на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова
Собствени стойности и собствени вектори на матрица Нека A е квадратна матрица от n-ти ред. Комплексното (или реалното) число λ и ненулевият вектор v C n (или R n ) се наричат собствена стойност на A и съответен на λ собствен вектор (десен собствен вектор) на A, ако Av = λv. (1) Като пример нека разгледаме ( ) ( 1 3 3 A =, v = 4 2 4 ) ( 2, u = 3 ). Тъй като Av = ( 1 3 4 2 ) ( 3 4 ) = ( 15 20 ) ( 3 = 5 4 ) = 5v, то v е собствен вектор на A, отговарящ на собствената стойност λ = 5.
Собствени стойности и собствени вектори на матрица Тъй като Au = ( 1 3 4 2 ) ( 2 3 ) = ( 11 14 ) λu за всяко λ R, то u не е собствен вектор на A (за никоя собствена стойност на A).
Характеристично уравнение на матрица Преобразуваме (1) последователно Av λv = o Av λev = o (A λe)v = o, където E e единичната квадратна матрица от n-ти ред. Следователно уравнението (1) има ненулево решение за v, точно когато уравнението (A λe)v = o има ненулево решение. Последното уравнение е матричният запис на система хомогенни линейни уравнения. Както знаем, такава система има ненулеви решения, точно когато е неопределена, т.е. рангът ѝ не е максимален, т.е. точно когато основната ѝ квадратна матрица има нулева детерминанта det(a λe) = 0. (2) Уравнението (2) e полиномно уравнение от n-та степен за неизвестното λ и се нарича характеристично уравнение на матрицата A, а p(λ) = det(a λe) се нарича характеристичен полином на A. Корените на уравнението (2) (комплексни и реални) са собствените стойности на A.
Собствени вектори и собствени подпространства на матрица След като бъдат намерени собствените стойности на A, т.е. всички решения на уравнението (2), за намиране на съответните им собствени вектори v, всяка собствена стойност λ се замества в уравнението (A λe)v = o, v o. (3) Тъй като det(a λe) = 0, то горната система хомогенни линейни уравнения е неопределена и множеството от решенията ѝ заедно с нулевия вектор на R n образува векторно пространство, което се означава с V λ (то е векторно подпространство на R n ) и се нарича собствено подпространство на A, съответно на собствената стойност λ. Всяка база на V λ, т.е. фундаментална система решения на (3), се състои от линейно независими помежду си собствените вектори на A, съответни на собствената ѝ стойност λ.
Алгоритъм за намиране на собствените стойности и собствени вектори на матрица Нека A е квадратна матрица от n-ти ред. За намиране на собствените стойности на A и съответните им собствени вектори можем да използваме следния алгоритъм: 1) Намираме собствените стойности на A, като решаваме характеристичното ѝ уравнение det(a λe) = 0. 2) За всеки корен на характеристичното уравнение (собствена стойност на A) търсим съответните линейно независими собствени вектори v R n като фундаментална система решения на хомогенната система линейни уравнения (A λe)v = o.
Пример 1 Намерете собствените стойности, съответните им собствени подпространства и собствените вектори на матрицата ( ) 1 3 A =. 4 2 Характеристичното уравнение на матрицата A има вида det(a λe) = 0 1 λ 3 4 2 λ = 0 λ2 3λ 10 = 0. Корените на уравнението, т.е. собствените стойности на A са λ 1 = 5 и λ 2 = 2.
Пример 1 Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на λ 1 = 5. Тогава v удовлетворява уравнението ( ) ( ) ( ) 1 5 3 x 0 (A λ 1 E)v = =, 4 2 5 y 0 откъдето получаваме 4x 3y = 0. Решенията на последното уравнение са елементите на едномерното векторно пространство V λ1 = {(3p, 4p) p R}, което е собственото подпространство на A, съответстващо на λ 1 = 5. Един ненулев вектор, принадлежащ на V λ1, е векторът v 1 = (3, 4), който е един собствен вектор на A, съответстващ на λ 1 = 5.
Пример 1 Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на λ 2 = 2. Тогава v удовлетворява уравнението ( ) ( ) ( ) 1 + 2 3 x 0 (A λ 1 E)v = =, 4 2 + 2 y 0 откъдето получаваме x + y = 0. Решенията на последното уравнение са елементите на едномерното векторно пространство V λ2 = {(q, q) q R}, което е собственото подпространство на A, съответстващо на λ 2 = 2. Един ненулев вектор, принадлежащ на V λ2, е векторът v 2 = (1, 1), който е един собствен вектор на A, съответстващ на λ 2 = 2.
Пример 2 комплексни собствени стойности Намерете собствените стойности и собствените вектори на матрицата ( ) 1 1 B =. 1 1 Характеристичното уравнение на матрицата A има вида det(b λe) = 0 1 λ 1 1 1 λ = 0 λ2 2λ + 2 = 0. Корените на уравнението, т.е. собствените стойности на B са λ 1 = 1+i и λ 2 = 1 i. Аналогично на предишния пример, установяваме, че на всяка от двете собствени стойности съответства едномерно собствено подпространство, като v 1 = (1, i) е един собствен вектор, отговарящ на λ 1, а v 2 = (1, i) е един собствен вектор, отговарящ на λ 2.
Твърдение Собствените вектори на квадратна матрица, отговарящи на различни нейни собствени стойности, са линейно независими помежду си. Алгебрична кратност alg mult(λ) на собствена стойност λ на A се нарича кратността на λ като корен на характеристичното уравнение на A. Геометрична кратност geom mult(λ) на λ се нарича размерността на собственото подпространство V λ на A, съответно на λ, т.е. geom mult(λ) = dim V λ. За всяка собствена стойност λ е изпълнено alg mult(λ) geom mult(λ) 1. Ако λ e прост (еднократен) корен на характеристичното уравнение на A, то dim V λ = 1 (както видяхме в предходните два примера). Множеството от всички собствени стойности на A се нарича спектър на A. Ако всички собствени стойности на A са прости, то се казва, че A има прост спектър. В този случай собствените вектори, отговарящи на различните собствени стойности на A, образуват база на R n (казва се, че A притежава база от собствени вектори).
Пример 3 кратни собствени стойности Корените на характеристичното уравнение могат и многократни. Нека разгледаме следния пример. Намерете собствените стойности и собствените вектори на матрицата ( ) 2 1 C =. 1 4 Характеристичното уравнение на матрицата A има вида det(c λe) = 0 2 λ 1 1 4 λ = 0 λ2 6λ + 9 = 0, чийто единствен двоен корен е λ 1 = λ 2 = 3.
Пример 3 кратни собствени стойности Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на единствената собствена стойност на C. Тогава v удовлетворява уравнението ( ) ( ) ( ) 1 1 x 0 =, 1 1 y 0 откъдето получаваме x y = 0. Решенията на последното уравнение са елементите на едномерното векторно пространство V λ = {(p, p) p R}, което е собственото подпространство на A, съответстващо на единствената ѝ собствена стойност λ = 3. Една база на V λ e векторът v = (1, 1). В този пример, за разлика от предходните два примера, алгебричната и геометричната кратност на собствените стойности не съвпадат. На двукратна собствена стойност съответства едномерно собствено пространство. Следователно разгледаната в този пример матрица не притежава база от собствени вектори.
Собствени стойности и собствени вектори на линейно преобразувание Нека f е линейно преобразувание на n-мерното векторно пространство V. Припомняме, че матриците на f в различните бази на V са подобни, т.е. ако A и B са матриците на f съответно в базите e и e на V, то B = T 1 AT, където T е матрицата на прехода от e към e. Твърдение Подобните матрици имат равни характеристични полиноми (следователно равни собствени стойности). Под собствени стойности на линейно преобразувание f на V ще разбираме собствените стойности на матрицата на f в произволна база на V.
Диагонализиране на матрица Квадратната матрица A M n n (K) се нарича диагонализируема над полето K, ако е подобна на диагонална матрица D M n n (K), т.е. ако D = T 1 AT ( A = T DT 1 ), (4) където D = λ 1 0... 0 0 λ 2... 0............ 0 0... λ n, λ i K, T M n n (K). Намирането на неособената матрица T, чрез която съгласно (4) от A се получава D, се нарича диагонализиране на A чрез неособеното линейно преобразувание T.
Диагонализиране на линейно преобразувание Линейното преобразувание f на векторно пространство се нарича диагонализируемо, ако съществува база на векторното пространство, в която матрицата на f е диагонална. Тази база (при условие, че съществува) е база от собствени вектори на f. Следователно неособената матрица T, чрез която се диагонализира f, е матрицата на прехода от базата, в която е зададено f, към база от собствени вектори на f, т.е. T съдържа в стълбовете координатите на собствените вектори на f.
Диагонализиране на матрица Твърдение Квадратната матрица A от n-ти ред е диагонализируема, точно когато притежава база от собствени вектори. Твърдение Квадратната матрица A от n-ти ред е диагонализируема, точно когато на всяка собствена стойност на A с кратност k съответства k-мерно собствено подпространство (т.е. k линейно независими собствени вектора). Твърдение Ако квадратна матрица A от n-ти ред има n различни собствени стойности (т.е. прост спектър), то A е диагонализируема.
Диагонализиране на матрица Твърдение Ако λ 1, λ 2,..., λ k са всички различни помежду си собствени стойности на квадратната матрица A от n-ти ред, то A е диагонализируема, точно когато сумата от размерностите на собствените подпространства V λi (i = 1, 2,..., k) е равна на n, т.е. dim V λ1 + dim V λ2 +... + dim V λk = n. Забележка. Реалната квадратна матрица A от n-ти ред е диагонализируема над R, точно когато притежава само реални собствени стойности и база от собствени вектори.
Диагонализиране на матрица примери Да разгледаме квадратните матрици от 2-ри ред от трите примера. Матрицата A от Пример 1 има две различни собствени стойности λ 1 = 5 и λ 2 = 2, на всяка от които съответства едномерно собствено подпространство с бази съответно векторите v 1 = (3, 4) и v 2 = (1, 1). Тъй като всички собствени стойности на A са прости корени на характеристичното ѝ уравнение (т.е. A има прост спектър), то A е диагонализируема (над R, тъй като всички собствени стойности са реални). Изпълнено е D = T 1 AT, където D = ( 5 0 0 2 ), T = ( 3 1 4 1 ), T 1 = 1 ( 1 1 7 4 3 ).
Диагонализиране на матрица примери Матрицата B от Пример 2 има само комплексни собствени стойности (въпреки че е реална) λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i. Съответни собствени вектори са v 1 = (1, i) на λ 1 и v 2 = (1, i) на λ 2. Тази матрица също има прост спектър и затова е диагонализируема, но над C. Изпълнено е D = T 1 AT, където D = ( 1 + i 0 0 1 i ), T = ( 1 1 i i ), T 1 = 1 ( 1 i 2 1 i ).
Диагонализиране на матрица примери Матрицата C от Пример 3 има една собствена стойност, която е двоен корен на характеристичното ѝ уравнение λ 1 = λ 2 = 3. Но на тази собствена стойност съответства едномерно собствено подпространство (сумата от размерностите на всички собствени пространства на C e 1 < 2). Следователно C не притежава база от собствени вектори и не е диагонализируема.
Специални квадратни матрици Реалната квадратна матрица A = (a ij ) е от n-ти ред се нарича: симетрична, ако A T = A ( a ij = a ji ); антисиметрична, ако A T = A ( a ij = a ji, откъдето следва, че a ii = 0); ортогонална, ако AA T = A T A = E ( A T = A 1 ). Еквивалентно условие системата от редовете (стълбовете) на A е ортонормирана база на R n ; Комплексната квадратна матрица A = (a ij ) е от n-ти ред се нарича: ермитова, ако A = A ( a ij = a ji, комплексен аналог на симетрична матрица); антиермитова, ако A = A (комплексен аналог на антисиметрична матрица) унитарна, ако AA = A A = E ( A = A 1, комплексен аналог на ортогонална). Горните шест вида матрици спадат към т. нар. нормални матрици, за които е изпълнено AA = A A.
Диагонализиране на симетрични матрици (ортогонално диагонализируеми матрици) Квадратната матрица A се нарича ортогонално диагонализируема, ако A е подобна на диагонална матрица D чрез ортогонална матрица Q (привежда се в диагонален вид чрез ортогонално преобразувание), т.е. D = Q 1 AQ (D = Q T AQ). Твърдение (Спектрална теорема за симетрични матрици Аугустин Луи Коши) Ако A е симетрична матрица от n-ти ред, то: всички собствени стойности на A са реални; собствените вектори на A, които съответстват на различни собствени стойности, са ортогонални помежду си; A притежава ортонормирана база от собствени вектори, т.е. A е ортогонално диагонализируема.
Унитарно диагонализируеми матрици Най-широкият клас матрици, които имат само реални собствени стойности, са ермитовите матрици. Най-широкият клас унитарно диагонализируеми матрици (A = UDU, U унитарна) са нормалните матрици (Джон фон Нойман).
Диагонализиране на симетрична матрица Пример 4 Първият пример, който ще разгледаме, е на симетрични матрица с прост спектър. Да се диагонализира чрез ортогонално преобразувание симетричната матрица A = 1 2 1. 0 1 1 1 1 2 Характеристичното уравнение е λ 3 4λ 2 + λ + 6 = 0 с корени λ 1 = 3, λ 2 = 2 и λ 3 = 1. Съответни собствени вектори са v 1 = (0, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1) и v 3 = (2, 1, 1). Тъй като трите вектора, отговарят на различни собствени стойности, те са ортогонални помежду си. Нормираме ги, за да получим ортонормирана база от собствени вектори ни A: e 1 = e 3 = v1 v = 1 1 2 (0, 1, 1), e 2 = v2 v = 1 2 3 (1, 1, 1), v3 v = 1 3 6 (2, 1, 1).
Диагонализиране на симетрична матрица Пример 4 Тогава координатите на векторите e = {e 1, e 2, e 3 } формират стълбовете на ортогоналната матрица Q (на прехода от стандартната база на R 3 към ортонормираната база e от собствени вектори на A) Q = 0 1 3 2 6 1 3 1 2 1 6 1 2 1 6 1 3, чрез която симетричната матрица A се привежда в диагоналния си вид D = 3 0 0 0 2 0. 0 0 1 Изпълнено е D = Q 1 AQ (A = QDQ 1 ).
Диагонализиране на симетрична матрица Пример 5 Нека разгледаме и симетрична матрица, притежаваща кратни собствени стойности. Да се диагонализира чрез ортогонално преобразувание симетричната матрица A = 0 2 2 2 0 2. 2 2 0 Характеристичното уравнение е λ 3 12λ 16 = 0 с корени λ 1 = 4 и λ 2 = λ 3 = 2. На λ 1 съответства собственият вектор v 1 = (1, 1, 1). На λ 2 съответства двумерно собствено подпространство с база v 2 = (1, 1, 0) и v 3 = (1, 0, 1). Векторът v 1 е ортогонален на v 2 и v 3, тъй като отговарят на различни собствени стойности. Но векторите v 2 и v 3 не са ортогонални помежду си, тъй като отговарят на една и съща собствена стойност. Следователно, за да получим ортонормирана база от собствени вектори на A, първо трябва да се ортогонализира по метода на Грам-Шмид системата от двата вектора v 2 и v 3.
Диагонализиране на симетрична матрица Пример 5 Нека e 2 = v 2 = (1, 1, 0). Търсим вектор e 3, ортогонален на e 2, във вида e 3 = ce 2 + v 3. Тъй като c = (e2,v3) e 2, то пресмятаме (e 2 2, v 3 ) = 1 и e 2 2 = (e 2, e 2 ) = 2 и намираме e 3 = 1 ( 1 2 e 2 + v 3 = 2, 1 ) 2, 1. Сега трите вектора v 1, v 2 (= e 2 ) и e 3 са ортогонални помежду си. Чрез нормирането им получаваме ортонормирана база от собствени вектори на A: e 1 = e 3 = v1 v = 1 1 3 (1, 1, 1), e 2 = v2 v = 1 2 2 (1, 1, 0), e3 e = 1 3 6 (1, 1, 2). Координатите на горните три вектора формират стълбовете на ортогоналната матрица Q, чрез която A се привежда в диагоналния си вид D, т.е. D = Q 1 AQ, където
Диагонализиране на симетрична матрица Пример 5 Q = 1 2 1 6 1 3 1 3 1 6 1 2 1 3 0 2 6, D = 4 0 0 0 2 0 0 0 2.
Приложение на диагонализирането на матрица Нека A е квадратна матрица от n-ти ред, която е диагонализируема, т.е. A = T DT 1, където D е диагонална матрица. Лесно се установява, че ако D = Тогава λ 1 0... 0 0 λ 2... 0............ 0 0... λ n, то Dk = DD...D }{{} = k пъти A k = (T DT 1 )(T DT 1 )...(T DT 1 ) = T D k T 1. }{{} k пъти λ k 1 0... 0 0 λ k 2... 0............ 0 0... λ k n.
Приложение на диагонализирането на матрица Квадратен корен на матрицата A от тип (n n) е матрица B от тип (n n) такава, че A = B 2 (означаваме B = A 1 2 ). Не всяка квадратна матрица от n-ти ред има квадратен корен, а за някои квадратният корен не е единствен. Ако D е диагонална матрица, то квадратните ѝ корени могат лесно да бъдат намерени чрез коренуване на елементите по главния ѝ диагонал. Например D = ( a 0 0 b ) 1 2 = ( ± a 0 0 ± b ). Ако A е диагонализируема матрица, т.е. A = T DT 1, то от (T D 1 2 T 1 ) 2 = T DT 1 = A следва, че матриците B = T D 1 2 T 1 са квадратните корени на A.
Характеристчно уравнение на квадратна матрица от 2-ри ред Нека ( ) a b A = c d е произволна квадратна матрица от 2-ри ред. Характеристичното уравнение на A има вида λ 2 (a + d)λ + ad bc = 0. (5) Ако A = (a ij ) е квадратна матрица от n-ти ред, под следа tr (A) на A ще разбираме сумата на всички елементи от главния диагонал на A, т.е. tr (A) = a 11 + a 22 +... + a nn. Следователно за горната матрица от 2-ри ред имаме tr (A) = a + d. Освен това знаем, че det(a) = ad bc. Тогава характеристичното уравнение (5) добива вида λ 2 tr (A)λ + det(a) = 0. (6)
Характеристчно уравнение на квадратна матрица от 2-ри ред От формулите на Виет знаем, че ако λ 1 и λ 2 са двата корена на квадратното уравнение (5), т.е. собствените стойности на A, то λ 1 + λ 2 = tr (A), λ 1 λ 2 = det(a). (7) Аналогични формули са в сила и за квадратна матрица от произволен n-ти ред, т.е. ако λ 1, λ 2,..., λ n са собствените стойности на A, то tr (A) = λ 1 + λ 2 +... + λ n, det(a) = λ 1 λ 2...λ n. (8)
Характеристично уравнение на матрица Твърдение (Теорема на Кейли-Хамилтън) Всяка квадратна матрица A от n-ти ред удовлетворява характеристичното си уравнение, т.е. ако λ n + c 1 λ n 1 +... + c n 1 λ + c n = 0 (9) е характеристичното уравнение на A, то e изпълнено A n + c 1 A n 1 +... + c n 1 A + c n E = O, (10) където E и O са съответно единичната и нулевата квадратна матрица от n-ти ред.
Литература Т. Моллов, Ст. Миховски.. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 2008. П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаване на задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 1996. D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications, 5th ed. Pearson, 2016. G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering, 2007. G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016, http://math.mit.edu/ gs/linearalgebra/. H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version), 11th ed. Wiley, 2014. P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer, 2018. T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed. Springer, 2018.