МЕХАНИКА Кнематка на матерална точка ТИПОВИ ЗАДАЧИ Задача От земната овърхност, верткално нагоре е хвърлено тяло с начална скорост m. а) времето за здгане на тялото до максмална всочна, б) максмалната всочна, на която се здга тялото, в) времето за адане на тялото, г) скоростта, с която достга земната овърхност, д) колко секунд след хвърлянето, тялото ще се намра на всочна 5 m. m а) t? б) ma? в) t? г)? д) t 5? Решене: Тъй като двженето е верткално, за неговото осане е достатъчна една коорднатна ос, нармер OY.За решаването на задачата ще разделм двженето на част. Отначало ще разгледаме здгането на тялото до максмална всочна, р което тялото за момент ще ма скорост равна на нула. След това ще разгледаме двженето на адане на тялото от максмална всочна до земната овърхност. Накрая ще разгледаме общя случай одуслове д). а) Първото, което трябва да наравм е чертеж ( Фг ) за ървя ета на двженето. Y ma O = Фг Двженето е равнозакъснтелно тялото ще достгне някаква максмална всочна ma, р което за момент скоростта му ще стане равна на нула. На чертежа оределяме осоката на началната скорост земното ускорене. Засваме законте за скоростта ътя в общя м вд Оределяме от чертежа условето на задачата всяка една велчна, участваща в тез закон. Тъй като в края на разглежданото двжене, в точка ma тялото за мг сра, ред да смен осоката с на двжене ( адане ), то. Началната скорост o е о осока на оста OY, знакът й ще бъде (+) ще ма стойност o. Ускоренето a ще бъде равно о големна на земното ускорене, но със знак (-), тъй като е насочено обратно на X
осока на оста OY, т.е. a. Времето ще бъде равно на времето за здгане на тялото до максмална всочна - t t. В края на ървя ета на двженето коорднатата му ще бъде като тялото е хвърлено от земната овърхност, началната му коордната ще бъде. Замествайк велчнте o a ma. Тъй t t ma в общя вд на законте за скоростта ътя, олучаваме техня конкретен вд за двженето, което разглеждаме ЗС t o t ЗП ma ot От закона за скоростта можем да оределм времето за здгане на тялото да максмална всочна o t Това е буквеното решене на одуслове а). Замествайк даденте о услове стойност на началната скорост земното ускорене, олучаваме чсленото решене t б) За да оределм максмалната всочна, на която тялото ще се здгне, заместваме времето за здгане в закона за ътя o o ma o Получаваме ma Това е буквеното решене на одуслове б). Замествайк даденте о услове стойност на началната скорост земното ускорене, олучаваме чсленото решене ma m в) За да оределм времето, за което тялото ще адне на земната овърхност от максмална всочна, както скоростта на адане, ще разгледаме вторят ета от двженето. Правм отново чертеж ( Фг ). Двженето на тялото р адане е равноускортелно. Тоз ът тялото заочва своето двжене от максмалната всочна ma с начална скорост равна на нула. Засваме законте за скоростта ътя в общя м вд
Y ma O = Фг Оределяме от чертежа условето на задачата всяка една велчна, участваща в тез закон. Скоростта тоз ът ма знак (-), тъй като е насочена обратно на оста OY. Началната скорост за тоз ета е скоростта на тялото на махсмална всочна o. Ускоренето a ще бъде равно о големна на земното ускорене, но със знак (-), тъй като е насочено обратно на осока на оста OY, т.е. a. Времето ще бъде равно на времето за адане на тялото от максмална всочна до земната овърхност - t t. В края на вторя ета на двженето ( р земната овърхност ) коорднатата му ще бъде. Тъй като тялото заочва двженето с от максмална всочна, началната му коордната ще бъде ma. Замествайк велчнте o a t t X ma в общя вд на законте за скоростта ътя, олучаваме техня конкретен вд за вторя ета на разглежданото двжене. ЗС t t ЗП ma. t в) От закона за ътя оределяме времето за адане на тялото ma t Това е буквеното решене на одуслове в). Замествайк олучената в одуслове б) стойност на максмалната всочна земното ускорене, олучаваме чсленото решене. t Вждаме, че времето за здгане на тялото до максмална всочна е равно на времето за адане на тялото до земната овърхност. Избраме оложтелната стойност на корена, тъй като времето е оложтелна влчна. г) От общя вд на закона за скоростта олучаваме t Това е буквеното решене на одуслове г). Замествайк олучената в одуслове в) стойност на времето за адане земното ускорене, олучаваме чсленото решене m. Вждаме, че скоростта на адане е равна о големна на началната скорост, но ма обратен знак. 3
д) За да отговорм на въроса кога тялото ще достгне всочна 5 m е необходмо да разгледаме двженето като цяло от хвърлянето му с начална скорост, до адането му на Земята. В началото на двженето, тъй като тялото е хвърлено от земната овърхност. Тогава конкретнят вд на закона за двженето ще ма вда t Това е едно квадратно уравнене срямо времето t. Подреждаме о стеенте на t t делм на, за да го рведем в нормален вд. Търсм решенето му за 5 m. Коренте на това уравнене са o o t, Това е буквеното решене на одуслове д). Замествайк началната скорост, всочната земното ускорене с технте чслен стойност, олучаваме чсленото решене.5, t t t 3 Това оказва, че тялото достга два ът всочна 5 m. Едн ът р здгане втор ът р адане. Задача Тяло е хвърлено от земната овърхност с начална скорост, която сключва ъгъл с хорзонта. а) максмалната всочна, на която се здга тялото, б) далечната на олета, в) од какъв ъгъл срямо хорзонта трябва да е насочена началната скорост, за да бъде максмална далечната на олета. а) hma? б)? в)? ) ( ma? Решене а) Правм чертеж! Y o o X Разглеждаме двженето о оста OX о оста OY. Разглеждане о оста OY 4
Двженето о оста OY е както в редната задача, с таз разлка, че тук началната скорост е роекцята на началната скорост о оста OY in Общят вд на законте за скоростта ътя р здгане на тялото са Оределяме от чертежа условето на задачата всяка една велчна, участваща в тез закон. Замествайк велчнте o a t t ma в общя вд на законте за скоростта ътя, олучаваме техня конкретен вд за двженето, което разглеждаме ЗС t o t ЗП ma От закона за скоростта можем да оределм времето за здгане на тялото да максмална всочна o t За да оределм максмалната всочна, на която тялото ще се здгне, заместваме времето за здгане в закона за ътя ma Получаваме ma л, замествайк ma in Това е буквеното решене на одуслове а). Двженето о оста OX е равномерно със скорост, равна о големна на роекцята на началната скорост о оста OX co. Времето за двжене на тялото е равно на сумата от o времето за здгане in t на тялото до максмална 5
всочна от времето за адане t на тялото от максмална всочна до земната овърхност - t t t. В редната задача in вдяхме, че t t следователно t t. От закона за ътя р равномерно двжене t Замествайк конкретнте стойност на скоростта времето, олучаваме co. t Това е буквеното решене на одуслове б). в) За да оределм максмалната далечна на олета co in in ma co. t ma ma ma трябва да оределм р какъв ъгъл in ще ма максмална стойност. Тъй като in9, то трябва 9. Следователно 45 Това е буквеното решене на одуслове в). а) h hma? б) t? в)? Решене Правм чертеж! Y o h h o X ЗАДАЧИ Задача Тяло е хвърлено от всочна h с начална скорост, която сключва ъгъл с хорзонта. а) максмалната всочна, на която се здга тялото, б) времето за адане на тялото, в) далечната на олета. h Рязделяме задачата на тр етаа: По оста OY - тяло, хвърлено от всочна h с начална скорост, като ще ремем, че h m като ще оределм h hma, както времето за здгане t на тялото до максмална всочна. - тяло уснато от всочна h h h с начална скорост като ще оределм времето за адане t до земната овърхност. По оста OX 6
- За да оределм далечната на олета н е необходмо цялото време t t t на олета. Разглеждане о оста OY - ърв ета in Общят вд на законте за скоростта ътя р здгане на тялото са Оределяме от чертежа условето на задачата всяка една велчна, участваща в тез закон. Замествайк велчнте o a t t h в общя вд на законте за скоростта ътя, олучаваме техня конкретен вд за двженето, което разглеждаме ЗС t o t ЗП h От закона за скоростта можем да оределм времето за здгане на тялото да максмална всочна o t in t За да оределм максмалната всочна, на която тялото ще се здгне, заместваме времето за здгане в закона за ътя h Получаваме h л, замествайк in h h h h in h h Това е буквеното решене на одуслове а). Разглеждане о оста OY - втор ета (тяло уснато от всочна h h h ) Замествайк велчнте o a t t 7
h в общя вд на законте за скоростта ътя, олучаваме техня конкретен вд за вторя ета на разглежданото двжене. ЗС t t ЗП h. t в) От закона за ътя оределяме времето за адане на тялото h t h h t Заместваме h във времето за адане t h in h. in h t h t h in h. in in Това е буквеното решене на одуслове б). Разглеждане о оста OX - трет ета равномерно двжене със скорост co o ЗС co cont o ЗП t За да оределм далечната на олета в ЗП трябва да отчетем, че времето на олета е t t t co t t t За да оределм далечната на олета в ЗП трябва да отчетем, че времето на олета е t t t in t h in t in h in co in h in Това е буквеното решене на одуслове в). Задача От кула хорзонтално е хвърлен камък с начална скорост m, който ада на разстояне m от кулата. От каква всочна е хвърлен камъкът? m m h? Решене 8
Правм чертеж! Y h t h h o Това е търсеното решене Разглеждане о оста OX ЗС cont o ЗП t o t o Разглеждане о оста OY o a t t h ЗС t X Задача Тяло е хвърлено хорзонтално с начална скорост от всочна h. Как завсят от времето: а) коорднатте на тялото, б) ълната му скорост. в) Изведете уравненето на траекторята! h а) t? t? б) t? в) f? Решене Правм чертеж! t ЗП h. t 9
а) Разглеждане о оста OX ЗС cont o ЗП t o ot Разглеждане о оста OY o a t t h ЗС t t ЗП. t t Търсеното решене на одуслове а) е t t o t t б) Общата формула за големната на скоростта е. Тъй като а t, то t t Това е търсеното решене на одуслове б) t в) От решенето o Заместваме времето в t на одуслове а) вждаме, че t t олучаваме Това е търсеното решене на одуслове в) t. Задача Тяло е хвърлено хорзонтално от всочна h m така, че скоростта му на адане сключва ъгъл 45 с хорзонта. Каква е далечната на олета на тялото? h m 45? Решене Правм чертеж!
Y h Разглеждане о оста OX ЗС cont o ЗП t Далечната на олета е t X. Трябва да знаем времето t на олета както скоростта на тялото о оста OX. Разглеждане о оста OY o a t t h ЗС t t ЗП h. t t h h t t h h От чертежа се вжда, че in co t t Заместваме в зраза за далечната на олета скоростта h h h h t t t t h t Това е търсеното решене. t времето t Задача Тяло е хвърлено хорзонтално с начална скорост 5 m е аднало од ъгъл 6 срямо хорзонта. Каква е всочната, от която е хвърлено тялото?
5 m 6 h? Решене Правм чертеж! Разглеждане о оста OY o a t t h ЗС t t ЗП h. t t t t h h От чертежа се вжда, че in in h Трябва да оределм скоростта на адане. Разглеждане о оста OX ЗС cont ЗП t От чертежа се вжда, че co co Заместваме скоростта в зраза за всочната h. in in in h co co h t Това е търсеното решене.
Задача Тяло е хвърлено хорзонтално с начална скорост 5 m. След колко време неговата скорост ще бъде насочена од ъгъл 45 срямо хорзонта? 5 m 45 t? Решене Правм чертеж! o a t h ЗС t t ЗП h. t t t Но. Следователно Когато скоростта сключва ъгъл 45, тогава. Разглеждане о оста OX ЗС cont ЗП t Разглеждане о оста OY Нека да редоложм, че в момента когато скоростта сключва ъгъл 45, тялото ада на земята t Задача Тяло е хвърлено хорзонтално от всочна h.35 m. Скоростта на адането на тялото е 4 m. Оределете началната скорост на тялото! h.35 m 4 m? 3
Решене Правм чертеж! Разглеждане о оста OX ЗС cont ЗП t Разглеждане о оста OY o a t h ЗС t t ЗП h. t t t t h h h Така за двете комонент на скоростта в момента на адане на тялото олучхме h. Тогава, золзвайк формулата за големната на скоростта h Това е буквеното решене 4.,35. 3 m Това е чсленото решене Задача Тяло е хвърлено от земната овърхност с начална скорост 5 m, която сключва ъгъл с хорзонта. На каква всочна скоростта на тялото намалява четр ът? 4
5 m h? Решене Правм чертеж! Задача Тяло е хвърлено хорзонтално с начална скорост 5 m. Намерете нормалното a n тангенцалното a ускорене на тялото след време t от началото на двженето! 5 m t а) an? б) a? Решене Правм чертеж! Y h От чертежа се вжда, че a in a co n co an in Необходмо е да оределм комонентте на скоростта о оста OX - о оста OY -, както самата скорост. Разглеждане о оста OX ЗС cont ЗП t Разглеждане о оста OY a X 5
o a t h ЗС t t ЗП h. t t Така за двете комонент на скоростта в момента на адане на тялото олучхме t. Тогава, золзвайк формулата за големната на скоростта t Тогава co t t in t Заместваме в зразте за нормалното a n тангенцалното a ускорене a in a co n t t Буквеното решене на одуслове а) е t a t t Замествайк даденте о услове начална скорост, времето земното ускорене, олучаваме чсленото решене. a 5. a 5,55 m Буквеното решене на одуслове б) е an t Замествайк даденте о услове начална скорост, времето земното ускорене, олучаваме чсленото решене.5 an 5. m an 8,3 Задача Тяло е хвърлено от всочна h нагоре с начална скорост, която сключва ъгъл с хорзонта. а) Под какъв ъгъл срямо хорзонта ще адне тялото? б) С каква скорост ще адне тялото? 6
в) Оределете далечната на олета! h а)? б)? в)? Решене Правм чертеж! Y o h h o arct За целта е необходмо да оределм двете комонент на скоростта - Рязделяме задачата на следнте ета: По оста OY - тяло, хвърлено от всочна h с начална скорост, като ще ремем, че h m като ще оределм h hma, както времето за здгане t на тялото до максмална всочна. - тяло уснато от всочна h h h с начална скорост като ще оределм времето за адане t до земната овърхност. - оределяме комонентата По оста OX - намраме комонентата на скоростта - оределяме ъгълът arct X - Намраме големната на скоростта на адане - За да оределм далечната на олета н е необходмо цялото време t t t на олета. - След това оределяме далечната на олета. От чертежа се вжда, че ъгълът на адане може да се оредел от t като Разглеждане о оста OY - ърв ета in Общят вд на законте за скоростта ътя р здгане на тялото са 7
Оределяме от чертежа условето на задачата всяка една велчна, участваща в тез закон. Замествайк велчнте o a t t h в общя вд на законте за скоростта ътя, олучаваме техня конкретен вд за двженето, което разглеждаме ЗС t o t ЗП h От закона за скоростта можем да оределм времето за здгане на тялото да максмална всочна o t in t За да оределм максмалната всочна, на която тялото ще се здгне, заместваме времето за здгане в закона за ътя h Получаваме h л, замествайк in h h h h in h h Това е буквеното решене на одуслове а). Разглеждане о оста OY - втор ета (тяло уснато от всочна h h h ) Замествайк велчнте o a t t h в общя вд на законте за скоростта ътя, олучаваме техня конкретен вд за вторя ета на разглежданото двжене. ЗС t t ЗП h. t От закона за ътя оределяме времето за адане на тялото 8
t t h h h h h t Заместваме h във времето за адане t h in h. in h t h t h in От закона за ътя оределяме t h in h. in in h in Разглеждане о оста OX - трет ета равномерно двжене със скорост co o ЗС co cont o ЗП t co Замесвайк двете комонент на скоростта в зраза arct олучаваме h in arct arct co Това е буквеното решене на одуслове а) Големната на скоростта на адане оределяме от формулата co in h co h in in co h h Това е буквеното решене на одуслове б) За да оределм далечната на олета в ЗП трябва да отчетем, че времето на олета е t t t in t h in t in h in co t t t co in h in Това е буквеното решене на одуслове в). 9