Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична когато ( x + T ) за всяко x R Отначало ще изследваме систематично случая когато T Теорията на редовете на Фурие е свързана с възможността за представяне на една -периодична функция във вид на тригонометричен ред () ( ) x ~ + [ cos x + si x] с някакви подходящи коефициенти K и K Изискването за - периодичност на функцията е съгласувано с вида на тригонометричния ред в дясната страна на () понеже този ред очевидно представлява -периодична функция когато действително представлява някаква функция в познатия смисъл Обикновено една -периодична функция ще предполагаме зададена по някакъв начин в основния интервал [ ) или [ ) което поради периодичността напълно определя стойностите на в останалите точки Разбирането на истинската природа на представянето в ред на Фурие преминава през абстрактната теория на пространствата със скаларно произведение Казва се че линейното пространство H е пространство със скаларно произведение когато между елементите на H е зададено скаларно произведение g при изпълнение на следните определящи свойства ) и единствено когато ) g g 3) + g g + g От изброените свойства веднага следва че скаларното произведение е линейно и по двата си аргумента Елементарен пример за пространство със скаларно произведение е евклидовото пространство R където каноничното скаларното произведение на векторите x ( x x K x ) и y ( y y K y ) се определя по формулата x y x y + x y + + x y T Тук е полезен записът x y y x където векторите x и y са представени чрез своите координати като вектор-стълбове а произведението е по известното правило "ред по стълб" Може да се докаже че всичките скаларни произведения в R се получават по T формулата x y Ax y y Ax където A е някаква симетрична и положително A определена матрица Една симетрична ( ) матрица A се нарича положително T определена когато квадратичната форма ϕ x Ax ij xi x j е положителна ( ) > ϕ x за всеки ненулев вектор x R Съществуват ефективни необходими и достатъчни условия за проверка кога една симетрична матрица е положително определена например критерият на Силвестър според който симетричната матрица A е положително определена тогава и само тогава когато всичките нейни главни минори са положителни i j
> функции може да се въведе канонично скаларно произведение по формулата В пространството C [ ] на непрекъснатите в интервала [ ] g g dx Други скаларни произведения в C [ ] се получават след въвеждане на тегло > w g w g dx w За тегловата функция w обикновено се предполага че е непрекъсната и положителна Теорема (неравенство на Коши) Нека H е пространство със скаларно произведение Тогава е в сила неравенството () g g g при което равенство се достига единствено когато елементите и g са линейно зависими Доказателство Ако някой от елементите или g е нулевият елемент на H то твърдението на теоремата е очевидно затова по-нататък ще предполагаме че и g Да разгледаме функцията ϕ ( t ) + tg + tg Съгласно линейността и симетричността на скаларното произведение имаме ϕ t + t g + t g () g което показва че ϕ ( t) е квадратна функция на променливата t за която съгласно първото свойство е изпълнено ϕ() t за всяко t R при което равенството ( ) ϕ t за някое t е възможно тогава и само тогава когато + t g те когато и g са линейно зависими Една квадратна функция не си сменя знака тогава и само тогава когато дискриминантата е неотрицателна ( g ) 4 g D g което веднага води до верността на неравенството () От друга страна ако и g са линейно независими то ϕ() t > за всяко t R от което следва строго неравенство за дискриминантата и съответно строго неравенство в () Ако пък и g са линейно зависими то веднага се проверява че () се превръща в равенство É Ако H е пространство със скаларно произведение то H може да се разглежда като линейно нормирано пространство с норма която се нарича норма породена от скаларното произведение Едно линейно пространство X се нарича нормирано когато над неговите елементи X е определена функция норма със следните три свойства ) и единствено когато ) За всеки скалар R (или C ) е в сила 3) + g + g за всеки два елемента g X Първото и второто свойство на нормата са очевидни За да докажем третото преобразуваме + g + g + g + g + g g + g + g
Сега от неравенството на Коши получаваме + g + g + ( ) + g g + g + g откъдето след коренуване намираме + g + g Ако в последното е налице равенство то равенство ще има и в неравенството на Коши което означава че и g са линейно зависими Нека H е пространство със скаларно произведение и са някакви линейно независими елементи Да изберем един елемент g H и да разгледаме следната задача за намиране елемента на най-добро приближение за елемента g H в линейното пространство l( K ) { H + + + } относно нормата породена от скаларното произведение Трябва да се определят коефициентите по такъв начин че функцията ( ) + + + g ϕ да достига своя минимум което е все едно функцията ϕ + + + g + + + ( ) g да достига минимум Векторите и g се наричат ортогонални произведение е равно на нула g Твърдение Нека l( ) g когато тяхното скаларно K е елемент на най-добро приближение за g H Тогава разликата g е ортогонална на всеки елемент от g h за всяко h Доказателство Нека е елемент на най-добро приближение Да фиксираме едно произволно h Ще покажем че g h За тази цел да разгледаме функцията () t ( + th) g + th g + th g ψ която преобразуваме във вида ψ t g g + t g h + t h () h По условие () ψ( ) ψ t за всяко t R откъдето намираме (3) g h + t h h t( g h + t h h ) t t R Да допуснем че g h Тогава за всяко достатъчно малко по абсолютна стойност t множителят g h + t h h е различен от нула и има постоянен знак равен на знака на g h Последното показва че произведението t ( g h + t h h ) си сменя знака когато t преминава през нулата което противоречи на неравенството (3) следователно g h É Условието g h за всяко h всъщност е еквивалентно на условията g за всяко K което определя следната система линейни 3
уравнения за коефициентите + + + (4) + + + + + + + + + Детерминантата на тази система Γ ( ) K M M на елемента на най-добро приближение O g g g M се нарича детерминанта на Грам Твърдение Детерминантата на Грам Γ ( K ) е равна на нула тогава и само тогава когато елементите които я пораждат са линейно зависими Доказателство Нека Γ( K ) Тогава между редовете на детерминантата съществува линейна зависимост с коефициенти поне един от които е различен от нула Като умножим първия ред с втория ред с и тн и съберем почленно ще получим нулев ред те за всяко j K j След като умножим равенствата със съответното те j и отново съберем намираме което означава линейна зависимост за елементите Да предположим сега че елементите са линейно зависими което означава че с коефициенти отново първия ред с поне един от които е различен от нула Като умножим и тн и съберем почленно на мястото на втория ред с последния ред ще получим детерминанта с нулев ред Γ M M M O ( K ) Твърдение показва че детерминантата на системата (4) е различна от нула понеже елементите по условие са линейно независими следователно системата (4) притежава единствено решение което по необходимост се явява търсения елемент на най-добро приближение за g От казаното дотук в частност следва верността на следната É 4
Теорема (теорема за проекцията) Елементът l( ) явява елемент на най-добро приближение за разликата следователно K се g H тогава и само тогава когато g е ортогонална на всеки елемент от g h за всяко h + + + е елемент на най-добро приближение за g точно когато коефициентите са решение на линейната система (4) É Последната теорема решава по принцип въпроса за намиране елемента на найдобро приближение Практиката обаче показва че системата (4) се явява трудна за решаване от изчислителна гледна точка понеже даже в най-прости случаи нейната детерминанта се получава число много близко до нула Тази трудност се преодолява чрез използването на ортогонални или ортонормирани базиси в Казва се че векторите са ортогонални помежду си когато техните взаимни скаларни произведения са нули i j за i j По условие образуват базис в l( ) K Този базис се нарича ортогонален когато са ортогонални помежду си Базисът се нарича ортонормиран когато е ортогонален и всичките вектори от базиса имат единична дължина за всяко K Ако базисът е ортогонален то системата (4) приема вида g (5) g g която се решава непосредствено Ако пък базисът е ортонормиран то последната система приема възможно най-простия вид g (6) g g Вида на системите (5) и (6) показва убедително предимствата на използването на ортогонални и ортонормирани базиси Ако разполагаме с даден ортогонален базис то веднага можем да намерим ортонормиран базис g g g като нормираме векторите по формулата g K Намирането на ортогонален базис става посредством процеса на ортогонализация по Грам-Шмид Теорема 3 (Грам-Шмид) Нека H е пространство със скаларно произведение и елементите са линейно независими Тогава могат да се намерят вектори g g g които удовлетворяват следните условия ) Векторите g g g са ортогонални помежду си 5
) За всяко K линейната обвивка на векторите съвпада с линейната обвивка на векторите g g g Доказателство Доказателството ще проведем по стъпки Избираме g след което избираме g + g според изискването g g Последното означава че g + g g което позволява да определим търсения коефициент понеже неговият множител g g По нататък избираме g3 3 + 3g + 3g според изискването g 3 g g3 g което дава следните условия за търсените коефициенти 3 g + 3 g g и 3 g + 3 g g Изобщо всеки следващ ортогонален елемент търсим по формулата gm m + m g + mg + + mm gm m 3 K според изискването gm g gm g gm gm при което търсените коефициенти m m m m могат да се определят еднозначно Описаната процедура ни гарантира взаимната ортогоналност на новите елементи g g Разсъждавайки отново стъпка по стъпка можем да проследим и изпълнението на второто изискване за линейните обвивки É Абстрактни редове на Фурие Нека H е пространство със скаларно произведение и нека е някаква ортонормирана система елементи за които i j при i j и i i K Да изберем един елемент H елементът ( ) ( K ) има вида ( ) + + + g Тогава Φ на най-добро приближение за в линейното пространство Φ където числата K се наричат коефициенти на Фурие Съгласно Φ следователно теорема ( ( )) [ Φ ( )] + Φ ( ) [ Φ ( )] + Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) + Φ ( ) Φ ( ) + Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) + Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) + Φ ( ) По този начин доказахме верността на Твърдение 3 (Питагор) За елемента на най-добро приближение ( ) изпълнено равенството ( ) + Φ ( ) Φ É Φ е От друга страна от линейното свойство на скаларното произведение и от ортонормираността на разглежданата система намираме Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) + + + + откъдето с помощта на твърдение 3 получаваме + + + + + 6
(7) + Φ ( ) следователно (8) Сборът от квадратите на коефициентите на Фурие не надвишава квадрата на нормата на разглежданата функция Да предположим че разполагаме с безкрайна система ортонормирани елементи 3 K Съотношенията (7) и (8) са изпълнени при всяко следователно е вярна Теорема 4 (неравенство на Бесел) Нека 3 K е безкрайна ортонормирана система в пространството със скаларно произведение H Тогава за коефициентите на Фурие е в сила неравенството (9) É Особено важен е случаят когато в (9) се достига равенство при всеки елемент H Представянето (7) показва че въпросното равенство се достига тогава и само тогава когато lim Φ ( ) H Последното ни дава основание да разгледаме абстрактния ред () ( ) + + + + Φ породен от елемента H Частичните суми на реда в дясната страна на () са Φ При определени условия тези частични суми притежават граница точно ( ) Нека { } Редицата { } { } е редица елементи от пространството със скаларно произведение H е сходяща и клони към границата когато е сходяща числовата редица те когато за всяко ε > може да се намери такова че < ε при > Редицата { } се нарича фундаментална когато за всяко ε > съществува такова че < ε при всяко > и всяко естествено p + p Както при числовите редици се установява че всяка сходяща редица е фундаментална Не всяко пространство със скаларно произведение обаче притежава обратното свойство че всяка фундаментална редица е сходяща Ако пространството със скаларно произведение H е такова че всяка фундаментална редица е сходяща те да съществува елемент H който се явява граница на тази редица то H се нарича хилбертово пространство C на непрекъснатите в за всяка фундаментална редица { } Например описаното по-горе пространство [ ] интервала [ ] функции със скаларно произведение () g g dx не представлява хилбертово пространство Породена от скаларното произведение () норма има вида 7
dx C може да се допълни със специален клас интегруеми (в смисъл на Лебег) функции така че новото допълнено пространство вече От друга страна пространството [ ] да бъде хилбертово Това пространство се бележи с [ ] Пространството [ ] съдържа всичките непрекъснати над интервала [ ] функции всичките функции интегруеми по Риман в интервала [ ] както и всичките функции чиито квадрат е интегруем в собствен или несобствен смисъл в [ ] Това пространство обаче съдържа и други по-сложно устроени функции чиято характеризация излиза далече извън рамките на настоящото изложение По-нататък когато избираме някаква функция от [ ] ще имаме пред вид най-вече частния случай на функция която е интегруема в смисъл на Риман понеже това е достатъчно за широк кръг приложения Твърдение 4 Нека H е хилбертово пространство и 3 K е безкрайна ортонормирана система Тогава абстрактният ред () е сходящ Доказателство Сходимостта на въпросният ред означава че редицата от частичните суми Φ ( ) е сходяща Понеже H е хилбертово твърдението ще бъде доказано ако успеем да покажем че тази редица е фундаментална От друга страна лесно се проверява че Φ+ p ( ) Φ ( ) + + + + + Сега фундаменталността на редицата { ( )} + p неравенството на Бесел) числовият ред Φ следва от факта че (съгласно е сходящ É Според последното твърдение редът () винаги определя някакъв елемент Φ ( ) от хилбертовото пространство H Определение Нека H е хилбертово пространство и 3 K е образуват базис в H безкрайна ортонормирана система Казва се че елементите { } когато за всеки елемент H е изпълнено Φ ( ) В този случай изразът в дясната страна на () се нарича абстрактен ред на Фурие за елемента а самият елемент се представя чрез своя ред на Фурие + + + + É Описаното по-горе пространство [ ] притежава ортонормирани базиси за които ще стане дума по нататък (В общия случай не всяко хилбертово пространство притежава ортонормиран базис в смисъла на определение ) Теорема 5 (равенство на Парсевал) Нека { } е ортонормиран базис в хилбертовото пространство H Тогава за всяко H е изпълнено равенството () É 8
Доказателство Доказателството следва веднага от представянето (7) след граничен преход при É Редът на Фурие определя по единствен начин функцията която го поражда Ако и g имат един и същ ред на Фурие то g следователно и g съвпадат като елементи на H 3 Тригонометрични редове на Фурие Да разгледаме хилбертовото със скаларно произведение пространство [ ] g g dx Непосредствено се проверява че функциите ( ) c x c cos x s si x K образуват ортонормирана система От ортогоналност лесно се извежда и тяхната линейна независимост Може да се докаже че тези функции образуват ортонормиран базис в [ ] Да означим с линейната обвивка на c c и s K Пространството се състои от всичките тригонометрични полиноми от ред ( ) ( ) ( ) + [ ( ) + ( )] T x T x c x c x s x Тук пространството има размерност + колкото е броят на образуващите го базисни функции Тази особена индексация е продиктувана главно от съображения за удобство при работа с тригонометричните функции Нека е -периодична функция която предполагаме интегруема (или с интегруем квадрат) в интервала [ ] Разсъждавайки както в предишния раздел получаваме че елементът на найдобро приближение за функцията над пространството има вида (3) τ c + [ c + s ] където за коефициентите на Фурие са в сила формулите () t dt () t cos tdt () t si tdt K Замествайки във формулата (3) за τ намираме следното представяне (4) ( ) () () () τ + x t dt + t costdt cosx t si tdt si x При получаваме представянето на функцията в тригонометричен ред на Фурие (5) ~ τ () t dt + () + () t cos tdt cos x t si tdt si x Представянето посредством формулата (5) означава преди всичко че и τ са равни в смисъла на нормата породена от скаларното произведение те [ τ ] dx 9
което обаче в общия случай не означава че функциите и τ са равни навсякъде В този случай се казва че средно-квадратичното разстояние между и τ е равно на нула Функцията τ се явява елемент на най-добро приближение за над пространството следователно за всеки тригонометричен полином T от ред е изпълнено [ τ ] dx [ T ] dx Равенството на Парсевал в този случай има вида () () () t dt + + () t cos tdt t si tdt t dt Равенството между дадена x и нейния ред на Фурие -периодична функция ( ) като елементи на пространството [ ] те фактът че средно-квадратичното разстояние между тях е равно на нула се оказва напълно достатъчен в различните приложения (при определени условия свързани с естеството на математическия модел) функцията да бъде замествана с нейния ред на Фурие В практически план даже е достатъчно да се представи приблизително чрез някоя частична сума τ на реда на Фурие при подходящо голямо за конкретната цел По-нататък ще се занимаем специално с въпроса за сходимостта на реда на Фурие в отделни точки Този въпрос се оказва значително по-труден отколкото описаната в тази лекция -теория на редовете на Фурие От друга страна -теорията има висока степен на абстрактност и развитите в нея общи резултати се прилагат по същия начин в други ситуации в които базисните функции вече не са тригонометрични Редът на Фурие определя по единствен начин функцията която го поражда Ако и g съвпадат като елементи на [ ] g имат един и същ ред на Фурие то g следователно и което всъщност означава че средноквадратичното разстояние между тях е равно на нула [ g ] dx В частност ако и g са непрекъснати то g От исторически съображения редът на Фурие за функцията във вида (6) + ( cos x + si x) където коефициентите се пресмятат по еднотипните формули (7) cos xdx K (8) si xdx K Например да намерим реда на Фурие на при x < По формулите (7) и (8) пресмятаме която x се записва -периодичната функцията за
cos x xdx K si + x xdx K ( ) следователно редът на Фурие има вида (9) ( ) ( ) ( ) + x ~ τ x si x което може да се запише x si x si 3x si 4x si 5x ~ si x + + x ( ) 3 4 5 Графиката функцията и на частичната сума на реда на Фурие за 3 е показана на рис 3 3 Рис При 7 получаваме следната графика (рис ) 3 3 Рис При получаваме следната графика (рис 3) 3 3 Рис 3 Този пример илюстрира начина по който в типичния случай редът на Фурие клони към функцията която го поражда При x ± ± имаме τ( x ) следователно в тези точни редът не се схожда към стойностите на Да разгледаме сега -периодичната функцията x < По формулите (7) и (8) пресмятаме за която ( ) x x при
4 x cos xdx ( ) K 3 x x dx 3 si x xdx K следователно редът на Фурие има вида () ( ) ( ) ( ) x ~ τ x + 4 cosx 3 което може да се запише x cosx cos3x cos4x cos5x () ~ cos x + + + x [ ] 4 4 9 6 5 Графиката функцията и на частичната сума на реда на Фурие за 3 е показана на рис 4 3 3 3 Рис 4 При 7 получаваме следната графика (рис 5) 3 3 Рис 5 В този случай (още за 7 ) графиките на функцията и частичната сума τ x почти не се различават Тук всъщност редът на Фурие клони равномерно към 7( ) функцията Ако в () заместим x ще получим известното равенство + + + + + + 6 4 9 5 4 Комплексни пространства със скаларно произведение Дотук разглеждахме основно линейни пространства за които скаларите са реални числа Когато полето на скаларите представлява полето на комплексните числа C то линейното пространство се нарича комплексно В много случаи работата с комплексни числа улеснява изграждането на обща теория Скаларното произведение g в комплексно линейно
пространство има някои особености Смяната местата на двата скаларни множителя води до комплексно спрягане на произведението g g Например в комплексното линейно пространство C на векторите z ( z z K z ) с комплексни елементи каноничното скаларно произведение се въвежда чрез формулата z w z w + z w + + z w C ;C на непрекъснатите комплексни функции В пространството ([ ] ) определени в интервала [ ] u + iv където u и реалната и имагинерната част на каноничното скаларно произведение се дава от v са непрекъснати реални функции които представляват съответно g g dx Комплексно линейно пространство със скаларно произведение което е пълно относно нормата породена от скаларното произведение се нарича ермитово пространство Например C ;C не е ермитово Пространството ([ ] ;C) интервала [ ] за елементите на [ ] C е ермитово докато ([ ] ) на комплексните функции със сумируем квадрат в представлява вече ермитово пространство но както вече отбелязахме изчерпателното описание на елементите на ([ ] ;C) изисква по-сложна теория на определения интеграл 3