Упражнения по Геометрия за специалност МИИТ и специалност ИТМОМ II курс 2019/2020 уч г 1 Хомология Афинна хомология 1 Нека точка O и права o са съответно център и ос на хомология За хомологията: а) ( O o A A ' ) б) ( O o a a ' ) като Oo да се намерят следните точки и прави: X =(X) Y= 1 ( Y' ) l =(l) g= 1 ( g' ) където точките X Y и правите l g са произволно избрани 2 Да се намерят центърът и оста на хомологията ако: а) ( A B X)= A ' B ' X като никои три от дадените точки не са колинеарни б) ( a b x ) = a b x като никои три от дадените прави не минават през една точка 3 Дадени са точките O A B A ' B' m и точката X m Да се намери оста на хомологията с център точка O за която ( A B X)= A ' B ' X 4 Дадени са правите o a b a b минаващи през точка M и права x неминаваща през точка M Да се намери центърът на хомологията с ос o за която ( a b x ) = a b x Убежните прави на хомологята се наричат крайните прави ' и v които са съответно образ и първообраз на безкрайната права 5 Да се построят убежните прави за хомологиите зададени в задача 1 6 Да се построят убежните прави за хомологиите зададени в задача 3 7 Дадени са хомология с център точка O и ос права o и правите p и които не са съответни за Да се намерят точките P и Q така че (P)=Q Pp Q a) (O o A A ' ) е специална хомология а p и са произволни крайни прави б) (O o a a ) е обща хомология а правите p и са произволни крайни прави в) (O o A A ' ) е обща хомология а p= и са безкрайната и произволна крайна права съответно г) (O o a a ) обща афинна хомология а правите p и са произволни крайни прави д) (O o A A ) е специална афинна хомология а правите p и са произволни крайни прави Упътване Намерете правата p и тогава Q p' P 1 ( Q ) 8 Да се намери афинна хомология с дадена крайна ос o която трансформира: а) Даден триъгълник ABC в равностранен триъгълник б) Даден триъгълник ABC в правоъгълен равнобедрен триъгълник в) Даден успоредник ABCD в квадрат 1
2 Изобразяване на точки прави и равнини в монжова проекция В монжова проекция: 1 Изобразете точките A ( 3 4 6) B(0 4 2) C(4-3 -2) D(-2-3 3) E(3 0 2) F(- 5 5 0) 2 Изобразете правите a [ A(31 6) B( 2 5 b [ C(3 4 6) D( 4 3 c [ E( 3 6 3) F(3 2 3)] d [ G(2 3 6) H( 4 31)] и определете стъпките им 3 Изобразете правата a [ A(3 61) B( 4 2 5)] Определете стъпките й и изобразете точките P ( 1 y z) Q( 3 z) R( y2) от правата a 4 Дадени са точка P (2 2 4) и права a [ A( 31 2) B(2 2 5)] Да се изобразят правите b [ b a P b] c [ c P c c a] e [ e P e e a] 5 Да се изобразят дирите на равнините [4 3 5] [ 4 2 5] [ 2 2 ] [ 2 3] [ 3] 6 В равнина определена от точка A (3 3 5) и права b [ B(1 6 2) C(4 1 3)] да се изобразят главните прави h v през точката A 7 В равнината [435 ] да се изобразят главните прави A ( 3 3 4) 8 Върху равнината определена от правите a [ A(1 3 2) B(31 0)] и b [ C( 11 2) A] да се изобразят точките P( 11 z) Q( 2 y 3) R( 2 2) h v през точката 9 Да се изобразят дирите на равнината определена от а) точки A ( 11 2) B(0 0 6) и C(-3 3 0) б) права a [ A(6 7 5) B( 3 1 4)] и точка C(-1 4-4) в) права a [ A( 3 2 4) B(1 1 и успоредна на b [ C( 3 2 3) D(023 )] 10 Изобразете пресечницата на равнините а) [51 3] и [3 4 5] б) [5 4 3] и [ 4 5 ] в) [ 3 5 3] и [ 4] 11 Да се определи прободът на права a и равнина ако: а) a [ A( 2 3 2) B(2 0 4)] [ 2 2 3] б) a [ A( 11 4) B(2 3 6)] [ 5 3 ] 12 Да се построи права p която: а) минава през точката A( 1 3 0 ) и е перпендикулярна на равнината [ 3 3 3 ] б) минава през точката A (1 3 5) и е перпендикулярна на равнината [ 21 ] 13 Да се построи равнина α която: а) минава през точката A (1 3 2) и е перпендикулярна на правата a [ C(21 0) B( 1 5 4)] б) минава през точката A ( 1 1 2) и е успоредна на равнината [31 2] в) минава през правата a [ A(1 1 2) B( 1 5 4)] и е перпендикулярна на равнината [1 3 5] 2
3 Изобразяване на точки прави и равнини в кабинетна проекция Изобразяване на тела в кабинетна проекция В кабинетна проекция: 1 Изобразете точките A ( 3 4 5) B( 2 6 2) C(2 5 0) D(2 0 3) E(0 0 2) F(0 5 1) 2 Изобразете правите a [ A( 3 41) B(6 3 6)] b [ C(3 4 6) D( 4 3 и определете стъпките им 3 Да се изобразят дирите на равнините [4 3 5] [ 4 2 5] [ 2 2 ] [ 2 3] [ 3] 4Да се изобрази равнина определена от а) точка A(2 2 6) и права b [ B(7 0 8) C(0 14 6)] б) права a [ A(4 4 3) B( 2 8 5)] и в) права a [ A(4 4 3) B( 2 8 5)] и 5 Изобразете пресечницата на равнините а) [4 3 5] и [6 8 9] б) [5 3 6] и [ 4 6 ] 6 В кабинетна проекция да се изобрази правилна четириъгълна призма с основа ABCD със страна AB[A(2 6 0) B(2 8 0)] и височина h=7 7 В кабинетна проекция да се изобрази правилна триъгълна пирамида с основа ABC със страна AB[A(1 2 0) B(6 2 0)] и височина h=7 8 В кабинетна проекция да се изобрази правилна четириъгълна пирамида с основа ABCD със страна AB[A(2 2 0) B(6 2 0)] и височина h=5 9 В кабинетна проекция да се изобрази правилна триъгълна пирамида с основа ABC със страна AC[A(4 12 0) C(4 4 0)] и височина h=6 10 В кабинетна проекция да се изобрази правилна шестоъгълна призма с основа ABCDEF със страна AB[A(2 6 0) B(2 8 0)] и височина h=4 11 В кабинетна проекция да се изобрази правилна четириъгълна пирамида с основа ABCD2 със страна AB[A(2 6 0) B(6 2 0)] и височина h=6 12 В кабинетна проекция да се изобрази правилна шестоъгълна пирамида с основа ABCDEF със страна AB[A(1 2 0) B(6 2 0)] и височина h=7 3
4 Линия в тримерното пространство 1 Дадена е линията: а) c( cos sin 2 3) R 1 б) c( 2 ln ) R в) c( e cos e sin e ) R Намерете естествения параметър s( за линията 2 Дадена е витловата линия c( acos asin b R където a b 0 и а=const b=const Намерете: а) уравненията на допирателната права tнормалата n бинормалата b б) уравненията на оскулачната равнина нормалната равнина и ректифициращата равнина в произволна точка от линията c ( в) кривината и торзията в произволна точка от c ( 2 3 3 Дадена е линията c( ) R Намерете: 2 3 а) уравнението на нормалната равнина в произволна точка от c ( б) уравнението на оскулачната равнина минаваща през т М(-39/2-9) в) кривината и торзията в произволна точка от линията c ( 2 2 4 Дадена е линията c( ln ) R Намерете: а) уравнението на бинормалата b минаваща през т М(20-1) б) уравнението на ректифициращата равнина в произв точка от c ( в) кривината и торзията в точка М(20-1) 5 Дадена е линията c( ch ash R Намерете: а) естествения параметър s( за линията c ( б) векторите от триедъра на Френе t n b спрямо произволния параметър в) кривината и торзията в произволна точка от c ( 3 2 3 6 Дадена е линията c( 3 3 3 ) R Намерете: а) естествения параметър s( за линията c ( б) векторите от триедъра на Френе t n b спрямо произволния параметър в) уравнението на ректифициращата равнина минаваща през т М(-2 3-4) г) кривината и торзията в произволна точка и в т М от линията c ( 4
5 Повърхнина в тримерното пространство 2 2 2 2 1 Дадена е повърхнината S v v v) Намерете: а) допирателните вектори x и x v както и нормалния вектор N за повърхнината S б) средната и гаусовата кривини за повърхнината S 2 Дадена е повърхнината S cos v sin v v) - кос хеликоид Намерете: а) допирателните вектори x и x v както и нормалния вектор N за повърхнината S б) средната и гаусовата кривини за повърхнината S 3 Дадена е повърхнината S : x ( ch cos v ch sin v ) - катеноид Намерете: а) средната и гаусовата кривини за повърхнината S б) първата и втората основни форми I( ) II( ) 4 Дадена е повърхнината S ( a bcos )cos v ( a bcos )sin v bsin ) наречена тор където a b = const >0 Намерете: а) средната и гаусова кривини за повърхнината S б) първата и втората основни форми I( ) II( ) 5 Дадена е повърхнината S : x ( Rcos cos v Rcos sin v Rsin ) където R=const Намерете: а) първата и втората основни форми I( ) II( ) б) средната и гаусовата кривини за повърхнината S 6 Намерете уравненията на асимптотичните линии - ако съществуват в 6 произволна точка на ротационната повърхнина S : x ( cos v sin v ) 1 1 2 2 7 Дадена е повърхнината S v ) Намерете уравненията на v асимптотичните линии - ако съществуват в точка M(110) от повърхнината S 8 Намерете уравненията на асимптотичните линии - ако съществуват в произволна точка на повърхнината: 2 2 2 2 а) S v v v) б) S cos v sin v v) 9 Намерете уравненията на главните линии в произволна точка на повърхнината: а) S cos v sin v a) a const б) S : x ( cos v sin v v) прав хеликоид 2 2 2 2 в) S v v v) 10 Дадена е повърхнината S : x ( v v) Намерете: а) средната и гаусовата кривини в точка М(=1 v=0) на повърхнината S б) първата и втората основни форми I( ) II( ) в) асимптотичните линии - ако съществуват в произволна точка на S и в тм г) уравненията на главните линии в произволна точка на повърхнината 5