Задача 1. Топче M с маса m =,15 kg, разглеждано като материална точка, се движи в тръбичка, разположена във вертикалната равнина. Топчето започва движението си от положението A със скорост v A, с големина v A = A C = 2,3m/s, и изминава разстоянието до точка D за τ = 1,5s. При движението си в праволинейния участък A, топчето преодолява съпро- va γ β тивлението, създавано от силата на триене при O O 1 плъзгане, с коефициент на триене при плъзгане между топчето и стената на тръбичката µ =,3. Праволинейният участък A сключва с хоризонталната равнина ъгъл = 35. След точка топчето се движи по дъгата D Ŋ Фиг. 1 с радиус =,3m. В тази част от тръбичката триенето се пренебрегва. Да се определи: Скоростта на топчето в точките и D и натискът на топчето върху стената на тръбичката в точка C. Положенията на точките C и D се определят от ъглите β = 7 и γ = 13, измервани от хоризонталния радиус OO 1. Решение: I. Анализ на условието на задачата. Условията на движение на топчето в двете части на тръбичката са различни: участъкът A е праволинеен, а участъкът D Ŋ криволинеен. Освен различията във вида на траекториите, двата участъка се различават и по действащите сили. Движението на топчето по праволинейния участък се извършва под действието на силата на тежестта, нормалната реакция на стената на тръбичката N и силата на триене при плъзгане (тангенциалната реакция на стената на тръбичката) F тр, а на криволинейния участък върху топчето действат само силата на тежестта и нормалната реакция N. При изобразяване на векторите, представящи силите, трябва да се има предвид следното: 1. Силата на тежестта е вертикална сила тя определя вертикалното направление в дадено положение, следователно векторът е перпендикулярен на хоризонталните равнини и прави, а посоката на силата е винаги «надолу» към центъра на Земята; 2. Нормалната реакция е перпендикулярна на оста на тръбичката. Когато тръбичката е с криволинейна ос, нормалната реакция е по главната нормална ос (по радиуса на траекторията, когато движението е по окръжност). Посоката на вектора N предварително не е известна приема се посока, която се уточнява след определянето на проекцията на N ; 3. Силата на триене при плъзгане има посока винаги противоположна на скоростта на точката, т.e. тя лежи на оста на праволинейното движение, а при криволинейно движение на тангенциалната ос. Като анализираме условието на задачата, трябва да обърнем внимание на факта, че е зададено времето за движение от точка A до, но изминатият от топчето път разстоянието A, не е известен. Следователно, за да определим скоростта в точка, можем да използваме основното уравнение на динамиката или теоремата за изменение на количеството на движение в интегралната ѝ форма, но не можем да използваме теоремата за изменение на кинетичната енергия не можем да изчислим работата на действащите върху топчето сили. При движението на топчето по дъгата D, Ŋ отсъствието на триене и фактът, че нормалната реакция не извършва работа, означават, че е в сила законът за запазване на механичната енергия топчето се намира в потенциалното поле на силата на тежестта и за да се определи скоростта в положенията C и D, достатъчно е да се определи кинетичната енергия на топчето в тези положения, разбира се след определяне на скоростта в точка
. За тази цел трябва да се пресметне потенциалната енергия на силата на тежестта. За определяне на натиска, който упражнява топчето върху стената на тръбичката в положението C, ще определим нормалната реакция, действаща върху топчето в това положение тя е противоположна на натиска. За определянето на нормалната реакция не можем да използваме нито теоремата за кинетичната енергия теоремата не «улавя» нормалната реакция, тъй като тя не извършва работа, нито теоремата за количеството на движение не е известен моментът, в който топчето попада в C; освен това възниква и принципна невъзможност за определяне на пълния импулс на нормалната реакция, която зависи от текущата скорост на точката. С други думи, не можем да изчислим пълния импулс на равнодействащата за времето за движение от до C. Единственият начин е проектиране на основното уравнение на динамиката, съставено за движението по дъгата ŊD, върху главната нормална ос към траекторията ( Ŋ D) в положението C. Анализът очертава следния план за работа: 1. Определяме скоростта в точка или чрез основното уравнение на динамиката, или чрез теоремата за изменение на количеството на движение в интегрална форма. 2. Определяме скоростта в C и D чрез закона за запазване на механичната енергия. 3. Определяме нормалната реакция (натиска) в положението C чрез проектиране на основното уравнение на динамиката върху главната нормална ос. II. Определяне на скоростта в точка. Ще определим скоростта на топчето в точка по двата начина. A II 1. Първо ще използваме основното уравнение на динамиката за материална точка. За целта определяме всички сили, действащи върху топчето в произво- N va лен момент от движението му по праволинейния участък. F тр За правилното определяне на силите, действащи на топчето при движението му, трябва да се помни, че силите M са резултат от механичното взаимодействие на телата. В случая: силата на тежестта е резултат от действието на Земята върху топчето (активна сила), а N и F тр са силите, с които тръбичката действа на топчето (реакции). Топчето не си взаимодейства с други тела, следователно Фиг. 2 няма други сили, действащи върху него. Тъй като трябва да определим скоростта на топчето, съставяме основното уравнение на динамиката във вида: y m v (1) = = + N + F тр. A va cos Фиг. 3 F тр M N sin x Полученото уравнение спрямо v(t) е диференциално, от първи ред, с независима променлива времето t. Въвеждаме равнинна правоъгълна координатна система с начало в точка A положението на топчето в началния момент на движението t =. Насочваме оста Ax по траекторията в посока на движението, а Ay перпендикулярно на оста на движението, «нагоре» (Фиг. 3). Тъй като топчето се движи по оста Ax, неговата скорост е перпендикулярна на Ay. Това означава, че v y = и v y =. Големината на силата на тежестта е = mg, а за големината на силата на триене при плъзгане, според закона на Кулон, имаме F тр = µn. Проектираме двете
страни на векторното уравнение (1) върху координатните оси: (1-a) (1-б) Ax : m v x = x = sin F тр = mgsin µn, Ay : m v y = = y = cos +N = mgcos +N. Неизвестните величини в първото уравнение са две: проекцията на скоростта на топчето върху оста Ax v x (t) и нормалната реакция N, а във второто едно нормалната реакция N. От второто уравнение определяме N = mg cos, заместваме в първото, делим двете страни на уравнението на m: и получаваме: (2) m v x = mgsin µmgcos, m v x = mgsin µ mgcos v x = (sin µcos )g = b, b (sin µcos )g, ( «равно по определение»). Полученото диференциално уравнение за v x (t) показва, че ускорението b на топчето е постоянно, µ и g са постоянни величини. Един несложен анализ на израза за ускорението показва, че в съответствие с принципа за независимостта на действието на силите (принципа за суперпозицията), в ускорението имат принос две сили: силата на тежестта чрез компонентата sin, действаща по оста на движението и по посока на движението, и силата на триене при плъзгане F тр = µn, също действаща по оста на движението, и винаги в посока, обратна на движението. Ускорението, съответстващо на първата сила в случая е «положително» g sin и увеличава големината на скоростта, а ускорението, съответстващо на силата на триене е «отрицателно» µgcos и води до намаляване на големината на скоростта, има спирачно действие. Как ще се промени ускорението, ако: 1. топчето се движи по хоризонтална ос; 2.топчето се движи нагоре по наклона? За да определим закона за изменение на скоростта, трябва да решим полученото уравнение при начални условия (началната скорост v A е насочена по положителната посока на оста Ax, следователно проекцията ѝ върху оста е положителна, равна на v A ): (*) t = : v x () = v A,x = v A. Ще направим подробно описание на решаването, за да се изяснят всички негови междинни елементи. Първо ще представим уравнението във вида v x = b dv x dt = b, след което умножаваме двете му страни с dt: dv x dt dt = bdt dv x (2-а) dt dt = bdt dv x = bdt. Следващата стъпка е интегрирането на двете страни на уравнението. Интегрирането може да се направи по два начина. А. Чрез неопределени интеграли. Лявата страна се интегрира по v x, а дясната по t. При интегрирането, в двете страни се появяват неопределени интеграционни константи C и C : dv x = bdt v x +C = bt+c v x = bt+c C. Вижда се, че v x (t) зависи не от двете константи поотделно, а от тяхната разлика, която също ще бъде константа. Ето защо, ще означим разликата на двете константи:c C C,
при което общото решение за скоростта на топчето като функция на времето t приема вида: (**) v x (t) = bt+c, което показва, че под действието на тези сили скоростта на топчето ще се изменя правопропорционално на времето t, с коефициент на пропорционалност ускорението b = (sin µ cos )g винаги е така, когато ускорението е постоянно. При решаване на задачи, етапите с интеграционните константи C и C обикновено се пропускат и в решението направо се записва константата C. Но тя в никакъв случай не трябва да се пропуска! Определянето на константата C става чрез началните условия (*). От (**) се вижда, че C е равна на v x (t) при t =, т.e. механичният смисъл на интеграционната константа в случая е, че тя е началната скорост v A : v x () = b +C = C = v A. И тогава решението за скоростта на топчето приема вида: (3) v x (t) = bt+v A = (sin µcos )gt+v A. Скоростта на топчето в края на праволинейния участък и в началото на криволинейния точка, ще получим, като заместим в горната формула момента от време t, в който топчето достига точка : t = τ: (3-а) v = v x (τ) = (sin µcos )gτ+v A. Заместваме числените стойности от условието на задачата: (3-б) v x (t) = (sin µcos )gt+v A = (sin35,3cos35 )9,81t+2,3 = 3,216t+2,3. v = v x (1,5) = 3,216 1,5 +2,3 = 7,124m/s. Б. Чрез определени интеграли. При интегрирането с определени интеграли не се появяват интеграционни константи, а началните условия се отчитат чрез границите на интегралите и естествено, тези граници трябва да са съгласувани. Тръгваме от полученото по-рано уравнение (2-а): dv x = bdt. И тук ще интегрираме поотделно двете страни на уравнението дясната по времето, а лявата по скоростта v x. Съгласуването се изразява в съответствието на долните и горните граници за двете величини долната граница на левия определен интеграл ще бъде началната скорост v A, а на десния началният момент t = ; горните граници ще бъдат скоростта в произволна точка между A и v x (t) за левия интеграл и съответстващият момент t за десния. В частност това могат да бъдат скоростта в точка v и моментът, съответстващ на тази скорост, t = τ. (3-в) v x(t) v A dv x = t bdt v x (t) v A = b(t ) = bt = (sin µcos )gt, откъдето веднага се получава (3), след което изчисленията се правят по същия начин, както по-горе. II 2. За да определим скоростта в точка, сега ще използваме теоремата за изменение на количеството на движение в нейната интегрална форма теоремата за
импулсите. В конкретните условия на задачата движение по праволинейния участък от точка A до точка, в интервала от време [, τ], съставяме векторното уравнение, изразяващо теоремата: q q A = S,τ. (4) В това уравнение векторът q = m v е количеството на движение на топчето в точка, векторът q A = m v A е количеството на движение на топчето в точка A, а векторът S,τ е пълния импулс на равнодействащата на силите, действащи върху топчето, за интервала от време [, τ]: (4-а) τ S,τ dt = при което уравнението (4) приема вида (4-б) m v m v A = ( + N + F тр) dt, ( + N + F тр) dt. y A m v A va F тр M N A m v A va cos F тр M N sin m v v m v v x a) б) Фиг. 4 На Фиг. 4a) са показани действащите върху топчето сили и количествата на движение в началния и в крайния момент на интервала [, τ]. Въвеждаме познатата ни от предното решение координатна система Axy. Тъй като топчето се движи праволинейно по оста Ax, направлението и посоката на скоростта му във всеки момент са по оста в положителната ѝ посока, следователно v A,x = v A иv,x = v, а v A,y = v,y =. Точка е по-особена тя е свързваща два вида траектории, праволинейна и криволинейна. Плавното, безударно, преминаване от едната линия на другата, изисква допирателните към двете линии в общата точка да съвпадат. Както ще видим по-нататък, промяната на вида на траекторията (появява се кривина), ще създаде динамични ефекти, свързани с мигновената поява на нормално ускорение на топчето в точка, разглеждана като точка от криволинейната траектория. Следващата стъпка е проектирането на векторното уравнение (4-б) върху координат-
ните оси Фиг. 4б): (4-в) (4-г) Ax : mv,x mv A,x = mv mv A = Ay : mv,y mv A,y = m m = = (mgsin F тр )dt, ( mgcos +N)dt. Неизвестните величини в двете уравнения са три: v, F тр и N. Както знаем, F тр = µn (Закон на Кулон), което ще е третото ни уравнение. Преди да заместим силата на триене в първото уравнение (4-в), определяме от второто уравнение (4-г): N = mg cos. След определянето на нормалната реакция, заместваме в първото уравнение F тр = = µmg cos. Подинтегралната функция [ m(sin µ sin )g] е постоянна величина, следователно може да се изнесе пред интеграла: mv mv A = [m(sin µsin )g]dt = [m(sin µsin )g] dt = [m(sin µsin )g]τ. От верижката от равенства, свързваме първия и последния израз, делим двете страни на равенството на m: и получаваме: (4-д) mv mv A = [m(sin µsin )g]τ, mv mv A = [ m(sin µsin )g]τ v v A = (sin µsin )g τ, v = v A +(sin µsin )g τ. Разбира се, полученият резултат за скоростта на точка, съвпада с получените по-рано резултати (3-а) и (3-в). III. Определяне на скоростта в точките C и D. Както посочихме в Анализа на условието на задачата, за определянето на скоростта в точките и C, ще използваме закона за запазване на механичната енергия: във всеки от момент от движението на една материална точка в потенциално силово поле, механичната ѝ енергия, т.e. сумата от кинетичната T и потенциалната енергия Π, остава една и съща: T +Π = const. Единственото условие да бъде в сила законът за запазване на механичната енергия, е всички действащи сили да бъдат потенциални, т.e. работата им да зависи единствено от началното и крайното положение на приложната точка на силата и да не зависи от формата на траекторията, и от закона за движение по траекторията. В частност, да не зависи от изминатия път. D n O N Фиг. 5 M d r τ Силите, действащи върху топчето, в произволно негово положение в криволинейния участък на тръбичката, са показани на Фиг.5 това са силата на тежестта и нормалната реакция N. По условие, в криволинейния участък няма триене. На фигурата са показани още и естествената координатна система Mτn, и векторът d r елементарното преместване на топчето. Тъй като скоростта v винаги лежи на тангенциалната ос Mτ, то и d r = vdt лежи на тази ос, следователно d r Mn. От своя страна, нормалната реакция N лежи на главната нормална ос Mn. Тогава N d r и елементарната работа на нормална-
та реакция d A( N) във всяко положение ще бъде равна на нула: d A( N) N d r = Ndrcos9 =. Следователно, работа ще извършва само силата на тежестта, а тя е потенциална сила, с други думи на криволинейния участък на тръбичката е валиден законът за запазване на механичната енергия. III 1. Определяне на скоростта в точка D. Механичната енергия на топчето, в положенията и D е една и съща: E = E D T +Π = T D +Π D mv2 +Π 2 = mv2 D (5) +Π 2 D. В това уравнение, скоростта на топчето в точка вече я определихме, следователно, ако определим потенциалната енергия в точките и D, единствената неизвестна величина ще бъде скоростта в точка D. При определянето на потенциалната енергия на полето на силата на тежестта е необходимо да изберем нулева потенциална равнина хоризонталната равнина, в чиито точки потенциалната енергия е равна на нула ( п.п. на ). Изборът е произволен. Нека да приемем за нулева равнина, хоризонталната равнина през точка : Π =. d C За да определим Π D, трябва да определим разстоянието D h d D, измервано по вертикалната ос, от точкаd, до нулевата γ потенциална равнина Фиг.6. От фигурата непосредствено се вижда, че γ 9 β h o D = Ob+Od. O От правоъгълните триъгълници Ob и DOd, определяме b п.п.на Ob = Ocos = cos, Od = ODcos(γ 9 ) = sin γ, b следователно Фиг. 6 h D = (cos +sin γ). h D Точка D се намира над нулевата потенциална равнина, тогава потенциалната енергия в D, ще бъде положителна: Π D = +mgh D = +mg(cos +sin γ). Заместваме Π = и определената в (5-а) Π D в (5): mv 2 +Π 2 = mv2 D 2 откъдето определяме: (5-а) +Π D mv2 2 + = mv2 D 2 mv 2 D = mv2 2 mg(cos +sin γ) v D = +mg(cos +sin γ), v 2 2g(cos +sin γ). Заместваме в получената формула числовите данни от условието и получената по-рано в (3-б) числова стойност за v : (5-б) v D = 7,124 2 2 9,81,3 (cos35 +sin13 ) = 6,436m/s. При получаването на формулите за Π D и за v D, никъде не използвахме конкретната числова стойност на ъгъл γ, определящ положението на точка D. Следователно, получената формула (5-а), може да се разглежда като формула за определяне на скоростта в произволна точка от криволинейната траектория, като γ се замести със значението на ъгъла, съответстващ на точката. Само трябва да се има предвид, че определянето на ъглите, трябва да се прави от хоризонталния радиус (неподвижното рамо) Oo, като при завър-
тането на подвижното рамо срещу посоката на въртене на часовата стрелка ( ), ъгълът е положителен, а при завъртане по часовниковата стрелка ( ) отрицателен. Нека да определим скоростта в някои характерни точки от криволинейната траектория: в точка o : γ = v o = v 2 2g(cos +sin ) = v 2 2gcos, в точка b : γ = 9 v b = v 2 2g( cos +sin( 9 ) ) = v 2 2g(cos 1), в точка d : γ = 9 v d = v 2 2g(cos +sin9 ) = v 2 2g(cos +1), в точка : γ = 9 v = v 2 2g( cos +sin( 9 ) ) = = v 2 2g( cos sin(9 + ) ) = v 2 2g(cos cos ) = v 2 = v. В коя точка от криволинейната траектория, големината на скоростта на топчето е минимална, и в коя максимална? III 2. Определяне на скоростта в точка C. За да определим скоростта в точка C, чието положение се определя от ъгъл β, ще използваме формулата (5-а), и както по-горе, ще заместим γ със значението на съответния ъгъл, в случая β: (5-в) v C = v 2 2g(cos +sin β). След заместване на числовите стойности, получаваме: (5-г) v C = 7,124 2 2 9,81,3 (cos35 +sin7 ) = 6,356m/s. 1. Защо скоростта в точка C е по-малка от скоростта в точка D? 2. Определете скоростта в точка C по начина, по който определихме скоростта в точка D, като използвате друга нулева потенциална равнина, например хоризонтална равнина, минаваща през O, или C, или b, или d. IV. Определяне на натиска в точка C. За да определим натиска на топчето върху стената на тръбичката, ще определим нормалната реакция, т.e. силата, с която тръбичката действа на топчето. Търсената сила на натиска е противоположна на нормалната реакция (по аксиомата за действие и противодействие). Съставяме основното уравнение на динамиката: τ C cos β (6) m a = = + N. D N C O sin β n β Фиг. 7 o Въвеждаме естествената координатна система Mτn в точка C Фиг.7. На фигурата, силата на тежестта е разложена на две взаимно перпендикулярни компоненти по тангенциалната ос и по главната нормална ос. Търсената сила N C лежи на главната нормална ос Mn. Ето защо проектираме двете страни на уравнението върху тази ос: (6-а) Mn : ma n C = sin β+n C.
От тук определяме: (6-б) N C = ma n mgsin β. C Нормалното ускорение на топчето в точка C e: a n = v2 C. Заместваме в (6-б), като вземем C предвид, определената вече скорост в точка C (5-в): (6-в) N C = mv2 C mgsin β = m[v2 2g(cos +sin β)] mgsin β = Заместваме числовите данни: N C = mv2 = mv2 mg(2cos +3sin β) =,15 7,1242,3 mg(2cos +3sin β).,15 9,81 (2cos35 +3sin7 ) = 18,8N. Нормалната реакция N C се получи положителна, което означава, че посоката ѝ, показана на Фиг.7, е правилната. Тогава, натискът на топчето е в противоположната посока от O към C. В израза за нормалната реакция присъства събираемото mv 2 /, съответстващо на нормалното ускорение на топчето, следователно това събираемо има динамична природа дължи се на движението, но се появява само при криволинейно движение. Също както по-рано, разглеждайки формулата (5-а) като обща формула за определянето на скоростта в произволна точка чрез ъгъла γ, определящ положението на точката, така и тук ще разглеждаме (6-в), като обща формула за определяне на нормалната реакция в произволна точка, чието положение се определя от ъгъл β. В частност можем да определим положенията, в които нормалната реакция (натискът) е най-голям и най-малък. Разглеждаме нормалната реакция N, определена по формулата (6-в) (без да се изписва индекса «C»), като функция на ъгъл β и определяме за кои стойности на β тази функция има екстремуми. За целта намираме решенията на уравнението dn dβ = 3mgcos β = β 1 = Ô 2, β 2 = +Ô 2. На β 1 съответства точка b Фиг.6, а на β 2 съответства точка d. Остава да определим вида на екстремумите, което ще направим по знака на втората производна на функцията N(β) за двете значения на ъгъла: Тогава: d 2 N dβ 2 = 3mgsin β = 3mg < при β = β 1 = π 2, N max, +3mg > при β = β 2 = + π 2, N min. N max = N( 9 ) = mv2 mg( 2cos +3sin( 9 ) ) = mv2 =,15 7,1242,3,15 9,81 (2cos35 3) = 27,4N, N min = N(9 ) = mv2 mg(2cos +3sin9 ) = mv2 mg(2cos 3) = mg(2cos +3) =
v(m/s) =,15 7,1242,3,15 9,81 (2cos35 +3) = 18,55N. N(N) 7, 28 5,25 21 3,5 v C v D v v max 14 N N max 1,75 v min 7 N C N min β 1,21 N ab β 9 18 27 ( 9 ) a) 36 9 18 27 ( 9 ) б) 36 Фиг. 8 На фигурата са показани зависимостите между скоростта на топчето a) и нормалната реакция б) и ъгъл β. На фигура б) за сравнение, е показана големината на нормалната реакция в точка, като точка от праволинейния участък: N ab.