Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m ( ) m = m m ( )m = m m ( m ) = m Правила при коренуване k = k = за и = за и > Факториел! = ( ) ( ) = ( )!
Свойства на логаритмите = log = >,, > log = log = >,, за всяко log c = log + log c >,, >, c > log c = log log c >,, >, c > log m = m log >,, >, за всяко m log m = m log >,, >,, m log c = log c log log log c = log c >,, >,, c > log = log >,, >, Тригонометрични функции si α = c si β = c si 9 = c c = cos 9 = C 9 cos α = c t α tg α = cos β = c si α cos α = tg β = si β cos β = A α c β B cot α cotg α tg α = cotg β = tg β =
φ (градуси) φ (радиани) 45 6 9 8 7 si φ cos φ tg φ 6 4 cotg φ ± ± ± ± Основни свойства на тригонометричните функции cos α si α cos( α) = cos(α) si( α) = si(α) cos(9 ± α) = si α si(9 ± α) = cos α cos(8 ± α) = cos α si(8 ± α) = si α cos(6 + α) = cos α si(6 + α) = si α tg α tg( α) = tg(α) tg(9 ± α) = cotg(α) tg(8 ± α) = ±tg(α) cotg α cotg( α) = cotg(α) cotg(9 ± α) = tg(α) cotg(8 ± α) = ±cotg(α) Основни тригонометрични формули si + cos = si(α ± β) = si α cos β ± cos α si β cos(α ± β) = cos α cos β si α si β si α = si α cos α cos α = cos α si α Хиперболични функции sih = e e cosh = e + e th = sih cosh coth = cosh sih cosh sih =
Свойства на границите Ако lim и lim, то: y lim ( y ) lim lim y lim ( y ) (lim )(lim y ) lim ( / y ) (lim ) /( lim y ) / ( ) Специални граници () lim lim lim при, при, при () () lim! lim si (4) lim e,788 (5) lim l( ) e (6) lim m ( ) (8) lim m (7) lim l Критерий на Даламбер lim k k k L L редът е разходящ L редът е сходящ Критерий на Коши lim k k k L L редът е разходящ L редът е сходящ Критерий на Лайбниц (ред с алтернативни знаци) Ако имаме ред от вида u u u u4 и () limu и () u ; u u u ; Ако редът u u u u4 е сходящ редът редът е сходящ u се нарича абсолютно сходящ Ако редът u u u u4 е разходящ, но редът нарича условно сходящ u е сходящ редът u се 4
Правила за диференциране d C d d u d C u d C cost C C cost d d u g d u d g d d d g d u g d u d g g u d d d u d d u d g g g u d d d Диференциране на сложна функция Ако y f u и u u dy d dy du du d Развитие на функция в ред на Тейлър f ( ) f f f f f ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )!!! Растяща / намаляваща функция (а) При () При y ( ) - функцията расте в околност на точката y ( ) - функцията намалява в околност на точката Локални екстремуми Инфлексна точка (а) При y ( ) и y ( ), функцията у(х) има локален максимум в точката х () При (с) При y ( ) и y ( ), функцията у(х) има локален минимум в точката х y ( ), функцията у(х) има инфлексна точка в точката х 5
Кривина на функция (а) Когато () Когато y ( ), функцията ще наричаме вдлъбната в точката y ( ), функцията ще наричаме изпъкнала в точката Формули за производните на елементарните функции d(log ) log d l ; e d(l ) d d( ) l d log ; e 4 de ( ) e d 5 7 9 d( ) d ( цяло, ) 6 d(si ) cos d 8 d(cos ) si d d( ) d ( реално; ) d(sh ) ch d d(ch ) sh d d(tg ) d cos d(th ) d ch d(ctg ) d si d(cth ) d sh d(rcsi ) 5 d, d(rsh ) 6 d d(rccos ) 7 d, d(rch ) 8 d, 9 d(rctg ) d drth, d d(rcctg ) d drcth, d 6
Пълен диференциал на функция z z, y z z dz d dy y z z z d z d ddy dy y y Дефиниция Нека са дадени две функции и, дефинирани в интервала Казваме, че функцията се нарича примитивна (първообраз) на, ако е изпълнено тъждеството за всяко : df f d Свойства F f F d f d F d df F C d d f d f d f f d f d f d C 4 f d f d F C, λ число f Решаване на интеграли чрез смяна на променливите t f d f t d t f t ' t dt ) ) ' u f d f u du Интегриране по части f ( ) g( )d f ( )dg( ) f ( ) g( ) g( )df ( ) C f ( ) g( ) g( ) f ( ) d C Интегриране на рационални дроби чрез разлагане на прости дроби А d A l C а А A d а m m m C 7
Основни свойства на определените интеграли ) f d f d ) f d c ) c f d f d f d 4) f f d f d f d 5) C f d C f d Формула на Нютон-Лайбниц ; ' f d F F f F Интегриране по части u dv uv v du u v u v v du 8
Интеграли Интеграли d C d l C d C 4 e e C l d 5 d C ( цяло, ) 6 d C ( реално; ) 7 cos d si C 8 cosh d sih C 9 si d cos C sih d cosh C d d tg C tgh cos C cosh d cotg C si d 4 cotgh C sih 5 d l t C cos 4 d si l t 7 d rcsi C rccos C d rcsi C rccos C, 8 d d rsih l[ ] rsih C l C, 9 d rctg C rcctg C d rct C rccot C d d rcosh l[ ] C C rcosh C l C,, d rcth C l C, d rcth C l C, d rth C l C, d rth C l C, 9