КИНЕМАТИЧЕН АНАЛИЗ НА ЗЪБНА ПРЕДАВКА ОТ ВОДНИ СЪОРЪЖЕНИЯ Милчо Ташев Резюме: В настоящата статия е представен кинематичен анализ на зъбна предавка използвана във водни съоръжения от миналото. Под зъбна предавка на водно съоръжение в случая се разбират, предавките използвани в задвижванията на воденици, валявици, тепавици, стругове и други подобни. Кинематичният анализ е извършен аналитично, като за целта са използвани елементи от аналитичната геометрия и известни зависимости от механиката и с помощта на CAE система. Сравняват се получените резултати. Резултатите от този анализ са моментната стойност на изходящата ъглова скорост и ъглово ускорение, моментната стойност на предавателното отношение. Ключови думи: аналитичната геометрия, водни съоръжения, скорост, зъбен механизъм. 1. Въведение Първите източници на енергия използвани от човека са слънцето, вятърът и водата. Преобразуването на тези енергии във въртеливо движение се е извършвало с помощта на примитивни турбини и водни колела. Определянето на положенията, скоростите и ускоренията на характерни точки от даден механизъм при известен закон на движение на водещото звено е често срещана инженерна задача. Кинематичната схема на изследвания механизъм е част от сглобена единица осигуряваща движение. При пространствените зъбни механизми преместванията, скоростите, ускоренията и законите на тяхното изменение могат да бъдат определени с използване методите на аналитичната геометрия [1]. Целта на настоящата разработка е: аналитично да се определят моментните стойности на ъглова скорост и ускорение и предавателното отношение; в среда на CAD/CAE система да се определят моментните стойности на ъглова скорост и ускорение; да се сравнят получените резултати. 2. Постановка на задачата За решаване на поставените цели е извършена апроксимацията (с възможност за приложение в среда на CAD/CAE система) на изследвания контурен пространствен зъбен механизъм. Разглежда се само една зацепена двоица от механизма, както е показано на Фиг.1. За моделиране в среда на CAD/CAE система са заложени следните стойности и връзки: R1 = 52 mm; r1 = 7,5 mm; r2 = 7,5 mm; z1 = 5; z2 = 50; R2 = (z2/z1).r1. Обозначените геометрични параметри (R1; R2; r1; r2) са показани на Фиг.2. Със z1 и z2 са обозначени броят на използваните щифтове в двете колела. Апроксимацията се заключава в намаляване броя на зъбите до един (на всяко едно от зъбните колела), като на фигурата двете зъбни колела са идентични. 174
Фиг.1 Апроксимация на зъбен механизъм За апроксимирания контурен пространствен зъбен механизъм ще бъдат определени аналитично и в среда на CAD/CAE система ъгловата скорост и ускорение на изходящото звено. 3. Решение на задачата 3.1.Аналитично определяне на ъгловата скорост и ускорение на изходящото звено За решението на задачата ще използваме методите на аналитичната геометрия. Част от аналитичното решение на задачата е представено в [2] и [3]. Заключава се в аналитично определяне на ъгловата скорост и ускорение на изходящото звено. За целта се използва направенaта помощна геометрична схема, показана на Фиг.2. В [3] е изведена зависимостта (1) даваща връзка между ъглите на завъртане на входящото и изходящото звено. 2 2 R2 R1 cos r1 r2 arctg (1) R 1 cos r1 r2 Диференцираме (1) спрямо φ, и след известно опростяване получаваме зависимостта (2). dψ dφ = R 1 sinφ R 2 2 (R 1 cosφ r 1 r 2 ) 2 (2) Едновременно умножаваме и разделяме лявата част на (2) с dt и получаваме израза (3). След математическа обработка получаваме зависимост (4), която ни дава възможност да определим моментната изходяща ъглова скорост. От израза (3) определяме моментната стойност на предавателното отношение i(φ). dψ.dt dt.dφ = ω 2 ω 1 = R 1 sinφ R 2 2 (R 1 cosφ r 1 r 2 ) 2 (3) R 1 sinφ ω 2 =. ω 1 (4) R 2 2 (R 1 cosφ r 1 r 2 ) 2 175
(5). Диференцираме (2) спрямо φ, и след известно опростяване получаваме зависимостта d 2 ψ dφ 2 = R 1 cosφ R 2 2 (R 1 cosφ r 1 r 2 ) 2 R 1 2 sin 2 φ. (R1cosφ r1 r2) R 2 2 (R 1cosφ r1 r2 )2 R 2 2 (R 1 cosφ r 1 r 2 ) 2 (5) Фиг.2 Помощна геометрична схема От друга страна са в сила зависимостите (6). d 2 ψ = d( ω2(φ) ω1(φ) ) dφ 2 dφ = ψ (φ) (6) При ω1 = const и умножение и делене с dt, опростяване от (6), получаваме зависимостта (7), с която се определя ъгловото ускорение (ξ2) на изходящото звено. ξ 2 (φ) = ω 1 2. ψ (φ) (7) От (7) и (5) получаваме израза (8), който ни дава възможност да определим моментната стойност на изходящото ъглово ускорение ξ2. ξ 2 (φ) = ω 1 2. {[R 1 cosφ R 2 2 (R 1 cosφ r 1 r 2 ) 2 ] [R 2 1 sin 2 (R1cosφ r1 r2) φ. ]} R 2 (R 1cosφ r1 r2 )2 R 2 2 (R 1 cosφ r 1 r 2 ) 2 (8) 176
В среда на Mathcad e изследван един вариант на зъбна предавка от воден механизъм. Зададени са следните стойности: R1 = 52 mm; R2 = (z2/z1).r1; r1 = 7,5 mm; r2 = 7,5 mm; z1 = 5; z2 = 50; ω1 = 0.628 rad.s -1. По получените и дефинирани в средата на Mathcad зависимости (3) и (4), софтуерът определя и визуализира в зададен интервал на изменение на ъгъл φ, моментните стойности на изходящата ъглова скорост и ускорение, и предавателното отношение на механизма. На Фиг.3 са показани и стойността на входящата ъглова скорост и отношението z2/z1. Фиг.3 Графична визуализация в среда на Mathcad Показаната на Фиг.3 графика за изменението на предавателното отношение във функция на ъгъл φ, е за точно определени стойности на R1, R2, r1 и r2. При конструиране, интерес би представлявало влиянието върху изменението на предавателното отношение (при зададени стойности на R1, r1 и r2) и на R2. В среда на Mathcad е дефинирана е функцията на предавателното отношение, като функция на две променливи (φ и R2) - Фиг.4, и е визуализирана - Фиг.5. Фиг.4 Дефиниране в MathCAD Фиг.5 Изменение на предавателното отношение във функция на φ и R2 177
От Фиг.5, може да се направи извода, че е препоръчително е отношението R2/R1 да е по-голямо от 3, при което колебанието на предавателното отношение ще е по-малко. 3.2. Определяне на моментните стойности на ъглова скорост и ускорение в среда на CAD/CAE система За решаване на проблема е използвана CAD/CAE системата SolidWorks. Последователно се извършват следните по вид дейности: изгражда се модел в CAD системата SolidWorks; дефинира се изследването на движението; дефинира се задвижването; дефинира се контактът; дефинират се търсените резултати; стартира се анализът. Получените резултати са в графичен и табличен вид. На Фиг.6 е показано изменението на ъгловата скорост и ускорение във времето. Получените резултати от аналитичните зависимости и симулираното движение на модела съвпадат. Фиг.6 Изменение на ъглова скорост и ускорение от симулацията на движение 4. Изводи Разработен е геометричен модел на апроксимирания контурен пространствен зъбен механизъм. Получени са аналитични зависимости позволяващи изследване на изходящата ъглова скорост и предавателното отношение при коефициент на припокриване единица. Препоръчително е отношението R2/R1 да е по-голямо от 3 (по-малко колебание в предавателното отношение). Получените аналитични резултати са с графична визуализация. 178
Резултатът от симулирано движение на една 3D апроксимация на пространствен зъбен механизъм в среда на CAD/CAE система съвпада с получените аналитични резултати. Литература: 1. Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике, том V Кулачковые и фрикционные механизмы с гибкими звеньями, Москва Наука 1981г. 2. Ташев, М., П. Кацарова, В. Ташев. Кинематичен анализ на зъбен механизъм от водни съоръжения. Journal of the Technical University Sofia Plovdiv branch, Bulgaria Fundamental Sciences and Applications Vol. 19, 2013 3. Ташев, М. Кинематичен анализ на зъбна предавка от водни съоръжения. XХII MНТК АДП-2013 4. Литвин Ф. Л. Проектирование механизмов и деталей приборов, Ленинград Машиностроение 1973. SIMULATION MODELING OF AUTOMATION COMPLEXES IN DISCRETE PRODUCTION ENGINEERING Milcho Tashev Abstract: This paper is describing a kinematic analysis of gear used in water machinery from the past. This type of gear was often used in mill, mills, lathes and other water powered machineries. The kinematic analysis was performed analytically by the use of elements of the analytic geometry and well known mechanical principles. The outcomes of this analysis are dependencies describing the trajectory of the contact point of the gear, the instantaneous value of the output angular velocity and the instantaneous value of the gear ratio. Данни за автора: Милчо Димитров Ташев, доцент доктор инж., катедра МУ при ФМУ, Технически Университет София, филиал Пловдив Р. България, Пловдив, ул. Цанко Дюстабанов 25, тел.: 032-659663, е-mail: m_tashev@abv.bg 179