ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните коефициенти се нарича отрицателен индекс на инерцията. Съгласно Твърдението доказано по-горе е вярно равенството: положителен индекс + отрицателен индекс = rg (f) (*) Теорема (закон за инерцията). В различните канонични видове на дадена квадратична форма броят на положителните коефициенти е един и същ. Същото е вярно и за броя на отрицателните коефициенти. Доказателство: От (*) следва, че е достатъчно да докажем твърдението само за положителните коефициенти. Нека f(x 1, x 2,..., x n ) е произволна квадратична форма и линейната трансформация x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + + α 1n y n x 2 = α 21 y 1 + α 22 y 2 + + α 2n y n (1) x n = α n1 y 1 + α n2 y 2 + + α nn y n привежда квадратичната форма f в каноничен вид: (#) f(x 1, x 2,..., x n ) (1) f(y 1, y 2,..., y n ) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 + + λ k y 2 k λ k+1y 2 k+1 λ ry 2 r,
Закон за инерцията. 2 Недялко Ненов където r = rg (f) и λ i > 0, k е броят на положителните коефициенти в (#). Нека обратната линейна трансформация на (1) e y 1 = β 11 x 1 + β 12 x 2 + + β 1n x n y 2 = β 21 x 1 + β 22 x 2 + + β 2n x n y n = β n1 x 1 + β n2 x 2 + + β nn x n Разглеждаме линейната трансформация x 1 = c 11 z 1 + c 12 z 2 + + c 1n z n. (2) x 2 = c 21 z 1 + c 22 z 2 + + c 2n z n..............................., (3) x n = c n1 z 1 + c n2 z 2 + + c nn z n която също привежда квадратичната форма f в каноничен вид: (##) f(x 1, x 2,..., x n ) (3) f(z1, z 2,..., z n ) = µ 1 z 2 1 + µ 2 z 2 2 + + µ s z 2 s µ s+1 z 2 s+1 µ r z 2 r, където µ i > 0 и r = rg (f), s е броят на положителните коефициенти в (##). Да разгледаме и обратната линейна трансформация на (3) z 1 = d 11 x 1 + d 12 x 2 + + d 1n x n z 2 = d 21 x 1 + d 22 x 2 + + d 2n x n................................ (4) z n = d n1 x 1 + d n2 x 2 + + d nn x n Трябва да докажем, че k = s. Допускаме, че това не е така и нека например k < s. Разглеждаме равенствата: y 1 = 0,..., y k = 0 и z s+1 = 0,..., z n = 0. Заместваме в левите части на тези равенства техните равни от (2) и (4). По този начин получаваме хомогенна линейна система на променливите x 1, x 2,..., x n. Понеже k < s броят на уравненията в тази система е помалък от n. Следователно тази хомогенна система има ненулево решение x 0 1, x 0 2,..., x 0 n, т. е. някое x 0 i 0. Числата x 0 1, x 0 2,..., x 0 n са избрани така,че като ги заместим в (2) получаваме y 0 1 = 0,..., y 0 k = 0, y 0 k+1,..., y 0 n.
Закон за инерцията. 3 Недялко Ненов Изчисляваме f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) чрез (#) и получаваме f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) = f(0,..., 0, y 0 k+1,..., y 0 n) = λ k+1 (y 0 k+1) 2 λ r (y 0 r) 2. От последното равенство следва f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) 0, защото λ i > 0. (5) Числата x 0 1, x 0 2,..., x 0 n са избрани така, че като ги заместим в (4), получаваме z 0 1, z 0 2,..., z 0 s, z 0 s+1 = 0,..., z 0 n = 0. Изчисляваме f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) чрез (##) и получаваме f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) = f(z 0 1, z 0 2,..., z 0 s, 0,..., 0) = µ 1 (z 0 1) 2 + + µ s (z 0 s) 2. От последното равенство и от (5) следва, че µ 1 (z 0 1) 2 + + µ s (z 0 s) 2 0. Понеже µ i > 0,то z 0 1 = = z 0 s = 0. Освен това z 0 s+1 = 0,..., z 0 n = 0. Като заместим z 0 1 = = z 0 n = 0 в (3) ще получим, че x 0 1 = = x 0 n = 0. Това е противоречие, защото x 0 1, x 0 2,..., x 0 n е ненулево решение на получената по-горе хомогенна система. Полученото противоречие доказва, че k = s. Положително дефинитни квадратични форми Определение. Казваме, че квадратичната форма f(x 1, x 2,..., x n ) е положително дефинитна, ако f(x 1, x 2,..., x n ) 0 за всяко (x 1, x 2,..., x n ) R n и f(x 1, x 2,..., x n ) = 0, само когато x 1 = x 2 = = x n = 0. Теорема. Квадратичната форма f(x 1, x 2,..., x n ) е положително дефинитна, тогава и само тогава, когато положителният индекс на инерцията е равен на броя на променливите, т. е. когато в каноничния вид на тази квадратична форма всичкитe n коефициенти са положителни. Доказателство: Нека f(x 1, x 2,..., x n ) е квадратична форма и линейната трансформация x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + + α 1n y n x 2 = α 21 y 1 + α 22 y 2 + + α 2n y n (1) x n = α n1 y 1 + α n2 y 2 + + α nn y n привежда тази квадратична форма в каноничен вид: (*) f(x 1, x 2,..., x n ) f(y 1, y 2,..., y n ) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 + + λ n y 2 n.
Закон за инерцията. 4 Недялко Ненов Да разгледаме и обратната линейна трансформация y 1 = β 11 x 1 + β 12 x 2 + + β 1n x n y 2 = β 21 x 1 + β 22 x 2 + + β 2n x n (2) y n = β n1 x 1 + β n2 x 2 + + β nn x n I. Да предположим, че в (*) имаме λ i > 0, i = 1,..., n. Нека x 0 1, x 0 2,..., x 0 n са произволни числа и y 0 1, y 0 2,..., y 0 n се получават от (2) при x 1 = x 0 1,..., x n = x 0 n. От (*) получаваме, че f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) = f(y 0 1, y 0 2,..., y 0 n) = λ 1 (y 0 1) 2 + λ 2 (y 0 2) 2 + + λ n (y 0 n) 2, Понеже λ i > 0, i = 1,..., n, то f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) 0. Нека f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) = 0. От f(y 0 1, y 0 2,..., y 0 n) = f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) имаме λ 1 (y 0 1) 2 + λ 2 (y 0 2) 2 + + λ n (y 0 n) 2 = 0. Следователно y 0 1 = y 0 2 = = y 0 n = 0, защото λ i > 0. Заместваме в (1) и получаваме x 0 1 = x 0 2 = = x 0 n = 0. Следователно f е положително дефинитна. II. Нека в (*) някое λ i 0. Разглеждаме y 0 1 = 0,..., y 0 i = 1,..., y 0 n = 0. Заместваме в (1) и получаваме x 0 1 = α 1i,..., x 0 n = α ni. Тъй като линейната трансформация (1) е обратима, то стълбовете на матрицата на тази линейна трансформация не са нулеви. Следователно (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) (0, 0,..., 0). От (*) имаме f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) = f(0,..., 0, 1, 0,..., 0) = λ i 0. Получихме, че квадратичната форма f приема неположителна стойност за ненулеви стойности на променливите, което означава, че тя не е положително дефинитна.
Закон за инерцията. 5 Недялко Ненов Критерий на Силвестър (без доказателство) Нека f(x 1, x 2,..., x n ) е квадратична форма с матрица a 11 a 12... a 1n A = a 21 a 22... a 2n.................... a n1 a n2... a nn Разглеждаме ( ) a a11 a 11 a 12 a 13 1 = a 11, 2 = 12, a 21 a 3 = a 21 a 22 a 23 и т. н. n = det A 22 a 31 a 32 a 3n Квадратичната форма f(x 1, x 2,..., x n ) е положително дефинитна, тогава и само тогава, когато 1 > 0, 2 > 0,..., n > 0. Определение. Kвадратичната форма f(x 1, x 2,..., x n ) се нарича отрицателно дефинитна, ако f(x 1, x 2,..., x n ) 0, за всяко (x 1, x 2,..., x n ) и f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 само когато x 1 = x 2 = = x n = 0. Ясно е, че f е отрицателно дефинитна f е положително дефинитна. Поради това изучаването на отрицателно дефинитните форми е еквивалентно на изучаването на положително дефинитните форми. Накрая на тази лекция ще се върнем отново към дефинирането на скаларно произведение в дадено линейно пространство над R. Нека L е линейно пространство над R, dim L = n и e 1, e 2,..., e n e базис на L. Нека A е матрицата на положително дефинитната квадратична форма f. Разглеждаме x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + + ξ n e n y = µ 1 e 1 + µ 2 e 2 + + µ n e n и дефинираме (x, y) def = (ξ 1 ξ 2... ξ n ) A µ 1 µ 2. µ n
Закон за инерцията. 6 Недялко Ненов Както отбелязахме в Лекция 1 първите три аксиоми на скаларно произведение са изпълнени за произволна симетрична матрица A. При сегашния избор на матрицата A ще докажем, че е изпълнена и четвъртата аксиома. Наистина (x, x) = (ξ 1 ξ 2... ξ n ) A ξ 1 ξ 2. ξ n = f (ξ 1 ξ 2... ξ n ). Понеже f е положително дефинитна, от тези равенства виждаме, че (x, x) 0 и (x, x) = 0 тогава и само тогава, когато ξ 1 = ξ 2 = = ξ n = 0, т. е. когато x = 0.