Глава 7 Теоретико-числови преобразования 7.1 Дискретно преобразование на Фурие. Дефиниция 7.1.1 Нека X {x n } и Y {y n } са две редици от комплексни числа. Взаимна корелация на редиците X и Y наричаме редицата R XY {ρ t } t0, където ρ t R XY (t def n x n ȳ n+t, (7.1 където с z означаваме комплексно спрегнатото на z C. Взаимната корелация на X със себе си се нарича автокорелация на X и бележим R X (t def R XX (t n x n x n+t (7.2 Очевидно, че ако X е периодична с период N (т.е. x j x j+n за всяко j, то и автокорелационната редица R X е периодична с период N. Нека ξ е N-ти примитивен корен на единицата, т.е. ξ e 2πi N cos( 2π N + i sin(2π N, където i 1 е имагинерната единица. Дефиниция 7.1.2 Дискретно преобразование на Фурие (DFT на редицата X {x n } с период N наричаме преобразуването и в редицата F(X {X k } k0, където X k def n0 x n ξ nk. (7.3 Очевидно редицата {X n } е също с период N и се нарича спектрална редица или просто (фуриеров спектър на {x n }. 105
106 ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИЯ НА ЧИСЛАТА Н. Л. МАНЕВ Лема 7.1.3 Обратното преобразование на Фурие се задава с формулата x k 1 N j0 а връзката между DFT и автокорелацията с X k 2 t0 X j ξ jk, (7.4 R X (tξ kt. (7.5 Доказателство. Замествайки X j определено от (7.3 в дясната страна на (?? получаваме 1 X j ξ jk 1 N N j0 1 N ( x n ξ nj ξ jk 1 N j0 n0 (x n n0 j0 n0 (ξ n k j 1 N x kn x k, j0 x n ξ (n kj тъй като X k 2 X k Xk (ξ n k j j0 { 0, за n k 0, N, за n k 0. За редицата от квадратите от модулите { X k 2 } е изпълнено: ( ( t0 тъй като ξ ξ 1. n0 ( ξ kt n0 ( x n ξ nk x n x n+t n0 t0 x n ξnk t0 R X (tξ kt, n0 nk x n x n+t ξ ξ(n+tk Дефиниция 7.1.4 Нека X {x n } и Y {y n } са две редици. Под конволюция двете редици разбираме редицата на C X Y def {x n y n }. Дефиниция 7.1.5 Нека X {x n } и Y {y n } са две редици с период N. Под произведение на двете редици разбираме редицата C X Y {c n } с общ член c n def j0 където [a] означава остатъка на a по модул N. x j y [n j], (7.6
7.1. Дискретно преобразование на Фурие. 107 С всяка редица X {x n } с дължина N по естествен начин можем да свържем полином X(z x 0 + x 1 z + + x z, с което получаваме взаимно-еднозначно съответствие между редиците с дължина N и полиномите от степен ненадминаваща N 1. Упражнение 7.1.1 Покажете, че ако C X Y {c n }, то C(z X(zY (z (mod z N 1. Теорема 7.1.6 Ако X {x n } и Y {y n } са две редици с период N, то F(X F(Y F(X Y (7.7 и F(X F(Y 1 F(X Y. (7.8 N Доказателство. X n Y n ( k0 s0 ( x k ξ nk l0 y l ξ nl x j y [s j] ξ sn j0 s0 k0 l0 x k y l ξ (k+ln c s ξ sn F({x n } {y n } Тъй като jk+l[n k] ln+(j lk (mod N, то за n-тият член на редицата F(X F(Y е изпълнено k0 X k Y [n k] k0 j0 x j ξ jk j0 l0 ( l0 y l ξ l[n k] ( x j y l ξ ln ξ (j lk k0 където D n е n-тия член на F({x n } {y n }. Упражнение 7.1.2 Покажете, че l0 k0 j0 l0 x l y l ξ ln N ND n, x j y l ξ (j lk+ln F 1 (X F 1 (Y F 1 (X Y и F 1 (X F 1 (Y NF 1 (X Y. (7.9 Нека p е просто число и g е примитивен корен по модул p. Да разгледаме редицата A {a n }, където a n e 2πi p gn, n 0, 1, 2,.... (7.10 Очевидно, редицата е периодична с период N p 1. В сила е:
108 ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИЯ НА ЧИСЛАТА Н. Л. МАНЕВ Твърдение 7.1.7 За редицата A{a n } е в сила { 1, t 0 (mod p 1, R A (t p 1, t 0 (mod p 1. и A k 2 { 1, k 0 (mod p 1, p, k 0 (mod p 1. Доказателство. R A (t a n ā n+t n0 n0 e 2πign 2πign+t p p n0 e 2πig n (1 g t p. Но тъй като 1 g t 0 (mod p при t 0 (mod p 1, то k g n (1 g t описва пълна система от ненулеви остатъци по модул p. Следователно p 1 p 1 R A (t e 2πik p ξ k 1. k1 k1 При t 0 (mod p 1, 1 g t 0 (mod p, което влече R A (0 R A (p 1 R A (2p 2... p 1. Да разгледаме преобразование на Фурие F(A {A k } на A. Съгласно дефиницията A k a n ξ nk. n0 Равенство(?? и пресметнатата по-горе корелация ни дават A 0 2 R X (t (p 1 + (p 2( 1 1. t0 A k 2 (p 1 + ( 1ξ kt p 1 ( 1 p. t1 Твърдение 7.1.8 Редицата B {b n }, дефинирана с b n def { ( n p, n 0 (mod p, 0, n 0 (mod p. (7.11 е периодична с период p и (1 B 0 0, B k b k B 1 ;
7.1. Дискретно преобразование на Фурие. 109 (2 B k 2 B 1 2 const, за всяко k 1, 2,..., p 1. Доказателство. Периодичността е очевидна. За фуриеровия и спектър получаваме p 1 B 0 b j 0, j0 тъй като b j 1 за (p 1/2 стойности на j и за още толкова е b j 1. От мултипликативността на символа на Льожандр следва, че откъдето получаваме Следователно b n b n b 2 k b nkb k, p 1 p 1 p 1 B k b n ξ kn b k b nk ξ kn b k b l ξ l b k B 1. n0 n0 B k 2 b 2 k B 1 2 B 1 2 const, за всяко k 1, 2,..., p 1. l0
110 ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИЯ НА ЧИСЛАТА Н. Л. МАНЕВ 7.2 Допълнителни задачи към Глава 7. Задача 7.1 Нека r (k n e 2πikn 2 p че всяка от редиците {r (k n } n0, където p е просто число, k 1, 2,..., p 1. Докажете, е периодична с период p и са в сила R(t { 0, t 0 (mod p, p, t 0 (mod p. където {R n (k } F({r n (k }. R (k n 2 p, n 0, 1,..., p 1, Задача 7.2 При условието на предишната задача, покажете, че при k l за всяко t. p 1 R kl (t r n (k r (l n+t 0 n0
Библиография [1] К. Айерлэнд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел, Мир, Москва, 1987. [2] Г. Дэвенпорт, Высшая арифметика, Наука, Москва, 1965. [3] Ст. Додунеков, К. Чакърян, Задачи по теория на числата, Регалия 6, 1999. [4] Т. Нагел, Увод в теория на числата, Наука и изкуство, София, 1971. [5] Th. Cormen et al., Introduction to Algorithms, MIT Press, 2nd edition, 2001 [6] E. Grosswald, Topics from the Theory of Numbers, Birkhüser, Boston, 1984. [7] A. Menezes, P. van Oorshot, S. Vanstone, Handbook of applied cryptography, CRC Pres, Boca Raton, 1997. [8] U. Maurer, Fast generation of prime numbers and secure public-key cryptographic parameters, J. of Cryptology, 8 (1995, 123-155. [9] Henk van Tilborg, An introduction to cryptology, Kluwer Academic Publishers, 1988. [10] ISO 11166-1, Banking - Key management by means of asymmetric algorithms - Part 1: Principles, procedures and formats, 1994 [11] ISO 11166-2, Banking - Key management by means of asymmetric algorithms - Part 2: Approved algorithms using the RSA cryptosystem, 1995 [12] PKCS 1. The public key criptography standarts - Part 1: RSA encryption standard, version 1.5, 1993, and version 2.0, 1998, RSA Laboratories, 100 Marine Parkway, Suite 500, Redwood City, California 94065-1031, http://www.rsa.com 111