5.0 ОТНОСИТЕЛНО ДВИЖЕНИЕ ПРИ ЛОСТОВИ МЕХНИЗМИ, ПОЛОЖЕНИЯ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ, КОРИОЛИСОВО УСКОРЕНИЕ, ПРИМЕРИ 5. ПОЗИЦИИ И СКОРОСТИ ПРИ РЕЛТИВНО ДВИЖЕНИЕ. Рзглежд се плъзгщ двоиц съствен от звено (кулис) и звено (плъзгч) (фиг.5.). Нчлото н координтнт систем z се рзполг в център н шрнир н кулист и е неподвижно свързн с нея. Ос е нсочен по посок н относителното движение н двете звен. Към кулист условно е прикрепен неподвижно рвнин α, лежщ в координтнт рвнин. Плъзгчът притежв елемент от шрнир ост, н който минв през точк. В момент от време точк е проекцият н точк върху рвнинт α. z d ( + ) α Фиг. 5. Относителни положения н звен свързни с плъзгщ кинемтичн двоиц Положението н точк се описв векторно със звисимостт = +, (5.) където = се нрич бсолютен рдиус вектор, = е преносен рдиус вектор, = - относителен рдиус вектор. След време + плъзгчът се преместв успоредно н ос, кто точк се придвижв до точк. Нрствнето н релтивното премествне е d = +. (5.) ( ) ( ) Този вектор е успореден н нпрвлениет н относителното движение н двете звен. Диференцирнето н урвнение (5.) води до звисимостт з скоростите при релтивно движение = +, (5.) d d където = се нрич бсолютн скорост н точк, = е преносн скорост, d = е нречен релтивн скорост. Преноснт скорост в кинемтичните здчи обикновено е известн здв се от кинемтичнт вериг, към която е свързн кулист. Релтивнт скорост покзв кк плъзгчът се движи спрямо кулист. Съглсно изводът, нпрвен от урвнение (5.) следв, че скоростт им същт посок н нрствнето d, т.е. тя е успоредн н нпрвлението н относителното премествне.
5. КОРИОЛИСОВО УСКОРЕНИЕ Нек е дден кулис, (фиг. 5.), върху която се придвижв плъзгч с постоянн относителн скорост. Прием се, че кулист се върти с постоянн ъглов скорост. В момент B dl ) () l () D d ϕ C (+) B () E D (+) C (+) б) кулист и плъзгчът с зели положение съответствщо н О, след време кулист се звърт н ъгъл d ϕ, кто плъзгчът попд в положение. Позицият н плъзгч се дефинир чрез звисимостт (5.). Скоростт н точк от плъзгч, се получв след сумирне н преноснт и релтивнт скорост съглсно урвнение (5.). Н фиг. 5. б) с пренесени успоредно с общо нчло релтивните и + з скорости ( ) ( ) положеният съответствщи н моментите от време и +. Тъй кто по условие релтивнт скорост по големин е постоянн, то тя ще се изменя смо по F E в) посок и безкрйно млкото й нрствне Фиг. 5. Кориолисово ускорение d може д бъде изрзено от рвнобедрения триъгълник BC dϕ BC = d = si = dϕ =, (5.4) където е взето предвид, че dϕ dϕ = =. (5.5) Н фиг. 5. в) по същия нчин з двт момент от време с пренесени успоредно с общо нчло преносните скорости и +. З безкрйно млкото нрствне н преноснт скорост по модул е получено () ( ) ( ) = FE= d = ( + ) () = = l + dl l = dl където безкрйно млкото релтивно премествне dl н плъзгч спрямо кулист е, (5.6) dl =. (5.7) Двт вид нрствния н скоростт, получени от формули (5.4) и (5.6) с колинерни, перпендикулярни с н релтивнт скорост и с нсочени в еднкво нпрвление Тов позволяв д се сумирт и след рзделяне н д се пресметне ускорението, което те порждт d + d =. (5.8) = Тов ускорение е нречено кориолисово в чест н френския учен Кориолис (Gspd Coiolis, 795-84). От нчин му н извеждне тук се вижд, че то е следствие от промянт н преноснт скорост по големин и от промянт н релтивнт скорост по посок. Теоремт з кориолисовото ускорение първо е бил формулирн от Eule през 765 г., след тов без д се позоввт н Eule от Guss (Guss Cl Fiedih, 777-855) през 80 г. и Coiolis през 8 г. 4
() () ds (+) d ψ (+) d ϕ () () d ψ d d ) (+) dψ б) (+) в) Фиг. 5.. Кориолисово ускорение при криволинейн кулис кулист с постоянн по големин релтивн скорост Кориолисово ускорение съществув и при относително движение н две звен по окръжност. При мехнизмите (фиг. 5.) ткъв пример е движение н плъзгч в криволинейн кулис. Тзи кулис се върти около неподвижн точк О и е оформен по дъг от окръжност с център ост н ротция точкт О. Н фигурт с покзни две положения н кулист съответствщи н моменти от време и +. Прието е, че в момент плъзгчът се нмир в точк. Кулист се върти с постоянн ъглов скорост. Плъзгчът се преместв спрямо. Вследствие н тези движения след време + кулист се звърт н ъгъл d ϕ, точк се преместв в точк. Н тези две точки съответств ъгъл d ψ. В рвнинт н кулист плъзгчът изминв дъгт = ds = (5.9) Ъгълът, съответствщ н премествнето н плъзгч в неподвижнт рвнин по дъгт е ds dψ = dϕ + = + (5.0) Нрствнето н преноснт скорост се определя с помощт н фиг. 5. б), където с пренесени успоредно преносните скорости з двете положения с общо нчло. От рвнобедрения триъгълник е получено d = d = + =, (5.) ψ + където =, ъгълът d ψ е положен от урвнение (5.0). нлогично от рвнобедрения триъгълник н фиг. 5. в) е нмерено нрствнето н релтивнт скорост d = dψ = +. (5.) От фиг. 5. е видно, че преносното и релтивното нрствне с с еднкви посоки, порди което нрствнето н бсолютнт скорост (тзи н точк от плъзгч ) може д се нмери чрез сумирне н двт резултт от формули (5.) и (5.), т.е. d = + + + = + +. (5.) След деление н изрз (5.) н е получено бсолютното ускорение н точк = + +, (5.4) където =, = с нормлно преносно и нормлно релтивно ускорение, кориолисовото ускорение отново им вид ккто от формул (5.8) =. Тук тов ускорение се дължи н промянт н преноснт и релтивнт скорост по посок, което е следствие от относителното премествне н плъзгч спрямо въртящт се кулис. Докзно е, че кориолисовото ускорение съществув във всички случи н релтивно премествне с въртеливо преносно движение. В общия случй кориолисовото ускорение се дефинир чрез векторното произведение 5
=. (5.5) От тук следв првилото: Посокт н кориолисовото ускорение се определя, кто релтивнт скорост се звърти по посок н ъгловт скорост н 90. Релтивнт скорост в общия случй не е постоянн по големин. Изменението й по модул се отрзяв н вид н BC (фиг. 5. б), който в този случй ням д бъде рвнобедрен. Безкрйно млкото изменение н релтивнт скорост по модул дв ускорението ( + ) ( ) d d (5.6) = От фиг. 5. в) сe вижд (от съществувнето н векторът DF ), че освен безкрйно млкт компонент d, нрствнето н преноснт скорост им и компонент нсочен по нпрвление н рдиус вектор О. Тзи компонент е Очевидно е, че d dϕ d = si = dϕ = (5.7) създв известното вече нормлно релтивно ускорение d О. (5.8) ко кулист се върти с променлив ъглов скорост ще се появи и тнгенцилно ускорение = ε. (5.9) В общия случй з ускорението н точк от плъзгч се получв = + +, (5.0) където се нрич преносно ускорение. Тук = + 0 + (5.) е ускорението н полюс О, з което се устнови, че 0, но в общия случй (при мехнизми с други структури) може д бъде рзлично от нул. 5. ПРИМЕРИ Пример 5.: Дден е кинемтичнт схем н кулисен мехнизъм с рзмери: О=0 mm; B=90 mm; BS =55; B=40 mm; B = β = 0. Ъгловт скорост н коляното е = 45 s - и е постоянн. З стойностт ϕ = 0 н обобщент координт н нчлното звено д се нмерят: скоростите и ускореният н точки и S; ъгловите скорости и ускорения н звент и. Решение: Мщбнт кинемтичн схем (плнът н положението) е покзн н фиг. 5. ). Плнът н положението е нчертн с дължин н коляното =0 mm. Скоростт н точк от звено е =.. ( ) Построявнето н плн н скоростите (фиг. 4. б) зпочв с избор н нулев вектор или полюс точк p. С нчло от полюс p е построен мщбнт дължин н скоростт - векторът p, перпендикулярно н О нсочен нгоре и нляво, което следв от посокт н ъгловт скорост н коляното. Избрн е дължинт н p = =90 mm, тов предопределя стойностт н = ко при копирнето (отпечтвнето) н фигурт дължинт н коляното не е 0 mm, всички линейни рзмери, които с използвни по-долу с променени пропорционлно с мщбен коефициент 0/l k, където l k е мщбнт дължин н коляното получен след копирнето, измерен от фигурт. 6
B S β ϕ ψ ε ε B B m s p B B B ) б) B в) Фиг. 5.. Плнове н скоростите и ускореният н кулисен мехнизъм.0 45.0.0 мщбния модул н скоростите k = 0.05 p..0 дължинт н коляното в mm. Понеже в точк между звент и им шрнир следв =. г) B В плн н скоростите тов се отрзяв в съвпдне н точките и. Скоростт н точк от звено се определя в съответствие с урвнение (5.), т.е. = +. B B s m q B m, където О е s. mm Грфично тов урвнение е решено, кто през точк е построен прв успоредн н B и през полюс p е построен прв перпендикулярн н B. Двете први се пресичт в точк, чрез която е нмерен скоростт = kv p с модул = kv p = 0,05.6,4=0,96 m/s. З скоростт н точк от звено се използв подобието н триъгълниците B b. Първият триъгълник е от плн н положението, вторият се построяв в плн н m скоростите, кто се използв свойството, че триъгълниците с звъртени н 90. Триъгълникът bm е построен кто през точк p e прекрн прв перпендикулярн н B и през прв перпендикулярн н. Пресечнт точк н двете први m дв скоростт н точк от звено = k pm =0,05.,=0,5 m/s. b s b Скоростт н точк S е нмерен чрез пропорцият =. BS B Н плн н скоростите е ннесен точк s, след кто е изчислено b 6,4 b s = BS = 55 =,7 mm и е получено S = k. bs = 0,05.,7=0,4755 m/s. B 08, Звент и с свързни с плъзгщ кинемтичн двоиц, порди което ъгловите им скорости k. p 0,96 с рвни = 8,65 s -. B B 08,.0 Ъгловт скорост н коляното е здден постоянн. Следовтелно порди липст н ъглово ускорение точкт от звеното им смо нормлно ускорение, което е успоредно н О и нсочено от към О. Модулът н тов ускорение е = (, от към О) 7 B
Построявнето н плн н ускореният (фиг. 5. в) зпочв с избор н мястото н нулев вектор q, нречен полюс н ускореният. От полюс е построен успоредно н О првт q =4,5. =,5 mm, която дефинир мщбния модул н ускореният k q О 0 45 0 m 0,45. 4,5. О 4,5 4,5 s mm Въртящт кинемтичн двоиц между звен и в точк е причин з рвенството н ускореният =. В плн н ускореният тов е отрзено в съвпдне н точките. Ускорението н точк от звено следв от системт векторни урвнения = + + = B + B B B B + B B B Изчислен е мщбнт дължин н кориолисовото ускорение 6 0. p... p.. k p..0 9 = = k k B. k 0 B B. 4,5 6,4.64,9.0 08,.0 = 7, 4 Посокт н кориолисово ускорение е определен, кто релтивнт скорост mm е звъртян около нчлнт си точк по посок н н 90 (фиг. 5..г). Векторът е построен от точк. През върх н е построен прв успоредн н B, която обознчв нпрвлението н релтивното ускорение формулт. Мщбнт дължин н нормлното ускорение е изчислено чрез ( b. k ) 6 0 b = 9 0 B 4,5 B B b.0 64, 0 B = 9, 0 k B. k Bk B.08,.0 = и е ннесено в плн н ускореният от полюс q успоредно н B с посок от към B. През върх н вектор е построен прв перпендикулярн н B, която обознчв нпрвлението н B тнгенцилното ускорение B. Пресечнт точк н тзи прв с директрист н релтивното ускорение, ознчен с и свързн с полюс q дв ускорението н точк от звено = k. q = 0,45.6,6 = 8 m/s. Подобието н триъгълниците B b m, които с съответно от плн н положението и плн н ускореният се използв з нмирне н ускорението н точк от звено. В общия случй двт триъгълник не с звъртени н 90 един спрямо друг. Построявнето н триъгълниците е по три стрни, еднт от които b вече е нчертн в плн н b m m b ускореният. Дължините н другите две стрни следвт от пропорциите, от B B b 64, b 64, където b m = B = 40 =, mm, m = = 7,9 = 4,7 mm. Модулът B 08, B 08, н ускорението н точк от звено е = kqm = 0,45., = 0, 4 m/s. Чрез пропорционлни mm 8
отсечки е пресметнт и мщбнт дължин н ускорението н точк от звено BS 55 qs = q = 6,6 =,8 mm, от където е нмерено s = k. qs = 0,45.,8 = 4, m/s. B 08, Ъгловото ускорение н звено, което порди въртящт двоиц е рвно н ъгловото ускорение н звено е B k B 0,45.59,9 ε = ε 49 s -. B B 08,.0 Посокт н ъгловото ускорение, покзн н фигурт звиси от посокт н вектор от вектор B ). B (съответно Пример 4. Тнгенсен мехнизъм с водещ кулис (фиг. 5.4). Ддени с рзмерите d и h, ъгълът н Нчлни днни = d = 69,67 mm h=7,8 mm o = 45 - s Днни от плн н положението О=8,0 mm ) h Днни от плн н скоростите p =8,0 mm k = 0,0 m/(s.mm) p =,9 mm =6,88 mm p б) p Днни от плн н ускореният q =4,0 mm k =0, m/(s mm) =69,8 mm =9,06 mm q =69,8 mm Фиг. 5.4. Плнове н скоростите и ускореният н тнгенсен мехнизъм в) =. Плнът н ускореният (фиг. 5.4 в) следв от изрзите = ( ), = C = + +, = [mm] k =. 4 нчлното звено φ, ъгловт му скорост =os. Търси се скоростт и ускорението н точк от плъзгч. Решение: От кинемтичнт схем (фиг.5.4) е видно че: 0 = 0 ; 0 ; 0 = = ; ε 0; = ; = ; ε = 0; ε = 0. Плнът н скоростите (фиг. 5.4 б) е построен по звисимостите = ( ), = +, Последовтелностт н построеният с номерирни н плновете н скоростите и ускореният. Кто използвте получените днни и съответните коефициенти пресметнете модулите н търсените скорости и ускорения. 9