6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите координати х х х. Ще предполагаме че съществува еднозначно и обратимо съответствие между криволинейните и декартовите координати т.е. декартовите координати се изразяват като известни функции на криволинейните координати 9. И обратно криволинейните координати се изразяват като известни функции на декартовите координати 9. Нека с и да означим единичните базисни вектори съответно на осите х х и х от декартовия базис. Предвид ур. 9. радиус-векторът на произволна точка в пространството може да се представи във вида: 9. Криволинейните координатни линии се дефинират както следва: и линните се описват от радиус-вектора и и и при изменение на и като и и и са фиксирани и линните се описват от радиус-вектора и и и при изменение на и като и и и са фиксирани и линните се описват от радиус-вектора и и и при изменение на и като и и и са фиксирани. Базисните вектори на криволинейната координатна система се дефинират чрез диференциране на ур. 9. по трите координати и и и и : 9.4 Във всяка точка на пространството трите вектора и са тангенциални съответно към и линните и линните и и линните и образуват локален базис наричан още локален репер или ковариантен базис. Произволен вектор векторно поле В дефиниран в дадена точка може да се разложи по компоненти в локалния базис:
64 B B B B B 9.5 Както обикновено подразбираме сумиране по повтарящия се индекс освен ако изрично не е уговорено обратното. Скаларните произведения на трите базисни вектора на криволинейната координатна система и имат вида: 9.6 където използвахме ур. 9.4. Величините = представляват компонентите на т.нар. метричен тензор. Предвид ур. 9. и 9.4 диференциала на радиус-вектора можем да запишем във вида: 9.7 Тогава за дължината на елементарната дъга намираме: 9.8 Oт ур. 9.6 и 9.8 получаваме известната формула: 9.9 9.. Ортогонални координати. Коефициенти на Ламе. Криволинейните координати се наричат ортогонални когато векторите на ковариантния базис са два по два ортогонални т.е. когато е изпълнено съотношението при 9. Дължината на вектор от ковариантния базис се задава с формулата: / / 9. без сумиране по повтарящия се индекс. В общия случай дължините на векторите от ковариантния базис са отлични от единица т.е. можем да имаме. Величините = се наричат коефициенти на Ламе по името на френския математик Gab Laé 795 87. Предвид ур. 9.6 за коефициентите на Ламе получаваме израза: 9. Често пъти при физически приложения е удобно да се работи с безразмерни единични базисни вектори моито се дефинират както следва: 9. без сумиране по повтарящия се индекс. Векторите е е и е образуват т.нар. физически базис който е ортонормиран:
е 9.4 Един вектор В може да се разложи по компоненти както в ковариантния базис така и във физическия базис: където B B е B е B 9.5 B B 9.6 са компонентите на вектора във физическия базис. Предвид ур. 9. и 9. при ортогонални координати уравнението за дължината на елементарната дъга ур. 9.9 добива вида: 9.7 9.. Елементарен паралелепипед: дължини на ръбовете площи на стените и обем. Да разгледаме ортогонална криволинейна координатна система и по специално една малка клетка от тримерната координатна мрежа която има формата на паралелепипед един от върховете на който е разположен в точката с координати и и и а страните му съответствуват на нараствания и и и и на трите криволинейни координати виж Фиг. 9.. Фиг. 9.. Елементарният паралелепипед в ортогонални криволинейни координати. Дължината на ръба който е разположен по протежение на и -линията ще получим като в ур. 9.7 положим и = и = и коренуваме: 9.8 налогично намираме дължините на другите два ръба на елементарния паралелепипед Фиг. 9.: 9.9 65
Площите на страните на елементарния паралелепипед ще означаваме с s s и s по дефиниция s е страната която е перпендикулярна на базисния вектор е =. Предвид ур. 9.8 и 9.9 за площите на тези страни получаваме: s s s 9. Накрая за обема на елементарния паралелепипед намираме: 9. 9.4. Цилиндрични координати. В качеството на пример за често употребявани ортогонални координати първо ще разгледаме цилиндричните координати Фигура 9.. При тези координати на всяка точка P в пространството се съпоставя еднозначно наредена тройка числа: които са свързани с декартовите координати както следва: s 9. Координатните линии по които се изменя представляват хоризонтални лъчи които излизат от вертикалната ос. Координатните линии по които се изменя представляват хоризонтални окръжности. Координатните линии по които се изменя са вертикални прави. Във всяка точка на пространството координатните -линии - линии и -линии се пресичат под прав ъгъл т.е. те са ортогонални една на друга. Координатните повърхности = t. представляват цилиндри с радиус. Координатните повърхности = t. представляват вертикални полуравнини които започват от оста a посоката им се определя от азимуталния ъгъл. Координатните повърхности = t. представляват хоризонтални равнини точките от които имат фиксирана вертикална координата. a b Фиг. 9.. Цилиндрични координати: а координатите b обемен елемент. Предвид ур. 9. и 9. радиус-векторът в цилиндрични координати има вида: 66
67 s 9. С помощта на ур. 9.4 намираме трите базисни вектора: s s 9.4 Лесно може да се провери че е изпълнено условието за ортогоналност = = при =. Диагоналните компоненти на метричния тензор и коефициентите на Ламе са: 9.5 / / / 9.6 Предвид ур. 9.8 9.9 дължините на ръбовете на елементарния паралелепипед са: 9.7 С помощта на ур. 9. за площите на стените намираме: s s s 9.8 Накрая предвид ур. 9. и 9.6 елементарният обем в цилиндрични координати е: 9.9 Пример: Като пример за физическо приложение на цилиндричните координати да разгледаме магнитното поле създадено от вертикален проводник по който тече прав ток със сила I виж Фиг. 9.. Както е известно в този случай векторът на магнитната Фиг. 9.. Вертикален проводник по който тече прав ток със сила I създава магнитно поле чиито силови линии са хоризонтални окръжности. Криволинейните координати които съответствуват на симетрията на тази система са цилиндричните координати чийто локален базис е показан на фигурата.
индукция В е насочен тангенциално към линиите. Затова компонентите на вектора В в декартовия базис и в локалния базис на цилиндричните координати са съответно: B B B B 9. y B С други думи в един произволен декартов базис векторът В има три различни ненулеви компоненти докато в локалния базис на цилиндричните координати има само една ненулева компонента В. Това прави цилиндричните координати по-удобни за описание на магнитното поле в разглеждания случай. Забележете обаче че локалният базис на криволинейната координатна система посоката на базисните вектори се мени от точка в точка. 9.5. Сферични координати. В качеството на втори пример за ортогонални криволинейни координати ще разгледаме сферичните координати Фиг. 9.4. При тях на всяка точка P в пространството се съпоставя еднозначно наредена тройка числа: които са свързани с декартовите координати както следва: s y s s 9. е радиалната координата е полярният ъгъл е азимуталният ъгъл. Координатните линии по които се изменя представляват лъчи които излизат от центъра на сферата. Координатните линии по които се изменят и представляват окръжности които са аналогични съответно на меридианите и паралелите в географията. Координатните - линии -линии и -линии се пресичат под прав ъгъл във всяка точка. Координатните повърхности = t. представляват сфери с радиус. Координатните повърхности = t. са конуси с ъгъл при върха. Координатните повърхности = t. представляват вертикални полуравнини които започват от оста a посоката им се определя от азимуталния ъгъл. Координатните линии представляват пресечници на координатните повърхности. a b Фиг. 9.4. Сферични координати: а координатите b обемен елемент. 68
69 Предвид ур. 9. и 9. радиус-векторът в цилиндрични координати има вида: s s s 9. С помощта на ур. 9.4 намираме трите базисни вектора: s s s s s s s s 9. Mоже да се провери че е изпълнено условието за ортогоналност = = при =. Диагоналните компоненти на метричния тензор и коефициентите на Ламе са: s 9.4 / / / s 9.5 Предвид ур. 9.8 9.9 дължините на страните на елементарния паралелепипед са: s 9.6 С помощта на ур. 9. за площите на стените намираме: s s s s s 9.7 Накрая предвид ур. 9. и 9.5 елементарният обем в сферични координати е: s 9.8 Пример: Сферичните координати намират приложение в географията: надморската височина се изменя по посока на радиалната координата меридианите представляват линии а паралелите са линии. 9.6. Градиент в ортогонални криволинейни координати. Разлагаме вектора където е скаларно поле по компоненти във физическия базис:
7 И така получихме: 9.9 Пример: Предвид ур. 9.5 за градиент в сферични координати получаваме израза: s 9.4 9.7. Производни по обем и по площ. За да получим изразите за дивергенция ротация и лапласиан в криволинейни координати най-напред ще дефинираме понятията производна по обем и производна по площ. За целта ще направим аналогия с едномерния случай. Нека х да е функция дефинирана в околност на точката х върху оста х. Тогава имаме: a а а Където на последната стъпка използвахме теоремата за средните стойности от математическия анализ тук е число в интервала. Като извършим граничния преход получаваме: а 9.4 а b Фиг. 9.5. а Пространствена област която съдържа точка с радиус-вектор. b Област от повърхност в пространството която съдържа точка с радиус-вектор.
В тримерния случай нека да разгледаме функция която е дефинирана в обем в околност на точката с радиус-вектор виж Фиг. 9.5а. Тогава може да се докаже че е в сила съотношение аналогично на ур. 9.4: в т. 9.4 Където при граничния преход обемът се свива в точката. Производната в лявата страна на ур. 9.4 се нарича производна по обем. В двумерния случай да разгледаме функция която е дефинирана върху повърхнинна област която включва точката с радиус-вектор виж Фиг. 9.5b. Тогава може да се докаже че е в сила съотношение аналогично на ур. 9.4 и 9.4: s в т. s 9.4 При граничния преход повърхнинната област се свива в точката. Пoвърхнинният интеграл в ур. 9.4 е от първи род производната в лявата страна на ур. 9.4 се нарича производна по площ. 9.8. Изразяване на дивергенцията и ротацията чрез производни по обем и по площ. Предвид ур. 9.4 за дивергенцията векторното поле получаваме: v v в т. v s 9.44 където при последната стъпка използвахме теоремата на Гаус-Остроградски. налогично за да намерим израз за ротацията ще използваме теоремата на Стокс: C s ot s ot s ot 9.45 7
Където С е контурът ограждащ повърхностния участък а с ot ot сме oзначили проекцията на вектора ot по посока на единичната нормала към повърхността. В крайна сметка с помощта на ур. 9.4 и 9.45 получаваме: ot s ot s ot C C 9.46 9.9. Израз за дивергенцията на векторно поле в ортогонални криволинейни координати. За да получим такъв израз ще използваме ур. 9.44 s v 9.47 s Където = проекцията на вектора по посока на единичната нормала към повърхността. В качеството на обем ще разгледаме елементарния паралелепипед от Фиг. 9.. Последния интеграл в ур. 9.47 ще запишем във вида: s Q Q Q 9.48 където Q Q и Q са потоците на векторното поле през стените на елементарния паралелепипед които са перпендикулярни съответно на единичните базисни вектори е е и е от физическия базис. За да пресметнем Q отчитаме факта че елементарният паралелепипед Фиг. 9. има две стени които са перпендикулярни на базисния бектор е. Това са дясната стена с външна нормала е и лявата стена с външна нормала е. Тогава потокът Q може да се запише във вида: Q s s 9.49 Taка получаваме: Q 9.5 7
7 Изразите за потоците Q и Q могат да се получат чрез циклична смяна на индексите в ур. 9.5: Q Q 9.5 Понеже е елементарен обем за него е в сила ур. 9. т.е.. Тогава заместването на ур. 9.5 9.5 в ур. 9.47 9.48 дава: v Q Q Q 9.5 и окончателно: v 9.5 Както обикновено Â Â и Â са компонентите на вектора във физическия базис. Пример: В частния случай на сферични координати имаме = = = а коефициентите на Ламе са дадени с ур. 9.5. Тогава ур. 9.5 добива вида: s s s s s s v 9.54 налогично с помощта на ур. 9.6 и 9.5 се доказва че в цилиндрични координати имаме: v 9.55 9.. Израз за ротацията на векторно поле в ортогонални криволинейни координати. За да получим такъв израз ще приложим ур. 9.46. ot t t C t C 9.56
Tук използвахме представянето = t където е скаларен елемент дължина а t е векторът на единичната тангента към контура С. За да намерим трите компоненти ot ot и ot в ур. 9.56 ще положим последователно = = и =. Най-напред разглеждаме лявата стена на елементарния паралелепипед която е защрихована на Фиг. 9. и има нормала. Тогава ур. 9.56 добива вида: ot t 9.57 C С е контурът който огражда и са циркулациите на векторното поле по ръбовете които са паралелни съответно на базисните вектори и. Да пресметнем първо т.е циркулацията по задния и предния ръб на защрихованата стена Фиг. 9.: 9.58 Знакът е + за задния ръб за който посоката на обикаляне по контура С съвпада с посоката на базисния вектор докато знакът е за предния ръб за който посоката на обикаляне е обратна на тази на. По-нататък с помощта на ур. 9.9 получаваме: 9.59 налогично да пресметнем т.е циркулацията по горния и долния ръб на защрихованата стена Фиг. 9.: 9.6 Знакът е за горния ръб за който посоката на обикаляне по контура С е обратна на посоката на базисния вектор докато знакът е + за долния ръб за който посоката на обикаляне съвпада с тази на. По-нататък с помощта на ур. 9.9 получаваме: 9.6 Заместваме ур. 9.59 и ур. 9.6 в ур. 9.57 и отчитаме факта че за стената на елементарния паралелепипед имаме = =. В резултат получаваме: 74
75 ot 9.6 Чрез циклична смяна на индексите от ур. 9.9 получаваме и другите две компоненти на ротацията: ot ot 9.6 За декартови координати имаме = = = и тогава ур. 9.6 и 9.6 се свеждат до известните изрази за компонентите на ротацията в декартови координати ур. 7.9. Уравнения 9.6 9.6 могат да се запишат още във формата на детерминанта: ot 9.64 9.. Израз за лапласиана. За да пресметнем лапласиан от скаларното поле т.. = можем в ур. 9.5 да заместим = където се задава от ур. 9.9. Така получаваме: 9.65 За декартови координати имаме = = = и тогава ур. 9.65 се свежда до известния израз за лапласиана в декартови координати ур. 7.9. Като заместим коефициентите на Ламе от ур. 9.6 и 9.5 уравнение 9.65 дава като частни случаи изразите за лапласиана от скалар в цилиндрични и сферични координати: 9.66 s s s 9.67 Чрез извършване на диференцирането се доказва че
76 ψ ψ ψ 9.67a ψ ψ ψ ψ 9.67b Уравнение 9.67b показва че радиалната част от лапласиана в сферични координати може да се представи в две еквивалентни форми като се използва тази която е поудобна при решаването на конкретна задача. Формулите за лапласиан от векторно поле могат да се получат с помощта на ур. 7.47: ot ot a v. За сведение не се искат за изпит по долу са дадени формулите за в цилиндрични координати : 9.68 9.69 9.7 където = се дава от ур. 9.66. Формулите за в сферични координати имат вида: s s s 9.7 s s 9.7 s ct s 9.7 където = се дава от ур. 9.67.