МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно от останалите три? А) 0,6%от 60 Б) 6%от 6 В) 50 8 Г) 5. При x изразът x x x x x е тъждествено равен на: А) x Б) x В) x x Г) x x. Всички допустими стойности на израза x 7 x са: А) x ;7 Б) x ;7 В) x ;7 Г) x ;7 4. Решенията на неравенството x 4 0 x са: x Б) А) ; 4; В) ;4 x ;4 x Г) x; 4; 5. Стойността на израза log5 9 5 log5 5 е равна на: А) Б) 8 В) Г) 0
6. За x 0; стойностите на функцията, зададена графично на чертежа, са от интервала: А) 4;4 Б) 4; В) ;4 Г) ; 7. Броят на различните двойки ; xy xy, които са решения на системата 4xy 5, е: А) един Б) два В) три Г) четири 8. Стойността на израза si5.si 45.si 75 е равна на стойността на израза: А) si 45 Б) si 45 В) si 0si 45 Г) si0si 45 9. В правоъгълния ACB ( C 90 ) е построена височината CH ( H AB), а точките Mи N са съответно средите на AC и BC. Ако AC и AB, то отношението HM : HN е равно на: А) : Б) :5 В) :5 Г) 5: 0. На чертежа точката A е на разстояние 7 cm от центъра O на окръжност. Ако то диаметърът на окръжността е равен на: AB cm и BC 8cm, А) 7 cm Б) 8 cm В) 4 cm Г) 8 cm. Числата и 8 са корените на уравнението: А) В) х х х 4 0 Б) х 4 0 Г) x 4x 0 x 4x 0
. Ако за общият член на числова редица е., то 8 е: А) 7 Б) 5 В) 5 Г) 7. Частното на геометрична прогресия,,,..,,.., за която и 6 96, е равно на: А) 6 Б) 5 В) 6 96 Г) 4. Най-голямата стойност на израза si xcos x е равна на: А) Б) В) 0 Г) 5. Фирма изработва двуцветни шнурове чрез усукване на различни по цвят прежди. Колко различни шнура могат да се изработят, ако се използват 0 различни по цвят прежди? А) 0 Б) 45 В) 90 Г) 00 6. На диаграмата са показани заплатите на всички служители в малко предприятие. Средната заплата в предприятието е: А) 80 лв. Б) 600 лв. В) 660 лв. Г) 700 лв. 7. В ABC е построена височината CH ( H AB). Ако AC 5cm, BC 6cm и CH 4 cm, то радиусът на описаната около ABC окръжност е: бр. 4 400 600 800 000 A C 5 6 4 H лв. B А) 5 8 cm Б) 5 4 cm В) 5 cm Г) cm C 8. В ABC е построена медианата CM M AB. Ако АС = 4, АВ = 6 и cos CAB 9, то медианата СМ е равна на: 6 A M B А) 46 Б) 79 В) Г)
9. За трапеца ABCD AB CD е дадено, че OC : AC :, където O е пресечната точка на диагоналите. Ако лицето на триъгълника AOB е 6 cm, то лицето на DOC е равно на: А) 4 cm Б) 9 cm В) cm Г) 8 cm 0. В успоредника ABCD AB cm, BC 4 cm, а диагоналът D C BD 5cm. Разстоянието от върха A до правата ВС е равно на: А) cm Б), cm В) 6cm Г) cm A 5 B 4 Отговорите на задачите от. до 5. включително запишете в свитъка за свободните отговори!. Намерете произведението от реалните корени на уравнението 4 4x x 0.. Ако si и 90 ;80 5, то намерете стойността на израза tg cotg.. На диаграмите са дадени процентните разпределения на вноса и на износа на четири вида стоки за тримесечен период от време. Левовата равностойност на вноса за цитирания период е 0 милиона лева, а на износа 0 милиона лева. Ако х е сумата в лв. за внесената за този период техника, а у сумата в лв. за изнесената техника за същия период от време, то намерете отношението x y. 4
4. В четириъгълника ABCD ABC 90, AB 8cm, AD CD 9 cm и BC 6cm. Намерете лицето на четириъгълника. 5. Даден е ABC със страни AB 5сm, AC сm и ъглополовяща Намерете радиуса на вписаната в ABC окръжност. 5 AL сm. Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 6. до 8. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 6. Решете уравнението х 9 lg00 x. 7. Даден е равностранен ABC. На всяка от страните му са отбелязани по две точки, които я делят на равни части. Върху АС са взети точките A и A ( A е между A и A ), върху BС точките B и B ( B е между B и B ), а на AB точките C и C ( C e между A и C ). Построени са нови триъгълници, за които единият от върховете е връх на ABC, а останалите два са измежду отбелязаните точки на делене, които лежат на страните на дадения триъгълник, пресичащи се в избрания връх. Определете броя на всички такива триъгълници. Аргументирайте и запишете всички триъгълници, които са получени по посочения начин и са подобни на ABC. Намерете вероятността при случаен избор на един от новите триъгълници, той да е подобен на ABC. 8. Трапецът ABCD AB CD, AB CD е вписан в окръжност с радиус 4. Ако 7 si BAD и AD 7, докажете, че в трапеца може да се впише окръжност и намерете радиуса ѝ. 5
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ± D x + x+ c= 0, 0 D= 4c x,= при D 0 c x + x+ c= ( x x)( x x) Формули на Виет: x+ x= xx = Квадратна функция Графиката на D = + +, 0 е парабола с връх точката ; 4 y x x c Корен. Степен и логаритъм k k = m =, 0 m x = log = x + + = при k N k k m m = = k log k = log mk m = при 0, k, x и m,, k N = x при > 0, > 0 и Комбинаторика Брой на пермутациите на елемента: P=. ( )... =! k Брой на вариациите на елемента k -ти клас: V =. ( )...( k+ ) k k V. ( )...( k+ ) Брой на комбинациите на елемента k -ти клас: C= = P k. ( k )... Вероятност за настъпване на събитието A: брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи ( ), p A = p ( A) d Аритметична прогресия: = + ( ) Геометрична прогресия: Прогресии. = q p Формула за сложна лихва: K= K. q = K. + 00 k 0 ( ) + d S= = + q S=, q q
Зависимости в триъгълник и успоредник Правоъгълен триъгълник: c = + S= = ch c = c = c + c hc = r= siα= cosα= tgα= cotgα= c c Произволен триъгълник: c siα siβ siγ = + c c cosα = + c c cosβ c = + cosγ = = = R Формула за медиана: m = + c m = + c mc = + c 4 4 4 ( ) ( ) ( ) Формула за ъглополовяща: = m Формула за диагоналите на успоредник: lc = m d + d = + Триъгълник: Успоредник: S= ch c S= pr Четириъгълник: S= dd siϕ Описан многоъгълник: S= pr Формули за лице S si c S= 4R = γ S= p( p )( p )( p c) S= h S= siα Трапец: Тригонометрични функции + S= h α 0 0 45 60 90 α rd 0 siα 0 cosα tgα 0 π 6 cotgα π 4 π π 0 0
α 90 α 90 +α 80 α si siα cosα cosα siα cos cosα si α siα cosα tg tgα cotgα cotgα tgα cotg cotgα tgα tgα cotgα si( α±β= ) siα cosβ± cosα siβ ( ) tgα± tgβ tg( α±β ) = tgα tgβ cosα±β= cosα cosβ siα siβ cotgα cotgβ cotg( α±β ) = cotgβ± cotgα si α= siα cosα cos α= cos α si α= cos α = si α tgα cotg α tg α= cotg α= tg α cotgα α= ( α ) cos α= ( + cos α ) si cos α+β α β α β α+β siα+ siβ= si cos siα siβ= si cos α+β α β α+β α β cosα+ cosβ= cos cos cosα cosβ= si si α α cosα= si + cosα= cos si si cos cos siα cosβ= siα+β+ siα β α β= ( ( α β ) ( α+β )) cosα cosβ= ( cos( α β+ ) cos( α+β )) ( ( ) ( ))