Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица - матрица от тип k k. Детерминанта На всяка квадратна матрица от тип k се съпоставя число (наречено детерминанта), което за матрица от тип се задава с израза: a a Δ det( A ) aa aa a a Свойства на детерминантите:. Общ множител за елементите на даден елемент или стълб може да се изнесе пред знака на детерминантата ако една матрица има нулев ред или стълб то нейната детерминанта е 0.. Ако се разменят местата на два реда или стълба, то детерминантата си сменя само знака.. Ако елементите на един ред или стълб се умножат по някакво число и се добавят към елементите на друг ред или стълб, то детерминантата не се променя. 4. Детерминантата може да бъде развита по някой свой ред или стълб: det... ; ( ) k Δ A aa i i aa i i aa i i Ak = Δk където Аk е адюнгираното количество на ak елемент на детерминантата, Δ e поддетерминантата на матрицата, получена след отсраняване на k-ред и -стълб. k Задача. Пресметнете детерминантите: а) 0 ; б) 5 0 0 6 4 а) ; в) 0 0 0 = ( ) = 5 0 6 = 5 5 5 0 0 0 0 4 5 б) 6 4 = 6 4 6 4 6 = 8
4 6 6 4 4 6 6 = 6 = 65 в) = = = 9 = 48 Втори начин чрез привеждане в триъгълен вид (детерминантата на триъгълна матрица е произведение от диагоналните елементи): 9 0 8 0 8 = = = = 9 0 8 4 0 8 8 9 0 8 0 8 8 0 8 0 8 0 8 = = = = 4 0 0 0 6 4 5 0 0 0 6 4 5 0 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 50 0 0 0 44 = ( 8) 0 ( 44 ) 48 4 5 = Задачи за домашно: ) Дадени са матриците: 5 7 4.) А = 0, Б = ;.) 4 0 5 7 4 А =, Б = 0 4 0 5 8 Пресметнете: а) А Б; б) А 5Б; в) АБ БА (комутатор на матриците А и Б ); г) Детерминантите на матриците; д) Обратните матрици на А и Б. Отговори за пример.: 4 7 0 4 а) 4 ; б) 4 0 ; в) 6 9 7 6 6 4 0 0 7 9 7 ; г) А = 44, Б = 5 ; 9
д) 4 744 А = 7 ; 5 4 44 5 5 65 Б. 5 5 5 Собствени стойности и собствени вектори: A квадратна матрицата от тип, λ реално число, r ненулев вектор. Ако е изпълнено равенството: A r =λ r то казваме че числото λ и векторът r са собствена стойност и собствен вектор (съответстващ на числото λ) на матрицата A. Характеристично уравнение и характеристичен полином: A квадратна матрицата от тип, λ собствена стойност, r собствен вектор, съответстващ на числото λ, I единична матрицата от тип. Тогава може да се запишат следните еквивалентни равенства: A r =λ r A r λ r A r λ I r A λ I r Последното равенство може да се запише във формата на система: а λ ξ аξ... а ξ аξ а λ ξ... а ξ... а ξ а ξ... а λ ξ Тази система от алгебрични уравнения с неизвестни има ненулево решение (векторът r) ( A I ) ( λ) а а... а а ( а λ)... а det λ =............ а а... а ( λ) - характеристично уравнение на матрицата A. Задача. Намерете характеристичните корени и собствените вектори на матрицата: 5 ( 4) Характеристично уравнение: 5 λ 4 λ ( 5 λ)( λ) 8= 0 или λ 8λ 7 - уравнение от -ра степен с корена: λ = и λ = 7. Собственият вектор r за характеристичния корен λ = определяме от системата: 0
5 ξ ξ 4ξ ξ 4ξ ξ 4ξ ξ Получаваме едно уравнение за две неизвестни можем да определим неизвестните с точност до константа. Нека ξ = α ξ = -ξ = -α r α 0 = =α α =α α α 0 i Собственият вектор r за характеристичния корен λ = 7 определяме от системата: ( 5 7) ξ ξ ξ ξ 4ξ ( 7) ξ 4ξ 4ξ Получаваме едно уравнение за две неизвестни можем да определим неизвестните с точност до константа. Нека ξ = β ξ = ξ = β r β 0 = =β β = β β β 0 i Векторите i = и 0 пространство. 0 = са линейно независими и образуват базис в двумерното Задача. Намерете характеристичните корени и собствените вектори на матрицaта: 5 Характеристично уравнение: λ 5 λ λ λ λ 6λ 6, където λ =, λ = и λ = 6. уравнение от -та степен с корена: На характеристичния корен λ = съответства собственият вектор r : ξ ξ ξ α 0 0 ξ ξ ξ ξ, ξ = -ξ = α r =α 0 0 α 0 =αi αk ξ ξ ξ α 0 0 На характеристичния корен λ = съответства собственият вектор r : ξ ξ β 0 0 ξ ξ ξ ξ = ξ = ξ = β r = β =β 0 β β 0 =β iβ βk ξ ξ β 0 0
На характеристичния корен λ = 6 съответства собственият вектор r : ξ ξ ξ γ 0 0 ξ ξ ξ ξ = ξ = γ, ξ = γ r = γ = γ 0 γ γ 0 = γi γ γk ξ ξ ξ γ 0 0 Характеристичните вектори са стълбове в матрица R, с чиято помощ преобразуваме A в диагонална форма посредством преобразуванието: T * R A R = A диагонална матрица. Задачи за домашно: ) Решете уравнението f(), където: а) f ( ) = 6 ; б) f =. ) Намерете характеристичните корени 4) Решете матричното уравнение: и собствените вектори на матрицaта: 4 0 8 4 X = 0 5 Квадратична форма Квадратична форма на променливите, наричаме функция от вида: f (, ),..., =, където i се наричат коефициенти на квадратичната форма. Нека aii = ii, i =,..., и ai = ai = i, ако i. По този начин дефинираме симетричната матрица A = ( a i ), с която можем да запишем квадратичната форма във вида: f (,,..., ) = a a a a a a a или в матрична форма: a a
f A... (,,..., ) = (... ) Симетричната матрица A = се нарича матрица на квадратичната форма. a i Ако = f (, ) = a a a Ако = f,, = a a a a a a Ако f (,,,, ) е квадратичната форма на променливите,,,,, а λ е реално число, то f ( λ, λ, λ,, λ ) =λf(,,,, ). Една квадратична форма е приведена в каноничен вид, ако съответната ú матрица е диагонална, т.е. ако ai = ai. Нека са зададени векторите и е изпълнено равенството: = и... t t =... t y y y = и квадратната матрица T ( t i )... y t t t t y t y = T y... t y Тогава горното равенство представлява матричен запис на линейната трансформация: = t y t y... t y = t = t y t... y t y y... t... t y y Казваме,че линейна трансформация привежда квадратичната форма f ( y, y,, y ) в каноничен вид, ако след прилагането й получаваме квадратична форма от вида f ( y, y,, y ) =λ y λ y λ y Всяка квадратична форма може да се приведе в каноничен вид посредством преобразувание с помощта на матрицата от собствените и вектори, R. Задача 4. Представете в каноничен вид квадратичната форма:
f = 7 0 7 0 /. Съставяме матрицата на квадратичната форма: 0 /. Намираме собствените стойности: 7 λ 5 λ 0λ 56 λ 5 λ = ; λ = 8. Намираме собствените вектори: На характеристичния корен λ = съответства собственият вектор r : 5ξ 5ξ ξ = 5ξ = 5 5ξ ξ r = i 5 = i 5 На характеристичния корен λ = 8 съответства собственият вектор r : ξ 5ξ ξ = 5ξ = 5d 5ξ 5ξ r = 5di d = d 5i 4. Нормираме r, r и получаваме нормирани базисни вектори e, e : r i 5 5 е = = = i r 5 6 6 r 5di d 5 е = = = i r 5d d 6 6 Матрицата на прехода от ортонормирания базис r, r към ортонормирания базис e, e е: 6 5 6 ' ' 5 ' 5 ' ' R = т.е. = R 5 6 6 ' или = ; = 6 6 6 6 ' ' Заместваме и получаваме квадратичната форма в каноничен вид: f = 8 5 5 f (, ) = 7 0 6 6 6 6 6 6 6 6 0 5 5 4 5 5 0 f (, ) = 7 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 f(, ) = 7 50 75 0 7 4 5*7 50 6 f (, ) = 5 0 0 ( 5*6 78) = 8 6 *6 Задача 5. Представете в каноничен вид уравнението: 4
5 4y 8y 56y 80= 0 5 4/. Съставяме матрицата на квадратичната форма: 4/ 8. Намираме собствените стойности: 5 λ λ = 4; λ = 9 4 8 λ. Намираме собствените вектори: На характеристичния корен λ = 4 съответства собственият вектор r : ξ ξ ξ = -ξ ξ = α, ξ = -α r = αi α На характеристичния корен λ = 9 съответства собственият вектор r : 4ξ ξ ξ = ξ ξ = β, ξ = β r = β i β 4. Нормираме r и r : r αi α е = = = i r 4α α r β i β е = = = i r β 4β Намираме матрицата на прехода: 5 5 R = Δ R = 5 5 ако разменим местата на векторите в R, то: 5 5 R = Δ R = 5 5 5 5 ако обърнем знаците в първия собствен вектор, то: R = Δ R = 5 5 т.е. = R или = y; y = y y y Заместваме в изходното уравнение и получаваме: 8 44 4 9y y 80= 0 Допълваме до точен квадрат спрямо и y : 8 44 4 9y y 80= 0 4 4 4 ( ) ( ) ( y ) ( y ) 80 5 5 5 5 5
4 4 4 8 4 4 80(5) y 80 0 y = = 5 5 5 8 4 9 y = 6 5 5 8 = ; y = y y 4 9y = 6; = 9 4 Задача 6. Представете в каноничен вид уравнението: 9 4y 6y 0 0y 5 9 λ = λ λ = 6 λ λλ = λ = λ = 0 5 (9)(6) 0 ( 5) 0 0; 5 За характеристичния корен λ собственият вектор е r: 9ξ ξ r = 4αi α 4 Нормираме: е = i За характеристичния корен λ = 5 собственият вектор е r: 6ξ ξ r = β i 4β 4 Нормираме: е = i Намираме матрицата на прехода: = 4 Δ 5 45 R = R Заместваме в изходното уравнение и получаваме: 0 = 4 y ; y = 4 y y 0 y 9 4 4 4 4 4 4 9 y 4 y y 6 y 0 y 0 y 5 6 4 9 7 9 4 6 9 y y 4 y y 6 y y 5 5 5 4 4 0 y 0 y 5 6 (9 8 9) 4 (9 7 6) (8 88 56) 50 (9 ) 50 (44 69) (5)(5) 0 5 y y y = 0 0 6 5 (5y 50 50y 5) 5y 50 50 y 5 ( y 0 y 9) 6
y y 0 0 y y = 0 0 ( y ) = 0( ) Извършваме транслация на линията от втора степен, като я преместваме в центъра на КС: = ; y = y y = 0 7