. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова
Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик Готхолд Айзенщайн (ученик на Гаус) през 1844 г. и през 1858 г. от английския му колега Артър Кейли. Обратната матрица на дадена квадратна неособена матрица, както и формула за нейното получаване, са дадени за пръв път също от А. Кейли.
Умножение на матрици Нека A = (a ij ) M m k (K) и B = (b ij ) M k n (K). Тогава матрицата от тип m n с елементи c ij, получени по правилото c ij = т.е. матрицата n a is b sj = a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ik b kj, (1) s=1 a 11 b 11 + + a 1k b k1 a 11 b 12 + + a 1k b k2 a 11 b 1n + + a 1k b kn a 21 b 11 + + a 2k b k1 a 21 b 12 + + a 2k b k2 a 21 b 1n + + a 2k b kn a m1 b 11 + + a mk b k1 a m1 b 12 + + a mk b k2 a m1 b 1n + + a mk b kn се нарича произведение на матриците A и B (в посочения ред) и означаваме с AB.
Умножение на матрици Правилото за умножение на матрици (1) накратко се нарича ред по стълб, защото елементите от редовете на матрицата A умножават съответните елементи от стълбовете на матрицата B. За да получим елементите от даден ред на AB, трябва да умножим реда със същия пореден номер на A последователно със всички стълбове на B. Отбелязваме, че две матрици могат да бъдат умножени, само ако броят на стълбовете на първата матрица е равен на броя на редовете на втората (т.е. ако редовете на първата и стълбовете на втората, разгледани като вектори, имат равен брой координати). Произведението на две матрици е матрица, на която броят на редовете е равен на броя на редовете на първата матрица, а броят на стълбовете е равен на броя на стълбовете на втората матрица.
Умножение на матрици пример Намерете произведението на матриците 1 1 0 A = 0 2 3 1 3 1, B = 2 1 1 0 3 1 4 0 2 Матриците A и B могат да бъдат умножени, тъй като първата от тях е от тип (4 3), а втората е от тип (3 2). Следователно произведението им C = AB е (4 2)-матрица. За намирането на елементите от първия ред на C = (c ij ) умножаваме последователно първия ред на A с всички стълбове на B. Аналогично постъпваме и за получаването на останалите три реда на C. c 11 = 1.2 + ( 1)( 1) + 0.3 = 3, c 12 = 1.1 + ( 1).0 + 0.1 = 1, c 21 = 0.2 + 2.( 1) + 3.3 = 7, c 22 = 0.1 + 2.0 + 3.1 = 3, c 31 = 1.2 + ( 3)( 1) + 1.3 = 8, c 32 = 1.1 + ( 3).0 + 1.1 = 2, c 41 = 4.2 + 0.( 1) + 2.3 = 14, c 42 = 4.1 + 0.0 + 2.1 = 6..
Умножение на матрици пример Така получихме C = AB = 1 1 0 0 2 3 1 3 1 4 0 2 2 1 1 0 3 1 = 3 1 7 3 8 2 14 6. Нека отбележим, че за двете матрици от този пример не може да бъде получено матричното произведение BA, тъй като броят на стълбовете на B не е равен на броя на редовете на A. Последното показва важно свойство на матричното умножение, а именно, че за произволни матрици A и B: AB BA матричното умножение не е комутативно.
Умножение на матрици пример Нека са дадени квадратните матрици A и B от 2-ри ред ( ) ( ) 1 2 1 5 A =, B =. 3 4 2 3 Намерете AB, BA и проверете, че AB BA. ( ) ( ) ( 1 2 1 5 3 1 AB = = 3 4 2 3 5 3 ( ) ( ) ( 1 5 1 2 14 18 BA = = 2 3 3 4 7 8 ), ).
Умножение на матрици свойства AB BA (некомутативност); (AB)C = A(BC) (асоциативност); A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA (ляв и десен дистрибутивен закон); λ(ab) = (λa)b = A(λB), λ R; (AB) T = B T A T ; det(ab) = det A det B (за A и B квадратни матрици от n-ти ред); Съществува квадратна матрица E от n-ти ред, наречена единична матрица, такава че за всяка квадратна матрица A от n-ти ред е изпълнено AE = EA = A. Матрицата E има вида E = 1 0... 0 0 1... 0............ 0 0... 1.
Умножение на матрици пример Намерете всички квадратни матрици B от 2-ри ред, които комутират с матрицата ( ) 1 2 A =, 3 4 т.е. матриците, за които AB = BA. Нека Пресмятаме AB = ( 1 2 3 4 ( x y BA = z t ( x y B = z t ). ) ( ) ( x y x + 2z y + 2t = z t 3x + 4z 3y + 4t ) ( 1 2 3 4 ) ( x + 3y 2x + 4y = z + 3t 2z + 4t ), ).
Умножение на матрици пример Приравнявайки четирите съответни елемента на AB и BA, достигаме до системата хомогенни линейни уравнения 3y 2z = 0 2x + 3y 2t = 0 x + z t = 0, чиито решения са x = t z, y = 2z 3, z, t R. Следователно ( ) t z 2z B = 3. z t
Обратими матрици Квадратната матрица A от n-ти ред се нарича обратима (неособена), ако съществува квадратната матрица A 1 също от ред n такава, че AA 1 = A 1 A = E. Матрицата A 1 се нарича обратна матрица на матрицата A. Обратната матрица на всяка матрица е единствена. Изпълнено е ( A 1 ) 1 = A. Обратната матрица на единичната матрица E е единичната матрица, т. е. E 1 = E. За произволни квадратни матрици A и B от n-ти ред е изпълнено Твърдение (AB) 1 = B 1 A 1, (A 1 ) T = (A T ) 1. Една квадратна матрица A е обратима, точно когато det A 0.
Метод на адюнгираните количества за намиране на обратна матрица Нека A = (a ij ) е квадратна матрица от n-ти ред, за която det A 0. Образуваме матрицата (A ij ) от адюнгираните количества A ij на елементите a ij. Тогава матрицата A 1 = 1 det A (A ij) T = е обратната матрица на A. A 11 det A A 12 det A A 21 det A... A n1 det A A 22 det A... A n2 det A............ A 1n det A A 2n det A... A nn det A
Метод на адюнгираните количества пример Нека разгледаме произволна обратима квадратна матрица от 2-ри ред, т.е. ( ) a b A =, ad bc 0. c d Тогава матрицата е обратната матрица на A. ( ) A 1 1 d b = ad bc c a
Метод на адюнгираните количества пример Нека намерим обратната матрица на A = 1 1 0 1 1 3. 1 0 1 Имаме det A = 3 0. Пресмятаме адюнгираните количества на елементите на матрицата: A 11 = ( 1) 1+1 1 3 0 1 = 1, A 12 = ( 1) 1+2 1 3 1 1 = 4, A 13 = ( 1) 1+3 1 1 1 0 = 1,
Метод на адюнгираните количества пример A 21 = ( 1) 2+1 1 0 0 1 A 23 = ( 1) 2+3 1 1 1 0 = 1, A 22 = ( 1) 2+2 1 0 1 1 = 1, = 1, A 31 = ( 1) 3+1 1 0 1 3 A 33 = ( 1) 3+3 1 1 1 1 = 3, A 32 = ( 1) 3+2 1 0 1 3 = 0. = 3,
Метод на адюнгираните количества пример Тогава обратната матрица на A има вида A 1 = 1 3 4 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 0.
Метод на Гаус-Жордан за намиране на обратна матрица Методът на Гаус-Жордан се състои в следния алгоритъм: Образуваме разширената матрица (A E n ). Извършваме краен брой елементарни преобразувания само по редовете на (A E n ) така, че Тогава B = A 1. (A E n ) (E n B).
Метод на Гаус-Жордан пример Намерете обратната матрица на A = 2 1 4 3 2 2 1 1 0 Разширяваме матрицата A с единичната квадратна матрица E от същия ред като A, т.е. трети, след което извършваме елементарни преобразувания само по редовете на цялата матрица (A E) така, че E да премине на мястото на A. Съгласно използвания метод, матрицата, получена вдясно (на мястото на E), ще бъде A 1..
Метод на Гаус-Жордан пример (A E) = 2 1 4 1 0 0 3 2 2 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 2 0 1 3 0 3 4 1 0 2 1 0 0 1 2 5 0 1 0 1 2 4 0 0 2 1 3 7 + 1 1 0 0 0 1 3 2 2 0 1 0 2 1 4 1 0 0 3 + ( 1/2) 1 0 0 1 2 5 0 1 0 1 2 4 = (E A 1 ). 0 0 1 1 3 2 2 7 2 1 0 2 0 1 2 0 1 2 0 1 3 0 0 2 1 3 7 3 + 2 + + +
Матрични уравнения Уравнения от вида AX = B, XA = B, (2) където матриците A и B са дадени, а X е неизвестна матрица, се наричат матрични уравнения. Ако матрицата A е обратима, то решенията на горните две уравнения се намират чрез умножаване на двете им страни с A 1, съответно отляво или отдясно. Така решението на първото уравнение е X = A 1 B, а на второто X = BA 1. В случай, че A не е обратима, матричните уравнения (2) се решават, като се свеждат до система линейни уравнения за елементите на неизвестната матрица X.
Матрични уравнения пример Намерете неизвестната матрица X от уравнението AX = B, където A = 2 1 1 3 2 1, B = 2 1 4 5 1 7. 1 2 0 5 1 6 Проверете, че A е обратима (det A = 1 0) и намерете A 1. Тогава 2 2 1 X = A 1 B = 1 1 1 2 1 4 5 1 7 = 1 1 0 2 1 3 4 3 1 5 1 6 2 2 1.
Матрични уравнения пример Намерете неизвестната матрица X от уравнението AX = B, където ( ) ( ) 1 2 3 5 A =, B =. 2 4 6 10 Тъй като det A = 0, което означава че не съществува обратна матрица A 1, то не можем да използваме подхода от предходния пример. Вместо това ще сведем даденото матрично уравнение до система линейни уравнения за елементите на неизвестната матрица X, която също трябва да бъде квадратна матрица от втори ред. Следователно X има вида ( ) x1 x X = 2. x 3 x 4
Матрични уравнения пример Тогава, извършвайки матричното умножение в лявата страна на уравнението и приравнявайки съответните елементи на матриците AX и B, достигаме до следната система линейни уравнения x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + 4x 3 = 6 x 2 + 2x 4 = 5 2x 2 + 4x 4 = 10. Горната система е еквивалентна на x 1 + 2x 3 = 3 x 2 + 2x 4 = 5, която очевидно е неопределена. Полагаме x 3 = p и x 4 = q, където p, q R. Тогава за останалите неизвестни получаваме x 1 = 3 2p и x 2 = 5 2q.
Матрични уравнения пример Следователно матриците X, които са решения на даденото матрично уравнение, имат вида ( ) 3 2p 5 2q X =, p, q R. p q
Литература Т. Моллов, Ст. Миховски.. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 2008. П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаване на задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 1996. D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications, 5th ed. Pearson, 2016. G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering, 2007. G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016, http://math.mit.edu/ gs/linearalgebra/. H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version), 11th ed. Wiley, 2014. P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer, 2018. T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed. Springer, 2018.