Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна сума) Сумата от първите члена на даден ред, x се нарича негова -та парциална (частична) сума. Ако съществува границата,, на редицата от парциалните суми, {,,,,..}, то казваме, че редът е сходящ и има сума : x li x li Ако тази граница не съществува (например, = ), тогава казваме, че редът е разходящ. Теорема : Ако една нарастваща (намаляваща) редица е ограничена отгоре (отдолу), то тя е сходяща. Теорема : За да бъде сходящ ред с положителни членове, необходимо и достатъчно е редицата от парциалните суми на този ред да бъде ограничена отгоре. Някои познати редове с положителни членове: () Геометричен ред q q... q... q, който е сходящ при q < и разходящ при q 0 Геометричния ред има парциална сума: Ако q <, то при q q, q, q q q () Обобщен хармоничен ред:...... 3 който е сходящ при s > и разходящ при s s s s s
Семинар / 7 (3) Хармоничният ред...... 3 Доказателство: Разглеждаме парциалната сума е разходящ! въпреки че редицата на първите члена на реда: x е сходяща! 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5... 6 3 4 4 4 5 6 7 8 8 8 8 8 9 0 3 4 5 6... члена члена 3 члена... - члена 6 6 6 6 6... 6 6 6 Ако броят членове =, т.е. хармоничният ред е разходящ! (4) Редът...... 3.. 3. 4, който е сходящ и има сума e неперовото число (е! =.788 ). 0 Метод на математическата индукция Индуктивни се наричат съждения, при които от частен пример се прави заключение за общото поведение. Доказателствата, базирани на метода на математическата индукция обикновено се свеждат до три стъпки: ) Начална стъпка: Проверяваме верността на твърдението за. ) Индукционна хипотеза: Допускаме, че твърдението е вярно и за. 3) Индукционна стъпка: Доказваме верността на твърдението и за.
Семинар 3 / 7 Признак (критерий) на Даламбер: Aко за всяка стойност на номера,, или поне от дадена стойност на нататък, е изпълнено x x неравенството q или, то редът x x положителни, поне от дадено нататък, е сходящ (или разходящ). x, чиито членове се предполагат Гранична форма на признака на Даламбер Ако съществува границата L >. x li L, то редът x x е сходящ при L <, и разходящ при Признак (критерий) на Коши: Aко за всяка стойност на номера,, или поне от дадена стойност на нататък, е изпълнено неравенството x или q x, то редът x, чиито членове се предполагат положителни, поне от дадено нататък, е сходящ (или разходящ). Гранична форма на признака на Коши Ако съществува границата li x L, то редът x е сходящ при L <, и разходящ при L >. Внимание! При L = признаците на Коши и Даламбер НЕ ни дават информация дали редът е сходящ или разходящ! Критерий на Лайбниц за ред с членове с алтернативни знаци Ако имаме ред от вида 3 4... и () 0; 3...; и () li 0 редът е сходящ. Ако редът 3 4... е сходящ редът Ако редът 3 4... е разходящ, но редът нарича условно сходящ. се нарича абсолютно сходящ. е сходящ редът се
Семинар 4 / 7 Задача. Намерете сумата на реда: 3 35 57 79......... 3 3 5 3 3 5 5 7 li li li редът е сходящ и неговата сума е ½. Задача. Като използвате метода на пълната математическа индукция покажете, че -та парциална сума на реда: 3...... е.. Проверяваме за :? - твърдението е вярно.. Допускаме, че е вярно и за :. 3. Доказваме, че е вярно за : 3 От друга страна, ако използваме формулата за сумата на първите члена: 3 Двата израза съвпадат, т.е. твърдението, че е доказано.
Семинар 5 / 7 Задача 3. Изследвайте сходимостта на редовете, като използвате признака на Даламбер: 3 3 4...... (б) 0 0 0 3...... ( 3 3 3 3 9 3! (г) = 3!. ; 0 0 Използваме критерия на Даламбер: 0 L li li li 0 0 редът е разходящ. (б) ; / / 3 3 Използваме критерия на Даламбер: L li li li редът е сходящ. 3 3 3 ( 3 3...............!!! 3!!... 3.. 3...... 3.. 3. 4 Както вече видяхме този ред е сходящ и има сума.78... Нека изследваме сходимостта на реда и с признака на Даламбер: ;!!! редът е сходящ. L li li : li li 0!!! (г) 3! ; 3! Използваме критерия на Даламбер: 3 3 3 3 редът е разходящ. e L li li li li
Семинар 6 / 7 Задача 4. Изследвайте сходимостта на редовете, като използвате признака на Коши: 3 3...... (б) 3 5 7 ( l Използваме критерия на Коши: L li li li редът е сходящ. (б) Използваме критерия на Коши: L li li li e. 359 редът е разходящ. ( l Използваме критерия на Коши: L li li 0 l редът е сходящ. Задача 5. Изследвайте сходимостта на редовете, като използвате критерия на Лайбниц: 3 4.. 0. 00. 000... (б) 3 4.... Първото условие от критерия от Лайбниц е изпълнено, т.к... 0. 00. 000... 0 li li 0 0 второто условие не е изпълнено и редът е разходящ. (б) Първото условие от критерия от Лайбниц е изпълнено, т.к. 3 3... li li 0 второто условие също е изпълнено и редът е сходящ.
Семинар 7 / 7 Задачи за домашно: Задача. Намерете сумата на реда: а) 3 3 4 45... б) 3 3 4 345... 35 357 579... г) Задача. Като използвате метода на пълната математическа индукция, покажете че -тата парциална сума на реда: а)..... 3 3. 4 е 3 3 3 б)... e.. 3 35 357 579... е 3 3 3. Намерете общата сума на реда. Задача 3. Използвайте критерия на Даламбер, за да изследвате сходимостта на редовете: 3 4 0 0 5 0 5 0 5 а) 3 4... д). 5. 5. 8. 5. 8... 3....... 5. 5. 9. 5. 9... 4 3 0!! е) ж)! 3! 0 0 3 3 4 б)... 5 5 5 0 0 0 3 0 4 г)! e з) и) 3! 3 4 6 6 6 6... 3.. 3. 4... 3 к) 0! e 0! Задача 4. Използвайте критерия на Коши, за да изследвате сходимостта на редовете: 3 4 а) 3 0 00 0........ б) 3 г) 3 д) 3 4 e) ж)* 5 l cos 4 Задача 5. Използвайте критерия на Лайбниц, за да изследвате сходимостта на редовете: а) б)