Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при изследване на устойчивостта на равновесната форма на системи с краен брой степени на свобода. h =4 m k h 1 =5 m Използва се простичката система, чиито изчислителен модел е показан на фигура 1. На същата фигура са показани означенията на физическите характеристики на елементите на конструкцията. Приема се, че деформациите на двата пръта и може да се пренебрегнат. Математически това се осъществява като се приеме, че тяхната коравина на огъване е безкрайно голяма. Двата пръта са с идеално прави оси, които лежат на една права. Същата права е директриса на силата, която е приложена в точка с, и на опорната реакция в точка а. k 1 Фиг. 1 Равновесно състояние Елементите, които са изчертани в лилав цвят, заменят деформируеми елементи на конструкцията. Приети са еквивалентни пружинни константи със следните големини: k 1 = 800 kn/rd и k = 500 kn/rd Δ 1 Δ δ δ 1 φ δ 1 φ 1 =k (φ - φ 1 ) 1 =k 1 φ 1 A h A V Фиг. Възможно второ равновесно състояние Приема се, че от изследваното изходно равновесно състояние, при запазване на големината на натоварването, конструкцията преминава в друго равновесно състояние фигура. При този преход връзките между отделните дискове и опорните връзки се запазват. Количествено отклоненията от изходното равновесно състояние се определят с два параметъра ъглите φ 1 и φ. На фигурата са показани и въздействията М 1 и М, с които деформируемите части на конструкцията въздействат върху натиснатите пръти.
А. Изследване по теория от II ри ред Приема се : φ 1 <<<<<1 и φ <<<<<1, поради което sin φ 1 = φ 1 и sin φ = φ. 1 51 4 (1) 1 1 1 5 1 4 Статически метод за възможното ново равновесно състояние се записват се всички независими условия за равновсие и се търси тяхно ненулево решение. () (3) (4) H 0A 0 V 0A h V 04 500( ) 0 1 0 (4 5 ) 800 0 1 1 Двете моментови уравнения се записват в следния вид: 500 500) 1 (5 800 0 1 Условието за съществуване на ненулево решение е: 500 500 D 0 7700 400000 0 5 800 Това квадратно уравнение има два реални и положителни корена: (5) 1r 61,9kN r 33,1kN Енергетически метод Равновесието при възможното ново равновесно състояние се изследва с теоремата на Лагранж Дирихле. Изразява се пълната потенциална енергия на конструкцията като функция на двата параметъра φ 1 и φ и се търсят такива големини на външния товар и на параметрите φ 1 и φ, при които пълната потенциална енергия има екстремум. (6) П(φ 1, φ ) = П 0 + W A П 0 е пълната потенциална енергия на конструкцията в изходното състояние. W е потенциалната енергия на деформацията. Тя е равна по големина и обратна по знак на работата на разрезните усилия (в този пример на еквивалентните им М 1 и М ), извършена от тях при прехода от изходното в новото равновесно състояние. 1 1 1 1 (7) W 1 1 1 8001 500 1 А е работата на външния товар, извършена от него при прехода от изходното в новото равновесно състояние. (8) 1 A 1 5 4
(9) (10) (11) За пълната потенциална енергия на конструкцията се получава следният резултат: 1 1 П( 1, ) П0 1 1 1 1 1 1 1 П0 800 1 500 1 5 4 Условието за съществуване на екстремум е: П 08001 500( 1) 1 5 1 0 0 1 П 0500( 1) 1 0 4 0 0 Тези две уравнения се записват по следния начин: (800 500 5 ) 500 0 1 500 500 4 0 1 Ако се замени първото от тези две уравнения с тяхната сума и се сменят знаците на членовете на второто уравнение, от (11) се получават двете уравнения (3), които са получени със статическия подход. Затова и с енергетическия метод се получават същите критични големини на външния товар. 61,9kN 33,1kN 1r r Получиха се две големини на външния товар, при които са възможни две равновесни форми. Стойностите на ъглите φ 1 и φ, които определят тези две възможни равновесни форми се изчисляват от системата уравнения (3) или от (11). (1) Първа възможна равновесна форма Системата (3) се записва за 1 61,9kN. r 500 61,9 500) 500 5, 4 0 1 1 (5*61,9 800 61,9 0 490 47, 6 0 1 1 От тази система хомогенни уравнения се получава: 1,98098 или 0,5048 (13) 1 1 (14) Втора възможна равновесна форма Системата (3) се записва за 33,1kN. r 500 33,1 500) 500 79, 4 0 1 1 (5*33,1 800 33,1 0815,5 19, 4 0 1 1 От тази система хомогенни уравнения за втората равновесна форма се получава: 0, 630994 или 1,5848 (15) 1 1 Двете възможни равновесни форми са показани на фигура 3. Освен геометричните им параметри на фигурата са показани и огъващите моменти.
Δ 1 =5 φ 1 Δ =7.9393 φ 1 =61.9kN Δ 1 =5 φ 1 Δ =.5398φ 1 =33.1kN φ =-0.63099φ 1 φ =1.980938 φ 1 φ 1 =490.4913 φ 1 φ 1 =815.497φ 1 1 =800φ 1 1 =800φ 1 A V =61.9kN A V =33.1kN Докато критичните големини на външния товар се изчисляват точно, останалите параметри на двете възможни равновесни форми премествания и усилия, се изчисляват с точност до един ненулев множител ъгълът φ 1. Лесно се установявя, че всички независими уравнения за равновесие са удовлетворени. Б. Изследване по теория от III ти ред Приема се, ъглите φ 1 и φ са с крайна големина и се използват точните нелинейни геометрични зависимости. 1 5sin1 4sin (16) 5(1 os 4(1 os ) 1 1 Статически метод за възможната нова равновесна форма се записват се всички независими условия за равновсие и се търси тяхно ненулево решение. (17) Фиг.3 Възможни нови равновесни състояния H 0A 0 V 0A h V 04sin 500( ) 0 1 0 (4sin 5sin ) 800 0 1 1 От четвъртото уравнение на (17) се изважда третото и се получава следната нелинейна хомогенна система уравнения: 4sin 500( 1) 0 (18) 5sin 800 500( ) 0 1 1 1
От тази система се получават следните зависимости:,6 15 100 sin sin (19) 1 1 1 От (19) следва, че за всяка стойност на ъглите φ 1 и φ, удовлетворяващи първото равенство, съществува една такава конкретна големина на силата, при която системата е в равновесие. Равенството 1,6 1 (0) 15 100 sin sin 1 се използва за определяне на ъглите φ 1 и φ. Приема се конкретна възможна стойност на единия ъгъл и от (0) се изчислява съответната големина на другия ъгъл. С изчислените стойности на ъглите φ 1 и φ се пресмята големината на силата. Резултатите от изчисленията, съответстващи на различни големини на ъглите φ 1 и φ са записани в таблици 1 и. Приемани са стойности на φ 1 и от (0) са изчислявани съответните стойности на φ. След това са изчислявани големините на силата и на останалите геометрични и силови параметри на възможна равновесна форма. За всяка приета стойност на φ 1 от (0) се получават по две стойности на φ. Таблица 1. Първа възможна равновесна форма φ 1 градуси 0.5 1 3 4 5 10 φ 1 радиани 0.00877 0.017453 0.034907 0.0536 0.069813 0.08766 0.174533 φ градуси 0.99074 1.980834 3.96141 5.941096 7.91915 9.89653 19.740 φ радиани 0.01787 0.03457 0.06914 0.10369 0.13815 0.17659 0.34453 φ / φ 1 1.98098 1.98093 1.98070 1.98037 1.97979 1.97853 1.9740 61.9094 61.91061 61.94049 61.99136 6.05931 6.13003 6.91481 Δ 1 сантиметри 4.3633 8.76 17.4497 6.1680 34.878 43.5779 86.841 Δ сантиметри 6.9163 13.861 7.6338 41.404 55.110 68.711 135.104 δ 1 сантиметри 0.01904 0.07615 0.3046 0.685 1.180 1.907 7.5961 δ сантиметри 0.05980 0.390 0.9557.1485 3.8146 5.9475 3.5065 1 6.9813 13.966 7.95 41.888 55.851 69.813 139.66 4.85 8.5594 17.117 5.666 34.01 4.696 84.999
Таблица. Втора възможна равновесна форма. φ 1 градуси 0.5 1 3 4 5 10 φ 1 радиани 0.008766 0.0174533 0.0349066 0.053599 0.069813 0.087665 0.174539 φ градуси -0.315489-0.630971-1.61789-1.8948 -.5407-3.150949-6.85513 φ радиани -0.005506-0.011013-0.00-0.03306-0.04404-0.054994-0.109703 φ / φ 1-0.630979-0.630971-0.630894-0.630749-0.63060-0.63019-0.68551 33.10649 33.11395 33.15757 33.3574 33.378 33.51601 34.5053 Δ 1 сантиметри 4.3633 8.76 17.4497 6.1680 34.878 43.5779 86.841 Δ сантиметри -.05-4.4049-8.808-13.080-17.6040-1.9867-43.793 δ 1 сантиметри 0.01904 0.076 0.3046 0.685 1.180 1.907 7.5961 δ сантиметри 0.00606 0.043 0.0970 0.181 0.3876 0.6047.4045 1 6.981 13.963 7.95 41.888 55.851 69.813 139.66-7.116-14.33-8.464-4.693-56.919-71.130-14.118 От показаните резултати следва: 1. С теорията от втори ред се получават достатъчно точно критичните големини на външния товар.. С теорията от втори ред новите възможни равновесни състояния се получават по вид, като геометричните и силовите им параметри се изчисляват с точност до един ненулев множител. 3. Теорията от трети ред показва, че при дори малки стойности на параметрите, определящи възможни нови равновесни състояния, в конструкцията се получават недопустимо големи премествания. Затова приеманията на теорията от втори ред са оправдани.