Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни степени, са необходими някои предварителни сведения от линейната алгебра. Нека K е полето R на реалните числа или полето C на комплексните числа. 1. Поли-линейни анти-симетрични изображения на линейни пространства Ако V е линейно пространство над K, то K-линейните изображения f : V K се наричат K-линейни функционали върху V. Множеството V на K-линейните функционали върху V e K-линейно пространство относно поточково определените събиране (f + g)(v) : f(v) + g(v) за v V, f, g V и умножение с λ K, (λf)(v) : λf(v) за v V, f V. Да напомним, че транспозицията (p, q) на числата p и q е онази пермутация от симетричната група S k, която разменя помежду си числата p и q, оставяйки на място всички останали числа от 1 до k. Изображение f : V k V... V K (6.1) е поли-линейно, ако е линейно относно всеки аргумент. Изображение (6.1) е анти-симетрично, ако променя знака си под действие на произволна транспозиция (p, q), 1 p < q n върху аргументите v 1,..., v n, f(..., v p,..., v q,...) f(..., v q,..., v p,...). Задача 6.1. (i) Да се докаже, че изображение f : V k V... V K е анти-симетрично тогава и само тогава, когато за всяка пермутация σ S k е в сила f(v σ(1),..., v σ(k) ) ( 1) [σ(1),...,σ(k)] f(v 1,..., v n ), където [σ(1),..., σ(k)] е броят на инверсиите в редицата σ(1),..., σ(k) от образите на 1,..., k под действие на σ. (Числата σ(p) и σ(q) от редицата на образите σ(1),..., σ(p),..., σ(q),..., σ(k) образуват инверсия, ако p < q и σ(p) > σ(q).) (ii) Нека f : V k V... V K е поли-линейно изображение. Да се докаже, че f е анти-симетрично тогава и само тогава, когато f се анулира при равни аргументи, f(..., v p,..., v q v p,...) 0 за 1 p < q k. Задача 6.2. Нека f : V k V... V K е поли-линейна анти-симетрична функция, e 1,..., e n е базис на линейното пространство V над полето K, а v i n v i,j e j, 1 i k са вектори от V с координати (v i,1,..., v i,n ) спрямо базиса e 1,..., e n. Да се докаже, че: 64
2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ ВЪРХУ ГЛАДКО МНОГООБРАЗИЕ 65 (i) f(v 1,..., v k ) 1 j 1<...<j k n ( σ S k ( 1) [σ] v 1,jσ(1)... v k,jσ(k) ) f(e j1,..., e jk ), където [σ] е броят на инверсиите в пермутацията σ(1),..., σ(k) на 1,..., k; (ii) ако k > n, то f(v 1,..., v k ) 0 за произволни вектори v 1,..., v k V ; (iii) ако k n и v 1,..., v k са линейно зависими, то f(v 1,..., v k ) 0; (iv) ако k n и f 0 не е тъждествено нулевата функция, то f(v 1,..., v n ) 0 тогава и само тогава, когато v 1,..., v n са линейно зависими. Задача 6.3. Нека V e линейно пространство над полето K, а (Λ m V ) е множеството на поли-линейните анти-симетрични функции f : V k V... V K. (За m 1 пишем V вместо (Λ 1 V ).) Да се докаже, че: (i) (Λ m V ) е линейно пространство над K относно поточково определените събиране (f+g)(v 1,..., v k ) : f(v 1,..., v k )+g(v 1,..., v k ) за v 1,..., v k V, f, g (Λ m V ) и умножение с λ K, (λf)(v 1,..., v k ) : λf(v 1,..., v k ) за v 1,..., v k V, f (Λ m V ) ; (ii) ако e 1,..., e n е базис на V и 1 j 1 <... < j m n за някое m N, m n, то съществува единствена поли-линейна анти-симетрична функция с (e j1... e jm ) : V m V... V K (e j1... e jm ) (e j1,..., e jm ) 1 и (e j1... e jm ) (e s1,..., e sm ) 0 за 1 s 1 <... < s m n, {s 1,..., s m } {j 1,..., j m }. (iii) при предположенията от подусловие (ii), функциите (e j1... e jm ) за 1 j 1 <... < j m n образуват базис на (Λ m V ) над K, така че ( ) n dim(λ m V ). m 2. Диференциални форми върху гладко многообразие Нека M е гладко многообразие с размерност dim M n, p M е точка от M, а Tp R M е реалното допирателно пространство към M в p. Тогава Tp R M е n-мерно линейно пространство над R. За m N, 1 m n множеството (Λ m Tp R M) на поли-линейните анти-симетрични функции Tp R M... Tp R M R на m аргумента е линейно пространство над R с размерност ( n m). Непресичащото се обединение (Λ 1 T R M) (T R M) (Tp R M) на дуалните допирателни пространства към M е векторно разслоение от ранг n над M, което се нарича ко-допирателно разслоение на M. За произволно m N, 1 m n, непресичащото се обединение (Λ m T R M) (Λ m Tp R M) p M е векторно разслоение от ранг ( n m) над M, което се нарича m-та външна степен на ко-допирателното разслоение към M. p M
66 6. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ. ЛЕМА НА POINCARE Нека U е отворено подмножество на M с гладка координатна карта f : U D R n. Да напомним, че гладките сечения U T R M U на T R M M над U е наричат гладки векторни полета и образуват n-мерно линейно пространство над R с базис f : U T R M U, 1 i n. x i Гладките локални сечения U (Λ m T R M) U на (Λ m T R M) M се наричат диференциални m-форми върху M. Нека U R n е отворено подмножество, а x 1,..., x n са координатни функции върху R n. Гладките 1-форми образуват дуалното на пространството на гладките векторни полета U T R U U R n. Базисът x 1,..., x n на гладките векторни полета върху U отговаря на базиса dx 1,..., dx n на гладките 1-форми, изпълняващ равенствата dx i ( x j ) { 1 за 1 i j n, 0 за 1 i j n. Всяка 1-форма е от вида ϕ 1 dx 1 +... + ϕ n dx n за някакви гладки функции ϕ i : U R. Аналогично, за произволно естествено число 1 m n, гладките m-форми ω върху U са гладки поли-линейни анти-симетрични функции на m векторни полета. Те могат да се зададат като сума ω ϕ i1,...,i m dx i1... dx im, 1 i 1<...<i m n зависеща от гладки функции ϕ i1,...,i m : U R. Понякога записваме съкратено ω ϕ I dx I I m със сумиране по всички растящи подмножества I {i 1,..., i m } {1,..., n}, 1 i 1 <... < i m n, съставени от m различни елемента. Съгласно Задача 6.3, ( dx j1... dx jm :... ) x j1 x jm за 1 j 1 <... < j m n образуват базис на гладките диференциални m- форми върху U. Нека f α : U α D α R n са локални карти върху гладко многообразие M. За да намерим функциите на прехода ϕ α,β : f β (U α U β ) GL(n, R) на кодопирателното разслоение (T R M) да напомним, че функциите на прехода на T R M са x α : f β (U α U β ) GL(n, R) x β (виж Определение 5.1). Тогава е еквивалентно на и dx β (dx β,1,..., dx β,n ) (dx α,1,..., dx α,n ).ϕ β,α dx β,k n (ϕ β,α ) j,k dx α,j за 1 qk n (,..., x β x β,1 x β,n ) xα x β
2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ ВЪРХУ ГЛАДКО МНОГООБРАЗИЕ 67 е равносилно на Ако x β,k n δ ij x α,j за 1 k n. x β,k x α,j { 1 за 1 i j n, 0 за 1 i j n, е символът на Kronecker, то за произволни 1 k, l n имаме ( ) n n δ k,l dx β,k (ϕ β,α ) i,k. x ( α,j.dx α,i x β,l n i1 (ϕ β,α ) i,k. x α,i x β,l В резултат, ϕ β,α x β,l i1 ( xα,1,..., x ) α,n x β,l x β,l ( x α x β ) t, откъдето (ϕ β,α ) 1,k... (ϕ β,α ) n,k ( ) t ϕ α,β ϕ 1 β,α xα. x β x α,j [ (xα ) t.ϕ β,α] x β ) За да намерим функциите на прехода ψ β,α : f α (U α U β ) GL (( ) n 2), R на (Λ 2 T R M) M, за произволни 1 k < l n пресмятаме, че ( n ) x β,k n dx β,k dx β,l dx α,i x β,l dx α,j x α,i x α,j 1 i<j n i1 ( xβ,k. x β,l x β,k. x ) β,l.dx α,i.dx α,j. x α,i x α,j x α,j x α,i Ако индексираме редовете и стълбовете на матрицата ψ β,α GL (( ) n 2), R с {p, q} за 1 p < q n, то dx β,k dx β,l (ψ β,α ) {i,j},{k,l} dx α,i dx α,j за 1 k < l n. 1 i<j n Следователно елементът (ψ β,α ) {i,j},{k,l} x β,k x α,i x β,l x α.i x β,k x α,j x β,l x αj k,l i,j ( ( ) ) t xβ ( ) t xβ на ψ β,α в реда с номер {i, j} и стълба с номер {k, l} е минорът на ϕ β,α x α от ред 2 образуван от редовете с номера 1 i < j n и стълбовете с номера 1 k < l n. Задача 6.4. Нека M е гладко многообразие с dim R M 4. Да се намерят функциите на прехода λ α,β : f β (U α U β ) GL(4, R) на третата външна степен (Λ 3 T R M) M на ко-допирателното разслоение на многообразието M. x α l,k.
68 6. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ. ЛЕМА НА POINCARE Ако M е n-мерно гладко многообразие, то (Λ n T R M) M е линейно разслоение, т.е., векторно разслоение с ранг 1. Функциите на прехода на това разслоение са ( ) xα ν α,β det. (6.2) x β По-точно, ( n ) ( n ) x α,1 x α,n dx α,1... dx α,n dx β,i... dx β,i x β,i x β,i i1 i1 x α,1..... x α,i n dx β,i1... dx β,in x i β,i1 x β,in 1,...,i n i 1,...,i n ( 1) [i1,...,in] x α,1 x β,i1..... x α,i n x β,in dx β,1... dx β,n, където сумиранията са по пермутациите i 1,..., i n на 1,..., n а [i 1,..., i n ] е броят на инверсиите на i 1,..., i n. Оттук ν α,β ( 1) [i1,...,in] x α,1..... x ( ) α,i n xα det. x i β,i1 x β,in x β 1,...,i n Външната производна dω на локална m-форма ω ϕ I dx I се определя като dω n I m ϕ I x j dx j dx I. I m Например, външната производна на гладка функция f е нейният диференциал n f df dx j. x j Ако A k (U) е пространството на гладките диференциални k-форми върху отворено подмножество U M, то външната прозиводна d : A k (M) A k+1 (M) е хомоморфизъм на адитивните групи (A k (M), +), (A k+1 (M), +), изпълняващ правилото на Leibnitz-Newton d(fω) df ω + fdω за гладка функция f и гладка k-форма ω. Твърдим, че d 2 d d O е тъждествено нулевото изображение. Наистина, за произволна форма ω ϕ I dx I имаме n (d d)(ω) d ϕ I dx j dx I x j I k n n l1 защото за произволни 1 l < j n събираемите I k 2 ϕ I x l x j dx l dx j dx I 0, 2 ϕ I dx l dx j dx I + 2 ϕ I dx j dx l dx I 0 x l x j x j x l се унищожават поради 2 ϕ I 2 ϕ I и dx j dx l dx l dx j. x l x j x j x l
2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ ВЪРХУ ГЛАДКО МНОГООБРАЗИЕ 69 По този начин, външната производна превръща множеството A (M) {A k (M)} n k0, n dim R M на гладките диференциални форми върху M във верижен комплекс A 0 d (M) A 1 d (M)... d A n 1 (M) d A n (M) от безкрайномерни линейни пространства над R. Елементите на ядрото Z k (M) : ker[d : A k (M) A k+1 (M)] на d върху A k (M) се наричат затворени диференциални k-форми. Елементите на образа B k (M) : im[d : A k 1 (M) A k (M)] на A k 1 (M) под действие на d се наричат точни диференциални k-форми. Съгласно d d O имаме включване B k (M) Z k (M). Фактор-пространството Z k (M)/B k (M) е изоморфно на сингулярните кохомологии H k (M, R) на M с реални коефициенти, съгласно Теоремата на de Rham. Да напомним определението да фактор-пространство U/V на линейно пространство U и негово подпространство V или на модул U по негов подмодул V над комутативен пръстен с единица R. Адитивната група (U, +) на U е абелева, така че нейната подгрупа (V, +) е нормална и можем да образуваме факторгрупата (U/V, +) (U, +)/(V, +) с индуцираното от U събиране (u 1 + V ) + (u 2 + V ) u 1 + u 2 + V за u 1, u 2 U. Върху така определената абелева група задаваме умножение с r R по провилото R (U/V ) (U/V ), r(u + V ) ru + V за r R, u U. (6.3) Задача 6.5. (а) Да се докаже коректността на операцията (6.3), т.е. независимостта от представителя u на u + V. (б) Да се докажат свойствата: (i) (r + s)(u + V ) r(u + V ) + s(u + V ) за r, s, R, u U; (ii) r((u + V ) + (u + V )) r(u + V ) + r(u + V ) за r R, u, u U; (iii) (rs)(u + V ) r[s(u + V )] за r, s R, u U; (iv) 1.(u + V ) u + V за 1 R, u V, съгласно които абелевата група (U/V, +) е R-модул. Диференциалните форми се издърпват чрез гладки изображения f : M N на многообразия. По-точно, ако x 1,..., x n са локални координати върху отворено подмножество U M с център p U, а y 1,..., y m са локални координати върху отворено подмножество V N с център f(p) V, то f (f 1,..., f m ) : U V се задава с m гладки локални функции y i f i (x 1,..., x n ). Тогава f dy i df i n f i x j dx j и за произволна гладка диференциална k-форма ω ϕ i1,...,i k dy i1... dy ik имаме f ω 1 i 1<...<i k n 1 i 1<...<i k n ϕ i1,...,i k (f(x))df i1... df ik
70 6. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ. ЛЕМА НА POINCARE 3. Тип на диференциална форма върху комплексно многообразие Нека M e комплексно многообразие с локални холоморфни координати z 1,..., z n върху отворено подмножество U M. Реалните части x j Rez j на z j x j + iy j и имагинерните части y j Imz j на z j задават локални координати x 1,..., x n, y 1,..., y n върху U, разгледано като гладко многообразие. Съгласно dz j dx j + idy j и dz j dx j idy j за 1 j n, можем да използваме dz 1,..., dz n, dz 1,..., dz n вместо dx 1,..., dx n, dy 1,..., dy n като базис на пространството A 1 (U) на гладките диференциални 1-форми над пръстена на гладките функции U R. За произволно естествено 1 k n dim R M можем да зададем гладките диференциални k-форми ω A k (U) във вида ω ϕ I,J dz I dz J I + J k за растящи подмножества I {i 1,..., i p }, J {j 1,..., j q } {1,..., n}, p + q k, 1 i 1 <... < i p n, 1 j 1 <... < j q n и гладки функции ϕ I,J : U R. Казваме, че диференциална форма ω A k (M) е от тип (p, q), ако може да се запише локално като сума ω ϕ I,J dz I dz J. I p J q Означаваме с A p,q (M) пространството на гладките диференциални форми върху M от тип (p, q). Задача 6.6. Нека z 1,..., z n и u 1,..., u n са локални холоморфни координати върху отворено подмножество U на n-мерно многообразие M. Да се докаже, че ω ϕ I,J dz I dz J I p J q е диференциална форма върху U от тип (p, q) спрямо холоморфните координати z 1,..., z n тогава и само тогава, когато ω ψ K,L du K du L K p L q е диференциална форма върху U от тип (p, q) спрямо холоморфните координати u 1,..., u n. Разлагаме външната производна d + в сума на операторите : A p,q (M) A p+1,q (M), n ϕ I,J dz I dz J ϕ I,J dz k dz I dz J z k I,J k1 I,J и : A p,q (M) A p,q+1 (M), n ϕ I,J dz I dz J ϕ I,J dz k dz I dz J, z k I,J k1 I,J зададени по посочения начин спрямо локални холоморфни координати z 1,..., z n. Задача 6.7. В горните означения да се докаже, че е тъждествено нулевият оператор. O : A p,q (M) A p,q+2 (M)
4. -ЛЕМА НА POINCARE 71 Ако и то B p,q (M) Zp,q Z p,q (M) : ker[ : Ap,q (M) A p,q+1 (M)] B p,q (M) : im[ : Ap,q 1 (M) A p,q (M)], (M), съгласно O и фактор-порстранствата H p,q (M) : Z p,q се наричат кохомологии на Dolbeault. В частност, H p,0 (M) ω Ap,0 (M) (M)/Bp,q(M) ω I p f I dz I, f I 0 e пространството на холоморфните p-форми, т.е. на крайните линейни комбинации на dz I, I p с холоморфни коефициенти f I. 4. -лема на Poincare -лемата на Poincare гласи, че всяка -затворена диференциална форма е - точна. За да докажем това твърдение ще напомним, че носителят на холоморфна функция f : U C върху отворено подмножество U C n е затворената обвивка Supp(f) : {a U f(a) 0} на множеството на точките a U, в които f има ненулева стойност. Първо ще докажем една интегрална формула за гладка функция на една комплексна променлива, а после ще изведем от нея -лемата на Poincare. Лема 6.8. Нека g : C C е гладка функция с компактен носител Supp(g) C. Тогава интегралът f(z) 1 g(w) dw dw (6.4) 2πi C w z е сходящ за z C и задава гладка функция f : C C с компактен носител Supp(f) C и с f (z) g(z). z Доказателство: Ще започнем с едно обобщение на формулата на Cauchy. Ако f : U C е гладка функция в околност U на затворен диск твърдим, че f(z) 1 2πi (z, R) {a C a z R}, (z,r) f(w) w z dw + 1 f dw (w)dw 2πi (z,r) w w z. (6.5) За целта избираме реално положително ε < R и прилагаме Теоремата на Stokes α α α към ( (z,r)\ (z,ε)) По този начин получаваме 1 2πi (z,r)\ (z,ε) f dw dw 1 w w z 2πi (z,r) α 1 f(w) 2πi w z dw. Полагаме w z + re iθ и пресмятаме, че (z,r) (z,ε) f(w) w z dw 1 f(w) 2πi (z,ε) w z dw. dw dw (ire iθ dθ + e iθ dr) ( ire iθ dθ e iθ dr) 2irdθ dr.
72 6. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ. ЛЕМА НА POINCARE Това дава възможност да изведем равенството 1 f 2π π w (z+reiθ )e iθ dθ dr f(z+re iθ ) dθ 2π (z,r)\ (z,ε) 0 2π 0 f(z+εe iθ ) dθ 2π. Подинтегралната функция f(z +εe iθ ) е непрекъсната относно ε и при граничен преход ε 0 следва (6.5). За да довършим доказателството на лемата преминаваме отново към полярни координати w z + re iθ и записваме (6.4) във вида f(z) 1 g(z + re iθ )e iθ dθ dr. π C Поради компактността на носителя Supp(g) на g, функцията f е коректно определена и гладка върху C. Разменяйки реда на диференцирането и интегрирането получаваме f z (z) 1 g π C z (z + reiθ )e iθ dθ dr. Връщаме се към променливата w z + re iθ и използвайки извеждаме, че g w g g (w) (w) z z w w (w) f z (z) 1 g dw (w)dw 2πi C w w z. (6.6) За достатъчно голямо R R >0 имаме Supp(g) (z, R), откъдето и g(z) 1 2πi (z,r) 1 2πi (z,r) g(w) w z dw 0 g dw (w)dw 1 w w z 2πi C съгласно (6.5). Комбинирайки с (6.6) получаваме, че f (z) g(z), z Q.E.D. С помощта на Лема 6.5 ще докажем следното g dw (w)dw w w z, Твърдение 6.9. (-лема на Poincare) Нека D C n е отворено подмножество, а ω A p,q+1 (D) e -затворена (p, q + 1)-форма за някое q 0. Тогава за всяко отворено подмножество U D с компактна затворена обвивка U D съществува (p, q)-форма ψ A p,q (U) с ψ ω върху U. Доказателство: С индукция по 1 k n ще докажем твърдението за диференциалните форме ω A p,q+1 (D), които не зависят от dz k+1,..., dz n. Ако k 1, то ω ω I dz I dz 1 и тъждественото анулиране I p 0 ω n j2 ω I dz j dz j dz I dz 1 върху D изисква холоморфността на функциите ω I относно z 2,..., z n. За произволно фиксирано отворено подмножество U D с компактна затворена обвивка U D избираме гладка функция ρ с компактен носител Supp(ρ) D, която взема стойност 1 върху отворено подмножество V D, съдържащо U.
4. -ЛЕМА НА POINCARE 73 Гладките функции ω I (z 1,..., z n )ρ(z 1 ) имат компактен носител, така че по Лема 6.8 функциите η I (z 1,..., z n ) : 1 ω I (w, z 2,..., z n ) ρ(w) dw dw 2πi C w z 1 са гладки и η I (z 1,..., z n ) ω I (z 1,..., z n ). z 1 Чрез размяна на диференцирането и интегрирането получаваме η I (z 1,..., z n ) 1 z j 2πi Диференциалната форма η : ( 1) p η ( 1) p n I 0 C ω I (w, z 2,..., z n ) ρ(w) dw dw 0 за 2 j n. z j w z 1 η I dz I изпълнява равенството I p η I dz j dz I ( 1) p z j I p ω I dz 1 z I ω I dz I z 1 ω. I p Да допуснем, че твърдението е доказано за всички η A p,q+1 (D), които не зависят от dz k, dz k+1... dz n и ω A p,q+1 (D) не зависи от dz k+1,..., dz n. Представяме ω dz k α + β чрез диференциални форми α A p,q (D) и β A p,q+1 (D), които не зависят от dz k, dz k+1,..., dz n. Ако α α I,J dz I dz J, то съгласно ω 0 имаме I p J q α I,J z j 0 за j > k, защото събираемите на β не могат да са кратни на dz j dz k. Както в доказателството на случая k 1, за произволно фиксирано отворено подмножество U D с компактна затворена обвивка U D избираме гладка функция ρ с компактен носител Supp(ρ) D, която взема стойност 1 върху отворено подмножество V D, съдържащо U. Образуваме гладките функции ϕ I,J (z 1,..., z n ) : 1 2πi C α I,J (z 1,..., z k 1, w, z k+1,..., z n ) ρ(w) w z k dw dw за I {1,..., n} с I p и J {1,..., k 1} с J q. Ясно е, че ϕ I,J z j 0 за j > k. Съгласно Лема 6.8 имаме ϕ I,J z k (z 1,..., z n ) α I,J (z 1,..., z n ). За гладката диференциална форма ϕ(z 1,..., z n ) : представяме ϕ o + ϕ I p J {1,...,k 1}, J q k s1 I p J {1,...,k 1}, J q I p J {1,...,k 1}, J q ϕ I,J (z 1,..., z n )dz I dz J ϕ I,J z s dz s dz I dz J α I,J dz k dz I dz J ϕ o + dz k α
74 6. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФОРМИ. ЛЕМА НА POINCARE върху V като сума на dz k α и гладка диференциална (p, q + 1)-форма ϕ o, не зависеща от dz k, dz k+1,..., dz n. Следователно ω ϕ β ϕ o не зависи от dz k, dz k+1,..., dz n върху V. Непосредствено се вижда, че ω ϕ е -затворена. По индукционно предположение съществува гладка (p, q)-форма ψ A p,q (U), така че ω ϕ ψ. Следователно ψ : ϕ + ψ A p,q (U) изпълнява равенството ψ ω. Случаят k n доказва -лемата на Poincare, Q.E.D. Нека {r m } m1 R >0 е строго растяща редица от положителни реални числа. За произволна точка a C полагаме (a, ) : m1 (a, r m ) да е строго растящото обединение на дискове. За произволни ще казваме, че r (r 1,..., r n ) (R >0 { }) n и a (a 1,..., a n ) C n n (a, r) : n (a i, r i ) e обобщен полидиск. Горните разглеждания доказват следното Твърдение 6.10. Ако D n (a, r) i1 n i1 (a i, r i ) е обобщен полидиск, то кохомологичните групи H p,q (D) 0 се анулират за всички q 1.