LХ Национална олимпиада по математика - общински кръг София, февруари 0 година Критерии за оценяване 4. клас. Дадени са равностранен триъгълник и квадрат. Периметърът на триъгълника е а мм, а периметърът на квадрата е b см, където: а е неизвестното число от равенството (0 а).5 = 960 : 9, а b е равно на 700 (0 + 99.7). Намерете дължините на страните на триъгълника и квадрата и ги сравнете. 960 : 9 = 040; 0 а = 040 : 5; 0 а = 08; т. а = 0 08 = 80; 80 : = 60 мм е страната на триъгълника; т. 99. 7 = 9; т. b = 700 (0 + 9) = 700 404 = 96; т. 96 : 4 = 74 см е страната на квадрата. т. Сравняване на страните на триъгълника и квадрата: 74 см = 740 мм 60 мм. т. Забележка: Ако е направена техническа грешка при изчисленията, но после разсъжденията са верни, да се дават точките за верните разсъждения.. Пътешественик изчислил, че за две години е изминал 665 км с кола, което е 5 пъти по-малко от пътя, изминат със самолет и със 66 км повече от пътя, изминат с влак. а) Колко километра е изминал пътешественикът общо за двете години? т. б) Намерете по колко километра е изминал пътешественикът през всяка от двете години, ако през втората е изминал с 499 км повече от първата година. 4 т. а) 665. 5 = 85 км е пътят, изминат със самолет; т. 665 66 = 499 км е пътят, изминат с влак; т. 665 + 85 + 499 = 489 км е изминал пътешественикът; т. б) 489 499 = 9990 км щеше да измине пътешественикът за двете години, ако през втората беше изминал толкова, колкото и през първата; т. 9990 : = 4995 км е изминал през първата година; т. 4995 + 499 = 6494 км е изминал през втората година. т.. Три килограма ябълки струват колкото два килограма круши, а три килограма круши струват колкото един килограм череши. 7 т.
а) Колко килограма ябълки могат да се купят с парите за два килограма череши? т. б) Намерете цената на един килограм череши, ако 8 кг ябълки и кг круши струват общо 6 лв. 56 ст. 4 т. а) Щом кг череши струва колкото кг круши, то кг череши са колкото. = 6 кг круши; т. кг круши струват колкото кг ябълки. Но 6 кг круши са пъти повече (6 : = ) и струват колкото. = 9 кг ябълки; т. б) 8 кг ябълки са 6 пъти повече от кг ябълки (8 : = 6) и струват колкото. 6 = кг круши; т. 8 кг ябълки и кг круши струват колкото + = 4 кг круши; т. 4 кг круши са 8 пъти повече от кг круши (4 : = 8) и струват колкото 8 кг череши. т. лв. 7 ст. (или 07 ст.) струва килограм череши. т. 5. клас. Намерете числото, което е с 0, по-малко от произведението на числата а, b и с, където a 87,. 0, 0,.,7, b е числото, за което е изпълнено равенството 7,5: b,5. 0,5 0,5, и с е равно на най-голямата десетична дроб, която се записва с две цифри след десетичната запетая и е по-малка от,. 7 т. a 0,. 87,, 7 0,.00 0 ; т. 7,5: b, 5 0,5 ; т. 7,5: b 0,75 b 7,5: 0,75 0 ; т. с =,09; т. a. b. c 0.0., 09 7 ; т. Търсеното число е равно на 7 0, 06,89. т.. Даден е правоъгълник ABCD със страни АВ = 4 м и ВС = 4 м. Точка М е средата на страната АВ, а точка N средата на страната ВС. а) Намерете лицето на триъгълника DMN. т. б) Ако разстоянието от средата Р на страната CD до правата DN е равно на,6 м, намерете разстоянието от точка М до правата DN. 4 т. а) S ABCD 4.4 6 кв. м; S 84 кв. м; S 84 кв. м; S 4 кв. м;,5 т. DNC AMD MBN
S 6 8484 4 6 кв. м. т. MND б) Построени разстоянията PQ =,6 м и D P МН. т. І начин: H Q DP. NC SPND 4 кв. м; SPND 0,5. DN. PQ 4 0,5. DN.,6 4, 68.DN DN 4 :,68 5 м; т. SDMN 0,5. DN. MH 6 0,5.5. MH А М 6,5.MH MH 6 :,5 0,08 м. т. ІІ начин: DP. NC SPND 4 кв. м и от 6 : 4 = следва, че лицето на триъгълника DPN е пъти по-голямо от лицето на DNM. т. Но двата триъгълника имат обща страна DN и от S 0,5. DN. PQ и SDNM 0,5. DN. MH следва, че МН е пъти по-голяма от PQ, т.е. МН =.,6 = 0,08 м. т.. Разстоянието между градовете А и В е 98,5 км. В часa от град А за град В тръгнала лека кола със скорост 75 км/ч. Когато колата била изминала 0 км, от град В за град А тръгнал камион. Колата и камионът се срещнали в 5 ч 6 мин. Намерете с каква скорост се е движил камионът, ако преди срещата колата е спирала 6 минути, за да зареди с бензин. 7 т. 5 ч 6 мин ч = ч 6 мин е времето, изминало от тръгването на леката кола до срещата; т. ч 6 мин 6 мин = ч 0 мин =,5 ч е пътувала леката кола до срещата; т.,5. 75 = 6,5 км е разстоянието от град А до срещата; т. 98,5 6,5 = 6 км е пътвал камионът; т. 0 : 75 = 0,4 ч е пътувала колата, преди тръгването на камиона; т. ч 6 мин = + 6 : 60 = + 0,6 =,6 ч;,6 0,4 =, ч е пътувал камионът; т. 6 :, = 4,5 км/ч е скоростта на камиона; т. 6. клас. Пресметнете стойността на израза M a. a : b b. b 0. a DNP, където a 0, 0,0 0,09 : 0,,7.0,0. 90, а b е числото, за С N В 7 4 4 : 0 :54. 0 5 0 9 което е вярно равенството b 7 т.
a 0,09 0,99,99 0, 09 0,99,99 9; т. 4 4 0 4 5 : b : b 5 9 54 5 7 7 4 7 4 7 8 : b b : b,6 5 7 5 7 ; 5 т. a M : a b a a ; b b a b т. b a,6 9 M 0, 4,5,. a b 9,6 т.. На чертежа е дадена развивката на правоъгълен паралелепипед. Четириъгълникът ABCD e квадрат с лице 44 cm, а периметърът на правоъгълника AMND е 64 cm. а) Намерете измеренията на паралеле- D C N пипеда. 4 т. б) Определете с колко процента ще се измени обемът на паралелепипеда, ако едно от измеренията увеличим 6 пъти, а останалите две измерения намалим пъти. 4 а) 44. АВ = cm (едно от измеренията на паралелепипеда); т. От AD = MN = cm и PAMND. AD. AM получаваме, че 64.. AM AM 0 cm; т. ВМ = АМ АВ = 0 = 8 cm (второто измерение на паралелепипеда); т. Третото измерение е равно на (АВ 8 cm) : = cm. т. б) обемът на паралелепипеда V a. b. c, където измеренията на паралелепипеда са а = cm, b = 8 cm, c = cm (може да се намери и стойността му V a. b. c.8. 9 cm ); т. b c След изменението обемът ще е равен на V 6. a a. b. c,5. V (може да се намери и стойността му V 88 cm ); т. Следователно обемът ще се увеличи с 50% (може да се намери и като се използват пресметнатите стойности на двата обема 88 9 00% 50%. т. 9. В правоъгълна координатна система с мерна единица cm изобразете точките А(х; ), В(х; ) и С(х; ), където 4 4 6.8. Намерете координатите на точките, разстоянието 6.8 от които до правата АВ е cm, а до правата ВС е cm. 7 т. 4 А B M т.
4 4 4 8.... 8. т. Изобразени точките А(; ), В(; ) и С(; ). т. Построени правите а и b, които са на разстояние cm от АВ, и правите c и d, които са на cm от ВС. т. Намерени координатите на пресечните им точки М(0; 5), b А a y O Q c М С В d P N N(6; 5), P(6; ) и Q(0; ). т. 7. клас 7 5 5 4. а) Решете уравнението. т. 7 8 4 б) Една бригада боядисала половината от определена площ за часа и 0 минути. След това тя увеличила производителността си с m на час и боядисала останалата половина от площта за часа и 0 минути. Намерете колко квадратни метра са били боядисани за първите часа. 4 т. а) Получено последователно 7 5 5 4 4 8 4 4 05 4 4 8 т. 6 = 0 т. Намерено х = 0. б) Въведени х m /h и х + m /h са производителносттите на бригадата преди и след увеличението. Изразени боядисаните площи 5 7 m и m преди и след увеличението. т. Съставен модела 5 7 и намерено х = 8.,5 т. Намерена бояядисаната площ за първите ч 0 мин 5 8 70 m. 0,5 Намерена боядисаната площ за следващите 0 мин 0 5 m, т.е. общо за първите часа 70 + 5 = 85 m. 5
. Точките М и N са средите съответно на страните CD и ВС на правоъгълника ABCD. а) Докажете, че CDN = BAN. т. б) Ако Р е пресечната точка на правите МВ и DN, докажете, че MAN = DPM. 5 т. а) Доказано CDN BAN. т. Извод CDN BAN. т. D М С б) Доказано DAM CBM ; т. P DMA CMB. т. N Следователно MAB DMA като кръстни при AB CD. т. А В Изразено: MAN MAB NAB, където CDN BAN ; т. От BMC външен за DMP следва, че BMC DPM MDP, т.е. DPM MAN. т.. Дадени са уравненията a 4, където а е параметър. a a a 4 a a и а) Решете уравненията. т. б) Намерете стойностите на а, за които двете уравнения са еквивалентни. 4 т.. а) За доказано и получено a a a a 4 9a a 4 9a 9a. За намерено: при a всяко число е решение; при a a. т. За решаване на второто уравнение: при а = всяко число е решение; при а х =. т. б) При a двете уравнения не са еквивалентни, тъй като решение на първото е всяко число, а второто има единствен корен. Аналогично и при а = двете уравнения не са еквивалентни. т. При a и а и двете уравненията имат по един корен и те ще са еквивалентни, ако корените им са равни, т.е. a. т. a a 0 a 4 0 a a 0. т. 6
Последното равенство е изпълнено при а = и а =. Тъй като а, единствено решение е а =, т.е. двете уравнения са еквивалентни при а =. т. 8. клас. В правоъгълна координатна система Оху са дадени точките А(а; 0) и В(0; 6 b), където a 54,5 50 6, b... а) Намерете линейната функция, чиято графика е правата АВ; т. б) Постройте вектора OC, ако OC OA OB и докажете, че точка С лежи на правата АВ. 4 т. а) a 6 6 6 5 6 6 68 ; т. b.. ; т. Ако търсената линейна функция е y f k n, за получено 0 = k.() + n и = k.0 + n, намерени k =, п = и функцията y. т. б) Построени: точките А(; 0) и В(0; ); вектори OM OA и ON OB ; т. вектор OC OM ON ; Намерени координатите на точка С(; ). т. Проверено, че f (т.е. = + ) и следователно С лежи на правата АВ, която е графиката на линейната функция y f. т.. Ъглополовящата на ABD в успоредника ABCD пресича диагонала АС в М С А y В O N точка Р, а страната AD в точка М, като АР : РС = :. а) Докажете, че правите ВР и ВС са перпендикулярни. т. б) Ако N е средата на CD и BN = cm, намерете дължините на диагонала АС и отсечката MN. 4 т. а) Доказано: АР : РО = : (О е пресечната точка на диагоналите на успоредника); т. Р е медицентър на ABD; т. А М D P О N Т В С 7
ВМ е медиана и ъглополовяща в ABD АВ = BD и следователно ВМ AD. Но AD ВС ВМ ВС. т. б) Нека BN AC T. За доказано: Т е медицентър на BDС; т. BT BN 8 cm; СТ = ТО = ТР и ВТ е медиана в правоъгълния BРС. т. РС = ВТ = 6 cm и АС =,5.6 = 4 cm; т. МN = AC cm (средна отсечка в АDС). т.. От съд с вместимост 50 литра, пълен догоре с чист спирт, отлели известно количество и го допълнили с вода. След това отлели два пъти поголямо количество от първия път и отново допълнили с вода. Колко литра спирт са отлели първия път, ако накрая в съда е останал спиртен разтвор с концентрация %. 7 т. Нека първият път са отлели х литра чист спирт. Първото смесване е отразено в таблицата:: Концентрация Общо на спирта количество, Чист спирт, литри литри Чист спирт 50 х 50 х Вода 0 х 0 0,5 т- Разтвор І 50 50 50 50 х т. Второто смесване е отразено във втората таблица: Концентрация Общо Чист спирт, на спирта количество, литри литри Разтвор І 50 50 50 х 50 50 50 Вода 0 х 0 0,5 т- Разтвор ІІ % 50 6 т. 50 За съставен модел 50 6. 50 т. За получено уравнението 75 00 0 и намерено 55, 0. т. Тъй като х 50, то 55 не е решение. Окончателно количеството на отлетия първия път спирт е 0 литра. т. 8
. Решете: 9. клас а) уравнението 4 т. б) системата y y 6 0 y y 4 0 4 т. а) Намерени допустими стойности,5; 4. Направени прeобразуванията: 4 4 4 4 4 5 4 4. При 5 0, т.е. 5 уравнението е еквивалентно на: 5 6 4 9 48 0. Намерени корените,. 9 Извод, че само е решение, тъй като,5; 4 и 5, а 5. 9 Забележка. Вместо с допустимите стойности и неравенството 5 0 може да се направи директна проверка дали намерените корени са решения. За директната проверка (без допустими стойности и 5 0 ) и направен извод, че само е решение.,5 т. б) За последователните преобразувания: 6y y 0.4 4 4y 8y 0 5y 7 y 0 y y 4 0. 6 9y 9y 0 6y y 0 Проверено, че двойката (0; 0) е решение на системата. т. При у 0 първото уравнение е еквивалентно на 5 7 0 y. y y или 7 y. т. Намерено решението на системата при y и у 0 двойката ;. 9
Намерено решението на системата при 7 y и у 0 двойката 89 4 ;. 67 67. Даден е изразът a 9 M a. а) Опростете израза М. т. б) Намерете числената стойност на М при a 9, където и са корените на уравнението а) Извършени преобразуванията: 9 0. 4 т. a 9 9 6 a M a a ; т. а M ; т. a a M ; a 6 при a 9 a M a при 0 a 9. б) Намерено и. Преработено а във вида 9 a.,5 т. Намерено а = 8 4. т. a От а = 8 9 M. т. 4 4. Забележка: Ако в а) е забравен модулът, за а) се отнема т., а ако в б) е намерено а, но е заместено в грешния израз, или не е проверено, че 8 9, се отнема 4 0
. Дадено е уравнението a a 4a. Намерете стойностите на реалния параметър а, за които: а) корените на уравнението са реални противоположни числа. т. б) уравнението има единствен реален корен. 4 т. а) Намерени допустими стойности. Извършени преобразуванията: a a 4a. 0 ; a 4a a 4a a a 0. Корените на уравнението са реални противоположни числа, ако D 0 и 0, т.е. a a 0 и a a 0. Неравенството е винаги вярно, а от равенството намираме а = 0 или a двата случаи,,т.е са допустими стойности. б) Тъй като 0 D за всяко а, уравнението. И в a a 0 винаги има два различни реални корена и. Следователно даденото уравнение ще има единствен корен, ако точно един от корените и е недопустима стойност, т.е. е равен на или. т. Намерени условия при които: е корен на уравнението a 4a 0 a a 0, а именно и получено, че няма такива реални стойности на а. е корен на уравнението a a 0, а именно a 4a 0 и получено, че a,, които са търсените стойности на параметъра. т.
0. клас. а) Намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията y 6 4 при 0; 4. т. б) Намерете за кои стойности на параметъра а най-малката стойност на функцията f a a а) 6 4 6 при 0; 4е равна на. абсцисата на върха на параболата х = и ординатата у() = 5; т. у(0) = 4 и у(4) = 4. Начертана параболата при 0; 4 или обосновано, че при 0; 4 функцията расте, а при ; 4 намалява. т. Извод, че най-малката стойност на функцията е 4, а най-голямата е 5. 4 т. б) Въведено помощно неизвестно t 6 4 и изразена функцията чрез t f a 6 4 a 6 4 4a g t at at 4a т. Направен извод, че t 4; 5. При а 0 намерено, че най-малката стойност на g(t) е равна на g и a a 48 4a a. т. 4 7 При а 0 намерено, че най-малката стойност на g(t) е равна на g4 g 5 6a и 6a a. т. 4 Извод, че при а = 0, функцията е равна на константата, т.е. а = 0 не е решение.. Решете неравенството 4 8 9. 6 00 009 00 0 и проверете дали числото a 4 7 96 8 9 е негово решение. 7 т.
Намерени допустими стойности. 4 4 8 8 8 Получено: 00 009 00 0. т. Извод, че 8 0 и 00 0 за всяко х. Извод, че 4 8 и х = са решения. 4 4 Намерено, че решение на неравенството е ; 8 8; ; Намерено a + + + 4 8 4 8 8 9 9 т.. 4 7 96 8 6 4.7 4.96 4.8 6 4.9 4. 4.9 4. 8. т. 4 Проверено, че 8 и следователно е решение на неравенството.. Нека f m стойностите на m, за които: т. 8, където m е реален параметър. Намерете а) уравнението f 0 има реални корени и, за които. б) неравенството f 0 е изпълнено за всяко цяло число х. 4 т. а) уравнението има реални корени, ако 0 8 т. D, т.е. при m ; ; ; т. m ; m ; ; т. сечението m ; ;.
б) Разгледан случая D 0 m ;. т. При D 0 направени: извод, че m ; ; е необходимо условие неравенството f 0 да е изпълнено за всяко цяло число х; m извод, че за да е изпълнено неравенството за всяко цяло число х, параболата трябва да е разположена, k k + както е показано на чертежа. Разгледан случая m ; : Тъй като m и f 4m 0, то на чертежа трябва k да е равно на. Следователно достатъчно е да е изпълнено 7 7 f 76m 0 m, т.е. m ; 6 6. т. Аналогично при m ; 7 получено, че m ;. 6 7 7 Краен извод m ;. 6 6. Редицата,,..., n,... и a a5. Намерете:. клас a a a е геометрична прогресия, за която a7 8 а) първия член и частното на прогресията; 5 т. б) най-малкото п, за което е изпълнено неравенството an а) Получена: системата 4 64. т. 6 aq 8 ; т. a q a q q 4 4 8 0 q. т. 4 4 уравнението q q q 4 8 ;,5 т. a ; т. 4
4 двойките a ; q и 4 a ; q. б) Получено неравенството 5 4 n. т. Намерено най-голямо цяло решение на неравенството п =. т.. Даден е триъгълник АВС с най-голяма страна АВ, височина СН и медиана СМ. Ако положителните числа m, n, и s са последователни членове на геометрична прогресия, а отсечките АН, СН и ВН имат съответно дължини mns, mn ns sm и m n s, да се докаже, че дължините на отсечките АН, СМ и ВН са последователни членове на аритметична прогресия. 7 т. Намерено, че: n ms и AH = n. т. Дължините на АН, СМ, ВН ще образуват аритметична прогресия, ако СМ = АВ. Точка Н е вътрешна за АВ, тъй като АВ е найголяма и ако има тъп ъгъл в АВС, то той може да е само при върха С. І начин: ; т. АВ = АН + ВН = n m n s m 4n s MH AH AB nm s ; т. 6 8 8 8 ; т. 6 CM MH CH n m s mn ns Доказано, че ІІ начин: 4CM AB. т. СМ = АВ ACB 90 AC BC AB AH BH CH AB. т.. т. АВ = АН + ВН = n m n s m 4n s Доказано, че AH BH CH AB. т.. а) За кои стойности на параметъра k уравнението k 5 6 реални корени. т. А С М Н В има 5
б) За кои положителни стойности на параметъра а множеството от стойностите на функцията a 5 y не съдържа нито едно четно число. a a а) Получено: k 0 k ; 0k При k уравнението няма решение, а при k. k Извод, че уравнението има реални корени при 0 k 0, k 5 т.е. k ; 6. б) a 5 От равенството y y. a ay a 5 a y 5 ay a a a a. y не е стойност на функцията, тъй като за никое х не е изпълнено a равенството. 5ay От y a. Тъй като a 0;, то стойностите на у са a y a решенията на неравенството 5 ay 5 0, то y ; a a y a 5 Множеството от стойностите на функцията y ; a a няма да съдържа четно число, ако за някое цяло неотрицателно число k е изпълнено, че 5 k k a a За получено: k k k,5, т.е. k = 0 или k =. a 5 т. 5 При k = 0 a, 6 ` 5 при k = a 5 5 Окончателно a ; ; 6. клас 5 т. 6
. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с диаметър АС. Намерете косинуса на ABD и лицето на четириъгълника, ако ВС = 7, CD = и AD = BD. 7 т. Намерено ABC ADC 90. т. Въведено ABD BAD ACD и изразени ъглите на BDC: DBC 90, BDC 90. т. D С Приложена синусова теорема в BDC: 7 7 sin 90 sin 90. т. А В Получено уравнението 4cos 7cos 0. т. cos ; т. 4 AC 8 ; cos AD 5; AB 5; т. 7 5 5 S ABCD S ABC S ADC 5.. От върховете В и С на куба ABCDA BC D са спуснати перпендикуляри ВМ и CN към диагонала му AC M AC, N AC. а) Намерете отношението АМ : MN : NC. т. б) Ако правата ВМ пресича равнината ADD в точка Е, а правата CN пресича равнината A B C в точка F, докажете, че правите ЕF и BC са перпендикулярни. 5 т. а) В АВС : АВ = а, BC a и ABC 90 AC a. Но ВМ е височина към хипотенузата a AM. a a AM AC. т. 7
Аналогично от АСС CN AC. Тогава AM : MN : NC ::. т. б) ВМ и АС лежат в равнината (АВС D ), която пресича (ADD ) в правата AD. Но BM AD E BM ADD E. т. AE AM От AEM CBM BC MC т. Е е средата на AD. т. В равнината (АСC А ) CN A C F CN A B C F и аналогично F е средата на A C. т. І начин: EF е средна отсечка в триъгълника AD B EF AB, но. т. BC ABB BC AB EF BC ІІ начин: Е се проектира в (АВС) в Е среда на AD, F се проектира в (АВС) в F среда на AC. Но EF CD, CD BC EF BC EF BC (теорема за трите перпендикуляра). т.. а) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията f sin. т., 5cos б) Намерете стойностите на реалния параметър а, за които системата ay a y a 0, 5cos y sin има решение. 4 т. а) За полагане sin t ; и получено f gt g / t t t F В А t,5 t. т., 5 ;,5 t Критични точки t,5 и t 0,5 и интервали на растене и намаляване; А E М D D В N С С 8
Най-голямата стойност на функцията в интервала ; е g0,5, а наймалката стойност е g 0. т. sin б) Изразено от второто уравнение y, 5cos и направен извод, че y 0; и следователно системата има решение когато уравнението y ay a y a 0 има поне един корен в интервала 0;. т. Разгледан случая а = 0 е решение. Разгледан случая, когато уравнението има единствен корен в интервала 0; : 0. 0 a a 0 a ;. т. Разгледан случая когато уравнението има два корена в интервала 0; : D a a 4 0 0 0 a 0 a 0 a и направен извод, че няма решение. т. Окончателен отговор a ;. 9