist-Corrector: Aneliya Vracheva Distribution: Ivan Shopov Publishing House Address: 15, Tzarigradsko Chaussee Blvd, bl Sofia, Bulgaria tel + 59 / 45 47; + 59 / ; + 59 / wwwazbukieu mathinfo@azbukibg Printing House: Aliance Print Ltd Size: 7/1/16 Printed Quires: 7,5 Списанието излиза 6 пъти годишно: книжка 1 (януари-февруари); книжка (март-април); книжка (май-юни); книжка 4 (юли-август); книжка 5 (септември-октомври); книжка 6 (ноември-декември) Printout: six issues per year Issue 1 (anuary-february); Issue (march-april); Issue (may-une); Issue 4 (uly-august); Issue 5 (september-october); Issue 6 (november-december) С изпращането на текст или илюстрация до редакцията на НИОН Аз-буки авторът се съгласява да преотстъпи правата за анонсиране, публикуване и разпространение в изданията на издателството Авторските права на публикуваните текстове и илюстрации са собственост на НИОН Аз-буки Материали, които не са одобрени за публикуване, не се рецензират и не се връщат на авторите By sending text or illustration to Az-buki Publishing House, the author agrees to submit the copyrights for announcing, publishing and distributing in all Az-buki editions The copyright of all published texts and illustrations is property of Az-buki Publishing House Not accepted for publication texts are not reviewed or sent back to the authors ISSN 11 (Print) ISSN (Online) Издател на научно списание Maтeматика и информатика е НИОН Аз-буки в съответствие с чл 51 от Закона за предучилищно и училищно образование
3 Главен редактор Проф дпн Сава Гроздев, Висше училище по застраховане и финанси София Editor-in-Chief Prof Sava Grozdev, DSc, University of Finance, Business and Entrepreneurship Sofia (Bulgaria) Редактор Живка Бакалова Editor Ms Zhivka Bakalova Редакционна колегия Editorial Board Проф дмн чл-кор на РАО Николай Розов Московский государственный университет имени М В Ломоносова Москва (Россия) Проф дпн Татяна Сергеева Академия социального управления Москва (Россия) Проф дпн Мария Шабанова Московский институт открытого образования Москва (Россия) Prof Dr Risto Malceski FON University Skope (Macedonia) Prof Dr Gregory Makrides Thales Foundation Nicosia (Cyprus) Prof Dr Florence Singer University of Ploiesti (Romania) Prof Dr Sefket Arslanagic University of Saraevo Saraevo (Bosnia and Herzegovina) Prof Dr Atanasios Gagatsis University of Cyprus Nicosia (Cyprus) Prof Dr Michalis Lambru University of Crete (Greece) Проф д-р Асен Рахнев ПУ П Хилендарски Проф д-р Коста Гъров ПУ П Хилендарски Проф д-р Росен Николаев Икономически университет Варна Prof Nikolay Rozov, DSc, Academician of Russian Academy of Education Prof Tatyana Sergeeva, DSc Academy of Public Administration Moscow (Russia) Prof Maria Shabanova, DSc Moscow State University of Open Education (Russia) Prof Dr Risto Malceski FON University Skope (Macedonia) Prof Dr Gregory Makrides Thales Foundation Nicosia (Cyprus) Prof Dr Florence Singer University of Ploiesti (Romania) Prof Dr Sefket Arslanagic University of Saraevo (Bosnia and Herzegovina) Prof Dr Atanasios Gagatsis University of Cyprus Nicosia (Cyprus) Prof Dr Michalis Lambru University of Crete (Greece) Prof Dr Assen Rahnev University of Plovdiv (Bulgaria) Prof Dr Kosta Garov University of Plovdiv (Bulgaria) Prof Dr Rosen Nikolaev University of Economics Varna (Bulgaria)
4 Assoc Prof Dr Katerina Anevska FON University Skope (Macedonia) Проф д-р Веселин Ненков Висше военноморско училище Н Й Вапцаров Варна Доц д-р Даниела Дурева-Тупарова Югозападен университет Н Рилски Доц д-р Людмила Хаймина Северный (Арктический) федеральный университет имени М В Ломоносова Архангельск (Россия) Доц д-р Бойко Банчев Институт по математика и информатика Българска академия на науките Доц д-р Иван Держански Институт по математика и информатика Българска академия на науките Гл ас д-р Тодор Митев Русенски университет А Кънчев Доц д-р Петя Асенова Нов български университет Доц д-р Ангел Ангелов СУ Св Кл Охридски Жечка Тотева ЦЕРН Женева (Швейцария) Д-р Диана Стефанова учител, Асеновград Маня Манева гл експерт, МОН Ирина Шаркова учител, ПЧМГ Д-р Маряна Кацарска учител, 1 СУ Иван Асен II София Галина Бобева директор, МГ Баба Тонка Русе Катя Чалъкова учител, ПМГ Димитровград Assoc Prof Dr Katerina Anevska FON University Skope (Macedonia) Prof Dr Veselin Nenkov, Assoc Prof Nikola Vaptsarov Naval Academy Varna (Bulgaria) Dr Daniela Dureva-Tuparova, Assoc Prof South-West University Blagoevgrad (Bulgaria) Dr Lyudmila Haymina, Assoc Prof M Lomonossov North-Arctic Federal University - Archangelsk (Russia) Dr Boyko Banchev, Assoc Prof Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy of Sciences (Bulgaria) Dr Ivan Deranski, Assoc Prof Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy of Sciences (Bulgaria) Dr Todor Mitev, Assist Prof University of Ruse (Bulgaria) Dr Petya Asenova, Assoc Prof New Bulgarian University Sofia (Bulgaria) Dr Angel Angelov, Assoc Prof University of Sofia (Bulgaria) Ms Zhechka Toteva CERN/IT Geneva (Switzerland) Dr Diana Stefanova teacher, Assenovgrad (Bulgaria) Ms Manya Maneva Ministry of Education and Science (Bulgaria) Ms Irina Sharkova First Private High School of Mathematics Sofia (Bulgaria) Dr Maryana Katzarska teacher, Ivan Asen II High School Sofia (Bulgaria) Ms Galina Bobeva principal, High School of Mathematics Ruse (Bulgaria) Ms Katya Chalukova teacher, High School of Mathematics Dimitrovgrad (Bulgaria) Министерство на образованието и науката
5 Contents of Issue / / Съдържание на брой / EDUCATIONAL MATTERS / НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИ СТАТИИ 5 За данните и пътя към големите данни [About the Data and the Road Towards the Big Data] / Павел Азълов / Pavel Azalov 71 Съвременни средства и методи за обучение, използващи облачни технологии [Contemporary Means and Teaching Methods, Using Cloud Technologies] / Любка Славова, Коста Гъров / Lyubka Slavova, Kosta Garov 86 Интегративен урок по предмета Математическа технологичност в условия на дистанционно обучение [Integrative Classes on the Subect Mathematical Technology Under Distant Learning Teaching] / Костадин Петлешков / Kostadin Petleskov 91 Designing a Professional Training Program for Working with Gifted Children Using Software Office 65 / Oleg Zverev, Tatiana Sergeeva EDUCATIONAL TECHNOLOGIES / ОБРАЗОВАТЕЛНИ ТЕХНОЛОГИИ 97 Mathematical Modelling in Learning Outcomes Assessment (Binary Model for the Assessment of Student s Competences Formation) / L E Khaimina, E A Demenkova, M E Demenkov, E S Khaimin, L I Zelenina, I M Zashikhina 6 Problems and 5 on the IMO 19 Paper / Sava Grozdev, Veselin Nenkov 1 Конфигурации от педални окръжности на произволна точка в равнината на многоъгълник [Configurations оf Pedal Circles of an Arbitrary Point in the Plane of a Polygon ] / Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов / Veselin Nenkov, Stanislav Stefanov, Haim Haimov
6 4 Относно полиномите с корени във върховете на един клас изпъкнали четириъгълници [On the Polynomials with Roots in the Vertices of a Class of Convex Quadrilaterals] / Сава Гроздев, Веселин Ненков / Sava Grozdev, Veselin Nenkov Анализ на анкетно проучване на учители по Технологии и предприемачество [Analysis of an Inquiry Examination of Teachers in Technologies and Еntrepreneurship] / Костадин Петлешков / Kostadin Petleskov REVIEWS AND ANNOTATIONS / РЕЦЕНЗИИ И АНОТАЦИИ Повишаване на математически компетенции с динамична геометрия [Mathematical Competence Increase through Dynamic Geometry] / Сава Гроздев / Sava Grozdev 5 Рефлексивен модел за преподаване на компютърно моделиране в началния етап на обучение [Reflective Model for Teaching Computer Modeling in Primary Stage of Education] / Юлия Дончева / Julia Doncheva CONTEST PROBLEMS / КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ 8 Конкурсни задачи на броя [Contest Problems of this Issue] 9 Решения на задачите от брой 4, 19 [Solutions of the Contest Problems from Issue 4, 19] 4 READ IN THE LATEST ISSUES OF AZ-BUKI JOURNALS / В НОВИТЕ БРОЕВЕ НА СПИСАНИЯТА НА ИЗДАТЕЛСТВО АЗ-БУКИ ЧЕТЕТЕ 44 GUIDE FOR AUTHORS / УКАЗАНИЯ ЗА АВТОРИТЕ
7 Математика Volume 6, Mathematics и информатика Number, and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ОТНОСНО ПОЛИНОМИТЕ С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА ЕДИН КЛАС ИЗПЪКНАЛИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ 1) Сава Гроздев, ) Веселин Ненков 1) Висше училище по застраховане и финанси София ) ВВМУ Никола Вапцаров Варна 4 Резюме Изведена е геометрична връзка между корените на полиноми на комплексна променлива с кратни корени във върховете на изпъкнал четириъгълник и корените на съответните им производни Накрая, като приложение са разгледани някои полиноми на реална променлива с реални коефициенти Ключови думи: полином; производна на полином; корени на полином; изпъкнал четириъгълник; елипса; фокус В (Grozdev & Nenkov, 19) е описана една геометрична връзка между полиномите, корените на които се намират във върховете на успоредник, и корените на съответните им производни Тази геометрична връзка съдържа фокусите на подходяща елипса, вписана в разглеждания успоредник От друга страна, във всеки изпъкнал четириъгълник могат да се впишат безкраен брой елипси Така възниква въпросът за съществуване на връзка между някои от тези елипси и производните на полиномите, които имат корени само във върховете на даден четириъгълник Целта на този материал изложение е да се покаже как изглежда една такава връзка между някои полиноми с корени във върховете на изпъкнал четириъгълник, съответните им производни и подходящо подбрани елипси, вписани в разглеждания четириъгълник Преди да преминем към излагане на основното съдържание на разглежданата тема, ще отбележим две помощни твърдения Лема 1 Ако корените на два полинома от една и съща степен образуват подобни геометрични фигури, то и корените на техните производни образуват подобни геометрични фигури Доказателството на тази лема се съдържа в (Grozdev & Nenkov, 18 a) От лема 1 следва, че от всички полиноми, принадлежащи на клас от полиноми с еднаква геометрия, е достатъчно да се изследва само някой нормиран полином, за да се определи геометрията на класа, определен от производните на полиномите от разглеждания клас
8 Относно полиномите с корени Лема Ако a 1, a,, P z от n -та степен, така че a е k ( 1,,, s) кратен корен на P( z ) и k1+ k + + ks n, то коефициентът пред първата степен на променливата z е равен на k1 1 k 1 k s 1 a1 a as ( k1aa as + ka asa1+ + ksaa 1 as 1) Доказателството на тази лема се съдържа в (Grozdev & Nenkov, 18 b) Основният резултат, който ще докажем, се съдържа в следващата теорема Теорема Нека k ( 1,,,4) са естествени числа и k е елипса, вписана в изпъкналия четириъгълник AAAA 1 4, така че за допирните точки P 1, P, P и P 4 на k съответно с отсечките AA 1, AA, AA 4 и AA 4 1 са изпълнени равенствата: ( 1 ) AP 1 1: AP 1 k1: k, AP : AP k : k, AP : AP 4 k: k, 4 AP 4 4: AP 1 4 k4: k 1 Ако един полином P( z ) от степен n k1+ k + k+ k4 на комплексна променлива с комплексни коефициенти има k кратен корен във върха A ( 1,,,4) на AAAA 1 4, то производната на P( z ) има корени в точката P AA AA и във фокусите на елипсата k 1 4 a са корени на полином ( ) Нека елипсата k има за фокус точката O, фокален параметър p и числен ексцентрицитет e Спрямо Гаусовата координатна система K от фиг 1, както е показано в (Nenkov, 1998), афиксите p и a на точките P и A 1,,,4 се изразяват съответно с формулите ( ) ( ) ( ) p p et + t + e, p p et + t + e, p p et + t + e, p p4 et + t + e p a1, p a, a et41 t + t4 + t1+ e et1 t + t1+ t + e където t1 t t t4 1 p, a et t + t + t + e p, et t + t + t + e 4 4 Фигура 1 5
9 Сава Гроздев, Веселин Ненков Сега ще намерим зависимости между разглежданите величини, така че да бъдат изпълнени равенствата ( 1 ) Тъй като простото отношение на произволни три точки A k, A l и P от една права се изразява с равенството k k, от ( ) и ( ) след не сложни пресмятания се получават AP a p AP a l l p равенствата ( ) , 1,, ( 5 ) ( ) От равенствата ( ) a получаваме k t4 t1 k t4 t1 a, a a1, a k1 t t1 k1 t t 5 следва От равенствата ( ) k t t a k1 t4 t 6 kaaa kaaa 4 1+ kaaa kaaa Сега да разгледаме нормирания полином P ( ) z от степен n k1+ k + k+ k4 на комплексна променлива с комплексни коефициенти, който има k кратен корен във върха A ( 1,,,4) на AAAA 1 4 От лема и равенството ( 6 ) следва, че коефициентът пред z има стойност, равна на Затова производната P ( ) z има корен z Това всъщност на геометричен език означава, че P ( ) z има корен във фокуса O на елипсата k Следователно според лема 1 и бележката към нея се получава, че производната P ( z) на произволен полином P( z ) със свойствата на P ( ) z има корен в точката O Аналогично, ако разгледаме координатна система с център в другия фокус F на k, получаваме, че P ( z) има корен и в точката F По този начин доказахме частта от теоремата, отнасяща се до елипсата k P Остава да докажем теоремата за точката P Нека нормираният полином z се представя във вида: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k1 k k k4 1 4 P z z a z a z a z a Тогава за неговата производна имаме където ( 7 ) k1 ( ) ( ) 1 k ( ) 1 k 4 ( ) 1 k ( ) 1 ( ) P z z a z a z a z a U z, 1 4 ( ) 1( )( )( 4) ( )( 4)( 1) ( )( )( ) ( )( )( ) U z k z a z a z a + k z a z a z a + + k z a z a z a + k z a z a z a
10 Относно полиномите с корени Тъй като AP : AP 1 k: k1 и AP 4 : AP k4 : k, то koa1+ k1oa k4oa + koa4 OP и OP Като използваме (5) за афикk + k1 k4 + k са на p получаваме следващите две равенства: ( 8 ) ( 9 ) p ( 1 + 4) kk 4( t4 t1)( t1 t + t t4) a, p ( t t )( k + k ) k1( t1 t)( t t4)( k + k4) p от ( ) ( kkk 1 + kkk 4+ kkk 4 1+ kkk 4 1 )( tt 1+ tt 4 ) kk( k + k )( tt + tt) + kk ( k + k)( tt + tt ) k t t t t 1 1 Като приравним стойностите на От ( 7 ) и ( 8 ) имаме U a 1 8, получаваме зависимостта ( ) ( ) ( ) ( p + ) k1 ( k+ k1) ( t1 t)( t t) ( t t4) ( kkk 1 kkk 4 kkk 4 1 kkk 4 1 )( tt 1 tt 4 ) kk( k k )( tt tt) kk ( k k)( tt tt ) k k1 t t k t4 t1 t1 t t t4 a U p, което означава, че p е корен на P ( ) z С това е доказано твърдението на теоремата и за пресечната точка на диагоналите на AAAA 1 4 Полиномът P ( z) има k 1 кратен корен във върха A ( 1,,,4) (Genov, Mihovski & Mollov, 1991), а останалите три корена се описват от току-що доказаната теорема По този начин получаваме пълна геометрична картина на корените на P ( z) Доказаната теорема е обобщение на съответния резултат за успоредници, описан в (Grozdev & Nenkov, 19) Оттук и равенството ( 9 ) следва, че ( ) 7
11 Сава Гроздев, Веселин Ненков kov, 19) Фигура Ако P( z) P( x) е полином с реални коефициенти на реална променлива, можем да представим някои геометрични интерпретации на доказаната теорема На фиг е представен полином P( x ) с корени във върховете на трапец, симетричен относно абсцисната ос Той има трикратни комплексно спрегнати корени в точките A 1 и A 4 и двукратни комплексно спрегнати корени в точките A и A На фиг е представен полином P( x ) с корени във върховете на делтоид, симетричен относно абсцисната ос Той има двукратен реален корен в точката A 1, прост реален корен в точката A и трикратни комплексно спрегнати корени в точките A и A 4 8 Фигура ЛИТЕРАТУРА Ненков, В (1998) Конични сечения, вписани в триъгълник, Математика и информатика, 5, Гроздев, С & В Ненков (18 a) Полиноми от четвърта степен с корени във върховете на успоредник, Математика и информатика,, 8 9
12 Относно полиномите с корени Гроздев, С & В Ненков (18 b) Полиноми с кратни корени във върховете на триъгълник, Математика и информатика, 4, 5 59 Гроздев, С & В Ненков (19) Полиноми с кратни корени във върховете на правоъгълник, Математика и информатика, 4, 19, REFERENCES Nenkov, V (1998) Conic sections, inscribed in a triangle, Mathematics and informatics, 5, Grozdev, S & V Nenkov (18 a) Polynomials of fourth degree with roots in the vertices of a parallelogram, Mathematics and informatics,, 8 9 Grozdev, S & V Nenkov (18 b) Polynomials with multiple roots in the vertices of a triangle, Mathematics and informatics, 4, 5 59 Grozdev, S & V Nenkov (19) Polynomials with multiple roots in the vertices of a parallelogram, Mathematics and informatics, 4, ON THE POLYNOMIALS WITH ROOTS IN THE VERTICES OF A CLASS OF CONVEX QUADRILATERALS Abstract A geometrical relation is derived for the roots of polynomials of complex variable with multiple roots in the vertices of a convex quadrilateral and the roots of the corresponding derivatives As an application some polynomials of real variable and with real coefficients are considered Keywords: polynomial; derivative a polynomial; polynomial roots; convex quadrilateral; ellipse; focus Prof Sava Grozdev, DSc Researcher ID: AAG ORCID University of Finance, Business Entrepreneurship 1, Gusla St 1618 Sofia, Bulgaria savagrozdev@gmailcom Prof Dr Veselin Nenkov Researcher ID: AAB Department of Mathematics and Physics Faculty of Engineering Nikola Vaptsarov Naval Academy 7, Vasil Drumev St Varna, Bulgaria vnenkov@nvnaeu vnenkov@mailbg 9
Математика Volume 61, Mathematics и информатика Number 1, 2018 and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИ
Математика Volume 6, Mathematics и информатика Number, 08 and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ) ) Технически университет
Подробно22v-final.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 015 MATHEMATCS AND EDUCATON N MATHEMATCS, 015 Proceedings of the Forty Fourth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians SOK Kamchia, April 6, 015
Подробно_MathInfo PRINT.indd
Министерство на образованието и науката Национално издателство за образование и наука Математика и информатика Научно списание Mathematics and Informatics Bulgarian Journal of Educational Researh and Practice
ПодробноВеликотърновски университет Св. св. Кирил и Методий Факултет Математика и информатика Математика, компютърни науки и образование Том 2, брой 1, 2019 У
Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий Факултет Математика и информатика Математика, компютърни науки и образование Том 2, брой 1, 2019 Университетско издателство Св. св. Кирил и Методий,
ПодробноБЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ
БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ 2 2015 ИЗИСКВАНИЯ КЪМ ПРЕДСТАВЯНИТЕ ЗА ПУБЛИКУВАНЕ МАТЕРИАЛИ В БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Българско списание за образование е теоретично списание за науки
ПодробноКак да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника
Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени
ПодробноБЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ
БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ 1 2017 2 ИЗИСКВАНИЯ КЪМ ПРЕДСТАВЯНИТЕ ЗА ПУБЛИКУВАНЕ МАТЕРИАЛИ В БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Българско списание за образование е теоретично списание за науки
Подробно1
1 БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ 2 2014 2 ИЗИСКВАНИЯ КЪМ ПРЕДСТАВЯНИТЕ ЗА ПУБЛИКУВАНЕ МАТЕРИАЛИ В БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Българско списание за образование е теоретично списание за науки
ПодробноzadIresheniqfNSOM2019.dvi
НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, гр. Варна, 0 май 09 г. Национална комисия на НСОМ 09 Председател: акад. дпн Сава Иванов Гроздев, ВУЗФ София Секретар: доц. д-р Илияна Петрова Раева, РУ Ангел
ПодробноVocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИ
Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ Информационните технологии инструментариум за решаване
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноXXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право
XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете
ПодробноИзбрано Обучение чрез задачи Национално издателство за образование и наука МатеМатика и информатика НаучНо списание година LXII книжка 1
Обучение чрез задачи Национално издателство за образование и наука www.azbuki.bg МатеМатика и информатика НаучНо списание година LXII книжка 1, 219 MaheMaics and informaics BuLgarIan JournaL of EducaIonaL
ПодробноБЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ
БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ 1 2015 2 ИЗИСКВАНИЯ КЪМ ПРЕДСТАВЯНИТЕ ЗА ПУБЛИКУВАНЕ МАТЕРИАЛИ В БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Българско списание за образование е теоретично списание за науки
ПодробноОсновен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1
Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени
Подробногодишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок
годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока
ПодробноБЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ
БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ БРОЙ 1 2013 1 ИЗИСКВАНИЯ КЪМ ПРЕДСТАВЯНИТЕ ЗА ПУБЛИКУВАНЕ МАТЕРИАЛИ В БЪЛГАРСКО СПИСАНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Българско списание за образование е теоретично списание за науки
ПодробноMicrosoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
Подробно(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит
(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната
ПодробноC:/NSOM2014/broshura/NSOM2014.dvi
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА СОЗОПОЛ, 30 МАЙ ЮНИ 204 Г. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ НАЦИОНАЛНА
ПодробноЗадача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x
ПодробноПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.
ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.
Подробно31V-B.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2002 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2002 Proceedings of Thirty First Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 3 6, 2002
ПодробноMicrosoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
ПодробноECTS_IP_2006
Утвърден от Академичния съвет на УАСГ Confirmed by Academic Council of UACEG Дата Date Утвърждавам Ректор Confirmed by Rector... / проф. д-р инж. Иван Марков / Prof. Dr. Eng. Ivan Markov ХИДРОТЕХНИЧЕСКИ
ПодробноРешения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ
Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх към несъседен връх и открай до край, без линиите на разрезите
ПодробноИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл
ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А Ф А К У Л Т Е Т И Н Ф О Р М А Т И К А КАТЕДРА СТАТИСТИКА И ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА УТВЪРЖДАВАМ: Ректор: (Проф. д-р Пл. Илиев) У Ч Е Б Н А П Р О Г Р А М А ПО ДИСЦИПЛИНАТА:
ПодробноИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА НАУЧНОИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ИНСТИТУТ ПОКАНА за научна конференция на тема РЕГИОНАЛНА ИКОНОМИКА И УСТОЙЧИВО РАЗВИТИЕ 17 ноемвр
ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА НАУЧНОИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ИНСТИТУТ ПОКАНА за научна конференция на тема РЕГИОНАЛНА ИКОНОМИКА И УСТОЙЧИВО РАЗВИТИЕ 17 ноември 2017 г. Варна ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА НАУЧНОИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ
Подробно54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200
54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноPROCEEDINGS OF UNIVERSITY OF RUSE , volume 56, book 11. FRI NSMTS(S)-03 МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ НА НЕСТАЦИОНАРНИЯ ТОПЛООБМЕН ПРИ ПИРОЛИЗАТА НА
FRI-216-1-NSMTS(S)-03 МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ НА НЕСТАЦИОНАРНИЯ ТОПЛООБМЕН ПРИ ПИРОЛИЗАТА НА ИЗЛЕЗЛИ ОТ УПОТРЕБА АВТОМОБИЛНИ ГУМИ MATHEMATICAL MODEL OF NON-STATIONARY HEAT TRANSFER DURING THE PROCESS OF PYROLYSIS
Подробноr_AcademicCurriculum_BG
Утвърден от Академичния съвет на УАСГ Confirmed by Academic Council of UACEG Дата Date Утвърждавам Ректор Confirmed by Rector... / проф. д-р инж. Иван Марков / Prof. Dr. Eng. Ivan Markov ХИДРОТЕХНИЧЕСКИ
ПодробноСОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ ЗАЯВКА ЗА УЧАСТИЕ КАТО ЛЕКТОР В ПРОЕКТ BG05M2OPP Докторантски център Св. Климент Охридски І. УЧ
СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ ЗАЯВКА ЗА УЧАСТИЕ КАТО ЛЕКТОР В ПРОЕКТ BG05M2OPP001-2.09-0013 Докторантски център Св. Климент Охридски І. УЧЕБНА ПРОГРАМА: Преподавател: Факултет: Наименование
ПодробноUntitled
2017 CALENDAR 2017 ЈАНУАРИ / JANUARY ФЕВРУАРИ / FEBRUARY МАРТ / MARCH 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 АПРИЛ / APRIL МАЈ / MAY ЈУНИ / JUNE 1 2 3 4 5 6
ПодробноЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
ПодробноРЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и науч
РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен доктор по професионално направление 4.5 Математика
Подробноr_AcademicCurriculum_BG
Утвърден от Академичния съвет на УАСГ Confirmed by Academic Council of UACEG Дата Date Утвърждавам Ректор Confirmed by Rector... / проф. д-р инж. Иван Марков / Prof. Dr. Eng. Ivan Markov ХИДРОТЕХНИЧЕСКИ
ПодробноПлан-график по следакредитационно наблюдение и контрол на висшите училища за 2017 г. I. Следакредитационно наблюдение и контрол на висши училища, полу
План-график по ционно блюдение и контрол висшите училища за I. Следакредитационно блюдение и контрол висши училища, получили институциол и програм акредитация: Висши училища, получили институциол акредитация
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
Подробноr_AcademicCurriculum_BG
Утвърден от Академичния съвет на УАСГ Confirmed by Academic Council of UACEG Дата 13.07.2016 г. Date Утвърждавам Ректор Confirmed by Rector... / проф. д-р инж. Иван Марков / Prof. Dr. Eng. Ivan Markov
ПодробноТест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра
Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;
Подробноr_AcademicCurriculum_BG
Утвърден от Академичния съвет на УАСГ Confirmed by Academic Council of UACEG Дата Date Утвърждавам Ректор Confirmed by Rector... / проф. д-р инж. Иван Марков / Prof. Dr. Eng. Ivan Markov ХИДРОТЕХНИЧЕСКИ
ПодробноECTS_IP_2006
Утвърден от Академичния съвет на УАСГ Confirmed by Academic Council of UACEG Дата Date Утвърждавам Ректор Confirmed by Rector... / проф. д-р инж. Иван Марков / Prof. Dr. Eng. Ivan Markov ХИДРОТЕХНИЧЕСКИ
ПодробноПОКАНА КОНФЕРЕНЦИЯ Предизвикателства и перспективи в развитието на железопътния транспорт в България 12 ноември 2019 година Голяма конферентна зала, 1
ПОКАНА КОНФЕРЕНЦИЯ Предизвикателства и перспективи в развитието на железопътния транспорт в България 12 ноември 2019 година Голяма конферентна зала, 10.00 часа УНСС София Уважаеми колеги, Катедра ИКОНОМИКА
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.
ПодробноОбразование и технологии използване на онлайн бележник при методическата подготовката на студенти педагози доц. д-р Красимира Атанасова Димитрова, доц
използване на онлайн бележник при методическата подготовката на студенти педагози доц. д-р Красимира Атанасова Димитрова, доц. д-р Румяна Йорданова Папанчева Университет Проф. д-р Асен Златаров, гр. Бургас
ПодробноРецензия А.АлександровІд-р
РЕЦЕНЗИЯ от доцент д-р Ваня Христов Хаджийски, ФМИ на СУ Св.Кл.Охридски на дисертацията на ас. Александър Василев Александров Екстремални свойства на някои класически ортогонални полиноми в комплексната
ПодробноMicrosoft Word - UIP_mat_7klas_
Приложение 2 УЧЕБНО-ИЗПИТНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ В КРАЯ НА VII КЛАС І. Вид и времетраене Изпитът от националното външно оценяване е писмен. Равнището на компетентностите
Подробно