CP_notes15

Препис

1 ПРОГРАМИРАНЕ И ИЗЧИСЛИТЕЛНА ФИЗИКА, 5 г.. Принципи на числения анализ. Особености на машинните пресмятания.... Преки методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Итеративни методи за системи с големи разредени матрици Подобряване на точността на числени оценки Интерполация Числено интегриране Обикновени диференциални уравнения Нелинейни уравнения Минимизация Генериране на случайни числа с избрано разпределение Моделиране на данни Собствени стойности и собствени вектори на матрица... 9 Литература... /

2 . Принципи на числения анализ. Особености на машинните пресмятания Изчислителна физика е специфично приложно поле на числения анализ, състоящо се в изучаване и прилагане на числени алгоритми за решаване на задачи на физиката, за които съществува количествена теория. Предмет на числения анализ е създаването, прилагането и изучаването на методи за решаване на математически задачи чрез машинно изпълнявана последователност от аритметични действия. Това включва три свързани помежду си кръга от дейности: получаване на числени стойности на решения на уравнения, пресмятане на стойности на математически изрази, функции, функционали и т.н.; разработване на методи (числени алгоритми за намиране на такива стойности; анализ на свойствата на тези методи. Крайна приложна цел на числения анализ е ефективното пресмятане на точни приближения на решенията на математически задачи. Двата основни типа затруднения при постигането на тази цел са: неизбежните грешки от закръгление, възникващи в хода на пресмятанията; съществуването на задачи, чието точно решаване изисква безкраен обем информация и/или безкраен брой изчислителни операции. Практическата невъзможност за удовлетворяване на това изискване налага търсенето на приблизително решение, чието отклонение от точното решение се нарича грешка от дискретизация. Някои принципи и особености на изчислителните методи за решаване на математически задачи са илюстрирани в следващите раздели напр. чрез задачите за диференциране, интегриране, решаване на линейни и нелинейни алгебрични уравнения, интегриране на обикновени диференциални уравнения и т.н. /

3 Особености на представянето на числени данни Цели числа Общият модел за представяне на едно цяло число е: s q w r, ( където е цялото число, s е неговият знак ( или -, q е броят числови позиции (разряди за представяне на числото, r е основата на бройната система, а w < r са неотрицателни множители. При машинно представяне на целите числа основата на бройната система е r, а броят числови позиции е q 7, 5 или. Така, при q 7 и записване на знака в най-левия двоичен разряд (бит (напр. чрез за и за -, поредицата ще съответствува на Приетото в примера кодиране на знака изисква различни алгоритми за събиране и за изваждане, а също така излишно въвежда два записа на нулата. По тази причина се прилага т.нар. допълнително представяне на целите числа, при което (отново при q 7 и един двоичен разряд за знака с поредиците се кодират последователно числата от до 7, а с поредиците,,,, съответно числата -, -, -,, -8. Така събирането и изваждането се реализират с един общ алгоритъм за събиране на числа със знак. Пълният брой различни цели числа, които могат да се запишат в поредица от бита е, като тези числа ще бъдат в диапазона от - - до - -. Алгоритъмът за записване на отрицателно число е следният: а Числото се записва като положително. Например, за 6: б Битовете се инвертират. За горния пример: в Към полученото се добавя : И наистина, 6-6 При операциите между аритметични данни от цял тип е важно да се помни, че: /

4 резултатът от операцията ще бъде също от цял тип напр. 7/ ще даде, 8/ ще даде, и т.н. ефектът от препълване е такъв, че напр. при 8 резултатът от операцията 5 5 ще бъде -6. Реални числа Стойността на едно реално число се кодира чрез стойностите на две цели числа мантиса и показател :, ( където е броят двоични позиции на полето за запис на мантисата. Стандартните пълни дължини на полето за запис на едно реално число са и 64. При дължина за мантисата се отделят 4 бита, а за показателя 8 бита. При дължина 64 за мантисата се отделят 54 бита, а за показателя бита. При така приетия начин на кодиране, ако мантисата се записва като цяло число в допълнително представяне, нейните възможни стойности ще бъдат в интервала [-,, и числото. няма да има точен машинен запис. Този голям недостатък се преодолява, като мантисата се представя поотделно чрез своя знак, за който се отделя бит, и своя модул, за който остават - бита. Показателят като правило се записва като цяло число в допълнително представяне. Теглото на най-младшия бит на мантисата, ε, се нарича машинен епсилон. Например, при дължина на полето за запис на едно реално число ( 4 8 бита, ε.9 7. Машинният епсилон е мярка за минималното представимо относително разстояние между две съседни реални числа и обуславя ограничената точност на машинните аритметични операции с такива числа. По тази причина обикновено се приема, че относителната грешка на машинното представяне на едно реално число е ε, тъй като това е горната граница на ефекта от закръгление до най-близкото представимо число. Както ще бъде показно по-долу, обаче, относителната грешка на резултата от аритметична операция между две реални числа в някои случаи може да бъде много по-голяма. 4/

5 При 8 бита за запис на показателя, неговите възможни стойности са между -8 и 7. Следователно, модулът на четирибайтовите реални числа е в диапазона от до Очевидните ограничения при аритметичните операции с реални числа са: опасност от препълване (заради ограниченото поле за запис на показателя; очаквана относителна грешка на резултата не по-малка от ε (заради ограниченото поле за запис на мантисата. В частност, ε 7 при четирибайтови реални числа;.9 опасност от катастрофална загуба на точност при изваждане на две почти равни числа. Нека, например, двоичните представяния на две реални числа са с еднакви показатели, а мантисите им се различават помежду си само по съдържанието на най-младшия бит. Ясно е, че в този случай ефективният брой битове, в които може да се запише мантисата на резултата, е два (един един за знака вместо 4. Така относителното тегло на грешката от закръгление на разликата, което иначе за всеки от операндите типично е съизмеримо с ε, при разглеждания пример ще бъде близко до /. Устойчивост на алгоритмите Устойчив е такъв алгоритъм, при който малки грешки във входните данни водят до контролируемо малки грешки в резултата. Неустойчив е алгоритъм, при който малки грешки във входните данни могат да доведат до непропорционално големи грешки в резултата. Неустойчивостта може да бъде и присъщо свойство на решаваната задача. Въпросът за устойчивостта на един алгоритъм може да бъде илюстриран чрез следния пример. Нека задачата е да се пресметнат интегралите: E d e,,,... ( Чрез интегриране по части може да се покаже, че 5/

6 E e e de e e e e e d, (4 d E,,,... където E de e e d e e. e Ако рекурентната връзка (4 се избере за алгоритъм за решаване на задачата (, този алгоритъм ще бъде неустойчив по следната причина. Стойността на E, с която се стартира алгоритъмът, неизбежно ще съдържа относителна грешка от закръгление, обусловена от ε. Нека, в частност, абсолютната грешка на E е δ ε E, т.е. машинното представяне на E е E, а точната стойност е E. Поради по-големите от и нарастващи множители в рекурентната връзка (4, точната (без натрупване на допълнителни грешки от аритметичните операции пресмeтната стойност на E ще бъде E δ. Така, абсолютната грешка на E ще бъде δ δ δ, абсолютната грешка на E ще бъде δ δ δ, а абслоютната грешка на E! δ. Относителната грешка ще нараства даже по-бързо, тъй като от ( се вижда, че < E < E. Например, при действителна стойност на E.84 и четирибайтово представяне на реалните числа ( ε 7 абсолютната грешка ще възлезе на.6, а относителната ще бъде.9..9 На основата на (4 може да се изгради устойчив алгоритъм по следния начин: E E,...,,, (5 За стартиране може да се използува оценката: E d e d, (6 (Това е така, защото при, e. e или, при достатъчно голямо, може да се започне с E. На всяка стъпка абсолютната грешката на текущата оценка E ще се умножава с /. (Относителната грешка ще намалява по-бързо от абсолютната, защото 6/

7 < E < E бъде не по-голяма от. Тогава, например, при стартиране с, абсолютната грешка на E ще (В действителност, поради неточност на операциите в (5, не може да се разчита на относителна грешка на резултата, по-малка от ε. 7/

8 . Преки методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Задачата е да се реши системата от нехомогенни линейни алгебрични уравнения: A b, ( където b е ненулев вектор. Системата ще има ненулево решение само ако ( det A. Така наречените преки методи за решаване на задачата ( изискват краен брой аритметични операции и при липса на грешки от закръгление водят до точно решение. Неточността на преките методи за решаване на такива линейни системи се обуславя единствено от грешките от закръгление (грешки от дискретизация няма. Както ще бъда показано в края на този раздел, освен от прилагания метод, тази неточност ще зависи и от т.нар. число на обусловеност на матрицата A на системата. Гаусова елиминация Методът се състои в съставяне на система U, ( чието решение съвпада с това на ( и чиято матрица U е горна триъгълна, т.е. u, >. Смисълът на преминаването от ( към ( е, че система с триъгълна матрица може да се реши чрез последователно заместване: u u u,, u u ( Процедурата за изграждането на системата ( се базира на едно от основните свойства на линейните системи, съгласно което заместването на дадено уравнение с 8/

9 линейна комбинация между него и които и да е други уравнения не променя решението на системата. В този смисъл, построяването на ( може да стане съгласно следния алгоритъм: за {за,..., :,..., : {добавяне към -тото уравнение на -тото, умножено с т.е. ~,,..., ~ b b ; така че новата стойност на да стане нулева}. } Очевиден проблем на този алгоритъм е, че знаменателят b, } (4, наричан водещ елемент, може да се случи нулев или много малък по модул, така че действията в найвътрешния цикъл да не могат да се изпълнят. За преодоляване на този проблем се използува друго основно свойство на линейните системи размяната на реда на уравненията не променя решението на системата. Така, в хода на външния цикъл, за всяко, т.е. всеки стълб, се търси максималният по модул матричен елемент измежду,,...,. Ако това е, -тото уравнение се разменя с -тото, след което се пристъпва към елиминацията (4. Новият водещ елемент ще бъде максимален по модул измежду всички възможни, а модулите на множителите ще бъдат минимални. Търсенето (и размяната не засягат елементите над реда, защото ще се наруши постигнатата до момента частична горна триъгълна структура на матрицата. Тази процедура, наречена избор на водещ елемент, повишава устойчивостта на алгоритъма и съответно точността на решението на системата по следната причина. новите стойности ~ (,,..., и на b (,..., ~ се формират чрез добавяне към старите на относително най-малка по модул добавка (измежду възможните. Така се потиска натрупването на грешки от закръгление (виж казаното по повод на устойчивостта в Глава и се минимизира рискът от катастрофална загуба на точност поради вадене на близки числа. Действително, от (4 следва, че в граничния случай на много голям множител << и b b, когато <<, -тото уравнение на системата ще бъде изцяло подменено с -тото и системата ще стане неопределена. В междинните случаи 9/

10 ефектът от грешките от закръгление при пресмятане на ~ и b ~ поради голям множител, т.е. малък по модул водещ елемент, ще бъде частична загуба на информация за -тото уравнение, изразяваща се в доближаване на матрицата U на крайната система ( до особената, т.е. до повишаване на нейното число на обусловеност. LU разлагане Методът се състои в намиране на долна триъгълна матрица L и горна триъгълна матрица U, такива, че A LU. Ако това бъде направено, системата ( може да се реши чрез две серии от последователни замествания: ( U L b L b. U Предимствата на този метод пред гаусовата елиминация са: LU разлагането не засяга вектора на десните части, така че е възможно с минимални допълнителни изчислителни разходи (само за обратните замествания да се решат произволно много системи с еднаква матрица и различни вектори на десните части, т.е. задачата AX B, където стълбовете на B са вектори на десните части, а стълбовете на X съответните им вектори на решението. (Такава задача може да се реши и чрез гаусова елиминация, но само за неголям брой предварително известни стълбове на B. В частност, ако B е единичната матрица, X ще бъде A -, което е и общо прилаганият начин за обръщане на матрица. детерминантата на A може да се пресметне лесно като l u. При гаусовата елиминация това е невъзможно, защото детерминантата на U от ( няма проста връзка с детерминантата на A. Алгоритъмът за намиране на елементите на L и U е както следва (алгоритъм на Краут (Crout: Тъй като пълният брой елементи на L и U е с по-голям от уравненията, които могат да се използуват за тяхното намиране, а именно (, l u,,...,,,...,, (5 се полага l,,..., (6 /

11 уравненията (5 се използуват за намиране на u и l в следния ред: за,..., : {за,..., за : u { l u Това следва от (5 и (6. u се записва на мястото на. Лесно може да се провери, че при този ред на обхождане на индексите всичко отдясно на равенството е вече определено.} :,..., z l u { От (5 следва, че величините z са числителите на l ( } Изборът на водещ елемент z l. Те се записват на мястото на u. И тук може лесно да се провери, че при този ред на обхождане на индексите всичко отдясно на равенството е вече определено.} u при пресмятане на l е абсолютно нужен за числената устойчивост на алгоритъма на Краут. Отчитайки, че изразите за z съвпадат по структура с израза за u, и че всички пресмятани величини се записват на мястото на съответните елементи на масива A, може да се съобрази, че разместването на реда на този масив с ред > е равностойно на достигане на текущия етап от LU разлагането, но на матрица, получена от първоначалната матрица A чрез предварително разместване на въпросните нейни редове. В този смисъл, изборът на водещ елемент се свежда до намиране на позицията на максималното по модул измежду u и z,,...,, и разместване на редовете и на двумерния масив A, в който се съхраняват всички пресметнати величини и все още непроменените елементи на матрицата A. След което, за : { z l u,..., l се записват на мястото на z.} /

12 Фиг.. Алгоритъм на Краут за LU разлагане на матрица. Елементите на първоначалната матрица се променят в реда, указан от буквите, b,, и т.н. Маркираните участъци показват вече променените елементи, които се използуват за промяната на два типични елемента, отбелязани с. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. Анализ на грешката на решението Векторни и матрични норми Нормата на вектора е число със следните свойства:, при което само за α α, където α е скалар Най-често се използуват следните векторни норми: / p p, p < p Нормата A на матрицата А е число със следните свойства: A, при което A само за A α A α A, където α е скалар /

13 A B A B Най-често се използуват следните матрични норми: A -норма, A A F, / норма на Фробениус A операторна норма, породена от дадена векторна норма В сила са и следните твърдения и определения: A A за всяка операторна и съответната й векторна норма, както и за A и F AB A B за всяка операторна норма, както и за A F A A A A A λ ( A A T, ако A е нормална матрица, т.е. AA A A λ са собствените стойности на A. ( (,,... Обусловеност на матрица Нека e точното решение на системата (, а нейното числено решение ˆ е точно решение на системата ( A δa b δb ˆ. (7 A Мярка за грешката на решението е нормата на вектора на ( от (7 се получава δ A ( ( δa ˆ δb, или: δ ˆ. Чрез изваждане δ ˆ δa δb ( κ A, (8 A A ˆ където ( A A A κ се нарича число на обусловеност на матрицата A. Може да се покаже, че за -норма и нормална матрица, ( A ( A ( A κ. В рамките на този подход може също така да се покаже, че / λ λ

14 δ δa δb ( κ A (9 A b Полезна е и следната връзка между грешката на решението и лесния за пресмятане остатък на системата r Aˆ b : ( A b A( ˆ A( δ δ A r δ A r r A ˆ ( Пример: ефект от избора на водещ елемент при LU разлагане Общата стратегия за анализ на грешката на численото решение на една линейна система, получено чрез прилагане на конкретен алгоритъм, е: намиране на тези пертурбации δa и δb, при които за конкретния използуван алгоритъм численото решение на системата ( е точно решение на системата (7. пресмятане на числото на обусловеност на матрицата A и оценяване на грешката на численото решение съгласно (8 или (9. Така, най-напред, на основата на изразите u lu и z l може да се обоснове твърдението, че: A LU E, където E ε L U ( и където е редът на системата, а L и U са изчисленото LU разлагане. Тук и понататък с X се означава матрица, съставена от модулите на елементите на матрицата u X. Ако X X, което е вярно за -нормата, -нормата и нормата на Фробениус, но не за -нормата, то E ε L U. {Приетият начин за отчитане на грешките от закръгление при аритметични операции е l( o b ( o b( δ, където δ ε. С oсе бележи една от операциите, -, *, /, а l ( означава машинното представяне на дадено реално число. На тази основа разпространението на грешките при пресмятане на израз от вида се анализира по следния начин. Натрупването на сумата става чрез последователността от присвоявания,...,,. Всяко присвояване изисква s s s машинно представяне на междинните резултати, така че:, 4/

15 l l l l ( s ( δ ( s [ ( δ ( δ ]( δ s ( δ ( s [ s ( δ ( δ ]( δ s ( δ ( δ... l ( s [ s ( ( δ ( δ ]( δ s ( δ ( δ s ( δ ( δ Приблизителните равенства са заради пренебрегването на членове, съдържащи δ, а последното за последното събираемо и множителя заради пренебрегване на разликата между множителя ( δ ( δ за големия брой останали събираеми. От демонстрирания резултат следва, че ( AB AB ε A B l (} Обратният ход се състои в решаване на системите ( L b и U. От ( и ( следва, че числените решения на тези системи ще удовлетворяват уравненията ( L δl ˆ b и ( U δu ˆ ˆ На основата на горното: b, където δl ε L и δu ε U ( ( L δl ˆ ( L δl( U δu ˆ [ LU L( δu ( δl U ( δl( δu ] ˆ [ A E L( δu ( δl U ( δl( δu ] ( A δaˆ където δa E L( δu ( δl U ( δl( δu Следователно: ˆ, (4 δa E L δu ( ( δl U ( δl( δu E L δu δl U δl δu ε L U ε L U ε L U ε L U ε L U (5 Както по-горе, при определени типове норми ще бъде в сила и връзката δa ε L U. (6 5/

16 LU разлагането ще бъде числено устойчиво, ако ( L U. A условие ще бъде изпълнено, ако ε O( ε δa A O ε. Съгласно (6, това От друга страна, частичният избор на водещ елемент при алгоритъма на Краут гарантира, че l, т.е. L. Следователно, ако същевременно и т.нар. ко-, ефициент на нарастване LU разлагането ще бъде устойчиво. U A е малък или е слабо растяща функция на, И действително, натрупването на сумата u lu започва със замества- нето ~, където l и lu u A, така че ~ A. Чрез проследяване на индивидуалните стъпки лесно може да се види, че всяко следващо заместване също удвоява горната граница на междинния резултат, така че в крайна сметка U A, т.е. практика ( / /.. Тази оценка всъщност е много завишена, защото на Итеративно подобряване на точността на решението Изчисленото решение на системата ( е ˆ δ, където е точното решение, а δ е неговата грешка. Умножаването на ˆ с матрицата на системата води до вектор на десните части ( δ b δb A. (7 Чрез изваждане на ( от това равенство се получава A ( δ δb (8 (8: Изразът (7 може да бъде решен относно δb и резултатът да бъде заместен в A ( δ A( δ b A b r ˆ, (9 където r е остатъкът на системата ( за изчисленото решение ˆ. Така, системата (9 може да се реши относно грешката δ, след което да се получи подобрено приближение на решението ~ ˆ δ. Тази процедура може да се пов- 6/

17 таря многократно до достигане на сходимост. Това е особено удобно да се прави на базата на LU разлагането, защото решаването на (9 ще се свежда единствено до обратния ход. Пресмятането на остатъка r трябва да бъде в двойна точност, тъй като неговите компоненти се формират като разлики на много близки числа. 7/

18 . Итеративни методи за системи с големи разредени матрици Разгледаните по-горе преки методи дават точно решение (в рамките на натрупването на грешки от закръгление, но изискват съхраняване на пълната матрица на системата и от порядъка на линейни операции за решаване на задачата ( е броят на уравненията. Алтернативен подход е изграждането на редица от последователни приближения на решението чрез алгоритми, изискващи единствено да се организира умножаване на даден вектор с матрица, която е в проста връзка с матрицата на системата. За целта е нужно да се съхраняват (или формират в процеса на пресмятане само ненулевите елементи на въпросната матрица. Недостатък на итеративния подход е, че решението е по построение приблизително и, следователно, съдържа грешки от дискретизация. Точкова релаксация (метод на Якоби Итерационният процес е следният: ( ( b, ( където е поредният номер на итерацията (приближението. Или, ако Aˆ Dˆ Lˆ Uˆ, ( където Dˆ съдържа диагоналните елементи на Â, а Lˆ и Û съответно под- и наддиагоналните, но взети с обратен знак, то ( може да се запише във вида: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( ( D L U D b B ( q където Bˆ Dˆ ( Lˆ Uˆ ˆ, ( и q D b. (4 Векторът на началното приближение ( се избира произволно. Нека истинското решение на системата е, e ( ( е векторът на грешката на -тото приближение. Изваждайки почленно равенството B ˆ q (което е в сила, 8/

19 защото е истинското решение от дефиниционното уравнение на итерационния процес (, се получава: e ˆ ( ( Be, или e Bˆ e. (5 ( ( Нека λ са собствените стойности на матрицата Bˆ, подредени така, че λ λ... λ, v, v,..., v са съответните им собствени вектори. Доколкото Bˆ е такава, че собствените ѝ вектори образуват базис в -мерното пространство, всеки - компонентен вектор, включително и ( e, може да се представи чрез линейна комбинация между тези вектори: ( e α v. (В частност, ако някои собствени стойности на произволна матрица са различни, то съответните им собствени вектори са линейно независими. Също така, ако дадена матрица е реална и симетрична, то всички нейни собствени стойности и собствени вектори са реални, а собствените вектори, съответствуващи на различни собствени стойности, са взаимно ортогонални. Тогава: ( e α λ v,..., e ( α λ v. (6 Явно е, че ако λ <, то при ( e ще клони към нулевия вектор и дефинираният итерационен процес ще се схожда към истинското решение на системата A ˆ b. Сега ще покажем, че ако матрицата Â е диагонално преобладаваща, максималната собствена стойност на матрицата на итерационния процес Bˆ е по модул по-малка от единица. Нека v, е максималната по модул компонента на собствения вектор v : v. Тогава, от -тото равенство на системата Bˆ v λv, а именно, v, b v, λv,, следва: v, v, λ b b b <. (7 v v,, 9/

20 Последното неравенство се дължи на факта, че Â е диагонално преобладаваща, т.е. >, така че съгласно (: b и b (. Последователна релаксация (метод на Гаус-Зайдел Естествено развитие на метода на Якоби е идеята при пресмятането на поредната компонента на новото приближение на решението да се използуват вече получените негови компоненти, т.е. ( ( ( b. (8 < > Или, в матричен вид: Dˆ ( ( ( L ˆ Dˆ ˆ U ˆ ˆ ˆ Dˆ ˆ ( ( ( D L D U ( D L q b ˆ ˆ. (9 Може да се покаже, че ако матрицата Â е диагонално преобладаваща, то този итерационен процес, наречен метод на Гаус-Зайдел, или последователна релаксация, се схожда по-бързо от метода на Якоби. По-нататъшно усъвършенствуване на метода на Гаус-Зайдел е т.нар. последователна свръхрелаксация, или SOR (suessve over-relto. При този метод се търси подходяща линейна комбинация между двете последни приближения ( и (, получени по метода на Гаус-Зайдел, която да води до допълнително намаляване на вектора на грешката на -тата стъпка на итерационния процес: ( ~ ( ( ( ( ω. ( Методът е сходящ при < ω <, като може да се покаже, че максимално намаляване на грешката, т.е. максимално ускоряване на сходимостта, се получава при ( ω λ, където λ е максималната собствена стойност на матрицата Bˆ на метода на Якоби. На практика множителят ω често се избира емпирично и е напр. в интервала..8. /

21 Контрол на сходимостта Всички разгледани дотук методи се характеризират с монотонно намаляване на модула на вектора на грешката в хода на итерациите, т.е. редицата от последователните приближения ( ( ( (,,...,,,... се схожда монотонно към точното решение на линейната система. В този смисъл, критерият за прекратяване на итерациите ще бъде ( ( ( ε, където е някаква векторна норма, а ε е подходящо избрано малко число. На практика е удобно да се използува следният критерий за сходимост: ( ( ( < ε. Така се избягват допълнителни итерации заради малки и маловажни бавно схождащи се компоненти на вектора на решението. Метод на полиномите на Чебишев Нека чрез последователно прилагане на стационарния итеративен процес (: ˆ ( ( B q и искаме да получим по- е получена редицата приблизителни решения добрено решение във вида: ( (,..., ( ( ( ( ν ( Нека e ( ( и ~ ( ( e са съответно грешките на приближенията ( и на подобрената оценка (, а беше показано по повод на метода на Якоби (5: e ( ( ( e е грешката на началното приближение. Както вече B ˆ e ( Така, от ( и ( следва, че: ~ ( ( ( ( ( ˆ ( e ν e B e ( Bˆ e ( ν P (4 И съответно: ~ ( ( e P ( Bˆ e (5 /

22 Тук е евклидова векторна норма, а съответната ѝ операторна матрична норма е A ˆ ( λ, където λ са собствените стойности на матрицата. Нека собствените стойности на матрицата на итерационния процес Bˆ са λ. Тогава собствените стойности на ( Bˆ ( ˆ ( λ P са P ( λ µ и съответната норма в (5 е: P B P. (6 λ Ако матрицата Bˆ е симетрична, то нейните собствени стойности са реални, а ако основният итерационен процес е сходящ, то: < λ... λ M < (7 Също така, ако размерността на матрицата е голяма, то множеството от нейните собствени стойности може да се разглежда като непрекъсната променлива, заемаща стойности в интервала [, M ]. Тогава, от (6: ( ˆ λ [, M ] ( λ P B P (8 От (8 следва, че за минимизиране на грешката на решението на (, полиномът ( λ модул на заеманите от него стойности при [, M ] ( e~ на подобрената оценка ( P трябва да се конструира така, че максималният λ да бъде минимален измежду всички полиноми от степен. На това условие, но за z [, ] Чебишев: ( os z, z [, ] ( osh z, z, отговаря полиномът на os C ( z, (9 osh За полиномите на Чебишев е в сила следната рекурентна връзка C ( z zc ( z C ( z,, C ( z, C( z z ( Полиномът P ( z от (4 и (8 може да придобие желаното свойството на полином на Чебишев чрез линейна смяна на независимата променлива, изобразяваща [ M ] в [, ] z, w w : ( z ( z M ( M ( /

23 В допълнение, тъй изразът ( изобразява точното решение в себе си, то за коефициентите в (, съответно за полинома P ( z, трябва да се поиска: ( P ( ν ( Окончателно, с удовлетворяване на изискването ( търсеният полином е: ( z C ( w( z C ( w( P ( Вместо в непрактичната форма (, подобреното решение може да се получи чрез рекурентната връзка (. За целта най-напред трябва да се намери аналогът на връзката ( за полиномите (. С използване на ( за ( w( z C се получава: P ( w( z w w C ( z C ( w( z C ( w( z C ( w( ( C ( w( w( z P ( w( z ( w( w( C C ( w( ( w( P ( w( z (4 Отново с използване на ( за ( ( C C ( w( ( w( w C w : ( C ( w( C ( w( C ( w( β, (5 където ( C ( w( ( w( β w C (5b От ( следва, че ( z ( z ( P и w z M P ( z α α w M z, (6 където α (6b M Така, окончателно търсената рекурентна връзка за P ( z е: P ( z ( αz α P ( z ( β P ( z β (7 Получената връзка (7 се прилага за израза (4: /

24 ~ e ˆ ( ( ( P B e ( ( ˆ ~ ( ~ ( ( ~ ( αbe α e β e ( ( ( ~ e e или: β (8 ( ( ( Bˆ α ( ( ( ( ( α ( ( β ( β (8b За точното решение основната итерация ( има вида Bˆ q, т.е.: ( ( ( B ˆ Bˆ q (9 След заместване в (8b: ( ( ( B ˆ β α β ( ( ( ( q ( α ( ( β ( ( α( ( α ( ( β ( ( Или, окончателно за подобреното решение: ( ( ( ( ( ˆ ( α B q ( α ( ( β (, β ( Естествено, ( ( ( (, а от (4 6: ( ( B ˆ q ( α ( α (b Остава въпросът за оценяване на границите на собствените стойности и M, които обикновено не са известни отнапред. За работоспособността на метода ( е важно да има добра оценка за M λ, докато за е достатъчно да се избере число, което не надхвърля минималната собствена стойност λ. Ако основният итерационен процес ( е сходящ, може да се приеме или даже M (ако оценката за M наистина надхвърля λ, а ако матрицата Bˆ е положително определена, подходящ избор е. Процедурата за оценяване на M се основава на проследяване на поведението на псевдоостатъка на линейната система: δ B ˆ q ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ Тъй като за точното решение итерацията ( е равностойна на ( I B q, от оп- ( ( ределението ~ e и от (4 следва: 4/

25 δ ( ˆ ( ( ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ ( B I B B I ( Bˆ Iˆ ( Bˆ Iˆ ~ e ( ( Bˆ Iˆ P ( Bˆ e ( т.е. δ ( ( ( или: λ [, M ] ( ( λ δ, ( P Bˆ δ P, (4 δ δ ( ( λ [, M ] P ( λ (4b Нека оценяването на M се прави чрез последователни приближения отдолу, т.е. ~ P, е M M. От поведението на текущата оценка, чрез която е построен полиномът ( z ~ P, който е монотонно растяща функция при z M че P и новата оценка M може да се търси като решение на уравнението: ( z λ [, M ] ( λ P ( M, т.е. w ( z >, (Фиг. се вижда, P ( M δ ( δ R ( (5 Или: C ( w( M RC ( w( S (5b Отново от допускането, че, т.е. w ( M > M M ~ ( S ( w( M osh w( M, и от ( следва видът: C osh, (6 т.е. ~ ~ w ( M ( M M ( M osh osh ( S Q, (6b или окончателно: M ~ ~ [( M Q( M ] (6 5/

26 P 9 (z R ~ ~ * P 9 (z; M.95; -M * ~ M.8.9. z M Фигура. Поведение на P 9 ( z. Илюстрация към начина на определяне на максималната собствена стойност M на матрицата на итерационния процес Bˆ. Обикновено е целесъобразно процесът ( да се изпълнява с текущата оценка M ~ до някоя фиксирана и не твърде голяма стойност, след което да се получи нова оценка съгласно (6 и описаният цикъл да се повтаря до сходимост на решението. Итерациите би следвало да се прекратят, когато: ~ ( ( ( e (7 ε където критерият за точност ε е подходящо избрано малко число. Тъй като точното решение е неизвестно, контролът на точността се прави отново чрез псевдоостатъците. Поради връзката (: ~ e B ˆ I ˆ M δ ( ( ( ( δ, (8 В последното равенство е използван фактът, че M <. Тъй като обаче точна оценка на M също няма, приложимият критерий за прекъсване е: 6/

27 ( δ M ~ ε ( (7 7/

28 4. Подобряване на точността на числени оценки Предмет на настоящото разглеждане са методи и подходи за уточняване на оценената стойност на функции, интеграли, производни и т.н. Доколкото в често срещани случаи пресмятанията се свеждат до сумиране на редове или до използуване на рекурентни връзки между последователни приближения на търсената величина, тук се включват и техники за ускоряване на сходимостта при пресмятане на сумите на редове или при итеративно приближаване към гранична стойност. Общ подход: екстраполация на Ричардсън Често прилагана стратегия е т.нар. екстраполация на Ричардсън, чиято същност се свежда до елиминиране на компоненти на грешката от дискретизация на основата на знание за зависимостта на тази грешка от някой параметър на избрания изчислителен метод. Така например, оценката на определен интеграл по метода на трапеците (виж глава 6 има следния вид: b ( d T E, ( I където I е истинската стойност на интеграла, T h... ( е нейната числена оценка, а ( b (, [ b] E '' η η, ( е грешката от дискретизация при пресмятане на тази оценка. е броят равноотдалечени абсциси в интервала [, b], в които се пресмятат функционалните стойности, при което ( и ( b Нека има две оценки, I и I, получени при съответно и равноотдалечени абсциси:. 8/

29 I I I I ( b ( b '' '' ( η ( η (4 Тогава, ако се приеме, че ''( ' ( η η ' неизвестни I и, може да се елиминира и да се определи I:, то от системата (4, което е с две I I I (5 I I ( I При този пример параметърът, от който по известен начин зависи грешката от дискретизация, е броят абсциси. Знанието за тази зависимост се използува за формиране на уточнена оценка на търсения интеграл на основата на две апроксимации, получени при различни стойности на. Ускоряване на сходимостта на редове Тук е уместно най-напред накратко да се напомнят някои определения и свойства, свързани с редици и редове.. Редица: { }, { }. Ред: { } s ( s ε >. Сходимост на редица. Cuh: Редицата { } < ε при всички достатъчно големи и. Или: се схожда тогава и само тогава, ако за всяко. 4. Сходимост на ред. Cuh: Редът се схожда тогава и само тогава, ако редицата от парциални суми { }... s се схожда към крайна граница: s s < ε, т.е. ако за всяко ε > при всяко достатъчно голямо и >. В частност ( редът ще се схожда, ако членовете клонят към при. 5. е абсолютно сходящ, ако е сходящ. В противен случай редът е условно сходящ. Cuh: ако редът е абсолютно сходящ, той е сходящ. 6. Допълнителни критерии за сходимост на редове Геометричен ред: Ако p е произволно и < q, то pq p /( q. 9/

30 Ако и b са положителни редове (събираемите са положителни и ако b при всяко, то от сходимостта на следва сходимост на b и обратно от разходимостта на b следва разходимост на. Например, от сходимостта на геометричния ред L и L <, то положителният ред pq при p > и < q <, следва, че ако / се схожда. И обратно ако L >, то редът е разходящ. Ако границата L съществува, но е равна на, то може да се приложи следният критерий: Ако ( > е функция, дефинирана за >, и (, то редът ( е сходящ или разходящ съответно за крайна или безкрайна стойност на ( d. Знакопроменлив ред. Такъв ред се схожда, ако намалява монотонно към. δ -процес на Ейткин (Ate Нека редът е сходящ, следователно: ( s s ; C s C < s, (6 s. където s е сумата на реда, т.е. границата на редицата от парциалните суми { } Ако константите C C, то: ( s s C могат да се приемат за приблизително равни помежду си, т.е. s s C (7 От системата с две неизвестни, s и C, s s s s C C ( s s ( s s (8 се елиминира C и се определя границата на реда s: s s s s s s s s s s s ( s s ( s s s s s s s s s Процесът на Ейткин е подходящ за ускоряване на сходимостта на всякакви итерационни процедури с линейна сходимост. Той е и още един пример за общия подход на Ричардсън, при който се използува връзката (7 между грешката на парциалната сума s и нейния пореден номер. /

31 Числено диференциране Общоприет начин за апроксимиране на първата производна на дадена функция е т.нар. крайна разлика, пример за която е лявата страна на израза: ( h ( h ' ( h ''(... При оценяване на производната чрез крайна разлика трябва да се държи сметка не само за грешката от дискретизация, която очевидно намалява със стъпката h, но и за грешката от закръгление. Тъй като с намаляване на h се очаква двете функционални стойности в числителя да се доближават помежду си, грешката от закръгление ще нараства и може да се стигне до катастрофална загуба на точност. Важен източник на грешка от закръгление може да бъде и неточното машинно ~ h ( h (. Ясно е, че абсолютната грешка представяне на ефективната стъпка [ ] (9 от закръгление на израза за h ~ ще бъде ε, където ε е машинният епсилон, а относителната ε / h. Лесно може да се съобрази, че при малка стъпка приносът на неточното представяне на h ~ може да се окаже доминиращ в относителната грешка на крайната разлика (9. (Според т.нар. закон за разпространение на грешките, ако то δr r δ b b δ r, b. Този проблем винаги може да се преодолее като стойността на h се да се избере така, че машинното представяне да ефективната стъпка да бъде точно. За целта в програмната реализация трябва да се вмъкнат редове от типа на: teph; htep-. ( При вече осигурено точно представяне на ефективната стъпка, грешката от закръгление при пресмятане на крайната разлика (9 ще бъде ( h er ε /, ( където ε е относителната грешка при пресмятане на. В общия случай но при липса на по-точна информация може да се приеме, че ε ε. ε ε, Като се вижда непосредствено от (9, грешката от дискретизация при пресмятане на производната е /

32 e t ( h ''. ( Така, пълната грешка при пресмятане на производната ще бъде: e ( h e r e t ε h ( h '' (. ( Получената явна зависимост на пълната грешка от стъпката h може да се използува за намиране на оптимална стойност h opt, осигуряваща минимална грешка. (Естествено, тя подлежи на модифициране съгласно (, така че да се осигури точно машинно представяне на ефективната стъпка. Минимизирането на e ( h води до: h opt ε ( ( '' ε ε ε. (4 Тук е прието, че характерната дължина на изменение на функцията ( ( е приблизително равна на, както е и в типичния случай. '' e При такава стъпка минималната сумарна грешка на крайната разлика ще бъде ( h ε ( ''( opt, а съответната относителна грешка: e ( h ' opt ( ( ''( ( '( ε ε ε. (5 При опростяването на израза (5 е прието, че, и са с общ мащаб, което е и най-често срещаната ситуация. По-точен израз за оценяване на производната е т.нар. централна крайна разлика: ( h ( h h ' 6 ( h '''(... (6 Както и при (9, оценката на грешката на (6 е получена на основата на развитието на функционалните стойности в числителя в ред на Тейлор около. Ясно е, че стига да не е в противоречие с други елементи на логиката на пресмятанията, начинът (6 винаги трябва да се предпочита пред (9. /

33 На основата на анализ, аналогичен на направения в предходния случай, се получава, че оптималната стъпка ще бъде: h opt ( '' ( / / / / / ε ε ε ε ', (7 при което минималната сумарна грешка е e( h ε / ( / '' ' ( /, а относителната грешка на централната крайна разлика ще бъде: e ( h ' opt ( / ( / '''( '( / / / opt ε ε ε. (8 Следователно, при ε 7 тази грешка ще бъде -5, докато при предната крайна разлика (9 аналогичната стойност ще бъде -4. Екстраполация на Ричардсън при числено диференциране. Метод на Ридърс (Rdders Този метод се основава на построяване на редица от диференчни оценки (т.е. оценки чрез крайни разлики от типа на напр. (6 при прогресивно намаляваща стъпка h и използуване на знания за зависимостта на компонентите на грешката от дискретизация от степените на h, така че на базата на тези диференчни оценки да се формират приближения с нарастващ ред на точност. Нека ( h ( h D,... N, (9 h където h h h и <. Грешката от дискретизация на D е: ( 5 ( 4 4 E ''' h ( h... h h... ε ε... (! 5! (Тук и по-долу долният индекс на диференчната оценка D нараства с намаляване на стъпката, а горният индекс нараства с увеличаване на реда на точност. От (9 и ( следва, че грешката от дискретизация на D ще бъде: ( 5 ( 4 4 E ''' h ( h... ε ε... (! 5! /

34 4/ На основата на (9 ( може да се състави следната схема на изграждане на диференчни приближения от все по-висок ред.. От уравненията (за истинската стойност на производната D и за компонентите на грешката,..., ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε D D D D D D D D ( се елиминира ε и се получават уравненията: ( ( ( ( ( ( D D D D D D D D D D D D ε ε ε ε ε ε ε ε ε (. От тях се елиминира ε и се получават уравненията: ( ( D D D D D D D D ε ε ε ε (4. От тях се елиминира ε и се получават уравненията: ε D D D D (5 и т.н. Вижда се, че тази схема на изграждане на последователните приближения може да се запише по следния начин: D D D α α, където (,... α α α (6

35 Последователността на пресмятане на D е илюстрирана на долната схема. Числата в клетките показват реда на тяхното запълване. Както следва от (6, съдържанието на всяка клетка се формира с използуване на съдържанието на нейните северен и северозападен съседи На всяка стъпка се прави оценка на грешката: ( D D D D Et,. (7 Ако тя е по-малка от най-малката предходна аналогична оценка E, D се приема за най-добро текущо приближение на производната, а за нова стойност на E се приема E t. Цикълът се прекъсва, ако ( s > D D s E. 5/

36 5. Интерполация Нека са дадени функционалните стойности (,,...,, където < <... < <. Интерполация е заместването на функцията ( за [, ] ϕ (, така че да са изпълнени условията: (,,..., с друга функция ϕ ( Интерполиращата функция ϕ ( се избира така, че да има удобен аналитичен вид и да приближава ( ( (, < < между възлите,,...,, т.е. ϕ ( Предполага се също, че възлите са избрани така, че двойките (, описват представително поведението на ( за [, ], да,...,. При такъв избор на възлите може да се очаква, че между тях функцията ( ще бъде непрекъсната и достатъчно гладка. В този смисъл, за интерполиращата функция ϕ ( е естествено да се поискат същите свойства. Полиномна интерполация Ако се избере ϕ ( да бъде полином на, то от условията ( могат да се определят общо негови коефициента. Следователно, с изключение на частния случай, когато стойността на коефициента пред се окаже нулева, степента на този полином ще бъде -. Тук е уместно да се отбележи, че полиномът, определен от условията (, е единствен. Наистина, ако допуснем противното, т.е., че P ( и Q ( са два различни полинома от степен -, удовлетворяващи условията (, то полиномът R ( P ( Q (, който в общия случай е също от степен -, трябва да удовлетворява условията R (,,...,. Това, обаче, е невъзможно, тъй като R ( може да има най-много - нули. Следователно, P ( и Q ( са идентични. 6/

37 Удобен начин за конструиране на единствения интерполиращ полином за двойките (,, е следният:,..., P ( ( L (, ( където полиномите на Лагранж ( ( L имат свойството: L L ( ( ( (, (4 Техният явен вид е: ( ( ( ( L (5 Удобство на представянето ( е, че полиномите на Лагранж ( ( L се строят единствено с използуване на информация за възлите,,...,, а функционалните стойности,,..., не са нужни. Проблем на глобалната полиномна интерполация, т.е. на търсенето на общ полином ( P, удовлетворяващ всяко от условията ( е, че степента на този полином нараства с броя на възлите, а заедно с нея нараства и вероятността някои от нулите на P ( да попаднат между интерполационните възли. Ефектът е илюстриран на Фиг.. Следователно, при голям брой възли е целесъобразно полиномната интерполация да бъде локална: ( ( P ( [, ], ϕ, (6 където степента на всеки от локално дефинираните полиноми ( ( P е ниска, а техните коефициенти се избират от изискването за интерполация ( и от допълнителни изисквания за гладкост на интерполиращата функция ϕ (, т.е. за непрекъснатост на достатъчен брой нейни производни. Интерполираща функция от вида (6, изградена съгласно споменатите изисквания, се нарича сплайн. 7/

38 Ако, в частност,, получената прекъснато-линейна интерполираща функция може да удовлетвори само условията (, но не и допълнителни изисквания за гладкост. В този случай явният вид на локалните полиноми ще бъде: ( ( ( ( ω ( ω ( P, (7 ( където ( ω ( и ( ω ( ω ( (8 Вижда се, че (7 и (8 съвпадат с ( и (5 за. P - ( Фигура. Глобална полиномна интерполация на s ( в интервала [,π ]. При голяма степен на полинома ( част от нулите попадат между интерполационните възли. Естествен кубичен сплайн Естественият кубичен сплайн е реализация на подхода (6 за случая. Удобно е локалните полиноми ( (,,..., P да се търсят във вида: ( ( ( ( ( ( ( ( ω ( ω ψ z ψ ( z P, (9 където ( ( ( ( z,,..., са подлежащи на определяне величини, ω и ω са полиномите от първа степен (8, а 8/

39 ψ ( ( ( ( ( ( ω ( ω ( 6 и ψ ( ( ( ( ( ( ω ( ω ( 6 ( са полиноми от трета степен със следните свойства: ψ ( ( ( ( ( ( ψ ; ψ ( ψ ( ( ( ( ( ( ( ω ; ψ '' ( ω ( ψ '' От първото свойство, (9 и (8 следва, че сплайнът ϕ ( ще удовлетворява интерполационните условия (. От второто свойство, (9 и (8 следва, че d P d ( ( ( ( ω ( z ω ( z, ( т.е. втората производна на сплайна ϕ ( ще бъде непрекъсната и ще интерполира между величините z,,...,, които имат смисъл на втори производни на сплайна в интерполационните възли. Величините z,,..., подлежат на определяне. Те могат да бъдат намерени от изискването за непрекъснатост на първата производна на сплайна в интерполационните възли (между тях тя е непрекъсната, тъй като е полином от втора степен: dp d ( ( ( dp (,,..., d ( Лесно може да се провери, че условията ( водят до следната система от линейни уравнения за z : z z z,,..., ( 6 6 Броят на тези уравнения е с две по-малък от броя на неизвестните. Така, решението на ( ще бъде еднозначно при допълнителен избор на стойности напр. за z и z. За естествения кубичен сплайн този избор е z z. Матрицата на системата ( е тридиагонална, симетрична и диагонално преобладаваща, така че подходящ метод е гаусовата елиминация без избор на водещ елемент. Нека, в общия случай, уравненията от такава система се запишат във вида: 9/

40 ( b d,,..., (4 вида: Лесно може да се провери, че след правия ход на елиминацията те ще придобият ~ b ( където: ~ b ~ ~ ( b b ; d d b ~ d,,...,, (5 ~ ~ d d d,,..., (6 ~ ; ~ b b Обратният ход за системата (5 е: ~ ~ ( d b,,..., ~ ~ d b ; (7 При вече известни и съхранени стойност * ϕ( *,, z,..., пресмятането на интерполирана, където * е произволна избрана стойност на независимата променлива, става съгласно (9 след намиране на индекса, за който *. Намирането на този индекс може да стане чрез т.нар. двоично търсене, което изисква lo изпълнения на стъпки, и 4 от долния алгоритъм. Въвеждане на индекси l и r с начални стойности и r Aко >, повтаряне на стъпки, и 4: r l Намиране на индекса ( Проверка дали * е между и l 4 Ако да, то r ; ако не, то l 5 l. (целочислено делене l r. l 4/

41 ..5 (/(5 интерполиращ полином на Лагранж ( интерполационни възли (/(5 ( естествен кубичен сплайн интерполационни възли Фигура. Функция на Рунге: ( ( 5. Сравнение между глобалната полиномна интерполация от -та степен през възела и интерполацията с естествен кубичен сплайн. 4/

42 6. Числено интегриране Нека I d ( b b. Задачата е да се оцени стойността на този интеграл с максимална точност при минимални изчислителни разходи. Елементарни алгоритми Правило на правоъгълниците Методът се състои в разбиване на [, b] на подинтервали [, ], ( ; b, локално интерполиране на ( с полиноми от нулева степен през центровете на всеки подинтервал, ( ( ξ [, ],...,, ϕ,, ξ, интегриране на този полином в границите на подинтервала, и сумиране на получените локални оценки ( R dϕ : I b R h ( ( h ξ ( Грешката от дискретизация може да се оцени чрез развиване на подинтегралната функция в тейлоров ред около центъра на всеки подинтервал: I ( ( ξ ( ξ ( ξ I ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ 5 h II h IV 7 ( h ( ξ ( ξ ( ξ O( h h II R 4 R E E 5 h IV 7 ( ξ ( ξ O( h 9 7 O( h 4 II 6 III IV 5 ( ξ O( h ( Фигура. Правило на правоъгълниците 4/

43 Правило на трапеците Методът се състои в разбиване на [, b] на подинтервали [, ], ( ; b, локално интерполиране на (,...,, с полиноми от първа степен през кра- ищата на всеки подинтервал, ( ( ( [ ]( h ϕ, h h,, интегриране на този полином в границите на подинтервала, и сумиране на получените локални оценки d ( T ϕ : I b h T ( ( ( ( Грешката от дискретизация може да се оцени чрез развиване на подинтегралната функция в тейлоров ред около центъра на всеки подинтервал: 4 h I h II h III h IV 5 ( ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ O( h 4 h I h II h III h IV 5 ( ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ O( h T h I T 5 h II h IV 7 ( ξ ( ξ ( ξ O( h 5 h II 4h IV 7 ( T ( ξ ( ξ O( h E 4E O( h (4 Вижда се, че грешката на метода на трапеците е по-голяма от тази на метода на правоъгълниците. Следователно, когато това е възможно, методът на правоъгълниците трябва да се предпочита пред метода на трапеците. Той, обаче, няма да е приложим при фиксирани абсциси ξ, които не могат да се интерпретират като центрове на подинтервали, които напълно да покриват [, b], но без да се припокриват взаимно. При равноотдалечени абсциси ( се свежда до следния обединен израз: T b h... (5 4/

44 Фигура. Правило на трапеците Правило на Симпсън (Spso От ( и (4 следва, че главната компонента E на грешката може да се елиминира по следния начин: I h S R T ( 4 / E (6 6 От определението на E (виж напр. ( се вижда, че методът на Симпсън ще бъде точен за подинтегрални функции, които във всеки подинтервал са полиноми от степен, не по-висока от. Изразът (6 може да се получи и ако подинтегралната функция се интерполира локално с полином от втора степен през точките, ξ,, и този полином се интегрира. Ограниченията за прилагане на метода на Симпсън са същите като за метода на правоъгълниците. Обединеният израз при равноотдалечени абсциси е: h S b ( (7 Фигура. Правило на Симпсън 44/

45 Контрол на точността Задачата е да се оцени грешката на квадратурната оценка. Подходът се основава на известните връзки (, (4, (6 между грешката и стъпката на интегриране. процедура на основата на правилото на трапеците h h Нека при стъпки h b, h,..., h,... се строи редицата T, T,... от съответни оценки на интеграла съгласно (5. Тъй като по силата на (4 тази редица ще се схожда монотонно към истината, итерацията може да се прекъсне напр. при T T T < ε. От (5 се вижда, че съществува следната рекурентна връзка между членовете на редицата от последователни приближения на интеграла: T T h ( 4...,,,... (8 Номерацията на абсцисите (функционалните стойности е спрямо T. Броят на новите точки е. Фиг. Рекурентно изграждане на редицата T, T,... С кръгове са отбелязани абсцисите, в които се пресмятат допълнителните функционални стойности за прилагане на връзката (8. На последния ред са отбелязани всички абсциси, функционалните стойности в които участвуват в оценката T 4. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. б процедура на основата на правилото на Симпсън h и редицата S, S,... се дефинират аналогично на предходния случай. Аналогичен е и критерият за сходимост. 45/

46 На основата на (7 и (5, рекурентната връзка между членовете на редицата от последователни приближения на интеграла се строи по следния начин. Приведени към номерацията на абсцисите (функционалните стойности на T, оценките T - и T ще имат вида: T T h h ( Вижда се, че от тях може да се формира линейна комбинация, която да бъде еквивалентна на израза (7: 4T T h S ( ( Така, със същите изчислителни усилия, които са нужни за прилагане на (8, може да се построи редица от оценки 4 T T S,,,..., всяка от които ще бъде с два порядъка по-точна от тази по метода на трапеците. Сходимостта на тази редица, съответно, ще бъде много по-бърза от сходимостта на (8. Гаусова квадратура Общият подход при численото интегриране, т.е. оценяване на I d ( b b свежда до интерполиране на подинтегралната функция и приближаване на I b с аналитичен израз за интеграла на интерполиращата функция. Крайният резултат винаги може да се представи във вида I ( b (9, се, където възлите,,..., са избрани по определен начин, а коефициентите (теглата,,..., зависят от този избор. Ясно е, че при полиномна интерполация и свободен избор на несъвпадащи помежду си възли квадратурната формула ще бъде точна за подинтегрални функции, които са полиноми от степен, не по-висока от -. От друга страна, ако се поиска възлите да удовлетворяват специални условия ( на брой, то може да се очаква, че общият брой от условия ( за възлите от изискването за интерполация ще бъде достатъчен за конструиране на квадратурна формула, която да бъде точна за подинтегрални функции, които са полиноми от степен, не повисока от -. Именно такава е стратегията на т.нар. Гаусова квадратура. 46/

47 За обосноваване и прилагане на Гаусовата квадратура са нужни някои сведения за ортогоналните полиноми и за начина на тяхното построяване. Полиномите p ( и ( p, съответно от степени и, са взаимно ортогонални относно тегловната функция w ( в интервала [ b],, ако: b ( p p dw( p ( p ( δ,, ( където δ е символът на Кронекер. Общата процедура за изграждане на система от ортогонални полиноми (процедура на Грам- Шмидт се състои в полагане на p и намиране на полиномите от по-висока степен чрез рекурентната връзка p ( ( p ( p ( α, ( ( при което коефициентите α се определят от условията ( p, p,,...,. ( По-конкретно, тъй като вече ( p p δ ( ( p, p ( p, p ( p, p,,...,, за и, то условието за ортогоналност е α. Следователно ( ( ( p, p ( p, p α. (4 Отчитайки отново взаимната ортогоналност на вече построените полиноми и постулираната реку- ( рентна връзка, за числителите на коефициентите α,,..., се получава: ( (, p ( p, p ( p, p ( p, p p α. (5 Следователно, рекурентната връзка се опростява до p ( ( p ( p ( ( β p ( γp ( ( p, p ( p, p α, (6 където β α и γ α. (7 Последният израз се опростява допълнително: ( ( p, p ( p, p ( ( ( ( ( p p p, p p, p ( p p α ( p, p ( p, p,, α, (8 47/

48 ( p p ( p p така че γ. (9,, След ортогонализацията полиномите могат да се нормират: p p. ( p, p Може да се покаже, че ако { } са нулите на p (,..., [, b],.,..., Примери: Полиноми на Лежандър: [, b] [, ] и ( Полиноми на Чебишев: [, b] [, ] и w( w.. α Полиноми на Лагер: [,b] [, ] и ( ep(, α > Полиноми на Ермит: [,b] [, ] w. и w( ep(. И така, търсената квадратурна формула е от вида: w b ( dw( ( b ( ; dw( > където възлите { } и теглата { },...,,..., полиноми от степен -., то те са различни и реални, и, ( се избират така, че ( да бъде точна за Смисълът на въвеждането на тегловната функция w ( е, че с нейна помощ някоя действителна подинтегрална функция ( може да се разложи на произведение от функция w (, която е достатъчно сложна и, в частност, неприводима към полином от сравнително ниска степен, и проста функция (, която съвпада точно или приблизително с полином от ниска степен: ( w( (. В този смисъл, квадратурата ( може да бъде мощен инструмент за икономично и точно интегриране на широк кръг от функции. Q са ортогонални полиноми относно w ( в [ b]. Нека, Q,..., Q,... За тях е в сила:,. 48/

49 ( Q ( Q (,, b dw,. Нека ( q, ( е произволен полином от степен -. Тъй като ортогоналните полиноми образуват базис, винаги е възможно представянето q ( Q (. Следователно: b ( Q ( q ( dw ( Очевидно, горното твърдение е в сила и за всеки полином от степен по-малка от.. Нека { } са нулите на ортогоналния полином Q (,...,. Може да се покаже, че за достатъчно широк кръг тегловни функции w ( те ще бъдат реални, различни помежду си, и ще се намират в интервала [,b]. 4. Нека: а Възлите в ( са нулите на Q ( ; б Теглата { },...,, са избрани така, че при тези възли квадратурата ( да бъде интерполационна, т.е. точна, за всички полиноми със степен -. Например, полиномите на Лагранж ( ( ( L ( R( ;. Ако ( ( ( L позволяват представянето: е точно полином от степен -, то остатъкът R ( ; b b b и dw( ( ( dw( L ( (, където dw( L (, 5. Нека ( представи във вида:.,..., Φ е произволен полином от степен -. Той винаги може да се ( Q ( q ( r ( Φ, (4 -. където частното q ( и остатъкът r ( са полиноми от степен, не по-висока от Тогава: 49/

50 b b ( Φ ( dw( r ( r ( dw [ Q ( ( q ( r ( ] Φ ( (5 Вторият израз е поради ( и (4, третият е еквивалентен на втория поради избора на тегла, четвъртият е еквивалентен на третия поради избора на възли, а петият е алтернативен запис на четвъртия (поради (4. Така беше доказано, че при споменатия по-горе избор на на брой възли и тегла, квадратурната формула ( е точна за полиноми от степен -. Тук е уместно да се напомни, че при разгледаните по-горе елементарни алгоритми тази степен не може да бъде по-висока от -. 5/

51 7. Обикновени диференциални уравнения Общият запис на едно обикновено диференциално уравнение от първи ред е: ( d d ( (, ( ( Едно ОДУ от по-висок ред може да се сведе до система от ОДУ от първи ред по следния начин: d d ( ( (,, ', ' ',..., d d d d d d d d ( d d Общ подход за числено решаване ( ( ( (... (, ( { ( ( } ( ( (,,..., генерира се редица от абсциси,,..., ; h б ( се апроксимира с на основата на предходните стойности: ( ϕ. При методът е едностъпков.,,..., ( Например, методът на Ойлер е едностъпков от следния вид: ( h (, O( h ( h (, ( h (,... ( (Този метод може да бъде обоснован чрез развиване на зависимата променлива ( в тейлоров ред около началото на стъпката. 5/

52 Методи, основаващи се на Тейлоровия ред Стига да могат да бъдат пресметнати производните на зависимата променлива до достатъчно висок ред, интегрирането на едно ОДУ може да се извърши със съответната желана точност: h! h! h p! p ' '' ''' ( p h... (метод от ред p (6 Отчитайки, че ( (, ( следния начин: ', висшите производни могат да се представят по '' ' '' ( ( ' ( ( ( ( ( (7 и т.н. Ако диференцирането на дясната част на уравнението ( (, не представлява принципен проблем, изрази от вида (7 могат да се използуват за повишаване на точността на решението (спрямо напр. метода на Ойлер чрез прилагане на тейлорово развитие на зависимата променлива ( до сравнително по-висок ред. Методи Рунге-Кута Схемата на интегриране при тези методи е от вида: r ( h p, (8 където: ( h h ( ξ, η, ξ η α h, α l β ( ( h l l,..., r (9 Доколкото точната стойност на решението е ( R ( h ( α, β, p се избират така, че остатъкът ( h l R r да бъде минимален. r, параметрите 5/

53 Съставянето на уравнения за параметрите става чрез развиване на ( и ( h в ред на Тейлор и приравняване на нула на коефициентите пред степените на h в R r ( h до максимално възможна степен. Примери: а При r p( h ( h h (, ( Следователно, R ( h ( h' h ' '! h! ( p h' ' ' ( θh ( θh p h (, (Приема се, че началното условие е точно, т.е. ( ( ' '. Очевидният избор е p, при което се получава схемата на Ойлер: (, (. Също така, за краткост h ( б При r p( h p ( h ( h h (,, при което ( R ( h ( h h ( α h, β ( h Следователно, ( R ( h ( h h h' ' ' ' ''!! p h p h h h! ( θh { αh β O( h } ( p h p h{ αh βh } O( h ( p p h p α h p β h O( h (4 5/

54 (Приема се, че началното условие е точно, т.е. ( ' ' (, ' ' ' ' (, (,, (,, (, Уравненията за параметрите са:. Също така, за краткост. p p pα pβ (5 Избира се p p. Тогава: α β. Така окончателно се получава следната схема: h, ( (, (, h ( (6 d d Вижда се, че в частния случай ( ( трапеците за интегриране на (. изразът (6 съвпада с правилото на в При r 4 начинът на намиране на параметрите е аналогичен, но за краткост няма да бъде разглеждан. Окончателната схема е: 4 h h h h 6 (, ( ( h, h, h, 4 5, при което ( O( h (7 d d В частния случай ( ( изразът (7 добива вида: h, 6 h ( 4 ( 54/

55 който съвпада, включително и по точност, с правилото на Симпсън за интегриране на (. Прякото обобщение на (7 за система от ОДУ е: 4 h h h h 6 (, ( h, h, ( h, Избор на стъпката и контрол на точността 4 5, при което ( O( h (8 Разгледаният пример е на основата на метода на Рунге-Кута от четвърти ред, но общият подход е приложим винаги, когато е известна зависимостта на грешката от дискретизация от стъпката на интегриране. Нека всеки преход от до h се изпълнява два пъти: а на една стъпка с резултат б на две стъпки с резултат 5 6, така че ( h ( h C O( h 5 6, така че ( h h C O( h (Приема се, че константата C в първата компонента на грешката е обща за двата случая, което в действителност не е точно така. Величината δ се избира за оценка на грешката на ( h. При прие- 5 тото предположение за C, δ ost. h. Тогава, ако при h се е получила грешка δ, то желаната стъпка за постигане на грешка δ ще бъде: δ. δ h h (9 Ако h < h, преходът от до h се повтаря с новата, по-малка стъпка h. Ако h > h, преходът напред продължава с новата, по-голяма стъпка h. В случая на система от ОДУ δ е вектор и, като правило, се избира нормата δ.,, 55/

56 Възможни са и други варианти за конструиране на критерия за точност. Ако, например, се дефинира δ ε, ще се ограничава относителната грешка за текущия преход. Натрупването на грешката може да се контролира чрез избора δ εh d. Тъй като d сега грешката се мащабира с h, коректният израз е.5 δ h h. δ Твърди системи от обикновени диференциални уравнения Една система от ОДУ е твърда, ако съществуват два или повече напълно различни мащаба на независимата променлива, по която се менят зависимите променливи или техни компоненти. Например: du dt dv dt u v ( ( ( ( 998u 999u ( 998v( ( 999v( ( Решението на ( е: u v ( ep( ep( ( ep( ep( За стабилност на който и да е от горните методи за интегриране се изисква стъпка h << /, независимо че членът ep( е с напълно пренебрежим принос в стойностите на u и v почти веднага след началото. Тоест, за поддържане на стабилност се налага да се следва изменението на компонентата на решението с най-малък мащаб. Нека най-напред разгледаме единичното уравнение: ', ( ost. > чието решение е ep ( При схемата на Ойлер: 56/

57 h' ( h ( е нужно да се поддържа, което е очевидна проява на нестабилност на решението. h < /, тъй като иначе Схемата ( се нарича явна, защото се получава явно от предходната стойност. Най-простият начин за преодоляване на строгото ограничение за размера на стъпката е използуването на т.нар. неявна схема, основаваща се на развитието ( ( h h' ( h... : h' ( ( h Схемата ( е безусловно стабилна, защото винаги се осигурява вярното поведение на решението:. h Обобщение за система от обикновени линейни диференциални уравнения Нека ' C, където C е положително определена матрица. Явната схема на Ойлер дава: ( Ch (4 Нека A Ch. Нека < λ N... λса собствените стойности на C. Тогава µ hλ ще бъдат собствени стойности на A. Началното условие може да се представи във вида α, където са собствените вектори на C. Тогава, ( λ A αµ α h, и вярното поведение на решението,, ще се осигури само ако µ µ hλ hλ <, т.е. ако h <. λ При неявната схема на Ойлер се получава: h' ( Ch (5 57/

58 Нека ( Ch ( hλ A. Ако < λ N... λса собствените стойности на C, то µ ще бъдат собствени стойности на A. Ясно е, че винаги е в сила неравенството µ < (C е положително определена. Обобщение за система от ОДУ Нека ' (. (За случая ' (, Неявната схема на Ойлер дава: ( винаги може да се положи. h (6 Десните части могат да се линеаризират: J ( [ ( J( ( ] h (7 Така: h[ hj( ] ( (8 Заради явното развитие на десните части такъв метод се нарича полунеявен. 58/

59 8. Нелинейни уравнения Нули на функция на една променлива Задачата е да се намери стойност на реалния аргумент, за който (, ( където е реална скаларна функция. Ясно е, че търсената нула може да не е единствена. Също така е ясно, че ако функцията е непрекъсната и ( ( b, ( то в интервала [, b] тази функция заема нулева стойност нечетен брой пъти. Нека от тук нататък интервалът [, b] е такъв, че в него да има точно една нула на (. Най-простият, но и най-надежден начин за локализиране на оградената нула е методът на разполовяването. Съгласно този метод се проверява знакът на произведението ( (, където b е центърът на интервала [ b],. Ако този знак е отрицателен, b се подменя с. В противен случай се подменя с. И в двата случая дължината на новия интервал [, b], който огражда нулата, е / от дължината на стария. Свиването на интервала чрез разполовяване продължава, докато се изпълни условието b < δ, ( където δ е точността, с която се желае локализирането на нулата. b Ясно е, че постижимата относителна точност, не може да бъде подобра от машинния епсилон ε. Това твърдение се отнася и за всеки друг метод за търсене на нула на функция. Методът на разполовяването не се основава на никакви предположения за поведението на функцията (освен вече направеното предположение за непрекъснатост. Неговата сходимост е линейна и равномерна, защото ( ( C, където ( и ( са 59/

60 съответно текущата и предходната грешка на решението (дължина на интервала, ограждащ нулата, а константата C е /. Алтернативните методи, които се базират на специални предположения за локалното поведение на функцията, могат да бъдат по-бързо сходящи, ако съответното предположение е изпълнено, но могат и да бъдат напълно неуспешни, ако то е силно нарушено. Типичен пример е методът на Нютон-Рафсон, или на допирателните. Съгласно него, ако текущото приближение на нулата е достатъчно близко до нейната истинска стойност, и ако първата производна на функцията може да бъде пресметната, следващото приближение може да се оцени на базата на линеаризираното тейлорово развитие на функцията около, т.е. като решение на линейното уравнение относно : ( '( (, или: (4 ( '( (5 Итерациите се прекратяват, когато ( ( < δ, където δ е точността, с която се желае локализирането на нулата. Сходимостта на метода може да се обоснове по следния начин. Ако точната стойност на търсената нула е, то: ( '( ε ε, (6 където ε и ε са грешките на последователните приближения. От друга страна, ' ( ( '( ε ''(... '( ε ''( ( '( ''( ε... ε Замествайки (7 в (6, се получава: ε... (7 '( ( '( ε ''( ( '( ' '' ε ε ε (8 Следователно, сходимостта на метода на Нютон-Рафсон е квадратична. 6/

61 За съжаление, ако основната предпоставка за близост на текущото приближение до истинската стойност на нулата е силно нарушена, този метод изобщо може да не доведе до търсеното решение. Фиг. Пример за успешно прилагане на метода на Нютон-Рафсон. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. Фиг. Неблагоприятна ситуация, при която методът на Нютон-Рафсон се натъква на локален екстремум и търсенето на нула се проваля. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. 6/

62 Фиг. Неблагоприятна ситуация, при която методът на Нютон-Рафсон влиза в безкраен цикъл и търсенето на нула се проваля. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. За случаи, когато пресмятането на първата производна е невъзможно или нежелателно, може да се прилага методът на секущите. Този метод изисква две приближения на позицията на нулата, напр. и. Новото приближение се търси като мястото, в което права, минаваща през точките ( ( и (, (, пресича абсцисата, т.е. като решение на линейното уравнение: ( ( ( (, (9 Както се вижда, (9 е диференчен аналог на (4. Може да се покаже, че скоростта на сходимост на метода на секущите е: lε ost ε.68 ( Критерият за прекратяване на итерациите и ограниченията на приложимостта на метода на секущите са аналогични на тези на метода на Нютон-Рафсон. 6/

63 Фиг. 4 Метод на секущите. Линейната интерполация или екстраполация е през двете последно получени точки, независимо от това дали те ограждат нулата. Номерацията указва реда на получаване на точките. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. Модификация на метода на секущите, при която нулата е винаги оградена, е методът reul ls (метод на хордите. При него също се започва с две абсциси, и b, такива, че ( ( b като при метода на секущите, т.е. от уравнението: ( b (. Новото приближение на нулата,, се търси по същия начин ( b ( b ( b Интервалът [, b] за следващата итерация се избира по следния начин. Ако ( (, то b се подменя с. В противен случай а се подменя с. Критерий за прекратяване на итерациите не е дължината на интервала [, b], а дължината на интервала, в който функцията не променя знака си, т.е. [ b, ] в първия случай и [ ], във втория. Поради ограждането на нулата, методът reul ls е надежден, за разлика от метода на Нютон-Рафсон или на секущите. Сходимостта е в най-добрия случай същата, като при метода на секущите, но за разлика напр. от метода на разполовяването, не е равномерна, и се обуславя от изпълнението на основното предположение за локална линейност на функцията. 6/

64 Фиг. 5 Reul ls. Линейната интерполация е в последно получения интервал, който огражда нулата. В показания случай точка остава неподвижна в продължение на много стъпки. От цикъла се излиза, когато интервалът, в който функцията не сменя знака си, стане достатъчно малък. В показания случай това е интервалът, ограден от точки и 4. Номерацията указва реда на получаване на точките. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. Фиг. 6 Пример, при който методът на секущите или reul ls ще се нуждаят от огромен брой стъпки за достигане на нулата. В този случай прост и надежден метод като разполовяването обикновено има предимство. Номерацията указва реда на получаване на точките. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. По-нататъшно развитие на разгледаните последни три метода е квадратичната интерполация през три точки. Ако са налице точките (, (, ( b, ( b и ( (,, и 64/

65 напр. < b < и ( (, то през тях може да се построи интерполационен по- лином от втора степен, ( P ( α β γ може да се намери като корен на уравнението: ( d αd βd γ. Новото приближение на нулата, d, ( Проблем при този подход е, че уравнението ( има два корена и е нужна допълнителна логика за избор на подходящия измежду тях. Методът на Брент преодолява това затруднение чрез т.нар. обратна квадрати- чна интерполация. При него полиномът от втора степен ( P ( α β γ строи през точките ( (,, ( ( b, b и ( ( намира като стойност на полинома при, т.е: ( P ( γ се, и новото приближение на нулата, d, се d ( Ако d е извън ограждащия нулата интервал [, ], новото приближение се отхвърля и търсенето продължава по метода на разполовяването. Ако новото приближение бъде прието, то итерациите се прекратяват, ако d b < δ, където δ е точността, с която се желае локализирането на нулата. Ако критерият за прекратяване на итерациите не е изпълнен, новата тройка ( b,, се избира в зависимост от позицията на d и от знаците на функционалните стойности по начин, който тук няма да бъде разглеждан. Системи от нелинейни уравнения Задачата се формулира като търсене на вектор (,...,, който да удовлетворява уравненията: (,..,, F,..., (4 В общия случай този вектор не е единствен. Също така, задачата за ограждане на нулите в многомерния случай е практически неизпълнима. Поради това, най-често прилаганият метод за търсене на решение на система от нелинейни уравнения, е обобщение на разгледания метод на Нютон-Рафсон за функция на една променлива. Той се основава на тейлоровото развитие на функциите (4 около текущото приближение на решението (като допълнително се приема, че това приближение е достатъчно близо до истинското решение *: 65/

66 F F ( δ F ( O( δ Или, в матрично-векторен запис: F ( δ F( Jδ O( δ δ (5, (6 където J е матрицата на Якоби с елементи J F. Пренебрегвайки остатъчния член и полагайки F ( линейна система за вектора δ : ( δ, се получава следната Jδ F (7 Така, итеративният процес ще бъде: δ, (8 и са съответно старото и новото приближение на търсеното решение. където Итерациите се прекратяват, когато δ < δ, където δ е точността, с която се желае локализирането на нулата. Удобна норма е напр. δ δ. Както и в едномерния случай, надеждността на метода не е гарантирана, ако текущото приближение е далече от търсеното решение. 66/

67 9. Минимизация Едномерна минимизация Задачата се състои в намиране на позицията на локален минимум на реалната скаларна непрекъсната функция на реален скаларен аргумент (. (Ясно е, че всеки метод, предназначен за търсене на такъв минимум, може да се използува и за търсене на максимум, след замяната: ( (. Нека локалният минимум се търси в интервала [ ] ( b < ( и ( b ( то в [, ] функцията (, и нека < b <. Тогава, ако <, ( има минимум. Това е работният критерий за наличие на минимум на функция на една променлива в даден интервал. Фиг. Екстремуми на функция в даден интервал. Точки A, C и E са локални максимуми. Точки B и F са локални минимуми. Глобалният максимум е в т. G, която е на границата на интервала, така че първата производна на функцията там не е задължително нулева. Глобалният минимум е в т. D. В т. E са нулеви и производни от по-висок ред от първи, което може да затрудни някои алгоритми. Точките X, Y и Z ограждат минимума в F, тъй като функцията в Y е по-малка, отколкото в X и Z. Илюстрацията е от NUMERICAL RECIPES IN FORTRAN 77: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN X Coprht (C b Cbrde Uverst Press. Постижима точност Нека b е позицията на минимума. Тогава, за близка точка : ( ( b ''( b( b... ( 67/