Авторска справка за приносния характер на трудовете Леда Минкова Основните приноси в работите са върху: Разпределения върху Марковска верига Въведен е един нов клас вероятностни разпределения, свързани с редица от корелирани Бернулиеви опити, които образуват хомогенна Марковска верига. Първо се дефинира геометрично разпределение върху веригата, което се означава с IGe и разширение на свойството отсъствие на памет. След това се дефинират две отрицателно биномни разпределения. Едното се нарича INB и е сума от r независими IGe разпределени случайни величини. В този случай веригата се прекъсва. Второто отрицателно биномно разпределение е за случайната величина равна на броя на неуспехите до поява на r успеха. И за двете разпределения са получени формули за вероятностите, рекурентни формули и гранични разпределения при r и π 1. При прекъсната Марковска верига, граничното разпределение е разпределението на Пойа - Аепли. Оказва се, че разпределенията, свързани с прекъсната Марковска верига могат да се представят като случайни суми от геометрично разпределени случайни величини. Параметърът на геометричното разпределение съвпада с корелационния коефициент между две съседни събития от веригата. Разпределенията от този клас са наречени Inflated-parameter power series distributions, означени с IGPSD. 1
2 Класът се допълва с I - биномното разпределение, което е биномна сума от геометрично разпределени случайни величини и Логаритмичното разпределение с инфлационен параметър (ILS) - логаритмична сума от геометрични случайни величини. Показана е връзката между разпределенията INB и ILS. Получени са рекурентни и експлицитни формули за вероятностите на разпределенията. Получена е характеризация на геометричното разпределение върху Марковска верига. Тези разпределения са въведени в [14], [15] и [17], доразвити са в [2] и [4] и са дадени в Глава 2 на [23]. Разпределения от ред k Работата [22] съдържа някои свойства на Поасоновото разпределение от ред k. Разпределението на Пойа - Аепли от ред k е дефинирано в [8] и е дадено в Глава 3 на [23]. Това разпределение допълва едно разширение на множеството на сложните GPSDs. Разпределенията от ред k са дискретни разпределения, при които усложняващото разпределение е дискретно, дефинирано върху k точки. При разпределението на Пойа-Аепли, усложняващото разпределение е отрязано геометрично разпределение. Изведени са рекурентни и експлицитни формули за вероятностите. Разпределението като сложно Поасоново разпределение е анализирано и в работата [11]. Разпределенията върху Марковска верига с изброимо много състояния са въведени в работите [18], [19], [20] и [21] и са дадени в Глава 4 на [24]. Разглежда се хомогенна Марковска верига, при която едно от състоянията се нарича успех, а останалите са неуспехи. Върху тази верига е дефинирано геометрично разпределение от ред k. Намерени са пораждащите функции на броя на успехите, броя на неуспехите и броя на проведените опити до поява на k последователни успехи. Намерено е съвместното разпределение на броя на успехите и броя на неуспехите.
3 След това се дискутират проблемите за времето на чакане до поява на първото събитие и последното събитие. Случайните процеси, съответстващи на IGPSD, наречени процеси с инфлационен параметър, са дефинирани в работите [5], [7], [9], [12] и [16] и са дадени в Глава 4 на [23]. Свойството отсъствие на памет на геометричното разпределение води до някои хубави свойства на тези процеси. Процесът на Пойа - Аепли се оказва стационарен процес на възстановяване. Дадени са общо три дефиниции на процеса на Пойа-Аепли и е доказана еквивалентността им. Получени са три характеризации на процеса. Изведени са основни свойства на INB процес и IBi процес. В работата [6] е въведен процес на Пойа-Аепли от ред k. Първата дефиниция е като сложен Поасонов процес с отрязано геометрично усложняващо разпределение. Втората дефиниция е като процес на раждане. Модели на риск, при които дефинираните вече процеси са използвани като броящи процеси са публикувани в [9], [10], [12] и [13] и в Глава 5 на [23]. Подробно е разгледан Пойа - Аепли модел на риск, [12]. Изведени са диференциални уравнения за вероятността за нефалит и за вероятността за фалит. Намерено е решението и е получена формулата на Полачек - Хинчин за вероятността за фалит. Получени са апроксимация на Крамер - Лундберг и мартингална апроксимация. Разглежда се частния случай на експоненциално разпределени искове. Получените оценки за вероятността за фалит са сравнени с тези при класическия модел на риск. Мартингалната апроксимация и проблемът за презастраховане са разгледани в [13] и [10]. Сложният процес на раждане е дефиниран в [9]. Получени са диференциални уравнения за съвместното разпределение на времето до фалит и дефицита в момента на фалит и за вероятността за фалит. Дадени са
4 частните случаи на процес на Пойа - Аепли, I - Пойа процес и I - Биномен процес. В работата [6] се разглежда Пойа - Аепли модел на риск от ред k. Предимството на този модел е в интерпретацията на броящия процес. Направени са симулации, с които се оценява вероятността за фалит при екпоненциални, Гама и Вайбул разпредлени искове. Анализира се влиянието на параметрите върху вероятността за фалит. Двумерното разпределение на Пойа-Аепли е изведено в работата [3] и Глава 6 на [23]. Приложен е т.н. trivariate reduction method за конструиране на двумерно разпределение. Получени са формули за вероятностите, рекурентни формули, пораждащата функция на вероятностите на опашките, на маргиналните разпределения. Дадени са два метода на моментите за оценка на параметрите и са приложени върху числов пример. Сложните претеглени Поасонови разпределения са дефинирани в [1] и в Глава 7 на [23]. Това са сложни разпределения, при които броящото разпределение е претеглено Поасоново разпределение. Дадени са примери с различни теглови функции. В случай на геометрично усложняващо разпределение е показано, че всички разпределения могат да се сравняват с разпределението на Пойа-Аепли. За пръв път е въведен индекс I r, r = 2, 3,..., равен на частното между съответните факториални и начални моменти. При r = 2, този индекс е еквивалентен на известния индекс на Фишер за оценяване на свръхдисперсия. Получените в тази работа разпределения са оценени както спрямо индекса на Фишер, така и спрямо новия индекс.
Литература 5 Литература [1] Minkova L. D. and N. Balakrishnan (2012). Compound weighted Poisson distributions, Metrika, DOI: 10.1007/s00184-012-0403-y, (IF 0.674). [2] Minkova L. D. and Omey E. (2012). A new Markov Binomial distribution, Commun. Statist. - Theory and Methods, (to appaer)(if (2011) 0.274). [3] Minkova L. D. and N. Balakrishnan (2012). On a bivariate Pólya-Aeppli distribution, Commun. Statist. - Theory and Methods, (accepted), (IF (2011) 0.274). [4] Minkova L.D. and Radkov P. (2012). Distributions, related to a Markov chain and Application in Finance, 11 Iranian Statistics Conference (invited paper). [5] Chukova S. and Minkova L.D. (2012). Characterization of the Pólya - Aeppli process, Research Report 12-2, School of Mathematics, Statistics and Operations Research, Victoria University of Wellington, New Zealand, Research Report Series (ISSN: 1174-2011), достъпна на: http://msor.victoria.ac.nz/main/researchreportseries. [6] Chukova S. and Minkova L.D. (2012). Pólya - Aeppli of order k Risk Model, Research Report 12-1, School of Mathematics, Statistics and Operations Research, Victoria University of Wellington, New Zealand, Research Report Series (ISSN: 1174-2011), достъпна на: http://msor.victoria.ac.nz/main/researchreportseries. [7] Minkova L. D. (2011). I - Pólya Process and Applications, Commun. Statist. - Theory and Methods, 40, 2847-2855 (IF (2010) 0.351).
Литература 6 [8] Minkova L. D. (2010). The Pólya - Aeppli distribution of order K, Commun. Statist. - Theory and Methods, 39, 408-415 (IF (2010) 0.351). [9] Minkova L. D.(2010). Compound Birth processes in Risk Models, Proceedings of the 6th Conference in Actuarial Science & Finance on Samos, June 2-6, 2010, available in: www.actuar.aegean.gr/samos2010/proceedings.html [10] Minkova L. D. (2009). Compound Compound Poisson Risk Model, Serdica Math. J., 35, 301-310. [11] Minkova L. D. and Etemadi R. (2008). Compound Poisson Counting Distributions, Math. and Educ. in Math., 226-231. [12] Minkova L. D. (2004). The Polya - Aeppli process and ruin problems, J. Appl. Math. Stoch. Analysis, 3, 221-234. [13] Minkova L. D. (2004). A modified model of risk business, Pliska Stud. Math. Bulgar., 16, 129-135. [14] Minkova L. (2002). A generalization of the classical discrete distributions, Commun. Statist. - Theory and Methods, 31, 871-888 (IF 0.171). [15] Minkova L.D. (2001). A family of compound discrete distributions, Compt. Randue Bulg. Acad. Sci., 54, 9-12. [16] Minkova L.D. (2001). Inflated-parameter modification of the pure birth process, Compt. Randue Bulg. Acad. Sci., 54(11), 17-22. [17] Kolev N., Minkova L.D. and Neytchev P. (2000). Inflated-Parameter Family of Generalized Power Series Distributions and Their Application in Analysis of Overdispersed Insurance Data, ARCH Research Clearing House, 2, 295-320.
Литература 7 [18] Kolev N. and Minkova L. (1999). Run and frequency quotas in a multistate Markov chain, Commun. Statist. - Theory and Methods, 28, 2223-2233, (IF 0.209). [19] Kolev N. and Minkova L. (1999). Quotas on runs of successes and failures in a multi - state Markov chain, Communications in Statistics - Theory and Methods, 28, 2235-2248, (IF 0.209). [20] Kolev N. and Minkova L. D. (1997). Discrete distributions related to success runs of length K in a multi-state Markov chain, Commun. Statist. - Theory and Methods, 26, 1031-1049 (IF 0.194). [21] Kolev N. and Minkova L. D. (1995). On joint distribution of successes and failures related to success runs of length K in homogeneous Markov chain, Compt. Randue Bulg. Acad. Sci., 48, 19-22. [22] Kolev N. and Minkova L. (1986). Poisson distribution of order K and some of its properties, Compt. Randue Bulg. Acad. Sci., 39, 31-33, (IF 0.149). [23] Minkova L. (1912). Distributions in Insurance Risk Models II, Хабилитационен труд, Факултет по математика и информатика, Софийски Университет. [24] Minkova L.D. (2012). Distributions in Insurance Risk Models, Doctor of Science Thesis, Факултет по математика и информатика, Софийски Университет (в процедура).