Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение 19 ще установим, че ако основното поле k е с характеристика chark) = 0, то допирателното пространство на Зариски T X към X в е с размерност dim k T X) dimx). След това ще докажем, че произволно неприводимо квази-проективно многообразие X над алгебрично затворено поле k е бирационално на афинно пространство или на афинна хиперповърхнина. Това ще ни даде възможност да изведем dim k T X) dimx) в случая на произволна характеристика на k. Лема-Определение 19. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k с характеристика chark) = 0. Тогава допирателното пространство на Зариски T X към X в точка X е с размерност dim k T X) dimx). Ако dim k T X) = dimx), то ще казваме, че X е гладка точка. Точка q X е особена, ако dim k T q X) > dimx). Множеството X sing на особените точки на X е собствено Зариски затворено подмножество на X. Доказателство: Нека g 1,..., g m k[x 1,..., x n ] са пораждащи на простия идеал IX) k[x 1,..., x n ], а x g 1,..., g m ) x 1,..., x n ) ) = 1 g 1 )... x n g 1 )......... k m n x 1 g m )... x n g m ) е матрицата на Якоби на g 1,..., g m относно x 1,..., x n в X. Съгласно Твърдение 8.11, допирателното пространство на Зариски T X се състои от онези допирателни вектори v = n a i x i T k n, чиито координати a 1,..., a n са решения на хомогенната линейна система Следователно g 1,..., g m ) x 1,..., x n ) ) a 1... a n = 0 m 1. dim k T X) + rk g 1,..., g m ) x 1,..., x n ) ) = n и трябва да докажем, че ако dimx) = d, то rk g 1,..., g m ) ) n d. x 1,..., x n ) 113

114 11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ Използвайки това, че k е алгебрично затворено поле с характеристика 0, ще построим такива пораждащи g 1,..., g m на IX) k[x 1,..., x n ], за които рангът rk g1,...,gm) g1,...,gm) x 1,...,x n) ) = n d в обща точка X и rk x 1,...,x n) q) n d за q X. Понеже dim k T X) не зависи от избора на пораждащи g 1,..., g m на IX), рангът rk g1,...,gm) x ) на Якобиевата матрица на g 1,...,x n) 1,..., g m относно x 1,..., x n в не зависи от избора на g 1,..., g m. Полето на рационалните функции kx) = k[x 1 +IX),..., x n +IX)] е от степен на трансцендентност tr deg k kx)) = dimx) = d. След евентуална пермутация на пораждащите x 1 + IX),..., x n + IX) на kx) над k можем да предполагаме, че x n d+1 + IX),..., x n + IX) са трансцендентни над k и x i + IX) е алгебрично над F = kx n d+1 + IX),..., x n + IX)) за 1 i n d. Ако f i t, x n d+1 + IX),..., x n + IX)) F [t] е минималният полином на x i + IX) над F, а h i x n d+1 + IX),..., x n + IX)) R = k[x n d+1 + IX),..., x n + IX)] е общият знаменател на коефициентите на f i като полином на t), то g i t, x n d+1 +IX),..., x n +IX)) = f i h i R[t] е полином с корен t = x i +IX). Следователно g i IX) за 1 i n d. Допълваме g 1,..., g n d до система пораждащи g 1,..., g n d, g n d+1,..., g m на IX) k[x 1,..., x n ] като полиномиален идеал и пресмятаме непосредствено, че J ) = g 1,..., g n d, g n d+1,..., g m) ) = x 1,..., x n ) x 1 g 1 )... 0 x n d+1 g 1 )..................... 0... x n d g n d) x n d+1 g n d)... x 1 g n d+1 )... x n d g n d+1 ) x n d+1 g n d+1 )..................... g m)... g m) g m)... x 1 x n d x n d+1 x n g 1 ) x n g n d) x n x n Съгласно Следствие 7.25, минималният полином f i на x i + IX) над F няма кратни корени в обща точка. Оттук g i няма кратни корени и g i ) 0 за x i 1 i n d в обща точка X. Умножаваме по подходящ начин първите n d реда на J ) и прибавяме към следващите редове, така че да получим J) с нулеви елементи в сечението на последните m n d) реда и първите n d стълба. Тогава J) = g1,...,g n d,g n d+1,...,g m) x 1,...,x n) системата полиноми g 1,..., g n d, g n d+1,..., g m с g i = g i + n d ) е матрицата на Якоби на j=1 λ ij g j за n d + 1 i m. Непосредствено се вижда, че g 1,..., g m е също система пораждащи на идеала IX). Условията g i ) = 0 за 1 j n d означават, че x j g i x n d+1,..., x n ) е полином на последните d променливи. Понеже x n d+1 + IX),..., x n + IX) е базис на трансцендентност на kx) над k, g i 0. По този начин, в обща точка имаме x 1 g 1 )... 0..................... J) = 0... x n d g n d )... 0... 0 0... 0.................. 0... 0 0... 0 g n d+1 ) g m).

с x i 11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ 115 g i ) 0 за 1 i n d и rkj) = n d. За rkjq) n d във всяка точка q X да допуснем, че множеството е непразно. Допълнението V = {q X rkjq) > n d} X \ V = {q X rkjq) n d} е Зариски затворено в X, защото се задава с анулирането на всички минори на Jq) от ред n d + 1). Следователно V е Зариски отворено. Вече доказахме, че съществува собствено Зариски затворено подмножество Z X, така че rkj) = n d за X \ Z. Следователно X \ Z) X \ V ), откъдето V Z. Но напразното Зариски отворено подмножество V на неприводимото многообразие X е Зариски гъсто в X, така че Зариски затворената обвивка X = ZarCl X V ) ZarCl X Z) = Z. Противоречието доказва, че V =. По определение, X sing = { X dim k T X) > d} = { X rkj) < n d} е Зариски затвореното подмножество на X, върху което се анулират всички минори на J) от ред n d. Видяхме, че над алгебрично затворено поле k с характеристика chark) = 0, общите точки на X са гладки. В частност, тяхното множество X smooth е непразно и X sing X, Q.E.D. Пример 11.1. Афинното многообразие X = {x, y) k 2 fx, y) = x 2 + y = 0} е бирегулярно на афинна права k. В частност, X е неприводимо гладко многообразие с dim k X = 1. Изображението π : X k, πx, y) = x е бирегулярно с регулярно обратно π 1 x) = x, x 2 ). Следователно π индуцира изоморфизъм на афинните k- алгебри π : k[x] k[x], изоморфизъм π : kx) kx) на полетата от рационални функции и изоморфизми dπ xo,y o) : T xo,y o)x T xo k = k на допирателните пространства на Зариски във всички точки x o, y o ) X. Пример 11.2. Множеството от точки Y = {x, y) C 2 gx, y) = x 2 + y 2 = x + iy)x iy) = 0} е приводимо афинно многообразие с dim C Y = 1 и единствена особена точка 0, 0). Множествата от точки и L 1 = {x, y) C 2 x + iy = 0} L 2 = {x, y) C 2 x iy = 0} са прави през началото 0, 0) в C 2, а Y = L 1 L 2. Многообразието Y е приводимо, защото е обединение на своите собствени Зариски затворени подмножества L 1 и L 2. По определение, размерността на Y е dim C Y := maxdim C L 1, dim C L 2 ) = max1, 1) = 1. В произволна точка = 1, 2 ) допирателното пространство на Зариски { ) ) } T Y = a + b a x2 + y 2 ) ) + b x2 + y 2 ) ) = 0, a, b C, x y x y

116 11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ T Y = { a ) ) + b x y a 1 + b 2 = 0, a, b C За 1, 2 ) 0, 0) линейното пространство T Y C е 1-мерно и точката е гладка. Доколкото T 0,0) Y = C 2 е с размерност dim C T 0,0) Y = 2 > 1 = dim C Y, началото 0, 0) Y е особена точка на Y. Ще докажем, че Лема-Определение 19 остава в сила над алгебрично затворено поле с произволна характеристика. За целта ще използваме бирационалността на произволно неприводимо многообразие с афинно пространство или хиперповърхнина. Преминаваме към алгебричната подготовка на доказателството на този факт. Теорема 20. Теорема за примитивния елемент) Нека k е безкрайно поле, α и β са алгебрични над k и β е сепарабелен над k. Тогава съществува такова θ kα, β), че kα, β) = kθ). Пораждащият θ на kα, β) над k се нарича примитивен елемент. Доказателство: Нека α 1 = α, α 2,..., α m са корените на минималния полином f α x) на α над k, а β 1 = β, β 2,..., β n са различните корени на минималния полином g β x) на β над k. Благодарение на безкрайността на полето k и сепарабелността на β, избираме c k, c α i α 1 β j β 1 за 1 i m, 1 < j n. Ще докажем, че θ := α + cβ е примитивен елемент на kα, β) над k. От една страна, kθ) = kα + cβ) kα, β). Остава да проверим само kα, β) kθ). Твърдим, че най-големият общ делител dx) := f α θ cx), g β x)) = x β kθ)[x]. Наистина, всеки корен на dx) е общ корен на f α θ cx) и g β x). По тъждеството на Безу, всеки общ корен на f α θ cx) и g β x) е корен и на dx). От всички корени β 1,..., β n на g β x) само β = β 1 е корен и на f α θ cx), защото f α θ cβ) = f α α) = 0 и f α θ cβ i ) = f α α + cβ β i )) 0 за i > 1, доколкото α + cβ β i ) α j, съгласно избора на c. Следователно dx) = x β с точност до ненулева мултипликативна константа от полето на коефициентите. Но по алгоритъма на Евклид, dx) е с коефициенти от полето kθ), доколкото f α θ cx), g β x) kθ)[x]. Следователно β kθ), откъдето α = θ cβ kθ) и kα, β) kθ), Q.E.D. Следствие 11.3. Ако k е безкрайно поле, а α и β са сепарабелни над k, то съществува сепарабелен над k примитивен елемент θ, така че kα, β) = kθ). Доказателство: Нека f α x) и g β x) са минималните полиноми на α и β над K. Да означим с α 1 = α, α 2,..., α m и β 1 = β, β 2,..., β n техните корени и да изберем c k, c α i α j β β q за 1 i, j m, 1 q n и θ := α + cβ. В Твърдение 20 вече доказахме, че kα, β) = kθ). Полиномът m n F x) = x α i cβ j ) j=1 се анулира в θ. Твърдим, че F x) k[x]. Това следва от факта, че F x) е симетричен полином на α 1,..., α m и β 1,..., β n. Съгласно Основната Теорема }.

11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ 117 за симетричните полиноми, коефициентите на F x) са полиноми на елементарните симетрични полиноми σ 1,..., σ m на α 1,..., α m и τ 1,... τ n на β 1,..., β n с коефициенти от Z[c] k. По формулите на Виет, коефициентите на F x) са полиноми на коефициентите на минималните полиноми f α x) и g β x) на α 1,..., α m, съответно, на β 1,..., β n. Да напомним, че по определение, f α x) и g β x) имат старши коефициенти 1.) Следователно F x) k[x]. Нека h θ x) k[x] е минималният полином на θ над k. При деление с частно и остатък F x) = h θ x)qx) + rx), deg rx) < deg h θ x), ако rx) 0, то θ е корен на rx), rθ) = 0. Това противоречи на определението за минимален полином h θ x) на θ над k. Следователно rx) 0 и h θ x) дели F x). Затова е достатъчно да проверим, че F x) няма кратни корени, за да твърдим, че h θ x) няма кратни корени и θ е сепарабелно над k. Допускането α i + cβ j = α + cβ l за някои 1 i, m, 1 j q n води до c = α αi β j β q, което противоречи на избора на c. Следователно j = q, откъдето α i = α и i = съгласно сепарабелността на α над k. Това доказва, че всички корени на F x) са различни, Q.E.D. Сега ще докажем така наречената Униформизационна теорема за крайнопородените разширения на алгебрично затворено поле. Теорема 21. Нека k е алгебрично затворено поле, а F = kt 1,..., t n ) е крайнопородено разширение на k. Тогава или F е чисто трансцендентно разширение на k или съществуват пораждащи τ 1,..., τ d, τ d+1 на F = kτ 1,..., τ d, τ d+1 ) над k, така че τ 1,..., τ d е базис на трансцендентност на F над k, а τ d+1 е сепарабелно над kτ 1,..., τ d ). Доказателство : Ако d = tr deg k F ) е степента на трансцендентност на F = kt 1,..., t n ) над k, то d n. За d = n полето F е чисто трансцендентно разширение на k. В случая d < n ще работим с индукция по n d. След евентуална пермутация на t 1,..., t n можем да предполагаме, че t 1,..., t d е базис на трансцендентност на F = kt 1,..., t n ) над k и да разгледаме полето E = kt 1,..., t d ). Елементът t d+1 F е алгебричен над E и минималният му полином 0 h d+1 E[t] е неразложим над E. Нека gt 1,..., t d ) k[t 1,..., t d ] е най-малкият) общ знаменател на коефициентите на h d+1 t 1,..., t d, t). Тогава f d+1 t 1,..., t d, t) = h d+1 t 1,..., t d, t)gt 1,..., t d ) k[t 1,..., t d, t] = R е полином на t 1,..., t d, t. Още повече, f d+1 е неразложим над k и над kt 1,..., t d ), защото ) в противен случай всяко разлагане f d+1 = f f дава разлагане h d+1 = f g f с f g, f kt 1,..., t d )[t]. Да напомним, че f d+1 има кратни корени точно когато има общ корен с f d+1 t R[t]. Последното е еквивалентно ) на съществуването на корен на най-големия общ делител dt) = f d+1, f d+1 t E[t]. Съгласно неразложимостта на f d+1 над E, това се случва точно когато dt) = f d+1 t) дели f d+1 t. Вземайки предвид, че deg fd+1 t t deg t f d+1 ) 1, стигаме до извода, че f d+1 t) има кратен корен тогава и само тогава, когато f d+1 t 0 R = k[t 1,..., t d ]. Твърдим, че съществува 1 i d с f d+1 x i t, x 1,..., x d ) 0. Тогава t d+1, t 1,..., t i 1, t i+1,..., t n е базис на трансцендентност на F = kt 1,..., t n ) над k, а f d+1 задава алгебрична зависимост на t i над k-алгебрата R i = k[t 1,..., t i 1, t i+1,..., t d ], а оттам и над полето E i = kt d+1, t 1,..., t i 1, t i+1,..., t d ), без кратни корени. С други думи, t i е сепарабелен над E i. Това доказва случая n = d + 1. Ако допуснем, че f d+1 x i x d+1, x 1,..., x d ) 0 за 1 i d + 1, то характеристиката chark) = е проста и степенните показатели на x 1,..., x d, x d+1 във всеки моном на f d+1 x d+1, x 1,..., x d ) се делят на. Благодарение на алгебричната затвореност на k можем да извлечем -ти корен от всеки ненулев коефициент на )

118 11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ f d+1 x d+1, x 1,..., x d ) и да представим f d+1 x d+1, x 1,..., x d ) = fx d+1, x 1,..., x d ) чрез някакъв полином fx d+1, x 1,..., x d ) k[x d+1, x 1,..., x d ]. Това противоречи на неразложимостта на f d+1 над k и доказва, че f d+1 x i x d+1, x 1,..., x d ) 0 за някое 1 i d. В случая n d 2 прилагаме индукционното предположение към полето F 1 = kt 1,..., t n 1 ), при условие, че t n е алгебричен над F 1. Получаваме пораждащи α 1,..., α d, α d+1 на F 1 = kα 1,..., α d, α d+1 ) над k, така че α 1,..., α d е базис на трансцендентност на F 1 над k и α d+1 е сепарабелен над F 0 = kα 1,..., α d ). В резултат, α 1,..., α d е базис на трансцендентност и на F над k, а t n е алгебричен над F 0. Съгласно Теорема 20 за примитивния елемент, разширението F = F 0 α d+1, t n ) на безкрайното поле F 0 чрез алгебричния над F 0 елемент t n и сепарабелния над F 0 елемент α d+1 има примитивен елемент θ F, така че F = F 0 θ) = kα 1,..., α d, θ). Повтаряйки разсъжденията в случая n d = 1 стигаме до извода, че съществува пермутация τ 1,..., τ d, τ d+1 на α 1,..., α d, θ, така че τ 1,..., τ d е базис на трансцендентност на F над k и τ d+1 е сепарабелен над kτ 1,..., τ d ), Q.E.D. С това сме готови за установяване на бирационалността на произволно неприводимо многообразие над алгебрично затворено поле с афинно пространство или афинна хиперповърхнина. Теорема 22. Всяко неприводимо афинно многообразие X над алгебрично затворено поле k е бирационално или на афинно пространство k d или на афинна хиперповърхнина H k d+1. Доказателство: Прилагаме Теорема 21 към полето kx) на рационалните функции върху X и получаваме, че kx) е изоморфно или на чисто трансцендентно разширение kx 1,..., x d ) от степен d = tr deg k kx)) = dimx), или на разширение kx) = kτ 1,..., τ d, τ d+1 ) породено от базис на тарнсцендентност τ 1,..., τ d на kx) над k и сепарабелен над kτ 1,..., τ d ) елемент τ d+1. Чисто трансцендентното разширение kx 1,..., x d ) на k е полето на рационалните функции на афинното пространство k d. Съгласно Твърдение 7.13, изоморфизмът на функционални полета kx) kx 1,..., x d ) е еквивалентен на бирационалност на X с k d. Остава да докажем, че ако F = kτ 1,..., τ d, τ d+1 ) има базис на трансцендентност τ 1,..., τ d над k и τ d+1 е сепарабелен над F 0 = kτ 1,..., τ d ), то съществува афинна хиперповърхнина H k d+1 са поле на рационалните функции kh) = F. За целта да разгледаме минималния полином fτ 1,..., τ d, t) F 0 [t] на τ d+1 над F 0. Ако gτ 1,..., τ d ) k[τ 1,..., τ d ] е най-малкият) общ знаменател на коефициентите на f, то hτ 1,..., τ d, t) = fτ 1,..., τ d, t)gτ 1,..., τ d ) k[τ 1,..., τ d, t] е полином с корен t = τ d+1. Ясно е, че h зависи от t и има една и съща степен deg t h) = deg t f) с f относно t. Хиперповърхнината H = {x k d+1 hx 1,..., x d, x d+1 ) = 0} има афинен координатен пръстен k[h] = k[x 1,..., x d, x d+1 ]/ h и поле на рационалните функции kh) = kx 1 + h,..., x d + h, x d+1 + h ). Както в доказателството на Твърдение 10.9 установяваме, че x 1 + h,..., x d + h образуват базис на трансцендентност на kh) над k и x d+1 + h е корен на полинома hx 1 + h,..., x d + h, x d+1 + h ) = 0. По този начин, kh) = kτ 1,..., τ d )x d+1 ) е разширение на kτ 1,..., τ d ) с корен x d+1 на hτ 1,..., τ d, t) = 0. Аналогично, kx) = kτ 1,..., τ d )τ d+1 ) е разширение на kτ 1,..., τ d ) чрез корен τ d+1 на fτ 1,..., τ d, t) = 0. Понеже всеки корен на f = 0 е корен на h = 0, имаме kx) kh). Съвпадението на степените на h и f относно t води до [kx) : kτ 1,..., τ d )] = [kh) : kτ 1,..., τ d )], а оттам и до KX) = kh). Последното условие е еквивалентно на бирационалността на X с H, Q.E.D.

11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ 119 Лема 11.4. Нека X е неприводимо афинно многообразие, а U X е непразно Зариски отворено подмножество. Тогава допирателните пространства на Зариски T X = T U съвпадат във всяка точка U. Доказателство: Понеже U е Зариски навсякъде гъсто в X, идеалите IX) = IU) съвпадат. Допирателното пространство на Зариски { n ) } n f T X = a i a i ) = 0, f IX). x i x i Аналогично, T U = { n ) a i x i откъдето T X = T U за U, Q.E.D. n a i f x i ) = 0, f IU) Твърдение 11.5. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. Тогава допирателното пространство на Зариски T X към X в е с размерност dim k T X) dimx). Множеството X sing = { X dim k T X) > dimx)} на особените точки на X е собствено Зариски затворено подмножество на X. Доказателство: Преди всичко да отбележим, че ако X е бирационално на неприводимо афинно многообразие Y k m, което изпълнява изброените твърдения, то и X изпълнява тези твърдения. По-точно, ако U X и V Y са непразни Зариски отворени подмножества и f : U V е бирегулярно изображение, то във всяка точка U е изпълнено dim k T X) = dim k T U) = dim k T f) V ) = dim k T f) Y ) dimy ) = dimx). Ако допуснем, че съществува точка q X с dim k T q X) < dimx), то както в Лема-Определение 19 забелязваме, че множеството W = {q X dim k T q X) < dimx)} е непразно Зариски отворено в X и се съдържа в X \ U. Съгласно неприводимостта на X, Зариски затворената обвивка X = W X \ U = X \ U, откъдето U =, противно на избора на непразно Зариски отворено U X. Следователно W = и dim k T X) dimx) за X. Множеството X sing на особените точки се характеризира с анулирането на всички минори от ред n d в Якобиевата матрица на произволна система пораждащи на IX) k[x 1,..., x n ]. Следователно X sing е Зариски затворено подмножество на X. Твърдим, че ако Y sing Y, то V sing V. По-точно, V sing = {q V dim k T q V ) > dimv )} = {q V dim k T q Y ) > dimy )} = V Y sing. Допускането V = V sing = V Y sing води до V Y sing. Оттук Зариски затворените обвивки изпълняват включването Y = V Y sing, което е противоречие. Следователно V sing V е собствено Зариски затворено подмножество. Сега ще проверим, че U sing U. Наистина, бирегулярното изображение f : U V индуцира k-линеен изоморфизъм df : T U T f) V на съответните допирателни пространства на Зариски. От друга страна, dimu) = dimfu)) = dimv ), така че dim k T U) > dimu) е еквивалентно на dim k T f) V ) > dimv ). С други },

120 11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ думи, f се ограничава до бирегулярно изображение f : U sing V sing. Допускането U sing = U води до V = fu) = fu sing ) = V sing и доказва, че U sing U. Накрая, от U sing U следва X sing X, защото при X sing = X би трябвало да имаме U sing = U X sing = U X = U. Съгласно Теорема 22, произволно неприводимо афинно многообразие X над алгебрично затворено поле k е бирационално на афинно пространство k d или на хиперповърхнина H k d+1. Остава да докажем твърдението за X = k d или X = H. Съгласно Лема 8.9, допирателното пространство на Зариски T k d в произволна точка k d е изоморфно на k d. От друга страна, dim k d = d, защото полето на рационалните функции на k d е чисто трансцендентно разширение kx 1,..., x d ) на k от степен d. Следователно dim k T k d ) = dimk d ) за k d и афинното пространство k d е гладко. С други думи, k d ) sing =. Нека hx 1,..., x d, x d+1 ) k[x 1,..., x d, x d+1 ] е неразложим над k полином с h x d+1 x 1,..., x d, x d+1 ) 0 k[x 1,..., x d, x d+1 ]. Тогава хиперповърхнината H = {x k d+1 hx 1,..., x d, x d+1 ) = 0} е неприводимо афинно многообразие с допирателни пространства на Зариски { d+1 ) d+1 ) } T H = a i a i h) = 0 за H. x i x i Зариски затвореното подмножество { } h Z = H ) = 0 H x d+1 се съдържа строго в H, защото в противен случай h x d+1 x 1,..., x d, x d+1 ) IH) = h k[x 1,..., x d, x d+1 ], h откъдето x d+1 x 1,..., x d, x d+1 ) 0. Във всяка точка H \Z, допирателното пространство на Зариски d+1 ) d a i x T H = a i x i a i h) d+1 = = h) d ) a i x i d a i x i x d+1 h) h) x d+1 ) x d+1 a 1,..., a d k k d. Вече видяхме, че от dim k T H) dimh) в случая, dim k T H) = dimh) = d) за всяка точка на Зариски отвореното подмножество H \ Z) H следва dim k T q H) dimh) за q H. Още повече, = H \ Z) H smooth се състои от гладки точки, така че особените точки H sing = H \ H smooth H образуват собствено, Зариски затворено подмножество на H, Q.E.D. Преди да дадем определение за регулярен локален пръстен да напомним, че ако R е ньотеров локален пръстен с максимален идеал M и поле от остатъци k = R/M, то за n 0 факторите M n /M n+1 са крайномерни линейни пространства над k виж Следствие 8.5 ). Прилагайки Лема 8.7 ii) на Накаяма получаваме, че елементите µ 1,..., µ l M n пораждат M n = µ 1,..., µ l R като идеал в R, точно когато линейната им обвивка San k µ 1 + M n+1,..., µ l + M n+1 ) = M n /M n+1 поражда M n /M n+1 като линейно порстранство над k. Още повече, µ 1 + M n+1,..., µ l + M n+1 е минимална система пораждащи на M n /M n+1 като

11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ 121 линейно пространство над k т.е. µ 1 +M n+1,..., µ l +M n+1 е базис на M n /M n+1 над k) тогава и само тогава, когато µ 1,..., µ l е минимална система пораждащи на M n = µ 1,..., µ l като идеал в R. Определение 11.6. Нека R е ньотеров локален пръстен с максимален идеал M и поле от остатъци k = R/M. Ако размерността на Крул KrullDimR) = dim k M/M 2 ) съвпада с размерността на линейното пространство M/M 2 над k, ще казваме, че R е регулярен локален пръстен. Може да се докаже, че винаги dim ) k M/M 2 KrullDimR). Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k. За произволна точка X разглеждаме локалния пръстен O,X с максимален идеал M,X и поле от остатъци k = O,X /M,X. В Лема 8.2 се убедихме, че допирателното пространство на Зариски T X M,X /M,X) 2 е дуално на линейното пространство M,X /M 2,X над k. От друга страна, dimx) = KrullDimk[X] = KrullDimO,X, така че dim k T X) dimx) приема вида dim k M,X /M 2,X) KrullDimO,X. По определение, точката X е гладка точно когато dim k M,X /M 2,X) = KrullDimO,X. С други думи, X smooth е гладка точка тогава и само тогава, когато локалният пръстен O,X е регулярен. Твърдение 11.7. Нека k е алгебрично затворено поле, X k n е неприводимо афинно многообразие с множество от особени точки X sing, а Y е затворено неприводимо подмногообразие на X, чийто локален пръстен O Y,X е регулярен. Тогава Y не се съдържа в X sing. Доказателство: Нека d = dimx), r = dimy ), s = d r. Означаваме с простия идеал на Y в афинния координатен пръстен k[x] на X. Локалният пръстен O Y,X = k[x] има размерност на Крул s. Поради предположението за регулярност на k[x] можем да изберем s пораждащи f 1,..., f s на максималния идеал k[x] на k[x], така че никои s 1 от тях да не пораждат k[x] k[x]. Твърдим, че съществува h k[x] \, така че f 1,..., f s принадлежат на k[x] h и пораждат идеала k[x] h на k[x] h. Ако y 1,..., y m пораждат идеала на k[x], то тези елементи пораждат също идеала k[x] над k[x]. Следователно съществуват c ij k[x], така че f i = c ij y j. От друга страна, j f i също пораждат идеала k[x] над k[x], така че съществуват d ji k[x] с y j = i d ji f i. Елементите f j, c ij и d ji са дроби със знаменатели от мултипликативно затвореното подмножество S = k[x]\. Избираме h като общ знаменател на f j, c ij и d ji, така че f j, c ij, d ji k[x] h. Тогава е ясно, че f j и y i пораждат един и същи идеал в k[x] h, така че f 1,..., f s пораждат k[x] h. Заменяме k[x] с k[x] h и X с главното отворено подмножество X h. Тогава Y се заменя с главното отворено подмножество Y h, а неговият координатен пръстен k[y ] = k[x]/ се заменя с k[y ] h, където h е образът на h в k[y ]. Това не променя локалния пръстен O Y,X. По този начин можем да предполагаме, че се поражда от s елемента f 1,..., f s. Сега по Твърдение 11.5 съществува гладка точка y Y \Y sing. Ще докажем, че y е гладка точка на X, така че y Y \X sing, което доказва твърдението. Нека M е максималният идеал на y в k[x]. От y Y следва, че M. Максималният идеал на y в афинния координатен пръстен k[y ] = k[x]/ е образът M = M/ на M в k[y ]. Понеже y е гладка точка на Y, локалният

122 11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ пръстен O y,y е регулярен локален пръстен с размерност r. Следователно съществуват g 1,..., g r M, чиито образи g 1,..., g r M пораждат максималния идеал MO y,y на O y,y. Съгласно O y,y = O y,x /O y,x, идеалът g 1,..., g r )O y,x, породен от g 1,..., g r в O y,x изпълнява равенството g 1,..., g r )O y,x + O y,x = MO y,x. Понеже идеалът се поражда от s елемента f 1,..., f s, идеалът O y,x се поражда над O y,x от същите тези s елемента. В резултат, MO y,x се поражда от f 1,..., f s, g 1,..., g r. Това доказва, че MO y,x се поражда от r + s = dim O y,x елемента и е регулярен локален пръстен. Следователно y е гладка точка на X, Q.E.D. Твърдение 11.8. Нека R е ньотерова локална област с размерност на Крул 1, M е максималният идеал на R, а k = R/M е полето от остатъци на R. Следните условия са еквивалентни: i) R е пръстен на дискретно нормиране; ii) R е целозатворена област; iii) максималният идеал M е главен; iv) dim k M/M 2 ) = 1, т.е. R е регулярен локален пръстен; v) всеки ненулев собствен идеал на R е от вида M n за някое n N; vi) съществува x R, така че всеки ненулев собствен идеал в R е от вида x n за n N. Доказателство: Преди всичко да отбележим, че M е единственият ненулев прост идеал в R, така че всеки нетривиален идеал a R е примарен и има радикал ra) = M, съгласно Твърдение 5.16 iv). Още повече, по Твърдение 5.16 iii) съществува естествено число n, така че ra) n = M n a. Без ограничение на общността можем да считаме, че n е минималното естествено число с M n a, така че M n 1 a. i) ii) Всеки пръстен на дискретно нормиране R е пръстен на нормиране. Следователно R е целозатворена област. ii) iii) Да предположим, че R е целозатворена, ньотерова, локална област с размерност на Крул 1. За произволен ненулев елемент 0 x o M да означим с n минималното естествено число, така че M n x o се съдържа в главния идеал, породен от x o. Тогава M n 1 x o и съществува y o M n 1 \ x o. Ако F е полето от частни на R, то твърдим, че z o = xo y o F има обратен zo 1 = yo x o R извън R. В противен случай, y o = x o zo 1 x o. Съгласно целозатвореността на R, елементът zo 1 F не е цял над R. По построение, zo 1 M R, защото за произволен елемент µ M е в сила y o µ M n x o = x o R. Ако допуснем, че zo 1 M M, то M се оказва модул над областта R[zo 1 ] F. По предположение, пръстенът R е ньотеров, така че главният му идеал M = Rt 1 +... + Rt m е крайнопороден. Нека умножението ϕ : M M, ϕµ) = zo 1 µ с zo 1 има матрица A R m m спрямо системата пораждащи t = t 1,..., t n ) на M като R-модул. Тогава ta zo 1 E m ) = 0 1 m. Умножавайки отдясно с адюнгираната матрица на A zo 1 E m R[zo 1 ] m m, получаваме, че deta zo 1 E m )t = 0. Понеже идеалът M в областта R има нулев анулатор във F, оттук следва, че deta zo 1 E m ) = 0. С други думи, zo 1 F изпълнява цяла зависимост от степен m над R и принадлежи на целозатворената област R. Противоречието установява, че zo 1 M M, откъдето zo 1 M = R и M = z o R. iii) iv) Да отбележим, че повдиганията на произволен базис на линейното пространство M/M 2 над k пораждат идеала M. Оттук, dim ) k M/M 2 1. Твърдим, че M n M n+1 за n N {0}. В противен случай, M n = M n+1 за крайнопородения R-модул M n води до M n = 0 по Лемата на Накаяма. Но

11. ГЛАДКИ И ОСОБЕНИ ТОЧКИ 123 тогава M = rm n ) = r0) = 0, което е противоречие. Следователно M/M 2 0 и dim ) k M/M 2 = 1. iv) v) От dim ) k M/M 2 = 1 следва, че идеалът M = x е главен. За произволен ненулев собствен идеал a R нека n е минималното естествено, за което M n a, но M n 1 a. Достатъчно е да докажем, че идеалът a = a/m n във фактор-пръстена R = R/M n е равен на M ν = M/M n ) ν за някое ν N, 1 ν n. За целта да отбележим, че M = M/M n е максимален идеал в R, съгласно R/M R/M = k. Да допуснем, че 0 a M. От a 0 = M n следва, че естествените числа ν с условието a M ν са ограничени отгоре. Нека ν е максималното с a M ν, така че a M ν+1. Следователно съществува y a \ M ν+1 M ν \ M ν+1 = x ν \ x ν+1. С други думи, y = x ν r с r R \ x = R \ M = R. Оттук x ν = yr 1 a, така че x ν a x ν и a = x ν = M ν. v) vi) Достатъчно е да докажем, че максималният идеал M на R е главен. За целта да изберем произволен елемент x o M \ M 2. По предположение, главният идеал x o, породен от x o е естествена степен на максималния идеал на R, x o = M s. Ако s 2, то x o M s M 2 противоречи на избора на x o M \ M 2. Следователно s = 1 и x o = M. vi) i) Идеалите x s не са прости за s 2, така че M = x. За r R \ {0} съществува единствено неотрицателно цяло ν, така че r = x ν. Оттук r = x ν u с u R, защото ако x ν = rv = x ν uv за някакво v R, то uv = 1 в областта R. По този начин получаваме коректно зададено изображение ν : R \ {0} Z. Във всеки елемент a b F \ {0} можем да заместим a = xα r o, b = x β s o за някакви α, β N {0} и r o, s o R. По този начин получаваме представяне a b = xα β r o s 1 o с α β Z, r o s 1 o R. Ако x α r o = x β s o са две представяния с α, β Z, β α и r o, s o R, то x β α = r o s 1 o R изисква β = α, а оттам и r o = s o. Следователно всеки ненулев елемент на F има единствено представяне във вида x ν r o с ν Z и r o R. Това дава възможност да продължим ν до F \ {0}, полагайки νx ν r o ) = ν. Допълваме с ν0) = и проверяваме, че така полученото изображение ν : F Z { } е дискретно нормиране с пръстен R, Q.E.D. Накрая да отбележим, че ако X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а Y X е гладко неприводимо афинно подмногообразие с коразмерност codim X Y ) = dimx) dimy ) = 1, то локалният пръстен O Y,X на Y в X е пръстен на дискретно нормиране. Наистина, O Y,X е ньотерова локална област с размерност на Крул 1. Достатъчно е да установим, че O Y,X е регулярен и да приложим Твърдение 11.8. С други думи, ако M Y,X е максималният идеал на O Y,X, трябва да докажем, че dim k MY,X /MY,X) 2 = 1. Както в доказателството на Твърдение 11.7, можем да заменим X с главно Зариски отворено подмножество X h X и Y със сечението Y h = Y X h Y, така че простият идеал I Xh Y h ) k[x h ] да е главен. Следователно максималният идеал M = k[x h ] \ I Xh Y h )) 1 I Xh Y h ) е също главен и размерността dim k MY,X /MY,X) 2 = 1.