ISSN
|
|
- Лъчезар Казанджиев
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 FRI-G.5-1-ERI-6 ИЗПОЛЗВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ СОФТУЕР GEOGEBRA ЗА РЕШАВАНЕ НА СТЕРЕОМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА 5 Assoc. Prof. Ivanka Mincheva, PhD Faculty of Mathematics and Informatics Department of Algebra and Geometry, St. Cyril and St. Methodius University of Veliko Tarnovo, Bulgaria Tel.: Е-mail: v.mincheva@yahoo.com Zhorzheta Angelova, PhD student, Faculty of Mathematics and Informatics, Department of Algebra and Geometry, St. Cyril and St. Methodius University of Veliko Tarnovo, Bulgaria Tel.: Е-mail: jorjeta87@abv.bg Abstract: The paper discusses some didactic ideas about solving mathematical problems on topic Stereometry. A concrete problem on the figure pyramid from the school course of geometry is chosen. Its solution is given and analised. For better understanding and visualising the mathematical software GeoGebra is used. The problem is presented as it might be solved and assimilated in teaching secondary school mathematics. Considering the educational purposes we propose applying mathematical software for introduction and assimilation stereometric knowledge and problem solving in order to draw students attention and keep them interested and impressed. Keywords: GeoGebra, mathematical software, stereometry, spatial figures, mathematical problem ВЪВЕДЕНИЕ Решаването на стереометрични задачи е важна част от дейността решаване на задачи в обучението по математика. В основата на тази дейност са разбирането и усвояването на стереометрични знания. Основните групи задачи, които се разглеждат в училищния курс по математика, са свързани с основните стереометрични фигури многостени и ротационни тела. Стереометричните фигури и задачите върху тях могат нагледно да се въвеждат, разбират и усвояват чрез използване на динамичния софтуер GeoGebra. ИЗЛОЖЕНИЕ В доклада се анализира решението на избрана задача от пирамида в училищния курс по стереометрия. Методическите бележки по задачата и процеса на нейното решаване са основани на четирите етапа на решаване на дадена задача, предложени от Дйорд Пойа (Polya, D., 197): Разбиране на задачата Изграждане на идея и съставяне план на решението Реализиране на плана и решаване на задачата Допълнителна работа по задачата след решението ѝ (поглед назад). (Пойа, 197) Чрез използването на математически софтуер GeoGebra се визуализира геометричната фигура, извършват се пресмятания, вмъкват се анимации и др. (Дошкова, 1). В доклада GeoGebra е използвана за чертане на пирамида, за поетапно построяване на всеки елемент от нея и след като фигурата е построена се показва как може да се визуализира отново 5 Presented a plenary report of October 6, 18 with the original title: USING MATHEMATICAL SOFTWARE GEOGEBRA FOR SOLVING SPATIAL PROBLEMS IN TEACHING MATHEMATICS - 8 -
2 построението в хронологичен ред. Чрез GeoGebra се оцветява фигурата и отделните ѝ елементи, а използването на анимация онагледява основните елементи на фигурата основи, основни ръбове, околни стени, околни ръбове, височина и др. Така се достига до по-достъпно представяне, по-ясно изложение и разбиране на стереметричните знания, както и за по-бързо и лесно откриване на решението на стереометрични задачи. За доклада са използвани три прозореца на GeoGebra: алгебричен прозорец, чертожна повърхност и D прозорец. Задача. Дадена е правилна триъгълна пирамида с дадени основен ръб a 6 и околен ръб l 4. Да се намерят обемът на пирамидата и тангенсът на ъгъла между равнините на околната стена и основата. Методически бележки по задачата 1. РАЗБИРАНЕ НА ЗАДАЧАТА основните дейности са свързани с: разбиране на понятията пирамида, правилна пирамида, правилна триъгълна пирамида, основни елементи на пирамида основа, околни стени, връх, основни ръбове, околни ръбове, височина, апотема, ъгъл между околна стена и основа, обем на пирамида. разбиране на връзките между дадените (основен и околен ръб) и неизвестни елементи (височината на пирамидата и елементите на основата). разбиране на елементи на равностранен триъгълник и връзките между тях (между страни, височини, радиус на описана/вписана окръжност) и на лице на равностранен триъгълник. разбиране на понятието тангенс и изразяването му чрез страните на правоъгълен триъгълник.. ИЗГРАЖДАНЕ НА ИДЕЯ И СЪСТАВЯНЕ ПЛАН НА РЕШЕНИЕТО построяване на чертеж на дадената пирамида. 1. Построяване на ортогоналната проекция на върха върху равнината на основата на пирамидата. (Фиг. 1а). Построяване на линейния ъгъл на двустенния ъгъл между околната стена и основата на пирамидата. (Фиг. 1б) Фиг. 1а. Oртогоналната проекция на върха върху равнината на основата на пирамида Фиг. 1б. Линейният ъгъл на двустенния ъгъл между околната стена и основата на пирамидата изграждането на идея и откриването на решението може да се извърши по схемите: (1) Намиране на обема на пирамидата ABC равностранен триъгълник B? a B a 4 1 V? V BH BOD правоъгълен BOD 9 DO OB DO ABC H? OB ABC равностранен, OB R R DB l a a
3 Основни задачи-компоненти: a 1. Намиране на лице на равностранен триъгълник B.. Намиране на радиуса на описана окръжност около равностранен триъгълник a R.. Доказване, че DO OB и следователно BOD правоъгълен BOD Решаване на правоъгълен триъгълник (намиране на катет по даден хипотенуза и другия катет). 5. Намиране на обем на пирамида. План на решението: 1. Намиране лицето B на ABC. Намиране на OB. Намиране на височината на пирамидата DO H 4. Намиране на обема V на пирамидата. () Намиране на тангенса на ъгъла между околна стена и равнината на основата може да се извърши по схемата: tg? Построяване на линеен ъгъл на двустенен ъгъл Решаване на MOD околна стена основа перпендикулярност на права и равнина MOD правоъгълен MOD равнобедрен триъгълник височина към основата на равнобедрен триъгълник равностранен триъгълник височина на равностранен триъгълник DO OM DO ABC a OM ABC равностранен, OM r r DO DO tg tgomd tg OM OM 6 a Основни задачи-компоненти: 1. Построяване на линеен ъгъл на двустенен ъгъл.. Решаване на равнобедрен и равностранен триъгълник. a. Намиране на радиуса на вписана окръжност в равностранен триъгълник r Намиране на радиуса на описана окръжност около равностранен триъгълник a R. 5. Доказване, че DO OM и следователно, че DOM правоъгълен MOD Решаване на правоъгълен триъгълник. 7. Изразяване на tg чрез страните на правоъгълния DOM. План на решението: 1. Построяване на линейния ъгъл на двустенния ъгъл между околна стена и основа. Намиране на OM. Намиране на tg.
4 . РЕАЛИЗИРАНЕ НА ПЛАНА И РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧАТА Решение: (1) Намиране на обема на пирамидата От равностранния триъгълник ABC намираме: 6 1. Лицето B на ABC B a a 6. OB R. (Фиг. а и Фиг. б) ABC DO DO р по определение е перпендикулярна на всяка права от равнината, OB р ABC DO OB BOD BOD 9 АBC е правоъгълен. (Фиг. а и Фиг. б) BOD OB ; DB 4 по питагоровата теорема получаваме: От DO Фиг. а. Пирамидата ABCD Фиг. б. Основата на пирамидата ABCD равностранен ABC DB OB DO DO DO H Фиг. а. Пирамидата ABCD Фиг. б. BOD с катет височината на пирамидата OD 1 1 V BH.9. 6 V 6 () Намиране на tg BCD равнобедрен BD CD DM BC, M BC M е среда на отсечката BC. (Фиг. 4а и Фиг. 4б) ABC е равностранен, AM, M BC е медиана. Следователно AM BC, M BC (Фиг. 4а и Фиг. 4в) Фиг. 4а. Пирамидата ABCD Фиг. 4б. Околна стена на пирамидата BCD Фиг. 4в. ABC основа на пирамидата
5 Следователно ъгълът между равнините BCD и ABC е OMD и означаваме OMD. DO р ABC, OM р ABC DO OM Следователно MOD е правоъгълен MOD 9. (Фиг. 5а и Фиг. 5б) Фиг. 5а. Пирамидата ABCD Фиг. 5б. MOD с ъгъл MOD 9 a 6 От равностранния ABC намираме OM r. (Фиг. 6а и Фиг. 6б) 6 6 Фиг. 6а. Пирамидата ABCD Фиг. 6б. Основата на пирамидата равностранният ABC DO H DO tg ; tg. OM 4. ДОПЪЛНИТЕЛНА РАБОТА ПО ЗАДАЧАТА СЛЕД РЕШЕНИЕТО ѝ (ПОГЛЕД НАЗАД) Основните дейности и задачи тук могат да бъдат: 1. Намиране на останалите основни елементи на пирамидата апотемата k, ъгълът между околен ръб и равнината на основата, лицето на околна и пълна повърхнина на пирамидата и др.. Намиране на елементите на основата и околните стени височини, медиани, ъглополовящи, ъгли, радиуси на вписана и описана окръжност, лице и др. (Фиг. 7а и Фиг. 7б) Фиг. 7а. Пирамидата ABCD Фиг. 7б. BCD и елементите му - -
6 . Трансформиране на дадената задача в задача със същите или променени числови данни за правилна четириъгълна и/или правилна шестоъгълна пирамида. (Фиг. 8а и Фиг. 8б) Фиг. 8а. Правилна четириъгълна пирамида Фиг. 8б. Правилна шестоъгълна пирамида 4. Обосноваване на ъгъла между околна стена и равнината на основата с теоремата за трите перпендикуляра. 5. Доказване, че върхът на пирамида се проектира ортогонално в центъра на описана окръжност около основата тогава и само тогава, когато околните ръбове/ъглите между околните ръбове и равнината на основата са равни. 6. Доказване, че върхът на пирамида се проектира ортогонално в центъра на вписана окръжност в основата тогава и само тогава, когато апотемите (височините на околните стени, спуснати от върха на пирамидата)/ъглите между околните стени и равнината на основата са равни. 7. Намиране на ъгъла между две (съседни) околни стени, елементите на триъгълника, който го съдържа и зависимостите между тях. 8. Намиране на други начини на решение на задачата. 9. Илюстриране на центровете на вписана и описана сфера за дадената пирамида. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изучаването на знания от стереометрията и решаването на стереометрични задачи се улеснява и онагледява чрез използване предимствата на GeoGebra показват се етапите на построяване на дадена фигура и нейните елементи, те се променят динамично или се оцветяват за открояване на важни за решението зависимости. Така се развива пространственото мислене и се повишава интересът към изучаване на стереометрични знания. REFERENCES Yu. Doshkova, Novite tehnologii za matematicheski Web saytove, sbornik dokladi Inovatsii v programnite tehnologii, algoritmi i obuchenieto vav visshite uchilishta, svarzano s tyah, Veliko Tarnovo, 1, (Оригинално заглавие: Ю. Дошкова, Новите технологии за математически Web сайтове, сборник доклади Иновации в програмните технологии, алгоритми и обучението във висшите училища, свързано с тях, Велико Търново, 1, Burrus, C.S.,T.W.Parks. DFT/FFT and Convolution Algorithms. John Wiley&Sons, New York, Cooper, A., & Wilson, A. (). Extending the relevance of TSA research for the UK: general equilibrium and spill over analysis. Paper presented at the 6 th International Forum on Tourism Statistics, 5 th -7 th September, Budapest. Papamichalis, P. DSP applications with the TMS family. Texas Instruments, Polya, D. (197). Kak se reshava zadacha. Sofia: Narodna prosveta. (Оригинално заглавие: Пойа. Д Как се решава тази задача. София: Народна просвета.) - -
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x
ПодробноMicrosoft Word - variant1.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа
ПодробноEastern Academic Journal ISSN: Issue 2, pp , August, 2019 МЕТОДИ ЗА ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА МНОГОСТЕНИ Снежанка И. Атанасова Университет по хра
МЕТОДИ ЗА ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА МНОГОСТЕНИ Снежанка И. Атанасова Университет по хранителни технологии Пловдив sneja_atan@yahoo.com РЕЗЮМЕ В настоящата статия се разглеждат различни методи за изобразяване на
Подробно(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2)
ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 0 юли 0 г Вариант Периодичната десетична дроб, () е равна на: 6 6 6 ; б) ; в) ; г) 5 50 500 9 Ако a= 6, b= 6 +, то изразът a + b има стойност: b a ; б) ;
ПодробноКНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN
КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN 978-954-8-40-7 Книга за учителя по математика за 0 клас Автори Емил Миланов Колев, 09 Иван Георгиев Георгиев, 09 Стелиана Миткова Кокинова, 09 Графичен дизайн Николай Йорданов Пекарев,
ПодробноПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.
ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.
ПодробноА Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x
А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноVTU_KSK14_M3_sol.dvi
Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий 07 юли 01 г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. Да се решат уравненията: 1.1. x +x+1 = 1 x 1 + 8x 1 x 3 1 ; 1.. log x+log x 3 = 0; 1.3. x+1 +6. x 1 = 0. Задача. Дадено
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >
ПодробноМОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 1
МОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА 019 00 ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 11 за оценяване на резултатите от обучението на учениците:
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноPROCEEDINGS OF UNIVERSITY OF RUSE , volume 56, book 11. FRI NSMTS(S)-03 МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ НА НЕСТАЦИОНАРНИЯ ТОПЛООБМЕН ПРИ ПИРОЛИЗАТА НА
FRI-216-1-NSMTS(S)-03 МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ НА НЕСТАЦИОНАРНИЯ ТОПЛООБМЕН ПРИ ПИРОЛИЗАТА НА ИЗЛЕЗЛИ ОТ УПОТРЕБА АВТОМОБИЛНИ ГУМИ MATHEMATICAL MODEL OF NON-STATIONARY HEAT TRANSFER DURING THE PROCESS OF PYROLYSIS
ПодробноMicrosoft Word - UIP_mat_7klas_
Приложение 2 УЧЕБНО-ИЗПИТНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ В КРАЯ НА VII КЛАС І. Вид и времетраене Изпитът от националното външно оценяване е писмен. Равнището на компетентностите
Подробногодишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок
годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока
Подробно10_II_geom_10
Стр / Тест 5 D Стр, Зад в) D D os8 Стр, Зад ; 6 ; R? От синусова теорема следва, R sin 6 6 5 R ; R ; R ; R sin 6 Стр, Зад D - успоредник, ; D 6 ; OD 6 ; D D 6 5 O D O 5; DO От косинусова теорема за OD
ПодробноDZI Tema 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно
Подробноtu_ mat
ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА юли 00 г. ВАРИАНТ ВТОРИ ПЪРВА ЧАСТ Всяка от следващите 0 задачи има само един верен отговор. Преценете кой от предложените пет отговора на съответната задача
ПодробноНАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур
НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.
ПодробноMicrosoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа
ПодробноMATW.dvi
ТЕСТ 6. Ъглополовящите AA (A BC) и BB (B AC) на триъгълника ABC се пресичат в точката O. Ъгъл A OB не може да бъде равен на: А) 90 Б) 20 В) 35 Г) 50 ( ) 2 7 3 2. Изразът е равен на: 2 6.24 А) Б) 2 8 В)
Подробно\376\377\000T\000E\000M\000A\000_\0001\000_\0002\0007\000.\0000\0005\000.\0002\0000\0001\0003
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 7.0.0 Г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Колко на брой от
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник
ПодробноПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:
М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:
ПодробноMicrosoft Word - matsh_solutions-2011
Уважаеми колеги, класирани за Областния кръг се считат учениците получили не по малко от 6 точки. В срок до февруари 0 г. изпратете в РИО Бургас и на е-мeйл: veleka3@gmail.com (задължително) ПРОТОКОЛ с
ПодробноРазпределение ИУЧ МАТ 4. клас.
УТВЪРДИЛ: Директор:... (Име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ИУЧ по предмета Математика 4. клас 34 седмици х 1 ч. седмично = 34 ч. годишно Месец Седмица на тема Тема на урока Очаквани резултати
ПодробноТест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра
Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;
ПодробноКак да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника
Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени
ПодробноУТВЪРДИЛ: Директор : (име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ЗИП МАТЕМАТИКА 3. клас 32 седмици х 1 ч. седмично = 32 ч. годишно Месец Седм
УТВЪРДИЛ: Директор :...... (име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ЗИП МАТЕМАТИКА 3. клас 32 седмици х 1 ч. седмично = 32 ч. годишно Месец Седмица на тема Тема на урока 09 1. 1. Начален преговор.
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
ПодробноМатематика Volume 61, Mathematics и информатика Number 1, 2018 and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИ
Математика Volume 6, Mathematics и информатика Number, 08 and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ) ) Технически университет
Подробноkk7w.dvi
Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете,
ПодробноVocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИ
Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ Информационните технологии инструментариум за решаване
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2018.docx
Семинар 8 1 / 7 Семинар 8: Комплексни числа. Вектори в тримерното пространство Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к.
ПодробноИзбрано Обучение чрез задачи Национално издателство за образование и наука МатеМатика и информатика НаучНо списание година LXII книжка 1
Обучение чрез задачи Национално издателство за образование и наука www.azbuki.bg МатеМатика и информатика НаучНо списание година LXII книжка 1, 219 MaheMaics and informaics BuLgarIan JournaL of EducaIonaL
ПодробноГОДИШНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА УЧЕБНОТО СЪДЪРЖАНИЕ ПО МАТЕМАТИКА 4. КЛАС ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА 32 учебни седмици по 4 часа 128 часа Усво
ГОДИШНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА УЧЕБНОТО СЪДЪРЖАНИЕ ПО МАТЕМАТИКА 4. КЛАС ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА 32 учебни седмици по 4 часа 128 часа Усвояване на числата над 1000, съответните правила за действията
ПодробноПРОЛЕТНИ МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ Шумен, година Б Р О Ш У Р А
ПРОЛЕТНИ МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ Шумен, 9.03-31.03.019 година Б Р О Ш У Р А УКАЗАНИЕ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ V клас 1 1,5 1, 4 1 5.1. Дадени са изразите: A 3. 3 и 1 1,5 3 1, 4 1 3 3 А) Пресметнете А и В и ги сравнете.
ПодробноКирил Банков Илиана Цветкова Даниела Петрова Гергана Николова Стефчо Наков КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ
Кирил Банков Илиана Цветкова Даниела Петрова Гергана Николова Стефчо Наков КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ КИРИЛ БАНКОВ ИЛИАНА ЦВЕТКОВА ДАНИЕЛА ПЕТРОВА ГЕРГАНА НИКОЛОВА СТЕФЧО НАКОВ КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ Математика 10. клас
Подробноpim_03.dvi
ТЕСТ Пробен изпит по математика за приемане на ученици след завършен 7. клас 14.04.2007 г. Драги ученици, Тестът съдържа 50 задачи.времето за работа е 3 астрономически часа. Задачите са два вида: със структуриран
ПодробноРазпределение ИУЧ МАТ 2 клас 2019
УТВЪРДИЛ Директор:... (име, фамилия, подпис) ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ИУЧ по предмета Математика 2. клас 32 седмици х 1 ч. седмично = 32 ч. годишно Месец Седмица на Тема на урока Очаквани резултати от обучението
ПодробноMicrosoft Word - doc15.doc
ТЕСТ ЗА 7. КЛАС ПО МАТЕМАТИКА = 5. Стойността на израза B 0 + 0 : е: +А) -70 Б) 50 В) -5 Г) -5. Кое твърдение НЕ е вярно? А) ( 00 )( 004)( 005)( 006)( 007) < 0 n Б) ( ) > 0, n Ν = +В) Г) Равенството a
ПодробноMicrosoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа
ПодробноВеликотърновски университет Св. св. Кирил и Методий Факултет Математика и информатика Математика, компютърни науки и образование Том 2, брой 1, 2019 У
Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий Факултет Математика и информатика Математика, компютърни науки и образование Том 2, брой 1, 2019 Университетско издателство Св. св. Кирил и Методий,
ПодробноРазпределение МАТ 2 клас 2019
УТВЪРДИЛ: Директор :... /име, фамилия, подпис/ ПРИМЕРНО ГОДИШНО ТЕМАТИЧНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА УЧЕБНОТО СЪДЪРЖАНИЕ ПО ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКА ЗА 2. КЛАС Седмица на урока Вид на урока Тема на урочната единица Очаквани
ПодробноМАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp SECTION MATHEMATICS AND INFORMATICS EDUCATION TASK-SOLVING COMPETENCE AND APPLICATION OF TASK- S
МАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp. 285-289 SECTION MATHEMATICS AND INFORMATICS EDUCATION TASK-SOLVING COMPETENCE AND APPLICATION OF TASK- SOLVING METHODS TODOR L. TRAYCHEV ABSTRACT: The article
ПодробноР Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ
Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало
ПодробноMicrosoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимен математически турнир Атанас Радев 8 9 януари 0 г., ЯМБОЛ Тема за 8 клас Задача. Във футболно първенство всеки отбор
Подробно