Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой индекси, брой компоненти =. ( a Тензор: T T T T = T T T брой индекси, брой компоненти = 9. T T T Тензор с компоненти T брой индекси, брой компоненти = 7. Аналогично се дефинират и тензори с повече индекси, т.е. от по-висок ранг. Ние разглеждаме: Скалар тензор от нулев ранг Вектор тензор от първи ранг Тензор тензор от втори ранг Символ на Кронекер: = { при 0при = (, =,,) Използваме, за да означим компонентите на единичната матрица : I = E = 0 0 0 0 0 0 Символ на Леви-Чивита: ε 0 = ако поне два от индексите съвпадат; ако пермутацията (, ако пермутацията (,,, ) e четна; ) e нечетна. т.е. ε = 0, ε = 0,..., ε =, ε = -, ε =, ε = -, ε =, ε = -. Връзка между символите на Леви-Чивита и на Кронекер : ε ε = pq q p q q ε ε = = = p 8
Ако имаме два вектора a и, такива че: а = a g a g a g ; = g g g където g, g, g са единичните базисни вектори. Скаларно произведение на векторите a и : cos a a a a a a = a = a ϕ= = = = т.е. използваме символите на Кронекер, за да запишем по-кратко сумирането. Модул на вектор a = a a a = a Задача. Намерете скаларното произведение на векторите: (а) a = g 4g 7g и (б) a = g g g и = g 5g g = 6g 4g g (а) a = ( a, a, a ) = (,4,7) ; = (,, ) = (, 5,) a = a = a a a = ()() (4)( 5) (7)() = 6 0 4 = 0 = ( a, a, a ) = (,,) ; = (,, ) = (6,4, ) (б) a a = a = a a a = ()(6) ()(4) ()( ) = 6 8 6 = 8 Задача. Намерете ъгъла, който сключват векторите от задача : a a a a a cos ϕ= = = a a a a a (a) a = 0 ϕ = acos0=±π, т.е. векторите a и са перпендикулярни. 8 8 8 8 8 (б) cos ϕ= = = = = = 6 4 4 56.7.7.8. 4.7 8 7 ϕ= arccos 7.4 7 Векторно произведение на два вектора а = ag ag ag и = g g g : g g g 9 ( ) ( ) ( ) a = a a a = a a g a a g a a g =ε a g
! Използваме символите на Леви-Чивита, за да запишем по-кратко сумите. Векторното произведение на два вектора a и е вектор c, който е перпендикулярен на равнината, в която лежат векторите a и, и чийто модул е c = a snϕ. Задача. Намерете векторното произведение на векторите: a = g g 5g и g g g = g g g ( ) ( ) ( ) a = 5 = 0 g 5 g 4 g = 7g g g Задача. Намерете лицето на успоредника, заключен между векторите: a = 6g g g и Лице на успоредник g g g = g g 6g S = asn ϕ= c= a ( ) ( ) ( ) a = 6 = 8 4 g 6 6 g 9 g = 4g 4g g 6 S = a = = 4 4 49. кв ед Смесено произведение: a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ac = a c = a c = = c c a c c a c c a =ε a c c c c Пак използваме символите на Леви-Чивита, за да запишем по-кратко сумите. Задача 4. Намерете обема на триъгълна пирамида с върхове А (,,); B (4,,); C (4,5,4); и D (5,5,6) V = ac = ( a ). c 6 6 a = AB = OB OA= 4g g g (g g g ) = g g g = AC = OC OA= 4g 5g 4 g (g g g ) = g g g c = AD= OD OA= 5g 5g 6 g (g g g ) = g g 4g 0
7 V = ac = ( a ). c = = [( 6) ()(6 8) ()(6 9)] = куб. ед 6 6 6 6 6 4 Задача 5. Молекулата метан може да се представи геометрично с куб, в чийто център е въглеродния атом, а четирите водородни атома са в срещуположни ъгли на куба. Изчислете ъгъла между две С-Н връзки в молекулата. Използваме координатна система с начало в единия атом водород и ориентираме куба с молекулата на метана така че да можем лесно да определим векторите, които определят положението на останалите атоми в молекулата (например - както е показано на фигурата). Търсим α = HCH =? Нека стената на куба има дължина L. Координатите на точките H, H, C са: H 0, 0,0) ; H ( L, L,0) ; C( L, L, ) ( L H ; C = a H C = Скаларното произведение между векторите H C = a ; H C = HC H C = a = a H C и H C e: cosα H C = a = ( L 0) ( L 0) ( L 0) = L L L H C = = ( L L) ( L L) ( L 0) = L L L a = = L 4 L 4 L 4 = L( 4) a = L ( 4)cosα От друга страна: HC H C = a = a = ( L )( L ) ( L )( L ) ( L )( L ) = L cosα = -/ α = 09.47 4 Задача 5' (за домашна работа). Да се докаже, че ъгълът, който сключват векторите H C и H 4C е също α = 09.47 Задача 5'' (за домашна работа). Атомите Н и Н на фигурата не са еквивалентни, а връзките с централния атом С се задават от векторите: H C =.5L 0.5L 0.4L ; H C = 0.5L 0.5L 0. 6L 0 Изчислете HCH =? Задачи за домашно: ) Намерете скаларното произведение на векторите и определете ъгъла между тях
(a) a = g 4g 5 g ; = 4g 5g g ; (б) a = g g g ; = 6g g g ) Намерете скаларното и векторното произведение на векторите: (а) a = g 5 g g ; = g g g ; (б) a = (,, ); = (, 4,0); (в) (, -, ) и (0, -4, ) ) Намерете лицето на тръгълник с върхове A (,,); B (4,0,); C (0,,0) 4) Намрете обема на триъгълна пирамида с върхове A (0,0,); B (,,5); C (6,,); D (, 7,) 5) Изчислете обема на елементарна клетка, ако a= = c=, а β = 0. Използвайте връзката: V = a ( c ). Указания: Елементарна клетка на кристална решетка се дефинира с три вектора ac,, по основните оси на кристала. Ако α=γ = 90 и β > 90 мониклиничен кристал Използваме базис (,, ) такъв че: = c= c a = asnβ acosβ Тензор от -ри ранг T = gg, където T Т матрицата от компонентите на тензора в базиса gg пряко произведение на векторите g и Ако имаме вектор в същия базис а = ag =ag g. (,, ) { g, g, g }, Векторно произведение на тензор по вектор: Т а = g Ta Векторно произведение на вектор по тензор: а Т =at g Скаларно произведение на тензор по два вектора: а Т =at Тензорно произведение на два тензора: ТP = gg TP Скаларно произведение на два тензора: Т: P = TP
Векторно произведение на тензор по вектор Т Т а : ( T ) ( a ) ( T ) ( a ) ( T a )( ) ( T a ) а = gg g = g g g = g g g = g = Т а = gta = gta = gta = gta gta gta, = = = = g Ta g Ta Т а = gta gta gta g Ta g Ta g Ta g Ta g Ta g Ta ( Ta Ta Ta) ( Ta Ta Ta) ( Ta Ta Ta) Т а = g g g T T T a T a T a T a Т а = = T T T a Ta Ta T a T T T a Ta T a T a Векторно произведение на вектор по тензор а Т : ( a ) ( T ) ( a ) ( T ) ( at )( ) ( T a ) Т = = = = = а g g g g g g g g g g а Т = g Ta= g Ta= g Ta= g Ta g T a g T a, = = = = g Ta g T a а Т = gta gta gta g Ta g Ta g Ta g Ta g Ta g Ta ( T a T a T a ) ( T a T a T a ) ( T a T a T a ) а Т = g g g T T T а Т = = T T T ( a a a ) T T T ( at a T at at a T at at a T a T ) Скаларно произведение на тензор по два вектора: а Т : ( a) ( T) ( m) ( a) ( T ) ( m) ( )( at m)( ) а Т = g g g g = g g g g = g g g g m m m ( at ) at at а Т = m m = at mm at mm а Т = at = at = at = ( at at at ), = = = = а Т = at at at at at at at at at
T T T T T T а Т = ( a a a) T T T = ( a a a) T T T T T T T T T а Т = a ( T T T ) a ( T T T ) a ( T T T ) а Т = at at at a T a T a T at at at T T T а Т = ( a a a) T T T T T T а Т ( at a T at at a T at at a T at ) = а Т = ( at a T at ) ( at a T at ) ( at a T a T ) а Т = at a T at at a T at at a T at Тензорно произведение на два тензора ТP: ( ggt) ( g g P ) ( gtg m ) ( gp g m) ( gtp g m)( g g ) ( gtp g m) ТP = = = = m m m m ТP = gtp g gtp g gtp g m m m m ( ) ТP = gtp g = gtp g = gtp g gtp g gtp g ТP =,, = = = = = = g T P g gt P g gt P g gt Pg gt Pg gt Pg = gtp g gtp g gtp g gtpg gtpg gtpg gt P g gt P g gt P g gt P g gt Pg gtpg g T P g g T P g g T P g ТP = g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g T P g g TP g 4
T T T P P P ТP = T T T P P P T T T P P P TP T P TP TP TP TP TP T P T P ТP = TP T P TP TP TP T P TP T P TP TP TP TP TP TP TP TP T P TP Скаларно произведение на два тензора Т:P: ( g g ) ( g g ) ( g g m ) ( g g m) ( g g m) ( g g ) Т:P= T P = T P = TP = TP m m m m m Т:P= TP T P T P TP m m m m ( ) Т:P= TP = TP = TP TP TP, = = = = Т:P= T P T P T P T P T P T P T P T P T P T T T P P P Т: P : = T T T P P P T T T P P P Т: P= T P T P T P T P T P T P T P T P T P Задача 6. Дадени са: векторите а = и =, и тензорите T = 5 и S =. Намерете: а Т ; Т а ; а Т ; S Т; S:Т а = = g g g = ( ) ; = = g g = ( 0 ) 5 0 T = 5 = 5gg gg gg gg = 0 0 0 0 0 S = = g g g g g g = 0 0 0 0 0 5
а = at g = ()(5) ()(0) ()( ) Т ()(0) ()(0) ()() ( )() ( )(0) ( )(0) = = 6 5 0 а Т = ( ) 0 0 0 0 а Т = (()(5) ()(0) ( )() ()(0) ()(0) ( )(0) ()( ) ()() ( )(0) ) ( 6 0 ) 6 6 а Т = = = g g ( 5 0 ( ) ) ( 0 0 ( ) ) ( 0 0 ( ) ) Т.а = gta = = 6 4 5 0 (5)() (0)() ( )( ) Т.а = 0 0 = (0)() (0)() ()( ) = 6 = 6 4= g 6g 4g 0 0 ()() (0)() (0)( ) 4 ()(5)( ) ()(0)(0) ()( )() а Т = at = ()(0)( ) ()(0)(0) ()()() ( )()( ) ( )(0)(0) ( )(0)() = 0 6 9 8 = 9 5 0 а Т = ( ) 0 0 0 = ( 6 0 ) 0 = (6)( ) (0)(0) ()() = 9 0 0 SТ = g g ST = 6 0 ST h h h 0 5 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 0 = 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S:Т= ST = 0 6 = 8 S:Т= Tr( S Т ) = 6 0 = 8 Задача за домашно: 6) Дадени са: а = 4 5 ; = ; T = 4 5 ; S = 4 Намерете S ; S ; S Т; S:Т; а 6