ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Елементарна работа Механична работа Мощност Коефициент на полезно действие Работа за изменение на скоростта на едно тяло Кинетична енергия Закон за изменение на кинетичната енергия Работа на силата на тежестта Консервативни сили Неконсервативни сили Дисипативни сили Жироскопични сили Потенциална енергия Закон за изменение на потенциалната енергия Механична енергия Закон за изменение на механичната енергия Единици за измерване Единица за работа Джаул Единица за мощност Ват Единицата за кинетична енергия Единицата за потенциална енергия Единицата за механична енергия - 1 -
1 Механична работа Динамичен и енергетичен подход за описание на движението на телата: Динамичен подход - разглеждат се силите, които действат на телата, като се прилагат трите принципа на динамиката Енергетичен подход - проследява се изменението на механичната енергия на телата в резултат на работата на приложените върху тях сили Понятието работа се използва широко в живота Във физиката работата е физична величина, която се дефинира по строго определен начин 11Елементарна работа Материална точка извършва произволно движение по криволинейна траектория от т1 до т2 (фиг1) Фиг1 За безкрайно малък (елементарен) интервал от време dt тя извършва безкрайно малко (елементарно) преместване dr (векторът dr е по допирателната към траекторията в дадена точка) През това време на материалната точка действа сила F, която остава постоянна ( F = const ) Тя извършва елементарна работа d A = F dr, или Елементарна работа Елементарната работа, извършена от дадена сила, е равна на скаларното произведение от силата и елементарното преместване на тялото, върху което тази сила действа d A = F dr Съгласно дефиницията на скаларно произведение da = Fds cosα, - 2 -
където α е ъгълът между силата и преместването на тялото, a ds = dr е елементарният изминат път Ако силата сключва остър ъгъл с преместването ( 0 < α < 90 o ), cosα > 0 и da > 0 (работата е положителна) o o Ако силата сключва тъп ъгъл с преместването ( 90 < α < 180 ), cosα < 0 и da < 0 (работата е отрицателна) Сила, която е перпендикулярна на преместването на тялото, не извършва работа (при α = 90 o, da = 0 ) От фиг1 се вижда, че Тогава F cosα = F da = F ds, t t те работа извършва само компонентата на силата, която е по направление на преместването на тялото (компонентата на силата, перпендикулярна на преместването, не извършва работа) Графично извършената работа се представя с лицето на защрихования правоъгълник Фиг2 Работата е положителна, когато тангенциалната компонента F t на силата и преместването dr са еднопосочни Когато тези два вектора са с противоположни посоки, извършената работа от силата F е отрицателна Единица за работа Единицата за работа е джаул (J) Джаул Един джаул се равнява на количеството работа, извършена от сила 1 нютон за преместване на нейната приложна точка на разстояние 1 метър по посока на действието й 1J=1N1m джаул [J] единица за работа, енергия и количество топлина По името на английския физик Джеймс Прескът Джаул (1818-1889) - 3 -
Джеймс Прескът Джаул (24121818-11101889) 12Работа на постоянна сила при праволинейно движение Нека материална точка се движи праволинейно, като й действа постоянна сила F = const, сключваща ъгъл α с посоката на движение (с посоката на преместването) Компонентата F t на тази сила е Ft = F cosα и остава постоянна (фиг3): Фиг3 Фиг4 За определен интервал от време материалната точка извършва преместване r и изминава път s, равен на големината на преместването ( s = r ) За малък интервал от време dt работата на силата F е A = F t cosα Тъй като силата остава постоянна за целия интервал от време t, работата й е A = F s и е равна числено на лицето на защрихования правоъ- t гълник на фиг4 От фигурата се вижда, че Ft = F cosα Тогава Следователно: A = Fs cosα работата на постоянна сила при праволинейно движение на материална точка е равна на произведението от големината на силата, изминатия път и косинуса на ъгъла, който сключват силата и преместването - 4 -
13 Работа на променлива сила при произволно движение на тяло За да намерим работата на променлива сила при произволно криволинейно движение на материална точка, разделяме целия път s, изминат от нея между точките 1 и 2, на елементарни участъци с дължина ds (фиг5) Фиг5-5 - Фиг6 Елементарната работа, която се извършва за всеки един такъв участък, е da = F ds, t където F t е тангенциалната компонента на действащата сила за съответния участък Графично тази работа е представена на фиг6 с лицето на защрихования правоъгълник Цялата работа А на силата F за разглеждания участък 1-2 (фиг6) се получава, като се сумират елементарните работи, те площите на всички малки правоъгълници Следователно: Графично общата работа се представя с площта на фигурата, ограничена между графиката на функцията F t ( s ), абсцисната ос s и перпендикулярите, издигнати от началната точка s 1 и крайната точка s 2 Механична работа Механичната работа, която извършва дадена сила за преместване на едно тяло от точка 1 до точка 2, е равна на интеграл по траекторията от тангенциалната компонента на силата s2 A = Ft ds s 1 2 3 Когато на материалната точка действат едновременно сили F, F, F,, F n, общата извършена работа от всички сили е алгебрична сума от работите, извършени от всяка сила поотделно: A = A1 + A2 + A3 + + An 1
2 Мощност Коефициент на полезно действие 21 Моментна мощност Моментната мощност е първа производна на работата по времето: Единица за мощност da P = dt Единицата за мощност е ват (W) Ват Мощността е един ват, когато за време 1 секунда се извършва работа един джаул, те 1 J 1 W = 1 s 22Връзка между мощността и скоростта на движение Заместваме с формулата за елементарната работа d A = F dr във da формулата за моментната мощност P = и получаваме dt Fdr dr P = F F v dt = dt = или P = Fv cosα Следователно: мощността е равна на скаларното произведение от действащата сила и скоростта на материалната точка 23Коефициент на полезно действие Този коефициент представлява число и може да се изрази в проценти Дефинира се като: Отношение между полезната работа в условието на дадена задача и цялата извършена работа се нарича коефициент на полезно действие, те A η = п ; A Отношение между полезната мощност в условието на дадена задача и цялата изразходвана мощност се нарича коефициент на полезно действие, те P η = п P - 6 -
3 Работа за изменение на скоростта на едно тяло Кинетична енергия 31Работа за изменение на скоростта на едно тяло Тяло с маса m извършва праволинейно равноускорително движение Под действието на сила F действаща по посока на движението (фиг7) В общия случай разлагаме силата на две съставящи: тангенциална съставяща F и нормална съставяща F n Работа извършва само тангенциалната съставяща, чиято големина (съгласно втория принцип на Нютон) е Ft = mat Но тъй като dv dv at =, Ft = m dt d t За време dt извършената работа е dv ds da = Ftd s = m ds mdv mvdv dt = dt = Цялата работа, извършена от силата F, се пресмята по последната формула с помощта на интегриране и се получава изразът v 2 v mv mv mv A = mvdv = = 0 2 v v 0 0 t A = Fs От втория принцип на динамиката F = ma От кинематиката знаем, че v v s = 0 2a v v или a = 0 2s v v Тогава F = m 0 и 2s v v 0 mv mv A = m s 0 = 2s Работата на тази сила за определен интервал от време е mv mv A = 0, където v 0 и v са големините на скоростта съответно в началната точка 1 и крайната точка 2 Последният израз е валиден и за произволния случай на променлива сила и криволинейно движение на тялото От последната формула се вижда, че работата, извършена от дадена сила за изменение на скоростта на едно тяло, не зависи от: -вида на силата; -вида на траекторията Тази работа зависи единствено от началната и крайната скорост на разглежданото тяло (материалната точка) - 7 -
32 Кинетична енергия В израза за работата, която извършва дадена сила при изменение на скоростта на материалната точка, фигурират два еднотипни члена, всеки от които е равен на полупроизведението от масата на материалната точка и квадрата на скоростта й (съответно началната и крайната скорост) Величината 2 mv E k = 2 се нарича кинетична енергия на материалната точка или още енергия на движението Кинетична енергия Кинетичната енергия е положителна скаларна величина, която е равна на полупроизведението от масата на материалната точка и квадрата на скоростта й или 2 mv E k = 2 Единицата за кинетична енергия Единицата за кинетична енергия е джаул (J) Подобно на скоростта кинетичната енергия е относителна величина тя зависи от избора на отправната система 33 Закон за изменение на кинетичната енергия С помощта на величината кинетична енергия уравнението за извършената работа при изменение на скоростта на материалната точка може да се запише във вида A = Ek Ek = Ek Това е законът за изменение на кинетичната енергия, който гласи: 0 Изменението на кинетичната енергия на едно тяло (материална точка) е равно на работата на равнодействащата на всички сили, приложени към тялото - 8 -
4 Работа на силата на тежестта Консервативни и неконсервативни сили Потенциална енергия на тяло в полето на силата на тежестта 41Работа на силата на тежестта Нека материална точка с маса m се движи близо до земната повърхност (фиг7) Фиг7 Ще пресметнем работата, извършена от силата на тежестта G = mg при преместване на материалната точка от началното й положение 1 (с височина h 1) до крайното положение 2 (с височина h 2 ) спрямо земната повърхност: ( ) A = Gscos β = mgs cos( 180 o α) = mgscosα = mgh = mg h h ( ) ( ) A = mg h2 h1 = mgh2 mgh1, 2 1 Следователно работата на силата на тежестта не зависи от: - траекторията, по която се извършва движението; - скоростта, с която се движи материалната точка Тази работа зависи само от: - височините на началното и крайното положение Силата на тежестта извършва отрицателна работа при издигане на материалната точка ( h2 > h1 ) и положителна работа при падане на материалната точка ( h2 < h1 ) - 9 -
42 Консервативни и неконсервативни сили Консервативни сили Сили, чиято работа не зависи от траекторията на движение на материалната точка, а зависи само от нейните начално и крайно положение, се наричат консервативни сили От това определение следва, че работата на една консервативна сила при движение на материалната точка по затворен контур (началното и крайното положение съвпадат) е равна на нула Силата на тежестта (гравитационните сили) са пример за консервативна сила Други консервативни сили са еластичните сили и електростатичните сили Неконсервативни сили В природата, освен консервативни сили, съществуват и неконсервативни сили Сили, чиято работа зависи от вида на траекторията и скоростта на материалната точка, се наричат неконсервативни сили Пример за такива сили са силите на триене и съпротивление на средата, кориолисовите сили и магнитните сили Неконсервативните сили биват: Дисипативни сили Силите, чиято работа по затворен контур е винаги отрицателна, се наричат дисипативни сили Такива сили са силите на триене и съпротивление на средата Работата на силите на триене и съпротивление на средата зависи от траекторията и от изминатия път По затворен контур тази работа не е равна на нула и е винаги отрицателна Жироскопични сили Сили, които винаги са перпендикулярни на скоростта на материалната точка, се наричат жироскопични сили Такива сили са кориолисовите сили и магнитните сили Жироскопичните сили не извършват работа, защото те са перпендикулярни на скоростта на тялото - 10 -
43Потенциална енергия на тяло в полето на силата на тежестта с израза ( ) ( ) Силата на тежестта е консервативна сила Нейната работа се дава A = mg h2 h1 = mgh2 mgh1 Той дава възможност да се въведе нова физична величина W Потенциална енергия = mgh, наречена потенциална енергия Потенциалната енергия е скаларна величина, която е равна на произведението от масата на материалната точка, земното ускорение и височината, или W = mgh Телата, намиращи се в полето на силата на тежестта, имат потенциална енергия Следователно това поле е потенциално (консервативно) Същото свойство има например и електростатичното поле, защото и електростатичните сили са консервативни сили Ако приемем, че на земната повърхност стойността на потенциалната енергия е равна на нула (нулево ниво за потенциалната енергия) в началното положение 1 разглежданото тяло има потенциална енергия W1 = mgh1, а в крайното положение 2 неговата потенциална енергия е W2 = mgh2 (фиг8) Фиг8 (При този избор на нулево ниво, когато тялото (материалната точка) е над земната повърхност, то има положителна потенциална енергия ( W > 0 ), а ако е под земната повърхност, има отрицателна потенциална енергия ( W < 0) Следователно потенциалната енергия е алгебрична скаларна физична величина) Нулевото ниво на потенциалната енергия може да се избере по различен начин Например често за нулево ниво се приема най-ниското положение, което заема при движението си дадено тяло (то може да е над или под земната повърхност) - 11 -
Стойността на потенциалната енергия в дадена точка зависи от избора на нулевото ниво Но изменението на потенциалната енергия при дадено преместване на тялото остава едно и също, независимо от избора на нулево ниво Единицата за потенциална енергия Единицата за потенциална енергия е джаул (J) 44Закон за изменение на потенциалната енергия Ако използваме изразите за W 1 и W 2, работата на силата на тежестта се представя във вида: гласи: A = ( W W ) = W 2 1 Това е законът за изменение на потенциалната енергия, който Изменението на потенциалната енергия на едно тяло (материална точка) в полето на силата на тежестта, взето със знак минус, е равно на работата, извършена от тази сила - 12 -
5 Механична енергия на тяло Механична енергия Механична енергия на едно тяло (материална точка) се нарича сумата от кинетичната и потенциалната енергия на тялото, те E = E + W Единицата за механична енергия Единицата за механична енергия е джаул (J) k Нека на материалната точка действат консервативни и неконсервативни сили, които извършват съответно работа A k и A nk Тогава според закона за изменение на кинетичната енергия Ek = Ak + Ank Но тъй като = W, Ak то Ank W Ek =, = + = + или Ank W Ek ( W Ek) Или E = Ank Последната формула се нарича закон за изменение на механичната енергия на едно тяло (материална точка) Той гласи: Закон за изменение на механичната енергия Изменението на механичната енергия на едно тяло (материална точка) е равно на работата на неконсервативните сили, които действат на тялото Извод: Всичките видове механична енергия (кинетична, потенциална и пълна) се изменят единствено в резултат на извършване на работа - 13 -