=======================================================================================================================

a = 4 m + m m Триъгълници I Свойства на елементите в триъгълник: ) Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър ) Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър Тя разделя медианата в отношение :, считано от върха на триъгълника 3) Ъглополовящите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на вписаната в триъгълника окръжност 4) Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната около триъгълника окръжност И четирите забележителни точки, при остроъгълен триъгълник са вътрешни 5) Ако γ=9 a +b =c (Питагоровата теорема) 6) Ако γ>9 a +b <c 7) Ако γ<9 a +b >c 8) Формула на Стюарт За всяка точка L (Фиг ) от страната ВС на триъгълник е в сила следната формула mb + nc L = mn, където L = m, L = n a 9) Формули за ъглополовящата: bca l a = bc ( b + c) l L a (подобни формули може да се напишат и за ъглополовящите към другите страни) Фиг ) I свойство на ъглополовящата (Фиг): Ако L= L L = (това свойство важи, както за вътрешна, така и за външна L ъглополовяща на даден ъгъл) ) II свойство на ъглополовящата (Фиг): l a = L L ) III свойство на ъглополовящите: bc ca β ab l cos ; cos ; cos γ a = lb = lc = b + c c + a a + b 3) Формули за медианите: 4m a =(b +c ) a (подобни формули може да се напишат и за медианите към другите страни) Тема: Справочник по планиметрия стр 4) Формули за връзка между страна и медиани: ( ) 9 b c a (подобни формули може да се напишат и за медианите към другите страни) 5) Средна отсечка: Ако M е среда на АС, а N среда на ВС, то средната отсечка MN в притежава следните свойства: MN и MN = II Правоъгълен триъгълник с =9 (фиг): 6) Ако А=3, то a = c 7) Ако СС медиана, то c c = c Фиг 8) Ако СС = h c е височина, а = c и = c са проекциите съответно на катетите a и b върху хипотенузата, то a = cc ; b = cc h c = c c hc = ab c = R 9) Тригонометрични функции: a b a b sin = ;cos = ; tg = ; cot g = c c b a ) Косинусова теорема: a =b +c bccos; b =a +c accosβ и c =a +b abcosγ ) Синусова теорема: a b c = = = R sin sin β sin γ + β ) Тангенсова теорема: tg a + b = a b β tg 3) Теорема за проекциите: a=bcosγ+ccosβ; b=ccos+acosγ; c=acosβ+bcos β β 4) Молвейдови формули: cos sin a + b a b = ; = c γ γ sin c cos III Лице на триъгълник: S = aha = bhb = chc = ab sin γ = bc sin = ca sin β 5) 6) a sin β sin γ b sin γ sin c sin sin β S = = = sin sin β sin γ 7) abc S = pr = ( p a) ra = ( p b) rb = ( p c) rc =, където a + b + c p = е полупериметъра, r радиуса на вписаната окръжност, r a, r b, r c радиусите на външно впи- 4R саните окръжности; R радиуса на описаната окръжност

8) Херонова формула: S = p( p a)( p b)( p c), където p е полупериметъра III признак: Страните на единия са съответно пропорционални на другия, те 9) Лице на равностранен триъгълник: a 3 S =, защото 3 h = a 4 3) Ако един триъгълник е разделен на няколко триъгълници, лицето му е равно на сбора от лицата на тези триъгълници 3) Ако вписаната в произволен окръжност допира страната му АВ в точка К, като K=x и K=y (Фиг 6), то γ S = x ycot g IV Подобни триъгълници: 3) Теорема на Талес (Фиг 3): Ако две пресичащи се прави (ОС и O) се пресичат от няколко успоредни прави (АВ, ), то отсечките от едната права са пропорционални на съответните отсечки от другата права, те Ако, то O Фиг3 O O = O O Следствие: Всяка права, успоредна на една от страните в даден триъгълник отсича от другите две страни пропорционални M N отсечки те Ако MN, то M M = = (Фиг 4) N N Фиг4 33) Обратна теорема на Талес (Фиг 3): Ако O O =, то O O Следствие: Ако M M = =, то MN (Фиг 4) N N 34) Подобни триъгълници: Определение: Ако, то = = и = = = k, където k е коефициент на подобие (Фиг 5) Признаци за подбие на триъгълници: Фиг5 Два триъгълника са подобни те (Фиг 5), ако: I признак: Два ъгъла от единия са съответно равни на два ъгъла от другия, те = и = ; II признак: Две страни от единия са съответно пропорционални на две страни от другия и ъглите, заключени между тях са равни, те = и = ; = = ; Тема: Справочник по планиметрия 3 стр IV признак: Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако катет и хипотенуза от един триъгълник са съответно пропорционални на катет и хипотенуза от друг триъгълник, те a c = ~ a c Свойства на подобни триъгълници: 35) Ако (Фиг 5), то 36) Ако (Фиг 5), то S S h m r r R R P c c c = = = = = = h c m l c c P = V Триъгълник вписан в окръжност или описан около окръжност: 37) Нека произволен има стани =c, =a и =b, и вписаната в него окръжност допира тези страни съответно в точките K, P, N (Фиг 6) Ако означим: K=N=x, N P z z K=P=y, P=N=z и р полупериметъра на, то x=p a, y=p b, z=p c x y 37) Ако окръжност е вписана в равностранен x K y триъгълник (Фиг 6), то допирните му точки (тк, тр и т N) са Фиг6 среди на съответните страни (АВ, ВС и АС) 38) От (37) за радиуса на вписаната в правоъгълен триъгълник ( =9 ) окръжност, имаме a+b=c+r или r=p c 39) Права на Ойлер: За всеки произволен триъгълник, ортоцентърът Н, медицентърът М и центърът О на описаната окръжност (пресечната точка на симетралите на страните) лежат на една права, като НМ = МО 4) Формула на Ойлер (за намиране на разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник): Ако с d отбележим разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник, с R радиуса на описаната окръжност, а с r радиуса на вписаната окръжност, то d = R Rr l

За всеки триъгълник диаметъра на вписаната окръжност е по-малък или равен на радиуса на описаната окръжност Затова във формулата на Ойлер равенството се получава при равностранен триъгълник (защото тогава центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат) 4) Връзка между радиуса на вписаната в триъгълник окръжност и трите му височини: = + + r ha hb hc 4) За произволен триъгълник: β γ a sin sin β γ β γ За равнобедрен триъгълник: r = = 4R sin sin sin = p tg tg tg cos r = 4R sin sin = R( cos ) cos 43) За произволен триъгълник: β γ p = 4R cos cos cos За равнобедрен триъгълник: p = 4R cos sin = R( + cos ) sin 44) Теорема на Лайбниц: Нека с М отбележим медицентъра на и ако точка Р е произволно избрана в пространството, то имаме изпълнени следните равенства: P +P +P =M +M +M +3PM или a + b + c P + P + P = + 3PM 3 Следствие : Сборът от квадратите на разстоянията на произволна точка от равнината на един триъгълник до трите върха на този триъгълник има най-малка стойност, когато тази точка съвпада с медицентъра Следствие : Местоположението на точките в равнината на триъгълник, за който сборът от квадратите на разстоянията до трите върха на триъгълника е постоянен, е окръжност с център медицентърът на триъгълника Навсякъде в горните формули се използват следните означения: =c, =b, =a, m a, m b, m c медиани към съответните страни; l a, l b, l c ъглополовящи към съответните страни; h a, h b, h c височини към съответните страни; r - радиуса на вписаната в триъгълник окръжност; R радиус на описаната около триъгълник окръжност; =, =β, =γ Четириъгълници I Произволен четириъгълник: 45) Един четириъгълник е вписан в окръжност, когато сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 8 46) Центърът на описаната около четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на симетралите му Произволен успоредник не може да се впише в окръжност 47) Един четириъгълник е описан около окръжност, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора от другите му две страни; 48) Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност, лежи на пресечната точка на ъглополовящите на ъглите му Произволен успоредник не може да се опише около окръжност 49) Четириъгълникът е вписан в окръжност, ако е изпълнено равенството OO=OO, където О е пресечната точка на диагоналите му; 5) Четириъгълникът е вписан в окръжност, ако е изпълнено равенството MM=MM, където M е пресечната точка на продълженията на срещуположните му страни АВ и ; 5) За всеки четириъгълник (където =a, =b, =c, =d са страните, а =d, =d диагоналите му) е изпълнено следното неравенство: ac+bd d d, като равенството се изпълнява тогава и само тогава, когато четириъгълникът е вписан в окръжност Тема: Справочник по планиметрия 4 стр

Първа теорема на Птоломей: Произведението от диагоналите на всеки вписан четириъгълник е равно на сбора от произведенията на срещуположните страни те d d =ac+bd Втора теорема на Птоломей: Диагоналите във всеки вписан четириъгълник се отнасят помежду си както сборовете от произведенията на страните, пресичащи се в краищата на съответния диагонал те d ab + cd = d bc + ad 5) Нека точките С и лежат в една и съща полуравнина относно правата АВ и виждат отсечката АВ под един и същи ъгъл Тогава точките А, В, С и лежат на една окръжност; 53) При последователно съединяване средите на страните на произволен четириъгълник се получава успоредник 54) Във всеки четириъгълник отсечките, които съединяват средите на две срещуположни страни, и отсечката, която съединява средите на диагоналите, се пресичат в една точка, която разполовява всяка от тях 55) За всеки четириъгълник (където =a, =b, =c, =d, =d, =d, O=φ, където О е пресечната точка между диагоналите му), диагоналите му са взаимно перпендикулярни тогава и само тогава, когато сборът от квадратите на всеки две негови срещуположни страни е равен на сбора от квадратите на другите две срещуположни страни те (a +b ) (c +d )=d d cos φ II Лице на произволен четириъгълник: 56) + γ S = d sin ( )( )( )( ) cos d ϕ = p a p b p c p d abcd, където р е полупериметъра на четириъгълника, а φ ъгълът между диагоналите 57) Описан четириъгълник: + β S = pr = abcd sin S = p a p b p c p d ; 58) Вписан четириъгълник: ( )( )( )( ) 59) Четириъгълник едновременно вписан и описан за окръжност: S = abcd ; III Успоредник: 6) Сборът от квадратите на страните на всеки успоредник е равен на полусбора от квадратите на диагоналите му те (a +b )=d +d ; 6) Ако е остър ъгъл от успоредник, а d и d са диагоналите му, то d d cos = ; 4ab Тема: Справочник по планиметрия 5 стр 6) Ако φ е остър ъгъл между диагоналите на успоредник, то a b cos ϕ = ; d d 63) Лице на успоредник: S = aha = bhb = absin = ( d d ) tg = dd sinϕ, 4 където d е по-големия диагонал, а φ е остър ъгъл между диагоналите му Следствие: От всички успоредници с едни и същи страни a и b най-голямо лице има правоъгълникът (защото =9 ) Бележки: Успоредникът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани по-горе за четириъгълник важат и за успоредник В успоредникът неможе да се впише и опише окръжност (виж (45) и (46)) 64) Видове успоредници: 64) Ромб: 64a) Диагоналите му са перпендикулярни и ъглополовящи на прилежащите му ъгли, затова центъра на вписаната окръжност съвпада с пресечната им точка те h a =h b =r За тях важат следните равенства: d = a cos ; d = a sin ; 64b) За всеки ромб е в сила равенството: d +d =4a (виж (6)); 64c) Лице: S = ah = a sin = dd (виж (63)); 64d) Не може да се опише окръжност (виж (45)); 64) Правоъгълник: 64a) За диагоналите му е в сила d = d = a + b (виж (6)); 64b) Не може да се впише окръжност (виж (47)), а радиуса на описаната окръжност е равна на половината от диагонала; 64c) S = ab = d sin ϕ IV Трапец: 65) Средна отсечка Нека точките M и N са среди съответно на бедрата и на трапеца (Фиг 7), то средната отсечка MN притежава следните свойства: M N MN и + MN = 66) Нека за равнобедрен трапец (фиг 7) имаме H означенията = a, = b, H височина, тогава Фиг7

a b a + b H = ; H = 67) За сбора от квадратите на диагоналите за всеки трапец е изпълнено: d + d = c + d + ab, а за разликата им a + b d d = ( d c ), където a и b са основи, a b c и d бедра, d и d диагонали на трапеца За равнобедрен трапец имаме d =d, d=c и първата формула (виж (67)) добива вида d =c +ab 68) Ако един трапец е вписан в окръжност, то той е равнобедрен те около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност; 69) Центъра на описаната около трапец окръжност лежи на пресечната точка на симетралите (симетралите на голямата и малка основа съвпадат) 7) Центъра на вписаната в трапец окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му, като ъгълът между ъглополовящите на два прилежащи ъгъла е равен на 9 ; 7) При произволен трапец центърът на вписаната окръжност лежи на средната му отсечка (виж: Многоъгълник, Зад 7); 7) При равнобедрен трапец центърът на вписаната окръжност разполовява средната отсечка; 73) При равнобедрен трапец симетралите на голямата и малката основа съвпадат, като центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи върху нея (виж СУ, 996 I изпит); 7) Ако през точка С построим отсечка СМ успоредна на диагонала (Фиг 8), то M и трапеца са равнолицеви те S M =S Ако през точка построим отсечка М успоредна на бедрото, то получаваме a + b S = S M M a b Фиг8 ; 7) Радиус на вписана в равнобедрен трапец окръжност 4r =ab; 73) Ако имаме трапеца, то лицето му е a + b S = h = MN h = (a + b) r, защото h=r Ако трапеца е равнобедрен, то S=cr; 74) Теорема на Щайнер Във всеки трапец средите на основите, пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на продължението на бедрата лежат на една права права на Щайнер Тема: Справочник по планиметрия 6 стр 74) Обратна теорема на Щайнер За всеки четириъгълник, ако среда на основата, пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на продължението на бедрата лежат на една права, то четириъгълника е трапец Ъгли Окръжност и кръг I Ъгли с взаимно успоредни или взаимно перпендикулярни рамене 75) Ако два ъгъла са с взаимно успоредни рамене и 75) са от един и същи вид, те са равни, те =β (Фиг 9 а) 75) не са от един и същи вид, то сборът им е равен на 8, те +γ=8 (Фиг9 а) 76) Ако два ъгъла са с взаимно перпендикулярни γ рамене и β γ 76) са от един и β същи вид, те са равни, те =β (Фиг 9 б) a) б) 76) не са от един Фиг 9 и същи вид, то сборът им е равен на 8, те +γ=8 на Фиг9 б) II Взаимно положение на права и окръжност: Определения: Хорда: Права която свързва две произволни точки от окръжността Секателна: Права която има две общи точки с окръжността 3 Допирателна: Права която има една обща точка с окръжността 77) Ако диаметър е перпендикулярен на хорда в окръжност, то той разполовява хордата и съответната и дъга те Ако MN P=P; N=N и M=M (Фиг ); Следствие: Ако една права минава през средата на хорда и съответната и дъга, то тя минава и през центъра на окръжността и е перпендикулярна на хордата 78) Ако = и = (Фиг ); N P O F Q E M Фиг

79) Ако =EF OP=OQ и = (Фиг ); 8) Нека,, PQ са хорди, които се пресичат в точка М (Фиг ) и нека PQ е перпендикулярна на диаметъра, то MM=MM=PM =QM ; 8) Ако точка (Фиг ) е външна за окръжността, правите АВ и са секущи и ЕВ допирателна, то F=G=E ; Обратните теореми на твърдения (виж (79) и (8)) ни дават достатъчните условия четири (или три) точки да лежат на една окръжност 8) Ако права е допирателна до окръжност, то тя е и перпендикулярна на радиуса пост- роен в точката на допиране; 83) Ако правите ЕВ и (Фиг ) са допирателни и се пресичат във външна точка на окръжността, то ОВ е ъглополовяща на E и ЕВ=; III Взаимно положение на окръжност и ъгъл: 84) Централен ъгъл: Върхът му е в центъра на окръжността а раменете му са секателни (Фиг 3) За този ъгъл имаме O= 85) Вписан ъгъл: Върхът му лежи на окръжността, а раменете му са секателни (Фиг 3) За него имаме: = = O Следствие : Всички вписани ъгли в една и съща окръжност, чиито рамене отсичат едни и същи дъги, са равни Следствие : Вписани ъгли чиито рамене минават през краищата на диаметър, са прави 86) Периферен ъгъл: Върхът му лежи на окръжността, едното му рамо е допирателно а другото рамо секателно (Фиг 3) = O P E F G O Фиг Фиг M O Q Фиг3 M= (+) S = r 88) Ъгъл между две секателни (Фиг ): = ( FG) 89) Ъгъл между две допирателни (Фиг ): E= (E EFG) IV Лице на кръг и частите му: 9) Лице на кръгов сектор (изрез): Определение : Част от кръг ограничен от два радиуса (Фиг 4), се нарича кръгов сектор (изрез) πrr, където ев радиани; S = 36 9) Лице на кръгов сегмент (отрез): Определение :, където евградуси Част от кръг ограничен от една хорда и принадлежащата и дъга (Фиг 5), се нарича кръгов сегмент (отрез) Фиг4 r Sотрез = Sизрез S O S = ( sin ), където ев радиани; r π S = sin, където евградуси 8 V Многоъгълник: 9) Лице на описан многоъгълник: Лицето S на Фиг5 многоъгълник с периметър p, описан около окръжност с радиус r е S=pr 93) Лице на правилен многоъгълник: 87) Ъгъл между две хорди (Фиг ): Тема: Справочник по планиметрия 7 стр

Бележки: Ако един многоъгълник е правилен, то около него може да се опише окръжност и в него може да се впише окръжност Страната на правилен шестоъгълник е равна на радиуса на описаната около него окръжност n 8 n 36 n 8 S n = a cot g = R sin = r tg, където n е броя на страните в правилния многоъгълник, a дължината на страната, R радиуса на описаната окръжност, 4 n n n r радиуса на вписаната окръжност Тема: Справочник по планиметрия 8 стр