ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ДРОЗ-ФАРНИ, ОПРЕДЕЛЕНО ОТ ОПИСАНО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Математика и информатика Volume 59 Nume 4 6 Mthemtis nd Infomtis Edutionl Mttes Научно-методически статии ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ДРОЗ-ФАРНИ ОПРЕДЕЛЕНО ОТ ОПИСАНО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ Сава Гроздев Веселин Ненков Висше училище по застраховане и финанси Технически колеж Ловеч Резюме Във връзка с описаните за даден триъгълник ABC конични сечения е установено едно обобщение на известна теорема на Дроз-Фарни Описаното обобщение е свързано със специални вписани за ù конични сечения Kewods: tingle oni Eule ile Eule line onjugte line Увод Геометрията на триъгълника е изпъстрена с прости и красиви теореми Една от тях е открита през 899 г от швейцарския математик Арнолд Дроз-Фарни (856 9 Тази теорема може да се формулира по следния начин Теорема на Дроз-Фарни Перпендикулярните прави l и l минават през ортоцентъра H на ABC Ако l i ( i = пресича правите BC CA и AB съответно в точките A i B i и C i ( i = то средите A B и C съответно на отсечките AA BB и CC лежат на една права d Любопитно е че теоремата на Дроз-Фарни често привлича вниманието на математиците като предизвиква търсене на различни доказателства и обобщения Синтетични доказателства на тази теорема могат да се намерят в Бележките 3 а аналитични доказателства се съдържат в (Shgin 986 (Klov 5 и (Nenkov 996 Освен това в Бележката 3 е доказано твърдението на Ван Ламоен че ако точките A B и C делят отсечките AA BB и CC в едно и също просто отношение те отново лежат на една права Друго обобщение получено с проективни средства е представено в Бележката 4 където H е произволна точка в равнината на ABC Показано е че средите A B и C съответно на отсечките AA BB и CC лежат на една права d тогава и само тогава когато правите l и l са допирателни за парабола вписана в ABC Самата права d също е допирателна за параболата В Бележката 5 е изяснено че ако правите минаващи през върховете на ABC и успоредни на срещуположните им страни образуват ABC то правите l и l от Бележката4 са спрегнати диаметри на коничното сечение което има за център точката H и е 35

Сава Гроздев Веселин Ненков описано за ABC Във връзка с коничните сечения трябва да се отбележи и това че в оригиналната теорема на Дроз-Фарни правите d са допирателни за едно специално конично сечение вписано в ABC Целта на настоящата работа е да се покаже едно обобщение на теоремата на Дроз-Фарни от гледна точка на описаните за триъгълника криви от втора степен Споменатите по-горе резултати ще се получат по естествен начин от настоящите изследвания Така ще покажем друг начин за доказване на споменатите резултати свързани с конични сечения Освен това ще намерим и някои нови резултати Разглеждаме произволен триъгълник ABC Спрямо ABC ще използваме барицентрични координати като A ( B ( и C ( (Godev & Nenkov 5 Средите на страните BC CA и AB означаваме съответно с M M и M а с G 3 3 3 медицентъра на ABC В равнината на ABC ще разглеждаме произволно конично сечение ( x + + = Координатите на точките от k ( O удовлетворяват уравнението k O с център O( x ( ( x x + x + x = Преди да преминем към обобщението на теоремата на Дроз-Фарни ще припомним някои понятия свързани с описаната крива Освен това в някои от изследванията ще използваме програмата The Geomete s Skethpd (Gsp ( ( ( 35 Фигура Ойлерова права и Ойлерова крива асоциирани с описана за триъгълника крива Забележителните за триъгълника права на Ойлер и ок-

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни ръжност на Ойлер могат да се обобщят спрямо произволна описана за ABC крива Определяме правите h h и h като минаващи съответно през върховете A B и C и успоредни съответно на правите OM OM и OM (фиг Тези прави се пресичат в една точка H( x която се получава от O посредством равенството GH = GO Тъй като точка- та H притежава свойства подобни на ортоцентъра ще я наричаме ортоид на ABC относно k ( O а правата OH Ойлерова права асоциирана с k ( O (фиг Средите на отсечките AH BH CH и точките M M M h BC h CA h AB лежат на едно конично сечение Ω което ( наричаме Ойлерова крива асоциирана с k O (фиг (Mteev 977 Уравнението на Ойлеровата крива може да се представи във вида: ( Ω : ( x x + ( x + ( x ( ( x ( ( x ( x ( ( x 4 + + + + = Ойлеровата крива Ω има за център средата x F на отсечката OH (фиг Нека страните BC CA и AB на ABC минават съответно през върховете A B и C на ABC като са съответно успоредни на BC CA и AB (фиг Кривата k ( H която има за център точката H и е описана около ABC е хомотетична на k ( O с център на хомотетия G и коефициент (фиг Затова спрегнатите диаметри на k ( H са спрегнати прави спрямо k ( O Това наблюдение обяснява връзката на изследванията които следват с описаното в Бележката 5 пояснение към работата в Бележката 4 3 Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни Тъй като ортоидът H спрямо k ( O има свойства подобни на тези на ортоцентъра спрямо описаната за триъгълника окръжност то е естествено в оригиналната теорема на Дроз-Фарни да заместим ортоцентъра с ортоида От друга страна перпендикулярните прави в теоремата на Дроз-Фарни са спрегнати спрямо описаната окръжност Затова е естествено да заменим тези прави с прави през ортоида H които са спрегнати спрямо k ( O Нека αβγ ( α + β + γ = Тогава параметричните уравнения на l се изразяват с равенствата ( 3 : l е права през H която е колинеарна с вектор ( l x= x + αt = + βt = + γ t 353

Сава Гроздев Веселин Ненков Преди да продължим за да се опрости записът на някои от следващите изрази въвеждаме следните означения: ( ( p = β γ p ( ( = x γ α = ( α ( β ( ( ( p x Оттук се получават равенствата f = x x βγ + γα + αβ ( 4 pp = f( x βγ pp = f( γα pp = f( αβ От ( 3 и уравненията на правите BC CA и AB намираме че точките A = l BC B = l CA и C = l AB имат следните координати p p ( 5 A α α p p B β β p p C γ γ 354 Фигура Нека сега правата l минаваща през H е спрегната с l спрямо k ( O Ако векторът ( α β γ е спрегнат с ( αβγ то уравненията на l записваме във вида ( 6 : l x x α t = + = + β t = + γ t

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни От резултатите за спрегнати вектори получени в (Godev & Nenkov 5 следва че са изпълнени равенствата: α =( x p β =( p γ =( p От тези равенства от ( 6 и от уравненията на правите BC CA и AB намираме че точките A = l BC B = l CA и C = l AB имат следните координати ( 7 A B C ( γ ( ( x γ ( p α p ( x α ( p p p β p β Нека е реално число а точките C са такива че са изпълнени равенствата AA 5 и ( 7 за координатите на точките ( 8 BB A CC B и AA = BB = CC = Тогава от ( A ( ( B и C получаваме ( ( f γα f + αβ A ( ( αp αp f + ( ( x ( βγ f ( αβ B ( βp ( βp ( ( ( ( f x βγ f + γα C ( γ p ( γ p Сега да отбележим че точките M( x M ( x M ( x лежат на една права тогава и само тогава когато е изпълнено равенството ( x 9 x x = 355

Сава Гроздев Веселин Ненков От ( 8 и ( 9 получаваме че точките A (фиг чието уравнение е следното ( : d B и ( ( ( γα ( ( ( ( αβ ( ( ( βγ ( ( C лежат на една права f f αβ x+ + f f x βγ + + f x f γα = По този начин получихме следното обобщение на теоремата на Дроз-Фарни Теорема Спрегнатите спрямо описаното конично сечение k ( O прави l и l минават през ортоида H на ABC определен от k ( O Ако l i ( i = пресича правите BC CA и AB съответно в точките A i B i и C i ( i = то точките A B и C делящи съответно отсечките AA BB и CC в просто отношение лежат на една права d (фиг Правата d ще наричаме обобщена права на Дроз-Фарни съответстваща на спрегнатите спрямо k ( O прави l и l В случая при който = приемаме че A A B B и C C В този случай от теорема се получава следното Следствие Средите A B и C на отсечките AA BB и CC лежат на една права d (фиг Правата d ще наричаме права на Дроз-Фарни съответстваща на спрегнатите спрямо k ( O прави l и l От ( при = се получава че уравнението на правата на Дроз-Фарни спрямо k ( O има следното уравнение f ( γα f ( αβ x+ ( d : + f ( αβ f ( x βγ + + f ( x βγ f ( γα = 4 Крива на Дроз-Фарни Ако с помощта на GSP извършим някои целенасочени наблюдения се забелязва че когато правите l и l описват множеството на всички двойки спрегнати спрямо k ( O прави които минават през точката H правата на Дроз-Фарни d описва множеството от допирателните към едно вписано в ABC конично сечение Затова си поставяме задачата да определим тази крива и някои нейни свойства d 356

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни Лесно се забелязва че правата m спрегната на CH е успоредна на AB Оттук се вижда че правата на Дроз-Фарни съответстваща на тези спрегнати прави минава през средата на CH (фиг Аналогични свойства притежават и правите m и m които са спрегнати съответно на AH и BH (фиг Сега с GSP лесно се построява крива която се допира до правите BC CA AB m m и m (фиг Наблюденията с GSP ни показват че построената крива се допира до правата m в пресечната точка на m и OC (фиг Тъй като правите m и OC имат съответно уравнения = и x x = x то за координатите на пресечната им точка T получаваме T Аналогично се определят координатите на точките T = m OA и T = m OB Така като обобщим получените резултати имаме ( x x T x x x x T x T Наблюденията с GSP показват още че центърът на построената крива съвпада с центъра F на Ойлеровата крива Ω (фиг Следователно ако кривата се допира до BC CA и AB съответно в точките T T и то тези точки са симетрични съответно на T T и T спрямо F (фиг Така за координатите на точките T T и T намираме ( 3 T x x x T x T Сега ще намерим уравнението на кривата от втора степен k която минава през точките T T T T T и T За целта извършваме смяна на координатния триъгълник ABC с TTT Ако координатите на точка P спрямо ABC са ( x а спрямо TTT са ( x то са изпълнени равенствата ( 4 x= + От ( 4 следват и равенствата x x x = x + x = + [9] x x ( 5 x = ( xx + + = ( xx + ( xx x = + x 357

Сава Гроздев Веселин Ненков x Тъй като спрямо ABC точката F има координати xf = F = F = то за координатите ( x F F F на F спрямо TTT от ( 5 x се получават равенствата x F = F = F = Сега от ( следва че уравнението на k е от вида ( x F x F + ( F Fx + ( F Fx = След заместване в последното равенство на координатите на F и равенствата ( 5 получаваме уравнението 358 k ( x ( x ( x ( x x ( x ( 6 : + + + + + + = Сега остава да докажем че намерената крива притежава свойството да се допира до всяка права d с уравнение ( След заместване на от равенството = x в ( f получаваме ( γα f ( x βγ + pβ x = pα f ( x βγ Този израз за заместваме в уравнението ( 6 на кривата k и след известни преобразувания установяваме че полученото квадратно уравнение притежава двоен корен x = f ( x βγ x където τ τ= f + x x βγ + γα + αβ Сега се ( ( ( връщаме към предишните две равенства и получаваме останалите две координати на допирната точка ( T xt T T на правата d с k След обобщаване на получените резултати имаме: ( 7 f ( x βγ x x T = ( γα T τ τ където f = ( ( ( ( f αβ T = τ= x x βγ + γα + αβ f Следователно всяка права d на Дроз-Фарни наистина се допира до кривата k Така доказахме следната Теорема Когато правите l и l описват множеството на всички двойки спрегнати спрямо k ( O прави които минават през точката H съответната права на Дроз-Фарни d описва множеството от допирателните към едно вписано в ABC конично сечение k τ

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни Фигура 3 \ Кривата k ще наричаме крива на Дроз-Фарни спрямо описаната крива k ( O Тази крива притежава някои интересни свойства Първо ще отбележим че видът на k може да се определи като се реши системата от уравнението на безкрайната права x+ + = и уравнението ( 6 на k След елиминиране на от тези уравнения получаваме ( x + ( x x + ( x = Дискриминантата на тази квадратична форма е = 4x Оттук следва че видът на кривата на Дроз-Фарни k зависи само от положението на центъра O По-специално кривата k никога не е парабола Зависимостта на вида на кривата на Дроз- Фарни k от положението на центъра O на описаната крива k ( O в равнината на ABC е показана на фиг 3 Различни видове криви k са показани на фиг 4 5 6 На тези фигури се забелязва че съществуват всички възможни комбинации от видове на двойките криви k ( O и k Наблюденията с GSP показват още че е изпълнена следната Теорема 3 Кривата на Дроз-Фарни k и Ойлеровата крива Ω се допират в точки лежащи на Ойлеровата права асоциирана с k ( O (фиг 4 5 6 Доказателството на това твърдение се получава лесно чрез следните пресмятания Уравнението на Ойлеровата права е ( x+ ( x + ( x = От това уравнение и равенството = x получаваме ( 3 x x + = След заместване на това 3x равенство в уравненията ( и ( 6 на кривите k и Ω получаваме квад- 359

Сава Гроздев Веселин Ненков ратното уравнение x ( x x ( x ( ( x( ( x = където 4 4 = Това означава че кривите k и Ω пресичат Ойлеровата права в една и съща двойка точки Освен това от = x и уравненията ( и ( 6 получаваме че общите точки на кривите k и Ω удовлетворяват същото уравнение Следователно концентричните криви и Ω имат само две общи точки лежащи върху техен общ диаметър Ойлеровата права Затова те се допират в тези точки k 36 Фигура 4 По отношение на обобщените прави на Дроз-Фарни експериментите с GSP показват че теорема не е вярна 5 Парабола на Дроз-Фарни От проективни съображения следва че петте прави = BC = CA = AB и l са допирателни за еднозначно определено конично сечение π [] Затова е интересно на намерим уравнението на кривата π допираща се до тези прави За намирането на уравнението на кривата π е необходимо да знаем допирните ѝ точки с правите

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни l и l Тези точки ще определим с помощта на теоремата на Брианшон (Mteev 977 За да определим допирната точка P на π с правата прилагаме теоремата на Брианшон за правите l l Тук правите CH и AA се пресичат в точка K която лежи на правата през C и P От уравненията на CH и AA лесно се намират координатите на пресечната им точка ( x ( ( γ γ β K β + α β + α β + α получаваме pγ pβ P pα pα Сега от уравненията на правите CK и По аналогичен начин след прилагане на теоремата на Брианшон за последователностите от шесторки прави l l и l l се получават координатите на допирните точки P и P на π съответно с и Така като обобщим резултатите имаме ( 8 pγ pβ pγ pα pγ pα P pα pα P pβ pβ P pγ pγ Фигура 5 Допирната точка P на правата l с π определяме от теоремата на Брианшон за последователността от прави l l l Тук правите CH и AC се пресичат в точка L която лежи на правата през A и P От уравненията на CH и AC намираме коорди- 36

Сава Гроздев Веселин Ненков натите на пресечната им точка L ( p ( ( β = x βγ γα + 4 αβ x L ( x p ( ( β = x βγ γα + 4 αβ x β + α γ x βγ γα + 4 αβ ( ( L = ( ( Сега от уравненията на правите AL и l получаваме pp pp pp ( 9 P βγ γα αβ Допирната точка P на правата l с π определяме от теоремата на Брианшон за последователността от прави l l l Тук правите CH и AC се пресичат в точка L която лежи на правата през A и P От уравненията на CH и AC намираме координатите на пресечната им точка x L L = = ( x( pγ ( ( 4 4( + 4( x x βγ γα αβ ( pγ ( ( 4 4( + 4( x x βγ γα αβ ( x( 4 4x βγ + 4( αβ ( ( 4 4( + 4( L = x x βγ γα αβ Сега от уравненията на правите AL и l получаваме ( ( x ( ( βγ γα αβ P pp pp pp 36 Фигура 6

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни По-нататък ще намерим уравнението на кривата от втора степен π която минава през точките P P P P и P За целта извършваме смяна на координатния триъгълник ABC с PPP Ако координатите на точка P спрямо ABC са ( x а спрямо PPP са ( x то са изпълнени равенствата ( p γ p β = p β p γ x (Godev & Nenkov 4 От ( следват и равенствата ( p γ p α = p α p γ x pα x = p x+ p + p ppβγ ( α β γ pβ = p x p + p ppγα ( α β γ pγ = p x+ p p ppαβ ( α β γ p β p α = p α p β x От ( 9 ( и ( намираме че координатите на P и P спрямо PPP са следните ( 3 p p p P βγ γα αβ ( ( ( ( x ( x ( α β γ P pp pp pp Уравнението на π спрямо PPP има вида + x + 33x = След заместване на координатите ( 3 в това равенство намираме че 3 3 3 = p α = p β и = p γ Сега като заместим тези равенства и 33 равенствата ( в уравнението на кривата окончателно получаваме ( 4 π : pα + pβ x + pγ x ( pα x + pβ + pγ ( x + + = След заместване на =x в ( 4 получаваме равенството ( p βx pα = Това равенство означава че кривата π е парабола От последното равенство лесно се вижда още че параболата π има ос направ- p p α p β p γ лението на която се определя от вектора ( 363

Сава Гроздев Веселин Ненков Сега ще докажем че намерената парабола притежава забележителното свойство да се допира до всяка права d с уравнение ( След заместване на от равенството = x в ( получаваме ( ( ( ( ( ( p α f ( ( x βγ f γα f x βγ + pβ x = Този израз за заместваме в уравнението ( 4 на параболата π и след известни преобразувания установяваме че полученото квадратно уравнение притежава двоен корен f ( ( x βγ x = Сега се връщаме към предишните две равенства и получаваме останалите две координати на допирна- ( pp βγ та точка U( xu U U на правата d с π След обобщаване на получените резултати имаме: ( 5 x U U U ( ( f x βγ = ( ppβγ ( ( f γα = ( ppγα ( ( f αβ = ( ppαβ Следователно правата d се допира до параболата π в точка U чиито координати се изразяват с равенствата ( 5 Оттук следва че ако пробягва множеството на реалните числа обобщените прави d на Дроз-Фарни описват множеството на всички допирателни на вписаната в ABC парабола π Така доказахме следната Теорема 4 Ако l и l са две фиксирани спрегнати спрямо k ( O прави които минават през ортоида H то множеството на всички прави на Дроз- Фарни определени от l и l образуват обвивка на парабола π вписана в ABC От равенствата ( 5 се вижда че правата на Дроз-Фарни d се допира до параболата π в точката U( xu U U чиито координати се изразяват с равенствата: f ( x βγ ( 6 x f ( γα f U = U = ( αβ U = ppγα ppαβ ppβγ 364

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни Още едно любопитно свойство на допирателните към параболата π е свързано с хармонично спрегнатите точки A B C съответно на A B C спрямо съответните двойки точки A A ; B B ; C C От ( 5 следва че координатите на допирателната d към π минаваща през точките A B и C получаващи се при заместването на с се определят с равенствата ( 7 x U U U ( ( f + x βγ = ( + ppβγ ( ( f + γα = ( + ppγα ( ( f + αβ = ( + ppαβ Заместваме координатите на точките U и U от ( 5 и ( 7 и координатите xh = x H = H = на H в лявата страна на ( 9 След извършване на известни преобразувания се получава че ( 9 е вярно равенство Така получаваме следното Следствие Точките U и U лежат на една права с ортоида H В случая когато разглеждаме правата на Дроз-Фарни d правата d е безкрайната права Тя от своя страна се допира до параболата π в нейната безкрайна точка Следователно правата HU е колинеарна с оста на параболата Това се доказва и като се забележи че HU е колинеарен с вектора p( pα pβ pγ който определя направлението на оста на параболата π Фигура 7 365

Сава Гроздев Веселин Ненков Заключение Полученото обобщение на теоремата на Дроз-Фарни беше съпроводено с описанието на две специални вписани за ABC криви които са определени от описаното конично сечение k ( O Всъщност правите на Дроз-Фарни и обобщените прави на Дроз-Фарни определят две криви от втори клас при дадено описано за триъгълника конично сечение NOTES / БЕЛЕЖКИ Pmfilos P o-fn n invese view http://wwwesehgtenet/ pulition/73695589_o-fn_n_invese_view Ame J-L A Puel Sntheti Poof of the o-fn Line Theoem http:// foumgeomfuedu/fg4volume4/fg46pdf 3 Pohot C Son Hong T A Shot Poof of Lmoen s Genelition of the o-fn Line Theoem http://geometu/tiles/shot-o-fnpdf 4 Ehmnn J-P Floo vn Lmoen A Pojetive Genelition of the o-fn Line Theoem http://foumgeomfuedu/fg4volume4/fg47pdf 5 Ths C A Note on the o-fn Theoem http://wwwesehgtenet/ pulition/385384_a_note_on_the_o-fn_theoem 366 REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА Shgin I (986 Zdhi po geometii Plnimeti Moskv: Nuk d 6 57 58 [Шарыгин И (986 Задачи по геометрии Планиметрия Москва: Наука зад 6 57 58] Klov E(5 Belehki po teoemt n o-fni Mtemtik 7 8 [Карлов Е(5 Бележки по теоремата на Дроз-Фарни Математика 7 8] Nenkov V (996 N-estestvenite koodintni osi teoemt n o Fn Mtemtik i infomtik 78 79 [Ненков В (996 Най-естествените координатни оси за теоремата на Дроз-Фарни Математика и информатика 78 79] Psklev G & I Chonov (985 Zelehitelni tohki v tiglnik Sofi: Nodn posvet [Паскалев Г & И Чобанов (985 Забележителни точки в триъгълника София: Народна просвета] Godev S & V Nenkov (4 Ooshteni nekotoh klssiheskih teoem geometii teugolnik Teoetiheskie i pikldne spekt mtemtiki infomtiki i oovni Sonik mteilov mehdunodno nuhno konfeentsii Ahngelsk: SAFU 35 54 [Гроздев С & В Ненков (4 Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника Теоретические и

Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни прикладные аспекты математики информатики и образования Сборник материалов международной научной конференции Архангельск: САФУ 35 54] Godev S & V Nenkov (5 Geometihn konstuktsi n kiv n Chev Mtemtik i infomtik 5 57 [Гроздев С & В Ненков (5 Геометрична конструкция на крива на Чева Математика и информатика 5-57] Mteev A (977 Poektivn geometi Sofi: Nuk i ikustvo [Матеев А (977 Проективна геометрия София: Наука и изкуство] GENERALIZATION OF ROZ-FARNY THEOREM EFINE BY A CIRCUM-CONIC Astt A genelition of well-known theoem of o-fn is estlished onening the ium-onis of given tingle ABC The desied genelition is onneted with speil ium-onis of ABC Pof Sv Godev S Univesit of Finne Business nd Entepeneuship Gusl St 68 Sofi Bulgi E-mil: svgodev@gmilom Veselin Nenkov Asso Pof Tehnil College Loveh 3 Sjko Sev St Loveh Bulgi E-mil: vnenkov@milg 367