МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Майкоп
Уравнения Уравнение равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, значение которого надо найти. Корень уравнения значение неизвестного, при подстановке которого урав-нение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение найти все его корни или установить, что их нет. Линейные уравнения Общий вид: a = b Решение: b А) если a, то = b: a = ; a Б) если a= b=, то любое число; В) если a, b=, то нет корней. Пример 1. Найдите корень уравнения: а) 1 = 8, б) 7 =, в) 4 = 3. 1 = 8 = 8: 1 = 8 7 = = 7 : = 4 = 3 = 3: 4 3 = 4 Уравнения, сводящиеся к линейным Теорема 1. Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится уравнение, имеющее те же корни, что и данное. Следствие. Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим урав-нение, имеющее те же корни, что и данное. Теорема. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное. Пример. Найдите корень уравнения 1 3 = 4 +7 3 +4 = 7 1 = 5 Ответ : 5 1-3х=-4х+7.
Пример 3. Найдите корень уравнения 3( 8) = 6+. 3( 8) = 6+ 3 4 = 6+ 3 = 6+4 = 18 : = 9 Ответ : 9 Пример 4. Найдите корень уравнения = 13 14 7. (14 (1 ( 13 = 1 14 7 14 6 = 14 14 14 14 14 = 6 13 = 6 : 13 = Ответ : Правило пропорции: a c = ad = bc b d В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Пример 5. Найдите корень урав- 8 нения =. +4 3 8 = : 4 +4 3 5 = +4 3 +4 4 по правилу пропорции: 53 = ( +4)( ) 15 = 8 = 8 15 = 3 : = 11,5 Ответ : 11,5 Квадрат суммы/разности: ( a b) = a ab+ b ( 3) = 3+ 3 = 6 +9 или ( 3) =( 3)( 3)= 3 3 +9= = 6 +9 Пример 6. Найдите корень урав- 9 нения = 1. 7 9 1 = 7 1 7 7 по правилу пропорции: 91 = ( 7)( 1) 9= 1 +7 1 = 7 9 1 = 61 : 1 = 6,1 Ответ : 6,1 Пример 7. Найдите корень урав- нения ( +4) = (11 ). ( +4) = (11 ) ( +4)( +4) = (11 )(11 ) +4 +4 +16 = 11 11 11 + +4 +4 +11 +11 = 11 16 3 = 15 : 3 = 3,5 Ответ : 3,5
Квадратные уравнения: a =, b =, c = = = a b =, c = (!) Есть общий множитель? a b = a ( b)= = a b=... Неполные a c =, b = Разность квадратов? (!) да a b =( a b )( a+b ) ( a) ( c) = ( a c)( a+ c)= a c = a+ c =...... (!) нет корней нет Пример 8. Решите уравнение (4 3)( +11) =. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. (4 3)( +11) = ab = a = или b = 4 3= 4 = 3 : 4 = 3 =,75 4 меньший корень +11= = 11 : ( 1) =11 Ответ :,75 Пример 1. Решите уравнение 4 =. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. 4 = () = разность квадратов ( )( +) = = += = = меньший корень Ответ : Пример 9. Решите уравнение 6 +54 =. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. 6 +54 = 6 ( +9) = ab = a = или b = 6 = : 6 +9= = = 9 больший корень Ответ : Пример 11. Решите уравнение 8 56 =. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. 8 56 = 8 ( 7) = ab = a = или b = 8 = : 8 = 7= =7 больший корень Ответ : 7
Квадратные уравнения: Общий вид: 1) D > a + b+c = D=b 4ac корня ) D= 1 корень 3) D < корней нет = b D 1, a = b a Полные Приведенное: + p+q= Теорема Виета: + p+q= 1 = q, 1+ = p Пример 1. Решите уравнение +48= 14. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. +48 =14 14 +48 = 1 = 48, 1+ =+14 1 =8 =6 меньший корень Ответ : 6 Пример 14. Решите уравнение 4 14 18=. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. 4 14 18= : 7 9= a= b= 7 c= 9 D=b 4ac D= ( 7) 4 ( 9)=49+7=11> 1 ( 7) + 11 7+ 11 = = =4,5 4 ( 7) 11 7 11 = = = 1 ( меньш. ) 4 Ответ : 1 Пример 13. Решите уравнение 7 = 6. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. 7 = 6 6 7 = 1 = 7, 1+ =+6 1 =9 больший корень = 3 Ответ : 9 Пример 15. Решите уравнение 5 +1 +4=. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. 5 +1 +4= a=5 b=1 c =4 D=b 4ac D= 1 4 5 4=144 8 =64> 1 1+ 64 1+ 8 = = =,4 ( больш. ) 5 1 1 64 1 8 = = = 5 1 Ответ :,4
I) Линейные уравнения Задание 1. Найдите корень уравнения. Тренировочные задания Часть I 1) +3= 9 7) 7+8 = 5 13) 4( 8) = 5 19) + = 1 9 3 ) 3 9= 8) 5+9 = 1 +4 14) 1( 9) = 7 ) = 6 7 3) 6 +1= 4 9) 1 1 = 5 +1 15) 5( +9) = 8 1) + = 1 5 5 4) 4= 3 1) 4 6 = 4 3 16) 4( +1) = 9 ) = 11 1 3 5) 3 +3= 5 11) +3 = 7 5 17) 1( +) = 7 3) + = 9 6) 8 3= 6 1) 1 3 = +1 18) 5( 6) = 4) = 4 11 11 Задание. Найдите корень уравнения. 1) 1 = 1 +5 5 ) 6 = 3 +8 4 3) 1 = 1 + 4) 1 = 5 +7 8 7 7) = 5 4 8) = 4 5 11 9) = 1 9 7 1) = +8 1 11 11 6 5) = * 11) = 5 +4 7 +5 8 6) = +9 9 11 * 1) = 1 +3 13) 14) ( 5) = ( 8) ( +9) = ( +6) 15) ( +1) = (5 ) 16) ( 5) = ( +15) 17) ( +6) = (15 ) 18) ( ) = ( 9) II) Квадратные уравнения Задание 3. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. 1) (5 )( +3) = 4) ( 7)( 5 9) = 7) 9= 1) 81= ) ( 6)(4 6) = 5) ( 5 +3)( +6) = 8) 64 = 11) 169 = 3) ( +1)( 7) = 6) ( )( 3) = 9) 144 = 1) 16 =
Задание 3. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. 13) 3 +1 = 16) 5 +5 = 19) 4 =8 1) 1 =8 14) 7 +1 = 17) 6 +4 = ) 7 =4) 5 =35 * 15) 3 +18 = 18) 5 + = Задание 4. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. 1) ( 5)( +4) = 7) ) (6 3)( +3) = 8) 3) ( 4)(3 +3) = 9) 4) (5 +)( 6) = 1) 36 = 13) 5 = 14) 49 = 15) 11= 16) 3 9 = 19) 5 1 = ) 7 7 = 9 =54 =8 1) 3 =7 4 16 = 5) ( +7)( ) = 11) 4= 17) 7 14 = 6) ( +1)( 8) = 1) 1 = 18) 4 = ) 4 =* Задание 5. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. 1) 15 = 7) +4 = 5 13) 6 +5= 19) 3 +1= ) +7= 8 8) 6 = 16 14) 9 +18= ) 5 9 +4= 3) 16 = 6 9) + = 15 15) 1 +4 = 1) 8 1 += 4) +18 = 9 1) 7 = 8 16) + 1= ) 6 9 +3= 5) 35 = 11) +4 = 1 17) 11 +3 = 3) 8 1 +4= 6) +6= 5 1) 5 = 14* 18) 7 +1= 4) +5 7= Задание 6. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. 1) 18 = 7 7) +7 = 18 13) 8 +1= 19) 5 +9 +4= ) +6= 5 8) =1 14) 1 +1= ) 5 +4 1= 3) 1= 4 9) +3 = 1 15) 11 +18 = 1) 5 1 +7= 4) +1 = 7 1) 5 = 14 16) 1 + = ) 5 +8 +3= 5) = 11) +7 = 8 17) 9 +8= 3) 5 11 +6= 6) +4= 5 1) 3 = 18 18) 13 + = 4) 5 +7 1=
Тренировочные задания Часть II Задание 1. Найдите корень уравнения. 1) +3 = 7 5 3) 7 = 6 +1 5) 8 5( 3) = 13 6 ) 7+8 = 5 4) 1 3 = +1 6) 1 7(4+ ) = 9 4 Задание. Найдите корни линейного уравнения. 1) 3 +5+( +5) = (1 )+4 5) 3 +1+( 5) = 5(3 )+5 ) 3 4( +1) = 5(4 ) 1 6) 4+5( +3)=5( 1 ) 3) 4 +4 3( +1) = 5( )+5 7) 3 +1 3( +3) = (1 )+ 4) ++3( +4) = 4(1 )+3 8) 5 +4( +1) = 4( 3 ) 1 Задание 3. Найдите корни линейного уравнения. 1) При каком значении значения выражений 1 и 3 +9 равны? ) При каком значении значения выражений 1 1 и 9 +1 равны? 3) При каком значении значения выражений 4 и 6 +8 равны? 4) При каком значении значения выражений 7 и 3 +6 равны? Задание 4. Найдите корни уравнения. 1) ( +1) +( 6) = 5) + +6= 3 +( + ) ) ( ) +( 8) = 6) 3 +5 3 = +3 +( ) 3) ( 6) +( +8) = 7) 3 4 +7= 5 +( 1+ ) 4) ( ) +( 3) = 8) 4 + +6= +3 ( 3+ ) Задание 5. Уравнение + p+ q= имеет перечисленные корни. Найдите q. 1) 1 = 9, =1 ) =5, 1 = 9 3) 1 = 5, =7 Задание 6. Квадратный трехчлен разложен на множители. Найдите a. 1) +13 +4 = ( +6)( a) 4) = a +8 +15 ( +3)( ) ) +17 +7 = ( +9)( a) 5) 5 + 3= 5( +1)( a) 3) +11 +4 = ( +8)( a) 6) = +19 +4( +6)( a)
Задание 7. Решите уравнение. Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 1) 3 19 = 19 3 ) 13 5 = 5 13 3) 6 8 = 8 6 4) 4 +7 7 += 3 5) 6 +8 5 +5= 3 6) 9 +6 7 +3= 7 6 7) 6+ = +3 5 8) 4+ = +4 5 9) 1+ = +9 5 7
Ответы к тренировочным заданиям Часть I I) Линейные уравнения Задание 1. 1),3 7) 1, 13) 6,75 19) 3 ) 1,8 8) 9 14) 9,7 ) 7 3),1 9) 1,8 15) 1,6 1) 4),8 1),1 16) 1,5 ) 4 5) 1,5 11),7 17),7 3) 6 6) 1,5 1),4 18) 6,4 4),4 Задание. 1) ) 3) 4) 5) 6) 1 7) 8,5 13) 6,5 16 8) 3, 14) 7,5 49) 7,9 15),5 3 1) 15 16) 5 11 11) 6, 17) 4,5 45 1) 1,9 18) 5,5 II) Квадратные уравнения Задание 3. 1),4 4) 1,8 7) ) 1,5 5),6 8) 3) 3,5 6) 1,5 9) 3 1) 8 11) 1 1) 9 13 4 Задание 3. 13) 416) 5 19) 1) 14) 317) 4 ) ) 15) 6 18) 4 Задание 4. 1) 7) 6 13) 3 19) 6 ) 3 8) 5 14) ) 4 3) 1 9) 7 15) 1 1) 9 4),4 1) 11 16) 4 ) 5 5) 7 11) 17) 6) 8 1) 1 18) 5
Задание 5. 1) 37) 5 13) 1 19),5 ) 1 8) 14) 3 ),8 3) 9) 5 15) 4 1),5 4) 3 1) 1 16) 4 ),5 5) 511) 7 17) 5 3),5 6) 1) 18) 4) 3,5 Задание 6. 1) 9 7) 13) 6 19),8 ) 3 8) 4 14) 7 ), 3) 7 9) 15) 9 1) 1,4 4) 5 1) 7 16) 1 ),6 5) 5 11) 1 17) 8 3) 1, 6) 4 1) 6 18) 11 4) 1 Ответы к тренировочным заданиям Часть II Задание 1. 1),7 3) 4,5 5),5 ) 1, 4),4 6) 1,8 Задание. 1) 13) ) 13 4) 15) 8 7) 15 6) 8) 1 5 Задание 3. 1) 1) 3) 3 4) Задание 4. 1) 3,7 3) 5 5) 7) 8 ) 3,4 4) 1,3 6),5 8) 3 Задание 5. 1) 9) 45 3) 35 Задание 6. 1) 7 3) 3 5),6 ) 84) 5 6) 3,5 Задание 7. 1) 4) 7) 18 ) 18 5) 6,75 8) 3) 14 6) 3,4 9) 5