Епидемиологичен модел
Целта, към която се стремим тук, е да се изследва как се разпространява заразно заболяване като функция на времето, предизвикано от малка група инфектирани индивиди, намиращи се сред популация, чиято численост остава постоянна. Разбира се това зависи от конкретните обстоятелства, но за да получим математическия модел ще направим някои разумни допускания. Разглеждат се заболявания, при които след преболедуване се придобива имунитет. Тогава популацията може да се раздели на три отличаващи се класа: тези които са предразположени да се разболеят S, вече инфектираните I и тези които са прекарали вече заболяването, или са имунизирани, или са изолирани докато преболедуват, или са починали, т.е тези които в един момент вече не участват в развитието на болестта. Схематично преходите между класовете могат да се представят така: S I Предположенията, които се правят за разпространението и инкубационния период, са решаващи при изграждане на модела. Функциите S(t), I(t) и (t) представят броя на индивидите във всеки клас в зависимост от времето. Предполагаме следното: А) преминаващите в класа I за единица време е стойност, която е правопропорционална на произведението на вече заболелите и броя на предразположените, т.е r*i*s, където r > 0. Съответно числеността на предразположените намалява с толкова Б) броят на преболедувалите за единица време е стойност правопропорционална на болните, т.е класът се увеличава с a*i, където а > 0 В) инкубационният период на болестта е достатъчно кратък, за да може да бъде пренебрегнат, т.е след контакт на предразположен с инфектиран той прдобива заболяването веднага. Разглеждаме различните класове като равномерно смесени, така че контактът между всеки двама индивида е равновероятен.при тези условия развитието на болестта се задава чрез следните уравнения: ds = r*s*i di = r*i*s a*i = a*i където a > 0, r > 0, а S, I и са неотрицателни.
Това е класическият математически модел на Kermack McKendrick (1927), който въпреки своята простота позволява да се изведат някои закономерности и да се опишат конкретно възникнали епидемии. Постоянният брой на популацията е вграден в модела и определя уравнението: ds di + + = 0 от където следва, че: S + I + = N като N e константата задаваща числеността на индивидите. S, I и са ограничени отгоре от тази константа. За да бъде пълно описанието на разглеждания проблем, трябва да се зададат началните стойности за размера на трите класа: S(0) = S 0 > 0, I(0) = I 0 > 0, (0) = 0. Съществен въпрос при дадени r, a, S 0 и I 0 е да се определи дали ще се разпространи инфекцията или не и ако се разпространи как ще се развива във времето и кога ще започне да затихва. di > > a = I 0 * (r*s 0 a) 0, ако S 0 = < < r t=0 ds a Тъй като 0, следва че S S 0 и ако S 0 <, r di то = I*(r*S a) 0 за t 0. В такъв случай I 0 > lim t I(t) = 0, а това означава, че няма да се достигне до епидемия. Под терминът епидемия се разбира, че съществува такъв момент t e, за който a I 0 < I(t e ). От друга страна ако S 0 >, то I(t) ще се увеличава и ще се развие r епидемия. Така достигаме до извода, че възникването на епидемиологичния
a процес се предопределя от отосителната прагова стойност = ; r ако S 0 >, ще се разпространи заболяването, докато при S 0 < не. Можем да извлечем и друг полезен резултат. Нека разгледаме I като функция на S. Тогава : di I*(r*S a) a = = 1 + като =. ds r*i*s S r Решаването на това диференциално уравнение, при използване на началните условия, води до следния резултат: I + S *ln S = const = I 0 + S 0 *ln S 0. Фазовият портрет на траекториите изглежда така: N I S + I = N I max 0 N S Тъй като (0) = 0, началните стойности I 0, S 0 удовлетворяват I 0 + S 0 = N. Имаме, че 0 I(t) + S(t) < N за t > 0. Следователно всяка траектория започва от правата с уравнение S + I N = 0 и през цялото време остава в пространството, ограничено от тази права и координатните оси. di Максимална стойност заболелите придобиват, когато = 0, от което ds следва че тя се получава при S =. Можем да я изчислим така:
I max = *ln + I 0 + S 0 *ln S 0 = I 0 + S 0 + *ln = S 0 = N + *ln S 0 За някои начални стойности I 0 и S 0 > фазовата траектория започва от S > и I постепенно нараства от I 0 до достигане на максималната стойност като в този случай е налице епидемия. Ако I 0 e близо до I max, а това означава S 0 да е близо до, епидемията няма да бъде тежка. Нека разгледаме S като функция на : Получаваме: ds S = N S = S 0 *exp S 0 *exp > 0 От тук следва, че 0 < S(t) N за t 0. Така заключаваме lim t S(t) > 0. От фазовия портрет се вижда, че всъщност 0 < lim t S(t) <. Тъй като I( ) = 0,то ( ) + S( ) = N.Следователно: ( ) N S( ) S( ) = S 0 *exp = S 0 *exp и така S( ) е положителния корен z на уравнението N z S 0 *exp = z Можем да изчислим общия брой на заболелите: I total = I 0 + S 0 S( ). Важно следствие от проведения анализ, а именно lim t I(t) = 0 и
lim t S(t) > 0, е че епидемията затихва поради липса на заболели, а не от липса на предразположени. В повечето случаи е трудно да се определи как се изменя броя на заболелите, т.е функцията I(t). Единствената информация, която може да бъде получена, е изнасяната от здравните служби за изменението на броя на потърсилите медицинска помощ или починалите за определен период от време. И така за да приложим разглеждания модел към конкретен случай на епидемия, ние трябва да изразим изменението на класа като функция на времето и тази функция да доближим максимално до получените данни. = a*i = a*( N S ) = a* N S 0 *exp при начално условие (0) = 0. Това уравнение може да бъде решено аналитично само в параметричен вид, който е твърде неудобен. Ако се знаят стойностите на a, r, S 0, и N може числено да се реши, но най често не всички от тях са известни. Наблюденията показват, че за по леки случаи на епидемия отношението е с малка стойност, т.е < 1. Тогава можем да направим следното приближение: S 0 S 0 * 2 = a* N S 0 + 1 * 2* 2 Решението, което получаваме за диференциалното уравнение, е 2 S 0 α*a*t (t) = * 1 + α*tanh + φ, S 0 2 където 2 1 / 2 S 0 2*S 0 *( N S 0 ) 1 α ( S 0 / 1) α = 1 +, φ = *ln 2 2 α +( S 0 / 1)
За изменението на във времето като функция на времето имаме: a *α 2 * 2 α*a*t = * sech 2 + φ, 2* S 0 2 a *α 2 * 2 1 което включва трите параметри, α*a и φ. Например чрез метода 2* S 0 2 на най малките квадрати можем да намерим за тези параметри стойностите, които доближават максимално функцията до наличните данни. Ако разполагаме с информация какъв е броя на изолираните в дадени моменти от време, тогава ще използваме израза за (t) за намиране на неизвестните параметри. Така ще можем да получим стойности за a, r, S 0 и N, което да ни позволи да приложим модела в други аналогични ситуации и да направим предвиждания. Моделът е приложен към случая на епидемия от чума през 1905 година в Бомбай. Тук изменението на класа,т.е, е приближено до броя на починалите за седмица. Теоретичната функция, която се получава, е: = 890*sech 2 ( 0.2*t 3.4) На фигурата е показано как тази функция се доближава до данните, означени с седмици Ако не е достатъчно малко, за да намерим неизвестните параметри, то ще
използваме: = a* N S 0 *exp. Да разгледаме примерни данни, получени през период от време 0.5, като в масива xk се съхраняват моментите на извършване на наблюденията, а в yk се пазят отчетените стойности. xk = [0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5] yk = [0.5 1.7 2.3 4.5 4.8 3.2 2.5 1.5 1.2 0.3 0.2 0.4 0.03 0.01 0.006] Следва дефиниция на функцията, която ще бъде приближена до предоставените данни function f = func( x, xdata ) f = x(1).* sech( x(2).* xdata + x(3) ).^ 2; Самото апроксимиране се осъществява от следната функция,използваща вградената функция lsqcurvefit,извършваща приближение чрез метода на най-малките квадрати. Като параметри получава дефинираните по-горе масиви a *α 2 * 2 1 и връща стойностите на коефициентите, α*a и φ 2* S 0 2 function a = approach(xdata,ydata) a = lsqcurvefit( 'func', [1 1 1], xdata, ydata ); Резултатът е следния 4.5804 0.7877-1.9222 и изглежда така
Следващата функция задава система, в която участват вече намерените коефициентите и от която ще се изразят S 0 и като x(1) = S 0 и x(2) = function F = systemfunc(x) a=4.5804; b=0.7877; c=-1.9222; n=100; F = [a*x(1)/(b*x(2)^2)+(x(1)/x(2) -1)*(tanh(c)^-1); (a*x(1)/(b*x(2)^2))^2-(x(1)/x(2) -1)^2-2*x(1)*(n-x(1))/(x(2)^2)]; Самото изчисление се извършва с помощта на вградената функция fsolve по следния начин fsolve('systemfunc',[10 ; 1]). Върнатият резултат е 96.2145 5.9377 за S 0 и съответно при налични 100 индивида. Смисълът на всичко изложено тук е изграждането на математически модел, потвърден и утвърдил се в практиката, който след намиране на приближени стоности за неизвестните параметри позволява да се опише развитието на сходни епидемии и предварително да се определят последиците от тях. Това дава възможност да се повлияе на тяхното развитие с цел намаляване на негативните резултати от въздействието им.