Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение 10.1. Множеството Zf = {[x : y : z] P k fx, y, z = 0} на нулите на евентуално разложим хомогенен полином fx, y, z k[x, y, z] в двумерното проективно пространство P k се нарича проективна равнинна крива. Степента на проективна равнинна крива Zf P k се определя като общата степен на хомогенния полином fx, y, z, deg Zf = degf. Ще докажем Слаба форма на Теоремата на Bezout с помощта на резултанта на два полинома на една променлива. Да напомним, че за полиноми ft = t n + a 1 t n 1 +... + a n 1 t + a n = gt = b 0 t m + b 1 t m 1 +... + b m 1 t + b m = b 0 с коефициенти от поле K, резултантата се определя като n m Rf, g = a m 0 b n 0 α i β j. Непосредствено се вижда, че n Rf, g = a m 0 b 0 m j=1 j=1 α i β j = a m 0 n m j=1 t α, t β j n gα i и Rf, g = 0 за ft 0 K, gt 0 K точно когато f и g имат общ корен. Дискриминантата на ft се определя като Df := a n 0 α i α j n i>j 1 Лема 10.. Нека ft, gt K[t] са полиноми на една променлива t с коефициенти от поле K, а P е простото подполе на K. Тогава дискриминантата Df P [,..., a n ] на ft е полином на коефициентите на ft, резултантата Rf, g P [,..., a n, b 0,..., b m ] на f и g е полином на коефициентите на f и g. Доказателство: Нека σ 1,..., σ n са елементарните симетрични полиноми на α 1,..., α n, а τ 1,..., τ m са елементарните симетрични полиноми на β 1,..., β m. Непосредствено се вижда, че α i α j е симетричен полином на α 1,..., α n, n i>j 1 135
136 10. ТЕОРЕМА НА BEZOUT. ПОЛИНОМИАЛНИ КОДОВЕ откъдето и полином n i>j 1 α i α j P [σ 1,..., σ n ] на елементарните симетрични полиноми σ 1,..., σ n на α 1,..., α n с коефициенти от P. От формулите на Виет σ i = 1 i ai за 1 i n получаваме, че n i>j 1 α i α j P [ a1,..., a n Съгласно алгоритъма за представяне на симетричен полином на α 1,..., α n като полином на σ 1,..., σ n, мономите на α i α j са от вида µ = a1 k1 k k k 3 a... n i>j 1 an 1 ]. kn 1 k n an с k 1 k... k n 1 k n 0. Тук k 1 не надминава максималната степен n, в която α 1 участва в моном на α i α j. Следователно мономите n i>j 1 на Df = a n 0 α i α j са от вида n i>j 1 a n 0 µ = a n k1 0 a k1 k 1 a k k3... a kn 1 kn n 1 с n k 1 k... k n 1 k n 0, така че a n 0 µ P [, a 1,..., a n ] и Df P [, a 1,..., a n ]. Полиномът n m α i β j от степен m относно α i и от степен n относно β j е j=1 симетричен полином на α 1,..., α n и симетричен полином на β 1,..., β m. Следователно n m [ a1 α i β j P [σ 1,..., σ n, τ 1,..., τ m ] = P,..., a n, b 1,..., b ] m, b 0 b 0 j=1 съгласно основната теорема за симетричните полиноми и формулите на Виет σ i = 1 i ai за 1 i n, τ j = 1 j b j b 0 за 1 j m. Мономите на n m α i β j са от вида k1 k a1 ν =... an 1 j=1 kn 1 k n kn an b1 b 0 l 1 l... a kn n bm 1 b 0 kn lm 1 l m bm за m k 1 k... k n 1 k n 0, n l 1 l... l m 1 l m 0. n m Следователно мономите на Rf, g = a m 0 b n 0 α i β j са от вида = a m k1 0 a k1 k 1... a kn 1 kn n 1 j=1 и Rf, g P [, a 1,..., a n, b 0, b 1,..., b m ], Q.E.D. Лема 10.3. Нека b 0 lm a m 0 b n 0 ν = a kn n b n l1 0 b l1 l 1... b lm 1 lm m 1 b lm m P [, a 1,..., a n, b 0, b 1,..., b m ] ft = t n + a 1 t n 1 +... + a n 1 t + a n и gt = b 0 t m + b 1 t m 1 +... + b m 1 t + b m
10. ТЕОРЕМА НА BEZOUT. ПОЛИНОМИАЛНИ КОДОВЕ 137 са полиноми с коефициенти от поле K, а редовете на m + n m + n- матрицата a 1... a n a 1... a n a 1... a n b 0 b 1... b m b 0 b 1... b m b 0 b 1... b m са запълнени последователно от m екземпляра на коефициентите на ft, записани от диагоналните позиции надясно и n екземпляра на коефицинетите на gt, записани от диагоналните позиции надясно. Тогава резултантата Rf, g на ft и gt е равна на детерминантата на M, W α 1,..., α n = Rf, g = detm. Доказателство: Разглеждаме матрицата W L = m α 1,..., α n E m W α 1,..., α n 0 n m където α1 n 1 α n 1... αn n 1 W m α 1,..., α n = α1 n α n... αn n............ α 1 α... α n 1 1... 1, α1 n+m 1 α n+m 1... αn n+m 1 α1 n+m α n+m... αn n+m............ α1 n+1 α n+1... αn n+1 α1 n α n... α n. M n,nk, M m,nk, E m е единичната m m-матрица, а 0 n m е нулевата матрица с n реда и m стълба. Произведението 0 ML = m n T m rα 1,..., α n ; g N n m с триъгълна матрица... 0... T m =.................. 0 0 0... M m,mk, 0 0 0... 0 α1 n 1 gα 1 α n 1 gα... αn n 1 gα n α1 n gα 1 α n gα... αn n gα n rα 1,..., α n ; g =............ α 1 gα 1 α gα... α n gα n M n,nk gα 1 gα... gα n и някаква матрица N n m M n,m K. По Теоремата за умножение на детерминанти, detm L = detm detl. Развиваме detm L по адюнгирани количества относно n-ти ред, n 1-ви ред,..., 1-ви ред в първоначалната номерация на ердовете на ML и т.н. Развиваме
138 10. ТЕОРЕМА НА BEZOUT. ПОЛИНОМИАЛНИ КОДОВЕ detl по адюнгирани количества относно m + n-ти стълб, m + n 1-ви стълб,... m + 1-ви стълб в първоначалната номерация на стълбовете и т.н. Получаваме [ n ] 1 mn a m 0 gα i 1 nn 1 α i α j = Резултантата Rf, g = a m 0 = detm 1 mn 1 nn 1 n m gα i, защото gα i = b 0 α i β j. След почленно умножение с 1 mn 1 nn 1 a n 1 j<i n 1 j<i n α i α j. 0 1 j<i n j=1 α i α j имаме Rf, gdf = detmdf 10.1 за дискриминантата Df на ft. Достатъчно е да докажем, че Df P [,..., a n ] не се анулира тъждествено като полином на,..., a n с коефициенти от простото подполе P на K, за да получим Rf, g = detm. Да допуснем, че Df 0 се анулира тъждествено като полином на,..., a n. Тогава всеки полином ft K[t] има кратен корен или ft K[t] има общ корен с формалната си производна f t K[t]. Ако характеристиката chark = 0 или chark = p не дели степента degf = n, то ft = t n + 1 и f t = nt n 1 нямат общ корен. В случая на степн degf = n, кратна на характеристиката chark = p полиномът ft = t n + t + 1 K[t] и формалната му производна f t = 1 нямат общи корени. Полученото противоречие доказва, че Df 0 P [,..., a n ] и Rf, g = detm, Q.E.D. Теоремата на Bezout за проективни равнинни криви Zf P k и Zg P k гласи, че ако сечението Zf Zg е крайно, то броят на точките в него е равен на произведението на степените на Zf и Zg, т.е. Ние ще докажем и използваме Zf Zg = deg Zf deg Zg. Твърдение 10.4. Слаб вариант на Теоремата на Bezout Ако Zf P k и Zg P k са проективни равнинни криви с крайно сечение Zf ZG, то Zf Zg deg Zf deg Zg. Доказателство: Разглеждаме проекцията Π : P k > P 1 k, Π[x : y : z] = [x : y], която е определена върху P k \ {[0 : 0 : 1]}. За всяка точка [x o : y o ] P 1 k слоят Π 1 [x o : y o ] = {[x : y : z] P k x o y xy o = 0} е проективизацията на равнината {x, y, z k 3 x o y xy o = 0} k през началото в k 3, така че Π 1 [x o : y o ] P 1 k е проективна права. Твърдим, че съществува такава координатна система в k 3, спрямо която сечението Zf Zg P k \ {[0 : 0 : 1]} се съдържа в дефиниционната област на Π и ограничението Π : Zf Zg ΠZf Zg е взаимно еднозначно върху образа си. За целта разглеждаме правите през началото l i = {λp i, λq i, λr i λ k}, 1 i n, до които се повдигат точките от
10. ТЕОРЕМА НА BEZOUT. ПОЛИНОМИАЛНИ КОДОВЕ 139 Zf Zg = {[p i : q i : r i ] 1 i n} и равнините α ij през началото, минаващи през l i и l j за 1 i < j n. Всеки две различни прави l i и l j, i < j в k 3 през началото определят единствена равнина α ij. Избираме третата координатна ос Oz така, че да не лежи в нито една от равнините α ij, 1 i < j n. Тогава [0 : 0 : 1] Zf Zg, защото Oz не лежи върху нито една от правите l i. Ако допуснем, че две различни прави l i l j се проектират върху една и съща права {λp i, λq i λ k} = {µp j, µq j µ k} в k, то можем да представим l j във вида l j = {νp i, νq i, νr j ν k} k3. От l i l j следва r i r j, така че векторът v ij = 0, 0, r i r j е ненулев. Но v ij α ij принадлежи на линейната обвивка α ij на l i и l j, което противоречи на избора на Oz и доказва взаимната еднозначност на Π : Zf Zg ΠZf Zg при направения избор на координати. Представяме хомогенния полином fx, y, z = a n s z s + a n s+1 z s 1 +... + a n 1 z + a n като полином на z, чиито коефициенти са хомогенни полиноми a i на x, y от степен i. Аналогично, gx, y, z = b m l z l + b m l+1 z l 1 +... + b m 1 z + b m за хомогенни полиноми b j x, y k[x, y] от степен j. Точката [x o : y o : z o ] е общ корен на fx, y, z = 0 и gx, y, z = 0 тогава и само тогава, когато [x o : y o ] е корен на резултантата R z f, gx, y k[x, y] на f и g като полиноми на z. Достатъчно е да докажем, че R z f, gx, y е хомогенен полином от степен d mn за degf = n, degg = m, за да получим, че Zf Zg mn. Поточно, R z f, gx, y от степен d има най-много d корена, които отговарят на различни точки от Zf Zg съгласно взаимната еднозначност на проекцията Π : Zf Zg ΠZf Zg. За произволен параметър t резултантата det R z f, gtx, ty = t n s a n s t n s+1 a n s+1... t n a n t n s a n s t n s+1 a n s+1... t n a n t n s a n s t n s+1 a n s+1... t n a n t m l b m l t m l+1 b m l+1... t m b m t m l b m l t m l+1 b m l+1... t m b m t m l b m l t m l+1 b m l+1... t m b m Умножаваме по редове с t m l, t m l+1,..., t m 1, t n s, t n s+1,..., t n 1, така че стълбовете да са хомогенни от степен δ = n s + m l, δ + 1,..., δ + s + l 1, t δ a n s t δ+1 a n s+1... t δ+s a n t δ+1 a n s t δ+ a n s+1 t δ+s+1 a n...... t δ+l 1 a n k t δ+l a n k+1 t δ+l 1+k t δ b m l t δ+1 b m l+1... t δ+l b m t δ+1 b m l t δ+ b m l+1 t δ+l+1 b m...... t δ+s 1 b m l t δ+s b m l t δ+s 1+l Изнасянето на степените на t от стълбовете на получената детерминанта дава l 1l m ll+ t +n ss+ s 1s s+l 1s+l δs+l+ R z f, gtx, ty = t R z f, gx, y..
140 10. ТЕОРЕМА НА BEZOUT. ПОЛИНОМИАЛНИ КОДОВЕ Следователно R z f, gx, y k[x, y] е хомогенен полином от степен = δs + l + s + l 1s + l m ll l 1l s 1s n ss = = ms + nl sl mn, защото m ln s 0, Q.E.D. Равенството Zf Zg = degf degg за крайно сечение Zf Zh се извежда от неравенствата Zf Zh = dim k O p / f, g p dim k k[x, y]/ f, g degf degg, p Zf Zg които после се доказват че са изпълнени като равенства. Сега ще построим полиномиални кодове върху афинни равнинни криви над крайни полета. Ще пресметнем размерностите на тези кодове и ще оценим отдолу минималните им разстояния. Нека Zh = {x, y F q hx, y = 0} е афинна равнинна крива, зададена чрез неразложим над F q необезателно хомогенен полином hx, y F q [x, y] от обща степен m. Да означим с U l множеството на полиномите от F q [x, y] с обща степен l. Тогава U l е l+1l+ -мерно линейно пространство над F q, защото мономите x s y i s с 0 s i, 0 i l образуват F q -базис на U l и техният брой е i + 1 = l+1l+. Избираме n различни F q -рационални точки i=0 P 1,..., P n ZhF q за някое естествено n > ml и разглеждаме остойностяващото изображение E : U l F n q, Ef = fp 1,..., fp n. Ядрото ker E = {g U l gp i = 0, 1 i n} се състои от онези полиноми g U l, за които P 1,..., P n Zg Zh. Ако сечението Zg Zh е крайно, то броят на точките в него е n = {P 1,..., P n } Zg Zh lm, което противоречи на избора на n > lm. Следователно Zg Zh е крива за всички g U l \ {0}. От Zg Zh Zh е неприводимостта на Zh получаваме Zg Zh = Zh, откъдето Zh Zg. Следователно идеалите r h = IZh IZg изпълняват противоположното включване. Неразложимият над F q полином h поражда прост идеал h, така че r h = h. Оттук, g IZg h. Обратно, ако g h, то gp i = 0 за P i Zh и g ker E. С това доказахме, че ker E = h U l = {hf deghf l} = {hf deg f l m} U l m за l m и ker E = {0} за l < m. Условието ker E = h U l може да се докаже и чрез използване на свойствата на резултантата на два полинома. Ако резултантата R y h, g = 0 k на h и g относно y се анулира тъждествено като полином на x, то hx, y и gx, y имат общ делител, зависещ от y. Поради неразложимостта на h k[x, y], този общ делител съвпада e h с точност до мултипликативна константа от k и g h. Ако R y h, g k[x] \ {0}, то R y h, g = 0 има краен брой корени α 1,..., α m. Проекцията Π : k k, Π x, y = x изобразява безкрайното множество Zh Zg в крайното множество Z 1 R y h, g = {α 1,..., α m }, така че поне един слой Π 1 α i = {y k gα i, y = hα i, y = 0} е безкраен. След транслация по оста Ox можем да считаме, че α i = 0. Сега от g0, y = h0, y 0 k[y] следва, че gx, y и hx, y се делят на x. Поради неразложимостта на
10. ТЕОРЕМА НА BEZOUT. ПОЛИНОМИАЛНИ КОДОВЕ 141 h имаме h = ax за някое a k и h дели g. С други думи, g h и в този случай. Образът C = EU l на U l под действие на E е F q -линеен код с дължина n и размерност { l+ dim C = dim U l dim ker E = l m+ за l m, l+ за l < m. Твърдим, че минималното разстояние d на C е d n lm. За целта използваме съвпадението на d с минималното тегло w на C. Ненулева дума c = gp 1,..., gp n C има нулева компонента gp i = 0 точно когато P i Zg Zh. Съгласно c 0,..., 0 сечението Zg Zh е крайно и броят на точикте в него е Zg Zh lm. Следователно кодова дума c C \ {0,..., 0} има най-много lm нулеви компоненти или поне n ml ненулеви компоненти. С други думи, d = w n ml. Задача 10.5. Да се докаже, че полиномът fx, y = x 3 + x y F 9 [x, y] е неразложим. Да се намерят F 9 -рационалните точки P 1,..., P n V F 9 на неприводимата афинна равнинна крива V = {x, y F 9 y = x 3 + x}. Да се пресметнат размерността и минималното разстояние на F 9 -линейния код C = ime, където E : U 1 = {gx, y = + a 1 x + a y a i F 9 } F n 9, Eg = gp 1,..., gp n. Решение: Да допуснем, че fx, y = gx, yhx, y с g, h F 9 [x, y] е разложим. Ако h не зависи от x и y i F 9 е корен на hy = 0, то fx, y i = x 3 + x y i 0 F 9 [x] е противоречие. Следователно gx, y и hx, y имат ненулеви степен 1 deg x g, deg x h deg x f = 3 относно x. Съгласно deg x g + deg x h = deg x f = 3, можем да предполагаме, че deg x g = 1 и deg x h = след евентуална размяна между g и h. С други думи, x 3 +x y = fx, y = gx, yhx, y = [ayx+by][pyx +qyx+ry] 10. за някакви полиноми a, b, p, q, r F 9 [y]. Сравнявайки коефициентите на x 3 в 10. получаваме aypy 1 F 9 [y], откъдето a, p F 9, p = a 1. След умножение на gx, y с a 1 F 9 и на hx, y с a F 9 можем да считаме, че ay py 1 F 9 [y]. Сравняването на коефициентите на x, x и 1 в 10. дава by + qy 0 F 9 [y], byqy + ry 1 F 9 [y], byry = y F 9 [y]. Следователно qy = by, ry 1 + b y, b 3 y + by y F 9 [y]. От последното равенство получаваме, че deg by = s 1, откъдето deg b 3 y = 3s > s = deg by. Сега degb 3 y + by = 3s = = deg y е противоречие, доказващо неразложимостта на fx, y F 9 [x, y]. Нека F 9 = {a + bα a, b } за пораждащия α на F 9 с α = α + 1. Вземайки предвид GalF 9 / = Φ 3 Z, + с Φ 3 x = x 3, представяме уравнението на V във вида y = Tr F9 x.
14 10. ТЕОРЕМА НА BEZOUT. ПОЛИНОМИАЛНИ КОДОВЕ За x, y V F 9 имаме y = Tr F9 x. Затова решенията на y = x 3 + x са точно решенията на системите y = a x 3 + x = a за a. Ако Tr F9 x = 0, то x {0, ±α + 1} = ker Tr F9 и y = 0. Забелязваме, че x = 1 е решение на x 3 + x = 1. Съгласно линейността на следата, всички решения на Tr F9 x = 1 са 1+ker Tr F9 = { 1, α, 1 α}. От друга страна, y = 1 има решения y = ±1. Аналогично, x = 1 е решение на x 3 + x = 1. Всички решения на това уравнение са 1+ker Tr F9 = {1, α, 1+α}. Вече пресметнахме, че корените на y = 1 в F 9 са y {±1 + α}. Следователно F 9 -рационалните точки на V са: P 1 = 0, 0, P = α + 1, 0, P 3 = α 1, 0, P 4 = 1, 1, P 5 = α, 1, P 6 = 1 α, 1, P 7 = 1, 1, P 8 = α, 1, P 9 = 1 α, 1, P 10 = 1, 1 + α, P 11 = α, 1 + α, P 1 = 1 + α, 1 + α, P 13 = 1, 1 α, P 14 = α, 1 α, P 15 = 1 + α, 1 α. Остойностяващото изображение E : U 1 F 15 9, Ef = fp 1,..., fp 15 е влагане, защото неразложимият над F 9 полином y x 3 x е от степен m = 3, строго по-голяма от степента l = 1 на полиномите в които заместваме с P i. Следователно C = EU 1 F 15 9 е F 9 -линеен код с дължина n = 15 и размерност dim C = dim U 1 = 1+ = 3 = 3. Горните разглеждания доказват, че минималното разстояние d n ml = 15 3.1 = 1. Достатъчно е да забележим съществуването на дума Ey = 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1+α, 1+α, 1+α, 1 α, 1 α, 1 α C с тегло 1, за да стигнем до извода, че минималното разстояние на C е d = 1. Задача 10.6. Да се докаже, че полиномът fx, y = x 3 + x y 4 F 9 [x, y] е неразложим. Да се намерят F 9 -рационалните точки P 1,..., P n V F 9 на неприводимата афинна равнинна крива V = {x, y F 9 y 4 = x 3 + x}. Да се пресметнат размерността и минималното разстояние на F 9 -линейния код C = ime, където E : U 1 = {gx, y = + a 1 x + a y a i F 9 } F n 9, Eg = gp 1,..., gp n.