специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова
Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i са неизвестни (променливи), а a ij = a ji R са коефициенти, се нарича реална квадратична форма (на променливите x 1, x 2,..., x n ). Коефициентите пред неизвестните в (1) формират квадратна матрица n-ти ред A = (a ij ), която поради условието a ij = a ji, т.е. A T = A, е симетрична. Така на всяка квадратична форма на n променливи еднозначно се съпоставя симетрична квадратна матрица от n-ти ред. Обратното също е вярно всяка симетрична матрица A = (a ij ) задава квадратична форма (1). Рангът на A се нарича ранг на квадратичната форма. Ако A е неособена, то квадратичната (1) се нарича неособена.
Квадратична форма на две променливи пример Съгласно (1), квадратична форма на две променливи има вида f(x, y) = a 11 x 2 + a 12 xy + a 21 yx + a 22 y 2 = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2. Нека разгледаме следния пример f(x, y) = 5x 2 + 3xy 2y 2. (2) Симетричната матрица, съответстваща на квадратичната форма (2), е ( ) 5 3 2 A =. 3 2 2 Тъй като rank(a) = 2, то рангът на квадратичната форма (2) е също 2. Тъй като A е неособена (det(a) = 49 4 0), то и формата (2) е неособена.
Матрично задаване на квадратична форма Нека означим x = x 1 x 2... Тогава квадратичната форма (1) може да се зададе в следния матричен вид f(x) = ( a 11 a 12... a 1n x 1 ) x 1 x 2... x n a 21 a 22... a 2n x 2............., a n1 a n2... a nn x n т.е. x n f(x) = x T Ax. (3)
Смяна на променливите на квадратична форма чрез неособено линейно преобразувание Нека в квадратичната форма (3) извършим смяна на променливите, определена от x = P y, (4) където P е неособена квадратна матрица от n-ти ред, а y 1 y 2 y =.. y n Получаваме f(x) = x T Ax = (P y) T A(P y) = y T (P T AP )y = f(y). (5) Следователно относно новите променливи y квадратичната форма (2) се задава чрез матрицата B = P T AP.
Матрицата B = P T AP има същия ранг като A (тъй като P и P T са неособени) и B T = (P T AP ) T = P T A T (P T ) T = P T AP = B, т.е. е симетрична. Така установихме Твърдение При линейната трансформация на променливите (4), определена от неособената матрица P, квадратичната форма (2) с матрица A преминава в квадратична форма с матрица P T AP. Квадратната матрицата B = P T AP, където P е неособена матрица (незадължително ортогонална), се нарича конгруентна на матрицата A. Записваме B = A. Конгруентните матрици имат равни рангове, т.е. образуват подмножество на еквивалентните матрици. Конгруентните матрици имат детерминанти с еднакви знаци. Конгруентността на квадратни матрици е релация на еквивалентност. Ако две матрици A и B са ортогонално подобни, т.е. B = Q 1 AQ = Q T AQ, където Q е ортогонална матрица (Q T = Q 1 ), то A и B са конгруентни.
Каноничен вид на квадратична форма Казваме, че квадратична форма е в каноничен (стандартен) вид, ако съответната ѝ симетрична матрица е диагонална, т.е. f(y 1, y 2,..., y n ) = b 11 y 2 1 + b 22 y 2 2 +... + b rr y 2 r. Броят на ненулевите коефициенти в каноничния вид е равен на ранга на квадратичната форма, т.е. на ранга на матрицата ѝ A (равен на броя на ненулевите собствени стойности на A). Твърдение (Теорема на Лагранж) Всяка квадратична форма над полето K (т.е. с коефициенти от K) може да се приведе в каноничен вид чрез неособено линейно преобразувание (над K) на променливите.
Привеждане на квадратична форма в каноничен вид чрез ортогонално преобразувание на неизвестните Нека разгледаме квадратичната форма (2) със съответна симетрична матрица A. Тъй като A е симетрична, то тя е диагонализируема над R, т.е. съществува ортогонална матрица Q, такава че D = Q T AQ е диагонална. Тогава при извършване на ортогоналната смяна на променливите x = Qy, квадратичната форма (2) приема каноничен вид относно новите променливи y: т.е. f(x) = x T Ax = (Qy) T A(Qy) = y T (Q T AQ)y = y T Dy, f(y) = f(y 1, y 2,..., y n ) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 +... + λ r y 2 r, (6) където λ i (i = 1, 2..., r; rank(a) = r n) са ненулевите собствени стойности на A. Следователно всяка реална квадратична форма може да се приведе в каноничен вид чрез ортогонална трансформация на променливите.
Нека запишем каноничния вид (6) във вида f(y) = µ 1 y 2 1 +... + µ k y 2 k µ k+1 y 2 k+1... µ r y 2 r, (7) където µ i > 0 (i = 1, 2,..., r), като µ i = λ i, ако λ i > 0 (i = 1, 2,..., k) и µ i = λ i, ако λ i < 0 (i = k +1,..., r), т.е. A има k на брой положителни и (r k) на брой отрицателни собствени стойности. Тогава след извършване на неособеното линейно преобразувание на неизвестните z i = µ i y i, i = 1, 2..., r, z j = y j, j = r + 1,..., n, (8) квадратичната форма (7) приема вида f(z 1, z 2,..., z n ) = z 2 1 +... + z 2 k z 2 k+1... z 2 r, (9) който се нарича нормален вид.
Инерция на квадратична форма Инерция на квадратичната форма (3) (или инерция на симетричната матрица A) се нарича наредената тройка числа (p, q, s), където p, q и s са съответно броят на положителните, отрицателните и нулевите собствени стойности на A, броени с техните кратности. Разликата p q се нарича сигнатура на квадратичната форма. Ако rank(a) = r, то r = p + q, r + s = n. Твърдение (Закон за инерцията на квадратични форми) Броят на положителните и броят на отрицателните квадрати в произволен нормален вид, в който се привежда една реална квадратична форма чрез неособено реално линейно преобразувание, не зависи от избора на това преобразувание. Твърдение (Теорема на Силвестър за инерцията) Две симетрични матрици са конгруентни, точно когато имат равни инерции.
Дефинитност на квадратични форми Симетричната матрица A (квадратичната форма f(x) = x T Ax) се нарича: положително дефинитна, ако x T Ax > 0 за всеки вектор x o и x T Ax = 0 само за x = o; отрицателно дефинитна, ако x T Ax < 0 за всеки вектор x o и x T Ax = 0 само за x = o; индефинитна, ако x T Ax приема както положителни, така и отрицателни стойности за x o. Ако f(x) е положително дефинитна, то f(x) е отрицателно дефинитна, затова изучаването на отрицателно дефинитните квадратични форми може да се сведе до изучаването на положително дефинитните.
Дефинитност на квадратични форми критерий със собствени стойности Твърдение Симетричната матрица A е: положително дефинитна, точно когато всички нейни собствени стойности са положителни; отрицателно дефинитна, точно когато всички нейни собствени стойности са отрицателни.
Главни минори на матрица Главен минор от ред k на матрицата A се нарича детерминанта от k-ти ред, в която се пресичат k реда и k стълба на A с равни поредни номера. Водещ главен минор от ред k на A (означаваме D k ) се нарича детерминанта от k-ти ред, получена при пресичането на първите k реда и първите k стълба на A. Нека разгледаме матрицата A = 1 1 1 1 5 1 1 1 5. (10) Водещият главен минор от 1-ви ред на A е елементът a 11 = 1, т.е. D 1 = a 11 = 1. Водещият главен минор от 2-ри ред на A е детерминантата D 2 от първите два реда и стълба на A, т.е. D 2 = 1 1 1 5 = 4. (11) Водещият главен минор от 3-ти ред на A е самата детерминанта на A, т.е. D 3 = det(a) = 16.
Дефинитност на квадратични форми критерий с главни минори Твърдение Симетричната матрица A е: (критерий на Силвестър) положително дефинитна, точно когато всички нейни водещи главни минори са положителни; отрицателно дефинитна, точно когато водещите ѝ главни минори алтернират знаците си, започвайки от отрицателен знак, т.е. D 1 < 0, D 2 > 0, D 3 < 0, D 4 > 0 и т.н. Следователно симетричната матрица A от 3-ти ред, определена от (10), е положително дефинитна, тъй като всичките ѝ водещи главни минори D 1, D 2, D 3 > 0. Собствените стойности на A са: λ 1 = 4, λ 2,3 = 7± 33 2, които също са положителни.
Литература Т. Моллов, Ст. Миховски.. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 2008. П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаване на задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 1996. D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications, 5th ed. Pearson, 2016. G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering, 2007. G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016, http://math.mit.edu/ gs/linearalgebra/. H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version), 11th ed. Wiley, 2014. P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer, 2018. T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed. Springer, 2018.