Логаритмични уравнения и неравенства I Логаритмична функция Функция от вида lg, където е положително число, различно от, а променлива по-голяма от 0, се нарича логаритмична функция, те lg, ДМ: 0; ; + () ( 0; + ) Логаритмична функция с основа 0 се нарича десетичен логаритъм и вместо lg 0 се използва означението lg Логаритмична функция с основа неперовото число (e) се нарича натурален (естествен) логаритъм Вместо lg e се използва означението ln Като имаме предвид () от уроци Показателни уравнения и неравенства се оказва, че логаритмичната функция е обратна на показателната функция На фиг са представени графиките на обратните функции: и lg, когато > На фиг са представени графиките на обратните функции: и lg, когато 0 < < Виждаме, че те са симетрични спрямо ъглополовящата на I и III квадрант Разглеждайки графиката на логаритмичната функция, може да се изкажат следните свойства: Свойство графиката на функцията минава през точките с координати : (; 0) и ( ; ); те lg 0 и lg ; Свойство графиката е разположена в I и IV квадрант ( надясно от оста O) те ; Свойство Ако (0; ), логаритмичната функция е намаляваща, като: > lg 0 (; ) lg (; ) фиг 0 < < lg 0 при 0 < < lg, те стойностите на функцията са положителни (графиката е над абсцисната ос) фиг lg (; ) (; ) Тема: Логаритмични уравнения и неравенства стр адрес: грсофия, жк Люлин-, бл 8 : 0888 5 вечер, г-н Станев; Web страница: slembgcm ; E-mil: slem@gbgbg при > lg < 0, те стойностите на функцията са отрицателни (графиката е под абсцисната ос) Най-голямата и най-малката стойност в даден интервал [p; се намира от ( ) min lg m [ p; [ p; () m lg min ( ) [ p; [ p; Свойство Ако (; + ), логаритмичната функция е растяща, като: при 0 < < lg < 0, те стойностите на функцията са отрицателни (графиката е под абсцисната ос) Бележки: при > lg, те стойностите на функцията са положителни (графиката е над абсцисната ос) Най-голямата и най-малката стойност в даден интервал [p; се намира от min lg min ( ) [ p; [ p; m lg m ( ) [ p; [ p; () Правила: Формулите от () до () са в сила, когато: A>0 (в (5) и () A ), B>0, >0 и, b>0 и b Основната формула за смяна на основата () често се използва и във вида lg b lg A lg b A (5) () (5) (6) (7) (8) () (0) () () () ()
адрес: грсофия, жк Люлин-, бл 8 : 0888 5 вечер, г-н Станев; Web страница: slembgcm ; E-mil: slem@gbgbg Свойство 5 Всяка права успоредна на оста Ох пресича графиката на m функцията lg само в една точка Следователно логаритмичната функция е ; ( ; + ) обратима Зад : Да се намери най-малката стойност на функцията lg ( + ) Решение: Като сравним с () виждаме, че 0 < < функцията е намаляваща (те ще използваме () ) и я изследваме за най-малката стойност в интервала на ДМ Затова намираме ДМ: - + >0 (; ) и полагаме () + Графиката на тази функция е парабола с върха нагоре (защото ) Затова максималната и стойност е в точката b, те: b m ( ) ( ) + 8 min lg 0 ( ;) ( ;) lg Зад : Намерете стойностите на параметъра m, при които уравнението + m lg + m +, има реални корени, по малки от ( ) 0 Решение: Определяме Д М : По условие се интересуваме само от тези корени, които са по-малки от, затова разглеждаме интервала (0; ) Сменяме основата в даденото уравнение lg m + + m + 0 Полагаме lg и lg получаваме уравнението m + + m + 0 + ( m + ) + m 0 ( A) За да решим това уравнение, трябва да намерим в какви граници се изменя От полагането виждаме, че основата на логаритъма е по-голяма от, те логаритмичната функция е растяща (фиг ) По условие (0; ), тогава от фиг и Свойство следва, че < 0, те уравнение (A) трябва да има реални корени, за които е изпълнено <0 Условието числото 0 да е надясно от двата корена е + 0 m D 0 m m m + 0 0 m m m + m ; ; + ( ) b < 0 m + < 0 ( ) ( ) m + m > Тема: Логаритмични уравнения и неравенства стр II Логаритмични уравнения Уравнение, в което неизвестното се намира под знака на логаритъм, се нарича, където (),, логаритмично уравнение Уравнение от вида: lg ( ) b, b R, се нарича основно логаритмично уравнение Решаването на логаритмични уравнения се свежда до решаването на уравнения от следните два вида: ) Основно уравнение решава се по следния начин b lg ( ) b ( ), където ДМ: (6) ( ) ) Уравнение, при което от двете страни на равенството имаме логаритъм при една и съща основа решава се по следната схема ( ) lg g( ) ( ) g( ) lg, където ДМ: g ( ) ( ) При решаването на уравнения (6) и (7) може и да не се търси ДМ, но при намирането на корените задължително се проверява кои от тях са решение на даденото уравнение Уравнение от вида (6) Зад : lg ( ) Следват избрани задачи от Основни типове задачи: (7)
адрес: грсофия, жк Люлин-, бл 8 : 0888 5 вечер, г-н Станев; Web страница: slembgcm ; E-mil: slem@gbgbg Решение: ДМ: ( )>0 / ± Сменяме основата и преобразуваме: ± 5lg lg 8lg 5lg lg 6lg + + + + lg ( ) ( ) ( 7)( ) 0 lg lg lg( ) lg lg lg lg lg + lg ± 7 Тази задача може да се реши и ако използваме формула (6) Ако я приложим по следния начин: lg ( ) lg ( ) : lg ( ), губим две решения Това е така, защото формула (6) е вярна само при A>0 Затова в общия случай (какъвто е нашият), формула (6) трябва да има следния вид: lg A n nlg A (8) Дадената задача се решава с помощта на формула (8): lg ( ) lg lg / ±, Уравнение от вида (7) Зад 5: lg ( 7 + ) lg ( ) Решение: 7 7 + ; Д М : > 0 > 7 + 5 ; + 5 7 + 5 ; + Основите са еднакви от двете страни на равенството и прилагаме (7): 7 + 8 + 5 0; ДМ; 5 ДМ, те даденото уравнение има един корен 5 Решаване чрез полагане Зад 7: 5lg + lg + 8lg (МГУ, 006) 5lg lg 6lg + + lg lg + lg 5 6 5 6 + + + + + Тогава + + 6 6 A) lg B) lg Модулни уравнения 8 Полагаме lg Д М ДМ 6 + 0 ДМ :, иполучаваме При преобразуванията на уравненията в Зад 7 и Зад за смяна на основата сме използвали формула (6), а не (8), защото ДМ е положително число Ако в ДМ се включваха и отрицателни числа, то задължително трябваше да използваме (8) Зад : lg lg(+) Решение: ДМ: 0 ( ; ) ( ; + ) Анулираме изразите под модул + 0 ; lg(+) 0 + 0 0 Разделяме ДМ на подинтервали и определяме знака на всеки модул Резултатите са показани в долната таблица + 0 + + + lg(+) 0 + + + + + ; Решение: ДМ : 0; ; ( ; + ) Разглеждаме следните случая: Тема: Логаритмични уравнения и неравенства стр
адрес: грсофия, жк Люлин-, бл 8 : 0888 5 вечер, г-н Станев; Web страница: slembgcm ; E-mil: slem@gbgbg А) При ( ; ) Като отчетем горната таблица даденото уравнение има вида lg[ ( ) ] + lg( + ) lg( ) lg( + ) lg 0 + + ( ; ) е решение В) При [ ; ) Като отчетем горната таблица даденото уравнение има вида lg[ ( )] lg( + ) lg( ) + lg( + ) ( )( + ) 0 + + 8 0; D < 0 даденото уравнение няма решение при [ ; ) С) При (; + ) Като отчетем горната таблица даденото уравнение има вида lg( ) lg( + ) lg( ) + lg( + ) ( )( + ) 0 + 0; (; + ), (; + ) даденото уравнение има решение От А), В) и С) следва, че решенията на даденото уравнение са ; Уравнения в които се използва формулата за смяна на основата във вида (5): Зад : lg + lg + ( + ) + lg + ( + 6)lg + ( + ) Решение: > + 0 + М : + > + 0 + 6 Д 0 ( 0; + ) ( защото D < 0) Преобразуваме даденото уравнение по следния начин: [lg + + lg + ( + 6)]lg + ( + ) lg + ( + 6)lg + ( + ) Използваме формула (5) и получаваме lg + ( 6 + 8) 6 + 8 ( + ) 6 + 8 + + + 0 7 0; 5 ДМ ; 5 ДМ Следователно 5 е решение на даденото уравнение Параметрични уравнения Зад 5: Да се реши уравнението lg + lg + lg lg, където е реален параметър ; Тема: Логаритмични уравнения и неравенства стр Решение: Д М : ; ДМ : На всички логаритми определяме основа lg + + lg lg + + lg 0 Полагаме lg lg lg и горното уравнение добива вида + + 0 (C) Премахваме модула като разглеждаме два случая: А) При + < 0 <, уравнение (С) добива вида ( + ) 0 0 Решенията му са + + ; + Проверяваме кои от тези решения изпълняват условието (А): ) + + < + < За да е изпълнено това неравенство трябва да е изпълнено < ДМ Следователно корена + + не е решение на даденото уравнение ) + < + > + Това неравенство се решава като решим следните две системи: а) + 0 + 0 + > > + > + < 0 б) ( 0; ) От ) и ) следва, че при (0; ) решението е полагането получаваме lg + ( 0; ) ДМ + Като заместим в B) При + 0, уравнение (С) добива вида + ( + ) 0 + + 0 Решенията му са + ; Проверяваме кои от тези решения изпълняват условието (B): ) + Разглеждаме следните две системи: а) 0 НР < 0 ) б) 0 [ 0; ] + 0 0 ( ) ( ) ( 0; ) ДМ 0 Д М 0
адрес: грсофия, жк Люлин-, бл 8 : 0888 5 вечер, г-н Станев; Web страница: slembgcm ; E-mil: slem@gbgbg От ) и ) следва, че при (0; ) решението е полагането получаваме lg + Като заместим в От А) и В) следва, че даденото уравнение при (0; ) има две решения + ;, а при (; + ) няма решения Зад 6: Намерете при кои стойности на параметъра, уравнението lg( ) lg( + ) има точно едно решение Решение: + > Д М : Решаваме даденото уравнение lg( ) lg( + ) lg( ) lg( + ) ( + ) ( ) ( ) + 0 ( C) Даденото уравнение, за да има точно едно решение, то за уравнение (C) имаме следните случаи: D 0 А) D ( ) 0; 0, При 0 не е изпълнено > >0, следователно 0 не е решение на даденото уравнение При даденото уравнение има вида lg( ) lg( + ) и има точно един корен, следователно е решение на даденото уравнение В) Уравнение (C) има две решения, но единият корен е по-малък от, те числото е между двата корена Това е възможно, когато е изпълнено ( ) < 0 ( ) ( )( ) + < 0 + + < 0 < 0 0) {} От А) и В) следва, че даденото уравнение има точно едно решение при ( ; Графично решаване Зад 7: lg Решение:ДМ: Лявата страна на даденото уравнение е растяща логаритмична функция (защото основата > ), а дясната намаляваща функция Следователно двете функции ще се пресичат само в една точка (може и да не се пресичат) те решението (ако има такова) на даденото уравнение е само едно С непосредствена проверка установяваме, че е корен на уравнението Тема: Логаритмични уравнения и неравенства 5 стр III Логаритмични неравенства Неравенство, в което неизвестното се намира под знака на логаритъм, се нарича логаритмично неравенство, те неравенство от вида lg () > b, където (),,, b R Решаването на логаритмични неравенства се свежда до решаването на неравенства от следните два вида: Както всички неравенства, така и логаритмичните, започват да се решават със задължително намиране на ДМ ) Неравенство от вида lg () < b, където ( ) ДМ : Решаването му зависи от вида на основата: Ако 0 < <, то имаме lg () < b () > b, (0) те знакът на неравенството се променя; Ако >, то имаме lg () < b () < b, () те знакът на неравенството се запазва; ( ) ) Неравенство от вида lg () < lg g(), където g( ) ДМ : () () Решаването му зависи от вида на основата: Ако 0 < <, то имаме lg () < lg g() () > g(), () те знакът на неравенството се променя; Ако >, то имаме lg () < lg g() () < g(), () те знакът на неравенството се запазва; Неравенство от вида () Следват избрани задачи от Основни типове задачи:
неравенство използвайки свойствата на логаритмите и получаваме lg > Основата е > и прилагаме () + + + + 6 + 8 lg > > 8 ( 5)( ) ; ДМ 5 Зад : lg lg Решение:ДМ: > I начин lg Логаритмуваме двете страни на даденото неравенство при основа и преобра- lg lg зуваме lg [ ] > lg lg lg lg > Полагаме lg и получаваме ( ) + ( + ) < 0 ( ; ) (0; ) Разглеждаме следните случаи: А) ( ; ), тогава от полагането следва lg < < 0; 7 0 lg > lg < < В) (0; ), тогава от полагането следва ( ; ) От А) и В) получаваме крайните решения 0; ( ; ) lg lg II начин > 7 Преобразуваме до Имаме показателно неравенство с основа зависеща от неизвестното, затова разглеждаме следните случаи: 0 < < ( ) А) lg lg < ( ) Тема: Логаритмични уравнения и неравенства 6 стр адрес: грсофия, жк Люлин-, бл 8 : 0888 5 вечер, г-н Станев; Web страница: slembgcm ; E-mil: slem@gbgbg Зад 8: lg ( + ) lg ( ) > 5 lg ) lg lg < lg + lg Полагаме lg и получаваме квадратното неравенство + Решенията му са ( ; ) > Решение: + Преобразуваме даденото ДМ : ; + > (; + ) От полагането получаваме: + а) При < lg < < Засичаме с () и получаваме решенията 0; 7 б) При > lg > > (0; ) От а) и б) следва, че в този случай даденото неравенство има решение 0; 7 > > B ) lg lg 7 > > lg + lg < 0 7 Обединяваме решенията от (А) и (В), те 0; ( ; ) Задачи за упражнение: 7 ; Следват задачи групирани по сложност Част от тях са давани на конкурсни изпити или на матури За съжаление те са авторски и не се разпространяват свободно Използват се за подготовка на кандидатстуденти с учител от Учебен център СОЛЕМА Учебен център СОЛЕМА подготвя ученици за кандидатстване във всички университети, а така също и за кандидатстване след 7 клас ( ; ) За цените и всичко свързано с подготовката на кандидатстудентите и учениците кандидатстващи след 7 клас по математика и физика, виж wwwslembgcm раздел За нас