МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори! Задача 1. Ако 5% от х е х% от у, то у е равно на: А) 5 Б) 0 В) 5 Г) 100 Задача. Стойността на израза 5 1 5 е: А) 5 Б) 1 В) 1 Г) 5 Задача. Множеството от НЕДОПУСТИМИТЕ стойности на израза x x x x А) Б) 1, В),1 Г), 1,1, x е: Задача. Кое от уравненията НЯМА отрицателни корени? А) x 16 0 Б) x x В) x x 0 Г) x 8 0 5 Задача 5. Числената стойност на израза е: 1 А) Б) 1 В) 0 Г) 1 Задача 6. Системата x y x x y y : А) няма решение Б) има само едно решение В) има две решения Г) има безброй много решения 1
Задача 7. Сборът от корените на уравнението x x x 0 е: А) Б) 1 В) Г) 5 Задача 8. Стойността на израза sin 15 sin 15 при 0 е: А) 1 Б) В) 1 Г) 1 Задача 9. В ABC CL е ъглополовяща, AL = 5 cm и BL = cm. Периметърът на ABC е 0 cm. Дължината на страната AC е: C A L 5 cm cm B А),5 cm Б) 7,5 cm В) 8 cm Г) 8,5 cm Задача 10. Височината CD в правоъгълния ABC разделя хипотенузата му на отсечки с дължини AD = 8 cm и BD = 1 cm. Дължината на по-малкия катет на е: А) cm Б) cm В) 6 cm Г) 8,5 cm ABC Задача 11. Графиката на функцията f ( x) x bx c минава през точките А( ;0) и В (0; 6). Стойността на b c е: А) 11 Б) 8 В) 7 Г) Задача 1. За числовите редици a n n 1 n, n и b m 1 m, m е вярно, че: А) и двете са растящи Б) и двете са намаляващи В) само едната е растяща Г) само едната е намаляваща Задача 1. За коя стойност на x числата, x 1 и геометрична прогресия? x 7 в този ред образуват растяща А) 5 Б) В) Г) 5
Задача 1. Множеството от стойностите на функцията y sin x cos x e: А) 1;1 Б) 1;0 В) 0; Г) ; Задача 15. За коя от посочените стойности на х медианата на реда х, 5, 6, 10, 10 НЕ е равна на 6? А) x Б) x В) x 5 Г) x 9 Задача 16. В обедно меню се предлагат вида супи, 5 вида основни ястия и вида десерти. По колко начина може да се направи избор за обяд, ако се избере супа и основно ястие, или супа и десерт, или основно ястие и десерт? А) 1 Б) 15 В) 0 Г) 7 Задача 17. За на AC е: ABC е дадено, че ABC 5, BC cm и AB cm. Дължината А) cm Б) 5 cm В) 5 cm Г) 6 cm Задача 18. Лицето на вписания в ромба ABCD кръг е cm, а BAD 60. Лицето на ABCD е: А) cm Б) cm В) cm Г) cm Задача 19. Лицето на равнобедрен трапец е 108 cm, а сборът от дължините на основите му е 18 cm. Сборът от дължините на диагоналите на трапеца е: А) 1 cm Б) 15 cm В) cm Г) 0 cm Задача 0. На чертежа равнобедрен, а ABD е правоъгълен и ABC е равностранен. Окръжност с диаметър AB пресича страната AC в точка Е. Ако AB = 0 cm, то дължината на DE е: А) 5 6 cm Б) 10 1 В) 10 cm Г) 10 cm cm A 0 cm B E C D
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ Време за работа 150 минути Отговорите на задачите от 1. до 5. включително запишете в свитъка за свободните отговори! Задача 1. Пресметнете стойността на израза log log 5 5 log 6 А. Задача. Намерете множеството от решенията на неравенството x 5x 0. x x Задача. Дадена е крайна аритметична прогресия с първи член a1 и разлика d. Намерете броя на членовете на прогресията, ако е известно, че последният ѝ член е равен на сбора на първите 0 члена на редицата с общ член b n 1, n. n Задача. На изпит 5% от явилите се ученици имат оценка отличен 6,00, 0% много добър 5,00, 0% добър,00 и 5% среден,00. Намерете средния успех (с точност до стотните) на явилите се на този изпит ученици. добър -,00; 0% среден -,00; 5% много добър - 5,00; 0% отличен - 6,00; 5%
Задача 5. В М AN ABC със страни AB cm, BC cm и АC 6 cm медианата АМ ВС и ъглополовящата CL L AB МN от дължините на отсечките AN и MN. се пресичат в точка N. Намерете разликата Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 6. до 8. включително запишете в свитъка за свободните отговори! Задача 6. Решете уравнението x x x 1 55. Задача 7. Дадени са изразите 6 6 A sin cos 1, В sin cos 1 и С cos sin sin. а) Докажете, че б) Докажете, че A В за всички допустими стойности на. С за всички допустими стойности на. Задача 8. Вписаната в тъпоъгълния ABC окръжност се допира до най-голямата му страна AB в точка P като AP 5 и BP 9. Ако радиусът на описаната окръжност около ABC е ъглополовящата на 1 R, намерете дължините на страните AC и BC и на ACB в ABC. 5
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 Ключ с верните отговори на задача Верен отговор Брой точки 1 А Г Б В 5 А 6 Г 7 В 8 А 9 Б 10 Б 11 В 1 Г 1 Г 1 А 15 Г 16 Г 17 Б 18 Б 19 Г 0 А 1 8 x 0;1 1; 15,85 6
5 5 AN МN cm,5 cm 6 1 x, x 10 7 10 8 15 AC 6, BC 10, CL 10 Критерии за оценяване и точки по критериите, съпътстващи решението: Решение на задача 6: Връзка между x x 1 x 1 и x x x Полагане x 1 1. 1 t, t 0. точки Решаване на уравнението t t 5 0. точки Определяне t1 9, 9 0, t 6, 6 0. Връщане в полагането х 1 9. Решаване на х 1 и x 1. точки Намиране на решенията x1, x. Решение на задача 7: а) 6 6 A sin cos 1 sin cos 1 sin cos sin sin cos cos 1 1. sin sin cos cos 1 sin cos sin cos 1 sin cos sin cos 1 1 sin cos 1 sin cos В sin cos 1 sin cos sin cos 1 1 sin cos 1 sin cos 7
А sin cos, В sin cos А В sin cos. sin cos 0 А В 1 cos sin sin sin cos cos б) С 1 1 1 1 1 1 sin cos sin sin cos sin cos За определяне на За определяне на А sin cos. точки В sin cos. точки За извод, че За доказване, че А В. С. 1 точкa точки Решение на задача 8: Прилагаме синусова теорема за AB sin ACB. R ABC 5 C x x Q T 9 Тогава ACB 10 или ACB 60, A 5 P L 9 B но ABC е тъпоъгълен и АВ е най-голямата страна, то ACB 10. Да означим допирните точки на окръжността със страните АС и ВС съответно с T и Q. Намираме AT AP 5 и BQ BP 9. Нека CQ CT x, x 0. Прилагаме косинусова теорема за ABC : 1 x 5 x 9 x 5 x 9cos10 x 1x 15 0. Оттук 1 Ако CL е ъглополовящата на x или x 15. Намираме AC 6, BC 10. АСВ, то AL AC. BL BC 5 7 Нека AL y, BL 5y и y 5y 1 y. Тогава 1 AL и BL 5, а 8
1 5 15 CL AC. BC AL. BL CL 6.10.. AB За намиране на sin ACB. R За определяне на ACB 10. За определяне на AT AP 5 и BQ BP 9. За въвеждане на неизвестно CQ CT x, x 0. За прилагане на косинусова теорема за За достигане до уравнението За определяне дължините на страните АС и ВС x ABC. 1x 15 0 и решаването му. точки За изразяване на AL. BL или намиране на дължините на AL и BL. За намиране на дължината на 15 CL. 9