Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни полиноми f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] множеството k[f 1,..., f m ] = {H(f 1,..., f m H k[y 1,..., y m ]} е затворено относно изваждане и умножение, така че представлява подпръстен на k[x 1,..., x n ]. Казваме, че k[f 1,..., f m ] е подпръстенът на k[x 1,..., x n ], породен от f 1,..., f m над k. Определение 15.1. За произволна крайна матрична група G GL(n, k, операторът на Рейнолдс R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] съпоставя на полином f k[x 1,..., x n ] полинома R G (f(x = 1 f(a 1 x, където е редът на групата G, т.е. броят на елементите в G. Изискването char(k = 0 е необходимо за обратимостта на произволно естествено число N в k. За да докажем някои свойства на оператора на Рейнолдс са необходими още няколко определения. Определение 15.2. Непразното множество M е модул над комутативния пръстен с единица R, ако в M са определени събиране и умножение M M M, (x, y x + y за x, y M R M M, (r, x rx на x M с r R, изпълняващи свойствата: (i (x + y + z = x + (y + z за x, y, z M; (ii x + y = y + x за x, y M; (iii 0 M, така че x + 0 M = 0 M + x = x за x M; (iv за x M ( x M, така че x + ( x = ( x + x = 0 M ; (v (r + sx = rx + sx за r, s R, x M; (vi r(x + y = rx + ry за r R, x, y M; (vii (rsx = r(sx = s(rx за r, s R, x M; (viii 1 R x = x за x M. 67
68 15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА Примери 15.3. (i Всеки комутативен пръстен с единица R е модул над себе си. (ii Ако G GL(n, k е крайна матрична група, то пръстенът k[x 1,..., x n ] на полиномите на x 1,..., x n е модул над подпръстена k[x 1,..., x n ] G на G- инвариантните полиноми. Определение 15.4. Изображението ϕ : M N е хомоморфизъм на R- модула M в R-модула N, ако ( n n ϕ r i x i = r i ϕ(x i за произволни r 1,..., r n R и x 1,..., x n M. Твърдение 15.5. Нека G GL(n, k е крайна матрична група над поле k с char(k = 0, а k[x 1,..., x n ] G е пръстенът на G-инвариантните полиноми. Тогава операторът на Рейнолдс R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] G е хомоморфизъм на k[x 1,..., x n ] G -модули, трансформиращ произволен хомогенен полином от степен d в хомогенен полином от степен d и оставящ на място G-инвариантните полиноми. Доказателство: Първо ще проверим, че произволен полином f k[x 1,..., x n ] се изобразява в G-инвариантен полином R G (f. За целта е достатъчно да отбележим, че за всеки елемент B G е в сила R G (f(b 1 x = 1 f(a 1 B 1 x = 1 B f((ba 1 x = R G (f(x, доколкото множеството {BA A G} се състои от различни елемента на G и съвпада с G. За произволни f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] G и h 1,..., h m k[x 1,..., x n ] пресмятаме непосредствено, че ( m ( R G f i h i = 1 m f i h i (A 1 x = 1 m f i (A 1 xh i (A 1 x = 1 Разменяйки реда на сумиране получаваме ( m [ ] m 1 R G f i h i = f i (x h i (A 1 x = m f i (xh i (A 1 x. m m f i (xr G (h i (x = f i R G (h i. Това доказва, че операторът на Рейнолдс R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] G е хомоморфизъм на k[x 1,..., x n ] G -модули. Нека f = µ =d c µx µ k[x 1,..., x n ] е хомогенен полином от степен d. Пръстенът k[x 1,..., x n ] G съдържа полето k, така че операторът на Рейнолдс R G е в частност, k-линейно изображение. По този начин, R G (f = c µ R G (x µ. µ =d От своя страна, произволен моном x µ от степен µ = d се изобразява в хомогенен полином R G (x µ = 1 (A 1 x µ
15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА 69 от степен d, така че R G (f е хомогенен G-инвариантен полином от степен d. Накрая, ако f k[x 1,..., x n ] G е G-инвариантен полином, то R G (f = 1 f(a 1 x = 1 f(x = f(x остава на място под действие на оператора на Рейнолдс, Q.E.D. Пример 15.6. Нека C 4 GL(2, k е цикличната матрична група от ред 4, породена от ( 0 1 A =. 1 0 Тогава R C4 (x = R C4 (y = 0, R C4 (x 2 = R C4 (y 2 = 1 2 (x2 + y 2, R C4 (xy = 0, R C4 (x 3 = R C4 (x 2 y = R C4 (xy 2 = R C4 (y 3 = 0, R C4 (x 4 = R C4 (y 4 = 1 2 (x4 + y 4, В частност, R C4 (x 3 y = R C4 (xy 3 = 1 2 (x3 y xy 3, R C4 (x 2 y 2 = x 2 y 2. k[x 2 + y 2, x 4 + y 4, x 3 y xy 3 ] k[x, y] C4. За пресмятане на оператора на Рейнолдс R C4 да отбележим, че A 2 = E 2, A 3 = A и A 4 = E 2 = A 0. Следователно R C4 (f(x, y = 1 (f(x, y + f(y, x + f( x, y + f( y, x. 4 Чрез непосредствено заместване получаваме образите на изброените мономи под действие на оператора на Рейнолдс R C4. Вземайки предвид, че R C4 (x a y b k[x, y] C4, получаваме, че е подпръстен на k[x, y] C4. Доколкото S := k[x 2 + y 2, x 4 + y 4, x 3 y xy 3, x 2 y 2 ] x 2 y 2 = 1 2 (x2 + y 2 2 1 2 (x4 + y 4 k[x 2 + y 2, x 4 + y 4 ], имаме S = k[x 2 +y 2, x 4 +y 4, x 3 y xy 3 ]. От следващата Теорема 1 на Еми Ньотер следва, че S = k[x, y] C4. Теорема 11. (Еми Ньотер Нека G GL(n, k е крайна матрична група над поле k с характеристика char(k = 0. Тогава пръстенът на G-инвариантните полиноми k[x 1,..., x n ] G = k[r G (x β 1 β ] се поражда над k от образите R G (x β на мономите x β от степен 1 β под действие на оператора на Рейнолдс R G. В частност, k[x 1,..., x n ] G се поражда от краен брой хомогенни G-инвариантни полиноми над k.
70 15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА Доказателство: Ако f = γ C c γx γ k[x 1,..., x n ] G, то f = R G (f = R G c γ x γ = c γ R G (x γ, γ C γ C доколкото R G стабилизира G-инвариантните полиноми и е k-линейно изображение. Остава да докажем, че R G (x γ k[r G (x α 1 α ] за произволни мономи x γ на x 1,..., x n. С тази цел да отбележим, че за произволно естествено число d и променливи z 1,..., z n е в сила (z 1 +... + z n d = γ 1!... γ n! zγ. (15.1 Наистина, коефициентът γ на 1!...γ n! zγ = z γ1 1... zγn n е равен на броя на начините, по ( които се получава z γ от (z 1 +... + z n d. Множителят z γ1 1 се избира по d = γ1 γ 1!(d γ 1! начина. След избиране на zγ 1 1 изборът на zγ 2 2 се осъществява ( d γ1 (d γ по = 1! γ γ 2 2!(d γ 1 γ 2! начина. Продължаваме аналогично по-нататък, ( като избираме z γ n 1 d n 1 по γ1... γ n 2 = (d γ 1... γ n 2! γ γ n 1 n 1!(d γ 1... γ n 1! начина и ( накрая z γ n d γ1... γ n по n 1 = (d γ 1... γ n 1! γ γ n n!(d γ 1... γ n! = 1 начин. Доколкото изборът на z γi i е независим за всяко 1 i n, мономът z γ се избира по ( ( ( ( d d γ1 d γ1... γ... n 2 d γ1... γ n 1 = γ 1 γ 2 γ n 1 γ n γ 1!... γ n! начина, което доказва (1.1. В частност, γ 1!...γ n! N за всички γ = (γ 1,..., γ n Z 0 с γ = d. Сега да въведем нови променливи u = (u 1,..., u n и да разгледаме матрица A G GL(n, k с вектор-редове α 1,..., α n k 1 n на нейната обратна A 1 G. За x = (x 1,..., x n t и произволно естествено d N прилагаме към равенството (1.1 и получаваме (ua 1 x d = (ua 1 x d = (u 1 α 1 x +... + u n α n x d γ 1!... γ n! (u 1α 1 x γ 1... (u n α n x γ n = γ 1!... γ n! uγ (A 1 x γ. (15.2 Всеки елемент B на G действа върху стълба от променливи x по правилото x B 1 x. При това действие дясната страна на (1.2 се трансформира в γ 1!...γ n! uγ [(BA 1 x] γ и индуцира съответствие (ua 1 x d [u(ba 1 x] d на лявата страна. За G = {A 1,..., A } разглеждаме ua 1 i x с 1 i като променливи и забелязваме, че G действа върху {ua 1 i x 1 i } чрез пермутации. Този факт може да се разглежда като конкретна реализация на Теоремата на Кейли, която установява, че всяка крайна група G е изоморфна на подгрупа на симетричната група S. Сумата на равенствата (1.2 за всички A G дава S d := (ua 1 x d = [ ] γ 1!... γ n! uγ (A 1 x γ =
15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА 71 γ 1!... γ n! uγ R G (x γ. Ако групата G се състои от елементите A 1 = E n, A 2,..., A m, то степенният сбор S d = m (ua 1 i x d е симетрична функция на променливите ua 1 i x за 1 i m. Съгласно Основната Теорема за симетричните полиноми, съществува полином F k[y 1,..., y m ], така че S d = F (σ 1,..., σ m за елементарните симетрични полиноми m σ 1 = ua 1 i x, σ 2 = 1 i 1 <i 2 m (ua 1 i 1 x(ua 1 i 2 x,..................... σ k = (ua 1 x... (ua 1 i k x 1 i 1 <...<i k m..................... σ m = (ua 1 1 x... (ua 1 m x на ua 1 i x. Ще докажем, че за всяко 1 i m съществува полином H i k[y 1,..., y i ], представящ елементарната симетрична функция i 1 σ i = H i (S 1,..., S i чрез степенните сборове S j = m (ua 1 i x j за 1 j i. В резултат ще получим съществуването на полином F k[y 1,..., y m ], така че По-подробно, γ 1!... γ n! uγ R G (x γ = F S d = F (S 1,..., S m. ( β! β 1!... β n! uβ R G (x β 1 β m = F (u β R G (x β 1 β m, вземайки предвид, че коефициентите i! β 1!...β n! се влагат в простото подполе k o Q на полето k с характеристика char(k = 0. Сега сравнявайки коефициентите на u γ от двете страни получаваме, че γ 1!... γ n! R G(x γ = F (R G (x β 1 β m k[r G (x β 1 β m], откъдето R G (x γ k[r G (x β 1 β ]. С други думи, въвеждането на нови променливи u 1,..., u n дава възможност за извеждане на алгебричната зависимост на R G (x γ с γ = d от R G (x β, 1 β, използвайки алгебричната зависимост на степенните сборове S d от S 1,..., S. За изразяването на σ i чрез полиноми на S 1,..., S i да напомним формулите на Нютон S i σ 1 S i 1 +... + ( 1 j σ j S i j +... + ( 1 i 1 σ i 1 S 1 + ( 1 i σ i i = 0 за 1 i m. Над поле k с характеристика char(k = 0, оттук изразяваме σ i = ( 1i+1 [ Si σ 1 S i 1 +... + ( 1 j σ j S i j +... + ( 1 i 1 ] σ i 1 S 1. (15.3 i С индукция по 1 i m от (1.3 получаваме, че σ i = H i (S 1,..., S i за подходящи полиноми H i k[y 1,..., y i ]. Наистина, σ 1 = S 1. Ако допуснем, че σ j = H j (S 1,..., S j за всички 1 j i 1, то от (1.3 следва, че σ i = H i (S 1,..., S i
72 15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА за H i k[y 1,..., y i ]. Това завършва доказателството на Теоремата на Ньотер за крайната породеност на k[x 1,..., x n ] G като пръстен над k, Q.E.D. Използвайки Теоремата на Хилберт за базиса ще докажем по втори начин следната Теорема 12. Пръстенът k[x 1,..., x n ] G на полиномиалните инварианти на крайна матрична група G GL(n, k се поражда от краен брой хомогенни G-инвариантни полиноми над полето k. Доказателство: Нека I k[x 1,..., x n ] е идеалът, породен от хомогенните G-инвариантни полиноми f k[x 1,..., x n ] от обща степен deg(f > 0. Твърдим, че I се поражда от краен брой хомогенни G-инвариантни f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] G от обща степен deg(f i > 0. Наистина, при допускане на противното, за i N и произволни хомогенни G-инвариантни f 1,..., f i k[x 1,..., x n ] G от обща степен deg(f j > 0 за 1 j i, идеалът f 1,..., f i k[x 1,..., x n ], породен от f 1,..., f i се съдържа строго в I. Следователно съществува хомогенен G-инвариантен полином f i+1 I \ f 1,..., f i от обща степен deg(f i+1 > 0, така че идеалът f 1,..., f i, f i+1 k[x 1,..., x n ] съдържа строго f 1,..., f i. По този начин получаваме безкрайна строго растяща редица f 1 f 1, f 2... f 1,..., f i f 1,..., f i, f i+1... от идеали в k[x 1,..., x n ]. Това противоречи на ньотеровостта на k[x 1,..., x n ] и доказва, че I = f 1,..., f m за подходящи хомогенни G-инвариантни полиноми f i с обща степен deg(f i > 0. Ще докажем, че k[x 1,..., x n ] G = k[f 1,..., f m ]. Включването k[f 1,..., f m ] k[x 1,..., x n ] G е ясно. За k[x 1,..., x n ] G k[f 1,..., f m ] трябва да установим, че всеки G-инвариантен полином F k[x 1,..., x n ] G е полином на f 1,..., f m с коефициенти от k. ДоколкотоF = s F (di е сума на своите хомогенни компоненти F (di от степен deg(f (di = d i, достатъчно е да докажем, че всеки хомогенен G-инвариантен полином f k[x 1,..., x n ] G принадлежи на пръстена k[f 1,..., f m ]. Ако deg(f = 0, то f k k[f 1,..., f m ]. Остава да проверим, че всеки хомогенен G-инвариантен полином f k[x 1,..., x n ] G с обща степен deg(f > 0 попада в k[f 1,..., f m ]. Да допуснем противното и да изберем хомогенен G-инвариантен полином f k[f 1,..., f m ] от минимална обща степен deg(f > 0. Съгласно f I съществуват h i k[x 1,..., x n ], изразяващи f във вида m f = f i h i. (15.4 Хомогенността на f и f i гарантира хомогенността на h i. Още повече, общата степен deg(h i = deg(f deg(f i < deg(f за 1 i m. Прилагайки оператора на Рейнолдс към (1.4 получаваме, че ( m m f = R G (f = R G f i h i = f i R G (h i. Хомогенните полиноми R G (h i с обща степен deg(r G (h i = deg(h i < deg(f принадлежат на R[f 1,..., f m ] съгласно избора на f k[f 1,..., f m ] от минимална степен deg(f. Оттук следва, че и f k[f 1,..., f m ]. Противоречието гарантира, че k[x 1,..., x n ] G k[f 1,..., f m ], а оттам и k[x 1,..., x n ] G = k[f 1,..., f m ], Q.E.D.
15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА 73 Твърдение 15.7. Нека > е мономна наредба в k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ], спрямо която всеки моном x α y β с α = n α i > 0 е по-голям от всеки моном y γ. За произволни полиноми f 1,..., f m k[x 1,..., x n ] нека G е базис на Грьобнер на идеала J := f 1 y 1,..., f m y m k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ], а g = f G е остатъкът на f k[x 1,..., x n ] при деление с G в k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. В такъв случай: (i f k[f 1,..., f m ] тогава и само тогава, когато g k[y 1,..., y m ]; (ii ако f k[f 1,..., f m ], то f = g(f 1,..., f m е представяне на f като полином на f 1,..., f m. Доказателство: Нека G = {g 1,..., g t } и A 1,..., A t k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ] са частните при деление на f с G, така че t f = g i A i + g. Ако g k[y 1,..., y m ], то замествайки y j с f j получаваме g i (x 1,..., x n, f 1,..., f m = 0 k[x 1,..., x n ] за всички 1 i t, доколкото m g i = (f s y s h s J = f 1 y 1,..., f m y m. s=1 В резултат, f(x 1,..., x n = g(f 1,..., f m k[f 1,..., f m ] и g(f 1,..., f m е представяне на f като полином на f 1,..., f m. Обратно, нека f = H(f 1,..., f m k[f 1,..., f m ] за някакъв полином H k[y 1,..., y m ]. Да отбележим, че всеки моном f α1 1... fm αm с елемент на идеала J k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. По-точно, f α 1 1... f αm m = [y 1 (y 1 f 1 ] α 1... [y m (y m f m ] αm = се различава от y α1 1... yαm m y α 1 1... yαm m + B 1 (y 1 f 1 +... + B m (y m f m за подходящи B 1,..., B m k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. Следователно стойността на полинома H(y 1,..., y m = α A c αy α1 1... yαm m за y j = f j се представя във вида H(f 1,..., f m = H(y 1,..., y m + C 1 (y 1 f 1 +... + C m (y m f m (15.5 чрез някакви полиноми C 1,..., C m k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. Нека G := G k[y 1,..., y m ] и G = {g 1,..., g s } след евентуална пермутация на полиномите g 1,..., g t от базиса на Грьобнер G на J. Ако H 1,..., H s k[y 1,..., y m ] са частни, а r k[y 1,..., y m ] е остатък при деление на H k[y 1,..., y m ] с G в k[y 1,..., y m ], то замествайки s H(y 1,..., y m = g i (y 1,..., y m H i (y 1,..., y m + r (y 1,..., y m в (1.5 получаваме, че f = H(f 1,..., f m = m s C j (x 1,..., x n, y 1,..., y m (y j f j + g i (y 1,..., y m H i (y 1,..., y m +r (y 1,..., y m. j=1 Достатъчно е да докажем, че r е остатъкът при делението на f k[x 1,..., x n ] с G в k[x 1,..., x n, y 1,..., y m ], доколкото r k[y 1,..., y m ]. Еквивалентно, твърдим, че нито един моном на r не се дели на LT (g j за 1 j t. Ако допуснем, че някакъв старши член LT (g i дели моном b µ y µ на r (y 1,..., y m, то
74 15. КРАЙНА ПОРОДЕНОСТ НА ИНВАРИАНТИТЕ НА КРАЙНА МАТРИЧНА ГРУПА LT (g i не зависи от x 1,..., x n. Следователно g i k[y 1,..., y m ], защото в противен случай g i има моном x α y β с α > 0, който трябва да е по-голям от LT (g i k[y 1,..., y m ] съгласно предположението за >. Но LT (g 1,..., LT (g s не делят мономите на r, защото r е остатъкът при делението на H(y 1,..., y m с G = {g 1,..., g s }. Следователно f G = r k[y 1,..., y m ], Q.E.D. Пример 15.8. Цикличната група C 3 GL(2, k, породена от матрицата ( 0 1 A = 1 1 е от ред 3 и пръстенът на C 3 -инвариантните полиноми на x, y е k[x, y] C 3 = k[x 2 xy + y 2, x 2 y xy 2, x 3 3x 2 y + y 3 ]. Непосредствено се проверява, че A 2 E 2, A 3 = E 2, така че C 3 = A е от ред 3. По Теоремата на Ньотер 1, пръстенът k[x, y] C3 на C 3 -инвариантните полиноми на x и y се поражда от хомогенните полиноми R C3 (x, R C3 (y, R C3 (x 2, R C3 (xy, R C3 (y 2, R C3 (x 3, R C3 (x 2 y, R C3 (xy 2, R C3 (y 3, където операторът на Рейнолдс R C3 (f = 1 [f(x, y + f( y, x y + f( x + y, x] 3 за всеки полином f k[x, y]. Вземайки предвид, че стигаме до извода, че x 3 + y 3 3xy 2 = (x 3 + y 3 3x 2 y + 3(x 2 y 3xy 2, k[x, y] C 3 = k[x 2 xy + y 2, x 2 y xy 2, x 3 3x 2 y + y 3 ].