Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, то можем да разглеждаме x 1,, x n като векторни полета върху X, т.е. като съответствия X p x i p T px, които на точка p X съпоставят допирателните вектори T p X към X в p. Съответствията ω, които на x i p точка p X съпоставят k-линеен функционал ω p : T p X k върху допирателното пространство към X в p се наричат рационални диференциални 1-форми върху X. Във всяка фиксирана точка p X да означим с ε p : M p X/M p X 2 T p X каноничния k-линеен изоморфизъм на M p X/M p X 2 с двойното дуално пространство, построен в Лема 9.1 i. Всеки елемент на M p X/M p X 2 е от вида f fp+m p X 2 = n λ i x i p i +M p X 2 за някаква рационална функция f O p X и константи λ i k. Действието на дава λ i = f x j p за 1 j n, така че f fp + M p X 2 = x j p върху предишното равенство f x i px i p o + M p X 2. Оттук следва, че всеки елемент на T p X е от вида df p = f x i pdx i p за df p := ε p f fp + M p X 2, dx i p := ε p x i p i + M p X 2, 1 i n. За произволна рационална функция f kx да разгледаме равенството df = f x i dx i 10.1 като определение на рационалната диференциална 1-форма df чрез диференциалните 1-форми dx 1, dx n и формалните частни производни f x i на f относно x i. Във всяка точка p от областта на регулярност D на f твърдим, че f x i са коректно определени. Наистина, ако рационалната функция се представя във вида f = g h с g, h k[x], то във всяка точка p D имаме hp 0 и рационалната функция f = h g x i x i 135 g h x i h 2

136 10. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ е регулряна в p като частно на регулярните функции h g x i k[x] и h 2 k[x] с h 2 p 0. Рационалната диференциална 1-форма dx i със стойности dx i p = ε p x i p i + M p X 2 е коректно определена във всяка точка p X k n, в качеството си на на двойно дуална на глобално определения елемент x i p i + M p X 2 O p X/M p X 2. Следователно равенството 10.1 задава коректно определена рационална диференциална 1-форма df върху областта на регулярност D на f kx. За произволно непразно Зариски отворено подмножество U X да разгледаме локалния пръстен O U X = p U O p X на U в X и да определим ΩU := O U XdO U X g h x i като O U X-модула, породен от рационалните диференциални 1-форми df на f O U X. За f O U X формалните частни производни f са регулярни върху U и df = n f x i dx i x i е коректно определена рационална диференциална 1-форма върху U. Изображението d : O U X do U X, f df е k- диференциране, защото формалните частни производни : O U X O U X са k-диференцирания. Съгласно формулата df = n x i f x i dx i с f x i O U X за f O U X, O U X-модулът ΩU = O U XdO U X се поражда от рационалните диференциални 1-форми dx 1,, dx n. За произволен полином hx IX k[x 1,, x n ] от идеала на квази-афинното многообразие X k n и произволна точка p X твърдим, че dh p = O : T p X k е нулевият линеен функционал върху T p X, така че dh = 0 ΩU. Наистина, за произволен допирателен вектор v = n a i x i T p X е изпълнено p dh p v = ε p h hp + M p X 2 v = vh hp + M p X 2 = vh = 0, съгласно Твърдение 9.8. Ако p X smooth е гладка точка на квази-афинно многообразие X k n над алгебрично затворено поле k, то dim k Mp X/M p X 2 = dim k T p X = dimx = d. Нека t 1,, t d M p X O p X са такива елементи, чиито съседни класове t i +M p X 2 M p X/M p X 2, 1 i d образуват k-базис на M p X/M p X 2. Тогава максималният идеал M p X = t 1,, t d OpX се поражда от t 1,, t d. Определение 10.1. Ако p е гладка точка на квази-афинно мвногообразие X k n с размерност dimx = d, то пораждащите системи t 1,, t d M p X с d елемента на максималния идеал M p X = t 1,, t d OpX на O p X се наричат локални параметри върху X в p. Определение 10.2. Нека R е комутативен пръстен с единица, M е модул над R. Казваме, че M е свободен R-модул с ранг d, ако съществуват d линейно независими над R пораждащи x 1,, x d M на M = Rx 1 + + Rx d над R. Последното е еквивалентно на това всеки елемент x M да има единствено представяне x = d r i x i като линейна комбинация на x 1,, x d с коефициенти r 1,, r d R.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МОДУЛНА СТРУКТУРА 137 Лема 10.3. Всяка гладка точка p X smooth на квази-афинно многообразие X k n над алгебрично затворено поле k има Зариски отворена окоолност U върху X, така че модулът ΩU = O U XdO U X на рационалните диференциални 1-форми върху U е свободен O U X-модул с ранг d = dimx, който се поражда от диференциалите на локални параметри върху X в p. Доказателство: Нека f 1,, f m k[x 1,, x n ] са пораждащи на идеала IX = f 1,, f m k[x1,...,x n]. Матрицата на Jacobi f1,...,fm f1,...,fm x 1,...,x n има ранг rk x p = 1,...,x n n d в гладка точка p X smooth. След евентуална пермутация на f 1,, f m можем зда считаме, че първите n d реда на f1,...,fm x 1,...,x n p са линейно независими, а останалите редове са в тяхната линейна обвивка. Аналогично, след евентуална пермутация на афинните координати x 1,, x n можем да считаме, че матрицата f1,...,f n d x d+1,...,x n p е неособена. Разглеждаме матриците A = f1,...,f n d x 1,...,x d и B = f1,...,f n d x d+1,...,x n, чиито елементи са полиноми на x 1,, x n с коефициенти от k. Умножаваме отляво равенството 0 n d 1 = df 1 p df n d p = Ap dx 1 p dx d p + Bp с обратната матрица Bp 1 и получаваме Bp 1 Ap dx 1 p = x d+1 p. dx d p dx n p x d+1 p dx n p Елементите на адюнгираната матрица B на B са полиноми на x 1,, x n с коефициенти от k, така че обратната матрица Bp 1 1 = det Bp B p е съставена от рационални функции на p 1,, p n със знаменател det Bp. Ако U = {x X det B 0} е Зариски отвореното подмножество на X, върху което матрицата f1,...,f n d x d+1,...,x n е обратима, то във всяка точка q U имаме 1 det Bq B qaq dx 1 q dx d q = dx d+1 q dx n q Матрицата 1 det B B A с n d реда и d стълба е съставена от рационални функции ϕ ij = ψij det B със знаменател det B k[x 1,, x n ] и някакви числители ψ ij k[x 1,, x n ] за 1 i n d, 1 j d. За 1 i n d е в сила равенството d ψ ij d det B dx j = ϕ ij dx j = dx d+i на рационалните диференциални 1-форми върху U. Понеже O U X-модулът ΩU = O U XdO U X се поражда от dx 1,, dx n и dx d+1,, dx n са в O U X- модула, породен от dx 1,, dx d, стигаме до извода, че dx 1,, dx d пораждат ΩU като модул над O U X. Твърдим, че x 1 p 1,, x d p d M p X са локални параметри върху X в p. Достатъчно е да проверим, че k-линейната обвивка на x i p i + M p X 2 за 1 i d съвпада с M p X/M p X 2. Последното условие е еквивалентно на това k-линейната обвивка на dx 1 p,, dx d p да съвпада с T p X и това е вече доказано..

138 10. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ За O U X-линейната независимост на dx 1,, dx d ΩU = O U XdO U X да предположим, че съществуват g 1,, g d O U X с g 1 dx 1 + + g d dx d = 0 и g d 0. Тогава съществува непразно Зариски отворено подмножество U o U, така че g d q 0 за q U o и dx d l OUo Xdx 1,, dx d 1. Следователно ΩU o = O Uo XdO Uo X има d 1 пораждащи dx 1,, dx d 1 и във всяка точка q U o линейното пространство T q X е с размерност dim k T q X d 1. Но във всяка точка q X е в сила dim k T q X = dim k T q X d. Противоречието доказва линейната независимост на dx 1,, dx d над O U X, Q.E.D. Задача 10.4. Нека fx C[x 1 ] е полином от нечетна степен 2k + 1 N с различни корени α 1,, α 2k+1 C, C C 2 e афинната крива C = {x 1, x 2 C 2 x 2 2 = fx 1 }, а p = p 1, p 2 C е точка от C. Да се докаже, че: i ако p 1 {α 1,, α 2k+1 }, то x 1 p 1 е локален параметър върху C в p; ii ако p 1 = α i за някое 1 i 2k + 1, то y p 2 е локален параметър върху C в p. Задача 10.5. Нека gx 1 C[x 1 ] \ C е сепарабелен полином, чиято степен не се дели на 3, X C 2 е афинната крива X = {x 1, x 2 C 2 x 3 2 = gx 1 }. Да се докаже, че съществува естествено число m degg 1 и точки p i = p i, p i X, 1 i m, така че x 2 q 2 е локален параметър върху X във всяка точка q = q 1, q 2 X \ {p 1,, p m }. Задача 10.6. Нека X = V f, h C 3 е афинното многообразие, зададено с полиномите f = x 2 1 + 2x 2 x 3 x 1 x 3 и h = x 3 1 + x 2 1 3x 1 x 3 + 1 от C[x 1,, x 3 ]. Да се докаже, че x 1 p 1 е локален параметър върху X във всяка точка p = p 1, p 2, p 3 X. Упътване: Използвайте, че ако p = p 1, p 2, p 3 X, то p 1 0 и p 3 0. 2. Координатно описание на диференциала на регулярно изображение на афинни пространства Лема 10.7. Нека f = f 1,, f m : k n k m е регулярно изображение на афинни пространства, зададено с полиноми f i k[x 1,, x n ], 1 i m. Тогава матрицата на диференциала df p : T p k n T q k m, q = fp, на f в точка p k n спрямо базиса x i p, 1 i n на T p k n и базиса y j q, 1 j m на T q k m съвпада с матрицата на Jacobi f 1 f f 1,, f m x 1,, x n p = x 1 p 1 x n p f m x 1 p на f = f 1,, f m относно x 1,, x n в p k n. Още повече, диференциалът df p =,, y 1 p y m p f m x n p df 1 p df m p

3. ЕТАЛНИ ИЗОБРАЖЕНИЯ 139 на f в p k n се определя еднозначно от стойностите df j p на диференциалните 1-форми df j в p по правилото df p D = df j p D за D T p k n, q = fp. 10.2 y j q Доказателство: Ако M = M ji 1 j m, 1 i n е матрицата на df p спрямо фиксираните базиси, то df p = M ji. x i p y j q Действайки с това равенство върху dy j q получаваме, че [ ] f j p = f y j q j + M q k m 2 = df p dy j q = M ji. x i x i p x i p 10.3 Съгласно k-линейността на двете страни на равенството 10.2, достатъчно е да го докажем за D = x i p, 1 i n. Използвайки 10.3 получаваме [ ] f j df j p = p = df p, x i p y j q x i y j q x i p Q.E.D. Задача 10.8. Нека X = V f 1,, f m C n е афинно многообразие, зададено с полиномите f 1,, f m C[x 1,, x n ], а f = f 1,, f m : C n C m. Да се докаже, че dim C kerdf p dimx във всяка точка p X. Да се опишат афинните многообразия X, за които съществува точка p C n, в която диференциалът df p : T p C n T fp C n е влагане. Задача 10.9. Нека f 1,, f m k[x 1,, x n ] са полиноми с коефициенти от алгебрично затворено поле k, а f = f 1,, f m : X Y е бирегулярно изображение на афинни многообразия X k n, Y k m. Без да се прилага Лема 10.7 да се докаже, че v = n a i T p X е допирателен вектор към X в x i p p X тогава и само тогава, когато w = n е допирателен вектор към Y в fp. Упътване: Използвайте, че f IY = IX. a i fj x i p y j fp T fp Y Задача 10.10. Нека f 1,, f n C[x 1,, x n ] са такива полиноми, за които f j f j p + M p C n 2, 1 j n пораждат ко-допирателното пространство M p C n /M p C n 2 C n към C n в p = p 1,, p n C n. Да се докаже, че регулярното изображение f = f 1,, f n : C n C n има диференциал df p : T p C n T q C n, q = fp с ранг n в p. 3. Етални изображения Определение 10.11. Регулярното изображение f : X Y на афинни многообразия X k n и Y k m е етално в точка p X, ако диференциалът му df p : T p X T q Y, q = fp е k-линеен изоморфизъм. Ако регулярното изображение f : X Y на афинни многообразия е етално във всяка точка p X, казваме, че f е етално.

140 10. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ Твърдение 10.12. Нека k е алгебрично затворено поле, X k n многообразие с афинен координатен пръстен k[x] = k[x 1,, x n ], fx 1,, x n, x n+1 k[x][x n+1 ] = k[x 1,, x n ][x n+1 ] е афинно е полином на x n+1 с коефициенти от k[x], пораждащ прост идеал f k[x][xn+1] в k[x][x n+1 ], а Y k n+1 е афинното многообразие с афинен координатен пръстен k[y ] = k[x][x n+1 ]/ f k[x][xn+1]. Тогава проекцията π : k n+1 k n, πx 1,, x n, x n+1 = x 1,, x n върху първите n компоненти се ограничава до регулярно изображение π : Y X на Y в X, което е етално в точка p, p n+1 Y тогава и само тогава, когато полиномът fp, x n+1 няма кратни корени. Последното е еквивалентно на неразклоненост на π в p, p n+1. Доказателство: Понеже k[x][x n+1 ] = k[x 1,, x n, x n+1 ]/JX е фактор на полиномиалния пръстен k[x 1,, x n, x n+1 ] по идеала JX := IX k[x1,...,x n,x n+1], породен от IX k[x 1,, x n ], простият идеал f k[x][xn+1] k[x][x n+1 ] се повдига до простия идеал JY = f k[x1,...,x n,x n+1] + JX k[x 1,, x n, x n+1 ] с фактори JY /JX = f k[x][xn+1] и k[x 1,, x n, x n+1 ]/JY k[x][x n+1 ]/ f k[x][xn+1] = k[y ]. Това доказва, че JY k[x 1,, x n, x n+1 ] е простият идеал на Y в полиномиалния пръстен k[x 1,, x n, x n+1 ]. Съгласно IX JX JY, всяка точка p = πp, p n+1 от образа на Y p, p n+1 под действие на π изпълнява уравненията от IX и принадлежи на X = V IX. Това доказва, че π е изображение π : Y X на Y в X. Ако идеалът IX = f 1,, f m k[x1,...,x n] на X се поражда от полиномите f 1,, f m, то идеалът JY = f 1,, f m, f k[x1,...,x n,x n+1] на Y се поражда от f 1,, f m, f k[x 1,, x n, x n+1 ] и допирателните пространства на Зариски към Y в p, p n+1 Y са T p,pn+1y { n+1 w = a i x i Твърдим, че диференциалът dπ p,pn+1 p,p n+1 } wf 1 = = wf m = wf = 0. dπ p,pn+1 : T p,pn+1k n+1 T p k n, n+1 a i = a i x i p,p n+1 x i p на проекцията π : k n+1 k n е проектирането върху първите n координати на съответните допирателни вектори. За целта е достатъчно да приложим Лема 10.7 към π : k n+1 k n, πx 1,, x n, x n+1 = x 1,, x n и до забележим, че матрицата на dπ p,pn+1 спрямо базиса x i p,p, 1 i n + 1 на n+1 T p,pn+1k n+1 и базиса x j p, 1 j n на T p k n е x 1,, x n x 1,, x n+1 p = E n 0 n 1,

3. ЕТАЛНИ ИЗОБРАЖЕНИЯ 141 където E n е единичната n n-матрица, а 0 n 1 е стълб от n нули. Допирателните пространства на Зариски към X в p X са { } T p X = v = b i vf 1 = = vf m = 0. x i p По определение, регулярното изображение π : Y X е етално в точка p, p n+1 от Y точно когато диференциалът dπ p,pn+1 : T p,pn+1y T p X е k-линеен изоморфизъм. Последното е в сила точно когато първите n координати a 1,, a n на допирателен вектор w = n+1 a i T p,pn+1y към Y в p, p n+1 x i p,p n+1 определят еднозначно последната координата a n+1. Съгласно f f 0 = wf = a i + a n+1 p, p n+1, x i x n+1 p,p n+1 dπ p,pn+1 е k-линеен изоморфизъм тогава и само тогава, когато f x n+1 p, p n+1 0 и p n+1 е прост корен на fp, x n+1 = 0, Q.E.D. Задача 10.13. Нека k е алгебрично затворено поле, X = V x 2, x 3 V x 1, x 3 V x 1, x 2 k 3 е обединението на координатните оси в k 3, а Y = V y 1 y 2 y 1 y 2 k 2. Да се докаже, че: i Y е обединение на три афинни прави през началото 0, 0 k 2 ; ii афинните алгебрични множества X и Y не са бирегулярни. Упътване: ii Ако допуснем съществуването на бирегулярно изображение ϕ : X Y, то ϕ се ограничава до изоморфизъм ϕ : V x i, x j ϕv x i, x j за 1 i < j 3 и трансформира единствената особена точка 0 3 = 0, 0, 0 на X в единствената особена точка 0 2 0, 0 на Y. Допирателното пространство на Зариски T 0 3X = T 0 3V x 2, x 3 + T 0 3V x 1, x 3 + T 0 3V x 1, x 2 = = l k + l k + l k = x 1 0 x 3 2 0 x 3 3 0 3 = l k k 3 x 1 x 2 x 3 0 3, към X в 0 3 се изобразява изоморфно върху допирателното пространство на Зариски T 0 2Y = T 0 2V y 1 + T 0 2V y 2 + T 0 2V y 1 y 2 = = l k + l k + l k + y 2 0 y 2 1 0 y 2 1 0 y 2 2 = l k k 2 y 1 y 2 към Y в 0 2, което e противоречие. 0 2, 0 3, 0 2 0 3 0 2 =

142 10. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ Задача 10.14. Нека f 1,, f m C[x 1,, x n ] са такива полиноми, за които регулярното изображение f = f 1,, f m : C n C m е етално в някаква точка p C n. Да се докаже, че: i m = n; ii съществува полином g C[x 1,, x n ], така че f е етално във всяка точка на непразното, Зариски отворено подмножество C n \ V g C n. Задача 10.15. Нека gx C[x] е полином от степен degg = 3m + 1 или degg = 3m 1 за някое m N, Y = {x, y C 2 y 3 = gx}, а π : Y C, πx, y = x е проекцията върху първата компонента. Да се докаже, че: i изображението π е етално във всички точки p Y \ V g {0}; ii π : Y V g {0} V g е взаимно еднозначно и dπ p1,0 = O е нулeвото C-линейно изображение във всички точки p 1, 0 Y V g {0}. 4. Eдно следствие от лемата на Noether за нормализация Определение 10.16. Крайното сепарабелно разширение F = Eθ E е нормално, ако всички корени θ i на минималния полином f θ x E[x] на θ над E принадлежат на F. Ще продължим с едно следствие от Лемата на Noether за нормализация, което е в сила само над алгебрично затворени полета k. Следствие 10.17. Нека k е алгебрично затворено поле, A = k[η 1,, η n ] е крайно породена k-алгебра без делители на нулата, а F = kη 1,, η n е полето от частни на A. Тогава съществува базис на трансцендентност ξ 1,, ξ d A на F над k, така че пръстенът A е цял над A o = k[ξ 1,, ξ d ] и F е крайно нормално сепарабелно разширение на полето от частни F o на A o. Доказателство: Ако tr deg k F = n, то η 1,, η n е базис на трансцендентност на F над k, k-алгебрата A o = k[η 1,, η n ] = A е цяла над себе си и нейното поле от частни F o = kη 1,, η n = F е крайно нормално сепарабелно разширение над себе си. Ако tr deg k F = 0, то η i е алгебрично над алгебрично затвореното поле k, така че η i k за 1 i n и A = A o = k, F = F o = k. Отсега нататък ще предполагаме, че степента на трансцендентност tr deg k F = d изпълнява неравенствата 0 < d < n. Процедираме с индукция по разликата 1 n d n 1 на броя n на пораждащите на A е степента на трансцендентност d на F над k. Избираме неразложим полином f k[x 1,, x n ] \ k. Твърдим, 0. В противен случай, полето k е с проста характеристика chark = p и степенните показатели на всички променливи във всички мономи с ненулев коефициент се делят на p. Всеки елемент α k на алгебрично затвореното поле k има p-ти корен p α k в k, така че съществува полином g k[x 1,, x n ] с f = g p. Това противоречи на неразложимостта на f и доказва съществуването на 1 i n че съществува индекс 1 i n, така че fx 1,, x n зависи от x i и f x i с f x i 0. След евентуална пермутация на променливите x 1,, x n можем да считаме, че f x 1 0. Ако полето k е с характеристика chark = 0, то полагаме ζ i = η i η N i 1 1 за 2 i n и достатъчно голямо N N. Полиномът gη 1, ζ 2,, ζ n := f η 1, ζ 2 + η1 N,, ζ n + η N n 1 има g η 1 0 за произволно N N. В случая на проста характеристика p = chark избираме достатъчно голямо естествено Np N, кратно на p и полагаме 1

4. СЛЕДСТВИЕ ОТ ЛЕМАТА НА NOETHER 143 ζ i = η i η Npi 1 1 за 2 i n. Тогава gη 1, ζ 2,, ζ n := f η 1, ζ 2 + η Np 1,, ζ n + η Npn 1 1 има g η 1 = f η 1 0, защото f ζ i+η Npi 1 1 η i η 1 0 за 2 i n. Както в доказателството на Лемата на Noether за нормализация, gη 1, ζ 2,, ζ n задава цяла зависимост на η 1 над k[ζ 2,, ζ n ]. По индукционно предположение, съществува базис на трансцендентност ξ 1,, ξ d k[ζ 2,, ζ n ] на kζ 2,, ζ n над k, така че k[ζ 2,, ζ n ] е цял над k-алгебрата A o = k[ξ 1,, ξ d ] и kζ 2,, ζ n е крайно нормално сепарабелно разширение на F o = kξ 1,, ξ d. В Лемата на Noether за нормализация изведохме, че A = k[η 1, η 2,, η n ] = k[η 1, ζ 2,, ζ 2 ] е цял над A o = k[ξ 1,, ξ d ]. Остава да проверим, че F = kη 1, ζ 2,, ζ n е крайно нормално сепарабелно разширение на F o = kξ 1,, ξ d. Ако θ 1 kζ 2,, ζ n е сепарабелен примитивен елемeнт на kζ 2,, ζ n = F o θ 1 над F o, то съгласно Теорема 9.14 за примитивния елемент, съществува примитивен елемент θ = η 1 + cθ 1, c k на F = kθ над k. За да докажем сепарабелността на θ над k да разгледаме разширенията k kθ 1 kθ. Да означим λ = [kθ 1 : k], µ = [kθ : kθ 1 ] и да отбележим, че [kθ : k] = [kθ : kθ 1 ][kθ 1 : k] = λµ. Елементът θ 1 kζ 2,, ζ n е сепарабелен над k, така че минималният полином на θ 1 над F o има λ различни корена и F o θ 1 има λ различни влагания в алгебричната обвивка F o на F o над F o. По определение, влагане F o θ 1 F o над F o е хомоморфизъм на пръстени с нулево ядро, който се ограничава до тъждественото изображение Id Fo на F o. За всяко фиксирано влагане F o θ 1 F o с образ F o θ i 1 за някакъв корен θi 1 на минималния полином на θ 1 над F o имаме точно толкова влагания F o θ = F o η 1 + cθ 1 F o над F o, колкото са влаганията на η 1 в алгебричната обвивка F o θ i 1 = F o на F o θ i 1 над F oθ i 1. Този брой е равен на µ, така че F = F o θ има λµ = [F : F o ] влагания в F o над F o и примитивният елемент θ на F = F o θ над F o е сепарабелен над F o. Остава да докажем, че всички корени θ i на минималния полином f θ x F o [x] на θ над F o принадлежат на F = F o θ. За целта прилагаме Следствие 9.16 ii към разширението F = kξ 1,, x d, θ k с базис на трансцендентност ξ 1,, ξ d над k и получаваме съществуването на неприводима хиперповърхнина V f k d+1 с функционално поле kv f = F. Стойностите на θ са стойностите на афинната координата x d+1 върху V f и принадлежат на афинния координатен пръстен k[v f], а оттам и на функционалното поле kv f. Това доказва, че крайното сепарбелно разширение F = F o θ F o е нормално, Q.E.D.