Връзка между символ на Кронекер (Conece delta i ) и символ на Леви Чивита (Levi-Civita symbol ε i ) Примери от векторния анализ Всички разглеждания се правят за случая на тримерно евклидово пространство със е, е, е. следния зададен ортонормиран базис { }. Символът на Кронекер представлява една матрица компонентите, на който съвпадат с компонентите на единичната матрица или на единичния тензор от втори ранг (² 9): I 0 0 i 0 0 I i i 0 i 0 0.. Произведение на два символа на Кронекер, чиито индекси съвпадат: + + + + 0 + 0 + i i i i + + + 0 + + 0 + ii i, + + 0 + 0 +..Произведение на два символа на Кронекер с един общ индекс: i i i. Символът на Леви-Чивита представлява тензор от трети ранг с ³ 7 компонента, от които само 6 са различни от нула: ако i,, образуват четна пермутация ε ε ε εi ако i,, образуват нечетна пермутация ε ε ε 0 i или i или или i всички останали.. Връзката между символите на Кронекер и Леви-Чивита (в тримерното пространство) се задава така: il im in ε ε det + i lmn l m n il m n n m im l n n l in l m m l l m n
.. Ако в двата множителя се среща по един общ индекс резултатът е: ε ε i imn m n n m ii im in εiεimn det i m n ii ( mn nm ) im ( in ni ) + in ( im mi ) i m n mn nm im in + im ni + in im in mi mn nm mn + nm + nm mn mn n m ε ε i imn m n n m.. Ако в двата множителя се срещат по два общи индекса резултатът е: ε ε i in n ii i in εiεin det i n ii ( n n ) i ( in ni ) + in ( i i ) i n ( n n ) i ( in ni ) in ( i i ). +. 9n n i in + i ni + in i ini 9n + + ( 9 ) + + ε ε i in n n n in i n n n n n n.4. Ако се умножават два символа на Леви-Чивита, чиито индекси съвпадат имаме: ε ε 6 i i ii i i εiεi det i ii( ) i( i i) + i ( i i) i ii ( ) ii ( ) + ii( ) + ii i i i i i i i i + ii ii i i ii ii. + 8 6 6 6 ε ε 6 i i.5. При умножение между символ на Леви-Чивита и символ на Кронекер, при което е изпълнено условието индексите от символа на Кронекер да се срещат и при символа на Леви-Чивита резултатът е нула: ε 0 i i ε + ε + ε + 0 + 0 + 0 + ε ε ε + ε + ε + 0 + 0 + 0 + 0 i i i i i, ε ε ε + + 0 + 0 + 0
Нека са дадени векторите a и b : (,, ) (,, ) a a a a a e a e a e + a e + a e i i i i i b b b b be be be + b e + b e i i i i i Нека е даден радиус-векторът : ( x, x, x ) x e e x e + x e + x e. i i i i Модулът или дължината на радиус-вектора се задава със символа или и с равенството: x + x + x Скаларно произведение на два радиус-вектора :. ex + e x + e x ex + e x + e x e x. e x + e x. e x + e x. e x + e x. e x + e x. e x + e x. e x xx e. e+ xx e. e + xx e. e + xx e. e + xx e. e + xx e. e 0 0 0 x + x + x Векторно произведение на два радиус вектора : ( ) ( e x e x e x ) ( e x e x e x ) + + + + e x e x + e x e x + e x e x + ( ex ex) ( ex ex) ( ex ex) + + + + + ex ex + ex ex + ex ex xxe e+ xxe e + xxe e+ xx e e + xx e e + xx e e + xx e e+ xx e e+ xx e e 0 e e 0 0 0 e e e -e Градиент на скаларно произведение на радиус-вектора и константния вектор a : gad ( a. ) gad ( ax + ax ) ei ( ax + ax ) x e + + + e + + + e + + ( ax ax ax ) ( ax ax ax ) ( ax ax ax ) x x x ax e ax + ax + + e ax ax + ax + + e ax ax + e a + e a + e a a i x x x x x x x x x ax +
Алтернативен запис: gad a. gad ax + ax + ax ( a, a, a ) ( ax + ax ), ( ax + ax ), ( ax + ax ) x x x ax ax ax ax ax ax ax ax ax + +, + +, + + x x x x x x x x x a Дивергенция на константните вектори a и b и на радиус-вектора : ai a a a diva + + 0 + 0 + 0 0 xi x x x bi b b b divb + + 0+ 0+ 0 0 xi x x x xi x x x div + + + + x x x x i Задача: Да се намери интензитетът на поле с потенциал от типа на гравитационния потенциал на Нютон или на електростатичния потенциал на Кулон: U, където е определена константа, а модулът на радиус вектора е разстоянието до фиксирана точка. формален подход: E U gadu gad gad + gad gad + директен подход: E U gadu gad gad + gad e i ei x i x x x x + + i e + e + e ( e0+ e0+ e0) x x x x x x x x x x + + + + + x + x x x x e e e ( x + x + x) ( x + x + x) ( x + x + x ) ( xe+ xe + xe) x + x + x x + x + x x + x + x
Задача: Да се пресметне дивергенцията на полето на точков електричен заряд E? E div E div div div gad gad + + + 4 5 (. ) 0 5 Задача: Да се пресметне ротацията на полето на точков електричен заряд E? E ot E ot ot ot gad gad + 0 + 0+ 4 5 ( ) ( ) 0 0 0 0. 0 Задача: Да се намери интензитетът на поле с потенциал: U потенциал на електричен дипол, където е определена константа, модулът на радиус вектора е разстоянието до фиксирана точка, е константен вектор, а 0 е единичният вектор с посоката на радиус-вектора. E U gadu gad. (. ) gad gad (. ) + (. ) gad. + 4 5 (. ) 5 + Задача: Да се пресметне ротацията на линейната скорост v на точка от твърдо тяло при въртене на тялото около фиксирана ос с постоянна ъглова скорост ω. формален подход: ot v ot ( ω ) ( ω ) ω(. ) ( ω. ) ω(. ) ω( ) ωdiv ωgad ω ωu ω ω ω
директен подход: първи начин: ot v ot ω ω ( x ) x ε ω ε ε ω x ε ε ω i ei qie i qi e i xq xq ε ε e ω ε ε e ω e ω qi i q iq i q q q q e ω e ω e ω e ω q q q q q q q q e ω e ω e ω e ω e ω ω втори начин: ot v ot ( ω ) ( ω ) e( ot v) e ot ( ω ) e ( ω ) ( ω ) ω t t ω ε ω x i i i t s s t ε t ε ε ω x qi i qi i xq xq x ε ω x ε ε ω x ε ε ω ε ε ω q i q i qi i qi i qi i q xq xq ε ε ω ω ω ω ω ω iq i q q q q q q q q ω ω ω e ω e ω ω трети начин: ot v ot ω ω ( ω x ω x, ω x ω x, ω x ω x ) x x x ( ω x ω x ) ( ω x ω x ) ( ω x ω x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ω ω ω e ω ω + e ω ω + e ω ω x x x e ( ωx ωx) ( ωx ωx) + x x + e e e e e e e ( ω x ω x ) ( ω x ω x ) x x + e ( ωx ωx) ( ωx ωx) x x eω + eω + e ω + e ω + e ω + e ω ( ω ω ω ) e + e + e ω +
Задача: Да се докаже, че уравнението на Лаплас Δ U 0 се удовлетворява от кулоновия и нютоновия потенциал U. Δ U Δ Δ div gad div gad div div div div gad + + gad + 4 5 (. ) 5 0 Задача: Да се докаже, че равенството: (. ) a 0 4, ако a е константен вектор. скалар ( a. ) ( a. ) ( a. ) ( a. ) ( a. ) div div gad 4 4 + + 4 4 4 (. ) gad + gad 4 4 (. ) a a скалар вектор ( a. ) ( a. ) 4 + 4 ( a. ) gad 4 + a + 4 4 (. ) + 5 4 a a ( a). 4 a. 4 a. 4 + a 4 6 4 4 6 4 4 4 4. + a + a+ a + a+ a ( a. ) ( a. ) ( a. ) a 0 4 4 4 4
{ } Задача: Да се пресметне изразът вектори. { ( a)( b) } Δ...?. (. ) (. ) Δ a b Δ {.gad ( a. )( b. ) } скалар скалар скалар Δ. a. b.?, където a и b са константни {. ( a. ) gad ( b. ) ( b. ) gad ( a. ) } {. ( a. ) b ( b. ) a} {( a. ) b. ( b. ) a. } { ( a. )( b. )} ( a)( b) ( a) ( b ) ( b. ) gad ( a. ) ( a) b ( b) a ( a) b ( b) a ( a) b b ( a) ( b) a a ( b) [ ba ab] Δ + Δ + Δ + Δ divgad.. div. gad. + div. +. div. + div.. div + gad. +. div + gad. 0 +. + 0 +. 4. ab
Други векторни равенства (смесено, двойно векторно...): a b c b c a c a b ε abc ε bc a ε c ab a b c b a c c a b ε e a ε b c ( a b) ( c d) ( a c)( b d) ( a d)( b c) ( a b) b ( a) a ( b) i i i i i i i i q q ε ε a a a ε qi e εi a xq x abcd i iq q a b a b b a + b a a b ε e ε bc i i q q x Пример: Двойна ротация на константен вектор a : ( a)? a t t a ε i i i x t s s t ε t ε ε a a qi i qi i xq xq x ε ε a ε ε a a qi i iq i q q xq x xq x xq x a a a x x x x x x x x q q q q q q q q aq a aq a x xq x x x x q x x a a a ot ot a gad div a Δa Δ gad div ot ot a Използвана литература:. Влахов, Й Задачи по математични методи на физиката., София, Унив. издат. Св. Кл. Охридски, 995