Вероятност и независимост Пълна група събития и формула на пълната вероятност ) Преговор Имаме Ω { EEE EET ETE ETT TEE TET TTE TTT} и v( Ω ) V A { EEE EET ETE TEE} B { TEE TET TTE TTT} { ETT TET TTE} P( B ) P( ) P( B) ( ) P( B) P B P( B ) P( B) P( ) P( AB) P( A B) P( B) P( AB ) P( A) P( B ) P( AB) P( A) P( B) събитията A и B не са a) б) в) независими P( B ) независими P( B) P( ) P( B) P( B) P( ) събитията B и не са Четните числа при хвърляне на зар са а простите числа са P( B ) и P( AB ) P( AB) ( ) P( AB) P A B P( B A) P( B) P( A) a) Нека A{пада се число което се дели на } и B{пада се число по-малко от } Числата които се делят на при хвърляне на зар са и а числата по-малки от са P( AB) P( A B) P( B) б) P( { пада се число по-голямо от } { пада се четно число} ) в) P( { пада се } { пада се нечетно число} )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Всички изходи са ɶ V A {()()()( )()()} благоприятни изхода Събитието B има благоприятни изхода всяко от числата при второ хвърляне се съединява с всяко от числата от до при първо хвърляне AB A B {()()()} благоприятни изхода P( AB ) и P( B ) P( AB) P( A) P( B) A и B са независими Попълваме таблица за всички възможни случаи при хвърляне на два зара а) P( {еднакви числа} {сбор по-малък от }) 0 б) P( {сбор по-малък от } {еднакви числа} ) в) P( {пада се на единия зар} {число по-голямо от на другия зар} ) г) P( {на единия зар число по-малко от } {на другия се пада } ) д) P( {на единия зар се пада } {сбор по-голям от } ) е) P( {сбор по-голям от } {на единия зар се пада } )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Всички изходи са (както при едновременно хвърляне на два зара) a) P( {-ви път четно число} {-ри път просто число} ) б) P( {-ви път число по-голямо от } {-ри път четно число} ) в) P( {-ри път нечетно число} {сбор } ) 9 Извадени са бели топки остават бели и черни топки Вероятността да извадим черна е 9 0 Да означим кутиите с K K и K A {избрана е кутия K } B{извадена е една бяла топка} P( B A ) P( B A ) бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия P( BA ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем втората кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем третата кутия и да извадим една бяла топка от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е ( )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Да означим кутиите с K K и K A {избрана е кутия K } B{извадена е една бяла топка} P( B A ) P( B A ) P( BA ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем втората кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем третата кутия и да извадим една бяла топка от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е ( ) бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия Да означим кутиите с K K и K A {избрана е кутия K } а) B{извадени са две бели топки} 9 P A P B A P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим две бели топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем втората кутия и да извадим две бели топки от нея P A P B A 9 P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем третата кутия и да P A P B A извадим две бели топки от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е 9 бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ б) B{извадени са две едноцветни топки} 9 P A P B A P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим две едноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем втората кутия и да P A P B A 9 извадим две едноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем третата кутия и да P A P B A извадим две едноцветни топки от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е 9 в) B{извадени са две разноцветни топки} 9 P A P B A P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим две разноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем втората кутия и да P A P B A 9 извадим две разноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем третата кутия и да P A P B A извадим две разноцветни топки от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е 9 В три кутии има бели и черни топки В първата има бели и черни във втората бели и черни в третата бели и черни От случайно избрана кутия са извадени топки без връщане Каква е вероятността: а) двете топки да са бели; б) двете да са едноцветни; в) двете да са разноцветни?
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ В три кутии има бели и черни топки В първата има бели и черни във втората бели и черни в третата бели и черни От случайно избрана кутия са извадени топки без връщане Каква е вероятността: а) двете топки да са бели; б) двете да са едноцветни; в) двете да са разноцветни? а) Първата извадена топка може да бъде бяла и не бяла те черна двете събития образуват пълна група събития б) При изваждането на две топки случаите бб чч бч изчерпват всички възможности и събитията са две по две несъвместими образуват пълна група събития A A а) Извадените две топки или са едноцветни или са разноцветни A и B образуват пълна група събития б) Имаме A P( ) P( A ) P( A) P( ) съдържа всички изходи при които са извадени две бели топки P( A) 9 съдържа всички изходи при които са извадени две бели или бяла и черна топка 9 P( A) P( A ) P( ) a) Изходите при които сборът от точките е точно принадлежат и на двете събития A B А и B не образуват пълна група б) Образуват пълна група събития А се състои от изходите отбелязани в първите три колони на таблицата B се състои от изходите отбелязани във вторите три колони и първите три реда се състои от изходите отбелязани във вторите три колони и във вторите три реда Събитията A {извадени са бели топки } 0 образуват пълна група събития 0
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ 9 Събитията A {извадени са бели топки } 0 образуват пълна група събития 0 0 а) б) в) г) P( B ) 0 9 P( A B ) 0 P( B ) P( A ) P( )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ ) Пълна вероятност Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} и {първата извадена топка е черна} P( ) 0 0 Нека A { вторататопкаечерна } : P( ) P( A ) 9 P( A ) 9 вероятността на събитието A при хипотезата е вероятността на събитието A при хипотезата е Прилагаме формулата за пълната вероятност и получаваме: P( A) P( ) P( A ) P( ) P( A ) 0 9 0 9 Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} {първата извадена топка е черна} P( ) P( ) Нека A {втората и третата топки са едноцветни} вероятността на събитието A при хипотезата е вероятността на събитието A при хипотезата е Прилагаме формулата за пълната вероятност и получаваме: 9 P( A ) 0 P( A ) 9 0 Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} {първата извадена топка е зелена} {първата извадена топка е червена} P( ) P( ) P( ) Нека A {втората извадена топка е зелена} Вероятностите на събитието A при съответната хипотеза са: P( A ) P( A ) P( A )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ В три кутии има бели и черни топки като в първата има бели и черни във втората бяла и черни в третата бели и черни Случайно е избрана кутия и от нея е извадена една топка Каква е вероятността топката да е бяла? В четири кутии има бели и черни топки като в първата има бели и черни във втората бяла и черни в третата бели и черни и в четвъртата бели и черни Случайно се избира кутия и от нея една топка Каква е вероятността тази топка да е черна? Избираме пълна група събития: {детайлът е произведен в завод } P( ) 0 0 P( 0 ) 0 P( 0 ) 0 00 00 00 Нека A {детайлът е дефектен} По условие P( A ) 0 0 P( A ) 0 0 P( A ) 0 0 000 000 000 00 Чрез изброяване на възможностите за първите две топки образуваме пълна група събития: {първите две топки са бели } {първите две топки са зелени } {първите две топки са червени} {от първите две топки едната е бяла другата е зелена } {от първите две топки едната е бяла другата е червена } {от първите две топки едната е зелена другата е червена } P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) Нека A {третата извадена топка е бяла} P( A ) защото при хипотезата са останали топки от които бели P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) ( 9 )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Избираме пълна група от събития: {първото дете е взело шоколадов бонбон} {първото дете НЕ е взело шоколадов бонбон} P( ) m N и P ( ) m N m N N Нека A{второто дете е взело шоколадов бонбон} P( A ) m N P( A ) m N и По формулата за пълната вероятност получаваме: ( ) ( ) m m N m m N m P A m N N N N N( N ) N бонбон Получихме че P( ) P( A) те двете деца имат равни вероятности да вземат шоколадов Формула на Бейс За хипотези избираме пълната група събития: {избрана е кутия } {избрана е кутия } Нека A{извадени са две бели топки} Търсим P( A ) Последователно намираме P( ) P( ) P( A ) 9 P( A ) Прилагаме формулата на Бейс: P( A ) ( )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} {първата извадена топка е зелена} {първата извадена топка е червена} Нека А{втората и третата топки са червени} P( ) P( ) P( ) P( A ) P( A ) P( A ) Прилагаме формулата на Бейс P( A ) 0 P( A ) Нека {избрана е кутия } и А{извадените топки са разноцветни} P( ) P( ) P( ) Търсим P( A ) P( A ) 9 P( A ) 9 P( A ) 0 99 ( 90 ) бели бели бели черни 9 черни 9 черни Кутия Кутия Кутия P( A ) 99 90 9 0 Нека {избрана е кутия } P( ) P( ) P( ) Нека А{извадените три топки са бели} P( ) P( ) P( ) Търсим P( A ) P( A ) 0 P( A ) 0 99 9 P( A ) P( 9 A ) 0 0 0 99 99 ( 99 ) бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Да разгледаме пълната група събития: {прехвърлената топка е черна} {прехвърлената топка е бяла} P( ) P( ) Нека А{извадената топка от втората кутия е черна} бели бели черни черни Кутия Кутия P( A ) Кутиите при хипотезата : бели бели черни черни Кутия Кутия P( A ) Кутиите при хипотезата P( A ) : бели 9 бели черни черни Кутия Кутия Нека: {избран е щанд } P( ) P( ) P( ) А{купен е g портокали} На всеки щанд портокалите и мандарините са по равни количества P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) ( )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Нека: {частта е произведена в завод } А{избраната част е дефектна} P( 0 ) P( 0 ) ; P( ) 0 00 0 00 0 00 0 P( A ) P( A ) P( A ) 00 00 00 Следователно: 0 00 0 00 0 00 000 P( 000 A ) 0 00 P( 000 A ) 0 00 P( 000 A ) 0 00 Нека: {избран е левия джоб } {избран е десния джоб } А{извадени са два различни бонбона} P( ) P( ) P( A ) P( A ) P( A ) розови розови ментов ментови ляв джоб десен джоб 9 Нека: {ученикът се е записал за театър} {ученикът се е записал за концерт} и образуват пълна група събития P( ) 0 P( ) 0 А{ученикът е посетил мероприятието за което се е записал} P( A ) 0 9 P( A ) 0 00 9 P( A ) 0 0 09 0 0 а) 0 0 P( A ) 0 009 0 0 б)
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ 0 Нека: Нека {избраното дете е от група } 0 00 P( ) P( ) P( ) 00 00 А{избраното дете отсъства днес} P( A ) 0 P( A ) 0 0 P( A ) 0 0 00 0 0 0 0 0 00 00 ( ) Нека: {прехвърлена топка е бяла} {прехвърлeната топка е черна} P( ) P( ) А{от втората кутия са извадени две едноцветни топки} P( A ) 9 P( A ) 9 9 9 9 9 е вероятността двете извадени топки от втората кутия да са едноцветни P( A) P( A) 9 9 е вероятността прехвърлената топка да е бяла при предположение че от втората са извадени две едноцветни топки
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ бяла бели бели бели черни черни 0 черни 0 черни Y Y Y Y Събитията {избрана е кутия Y } образуват пълна група Вероятността да бъде избрана една кутия е пропорционална на броя на съдържащите се в нея бели топки: P( ) α те P( ) α P( ) α P( ) α P( ) α P( ) α Тъй като събитията образуват пълна група то сумата от вероятностите име е поради което може да запишем уравнението: α α α α α или P( ) 9 Нека събитието A е {извадени са две топки с различен цвят} Търси се за кое вероятността P( A ) е най-голяма За намиране на апостериорната вероятност P( A ) ще използваме формулата на Бейс За удобство подреждаме в колони резултатите от пресмятането: P( ) P( A ) P( ) P( A ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( A ) P( A ) ( ) P( A ) P( A ) 0 P( A ) 0 0 ( ) ( ) За да намерим прилагаме формулата за пълната вероятност като сумираме изразите от последната колона: 0 0 ( 0 )
Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ За апостериорните вероятности получаваме: P( A ) P( A ) 0 0 P( A ) или ( ) P( A) Трябва да намерим за кое се получава най-голямата стойност на P( A ) Разглеждаме функцията f ( x) x x f ( x) x x x( x) 0 f ( x) x ( x) x [] При x f ( x ) има локален максимум и в интервала [] производната има единствен корен най-голямата стойност на f ( x ) в интервала [] се достига при x двете топки с най-голяма вероятност са принадлежали на кутия Y 9 числа: Коментар Сумата 0 може да пресметнем и така: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Сега използваме формулите за сбор от квадратите и сбор от кубовете на първите n естествени n( n )(n ) n n ( n ) n 0 ( ) ( ) ( ) 9