ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсцисата, +, 5, +, 6 + 8,, 8 + 7, 8 9 8 7, 6 + 6, +,, 6 +, 5, +, 9 + 6, + 8 + 6 5 + 7, + 9 + +, 6 + 8 9, 5, ( ) +, ( + ), +, +, +, 5 7 9 +, 6 + +, 8 5,, +, ( ), 6 6,
Примерно решение (): Уравнение на допирателна в точката : + ( ) Уравнение на нормала в точката : ( ) () ( ) ( ) Допирателната в точка : + ( ) + ( ) Нормалата в точка : ( ) ( ) Задача Намерете диференциала d и производната arcsin ln, + + > + ln + + g arccos, > arcg 5 arccos( + ), > 6 + + + 7 arcg( sh ) + ( sh ) lnch 8 (( ) ( )) 9 ln ( cos ) + + cos ( + + ) + ln ln + + ln arccos ln arcg ln e + e + arcsine lng sin + aarcsin ( ) 5 + ln sin + cos 6 cg g 7 + + ln 8 + 9 arcg ln
arcg g + ln cos g + + + ln + ( + ) e cos sin 5 ( ) sin ln cos ln 6 7 cos lng lng 8 + arcg 9 e + + + ln + arcg ln + ln + Задача Пресметнете приближено функцията в дадената точка с помощта на диференциал ( + ) ( ) + ', 7,76 + 5,,98 5 arcsin,,8 6 + 7,,, 7,5 + + 5,,97 7, 6, 6 8 + +,,97 9,,,,,,998,, 5 6,, 7,,996 6, 8,, 7,6 7,,56 8 + +,,6 9 5, 8,6,,6 7,,,,78,,98 5,, 6 5,,997,,998
7 + + sin,, 8 sin,, 9 ( π ) +,,58 Примерно решение (): + cos,, + 5,,97 Избираме някое хубаво цяло число близко до търсеното Нека, ако 776, то 8 Тогава, 776 8 ( ) (8) 8, ( ) ((8 )) + (776) (8) + (8)( ) + ( ) 98 5 Задача 5 Намерете производните ( + ) 5 + 5 ( ) + 5 8 ( ) 5 + 55 ( ) + 8 + 8 56 57 ( 6) ( + ) 58 5 ( ) 8 8 6 59 + ( + ) 5 ( + ) 5 + 6 5 ( ) + 5 + + 5 ( ) + 55 ( + ) 56 + 8 8 8 6
57 59 ( ) + + 58 ( ) + 5 9 5 + 5 + 5 ( ) 5 ( ) + 5 + 5 + + + 5 5 + + + 55 ( + ) ( ) 56 + 7 + + 6 7 57 + + + 58 + 59 ( ) + + 7 5 + + 5 + 6 5 + Задача 6 Намерете производните 6 ln + e + e + e + 6 e ( sin cos ) 8 6 e arcg 6 + ln ln e + 65 e + + ln e + + ln arcg arcg e 66 67 ( e + ) e 68 ( e ) ( arcg ) 69 8e + 7e + ln + + 6 ( e + ) + e 6 ( ) + e ln ln + e +
6 ( αsin β βcos β ) α e α + β 6 ( βsin β αcos β ) α e α + β a acosb + bsin b 6 e + a ( a + b ) 65 + e + e e 6 6 ln arcg ln e + e + arcsin e 67 ln + e e arcg e arcg e 69 + e 6 + ( + e ) 8 66 + + e ln 68 e e ( + e ) arcsin ln 6 m a arcg e m ab b e 6 + 6 e ( + ) + e + e e 6 ln 6 + e + e e + e cos + sin 65 e cos sin 66 ( e e ) 67 e ( ) 5 + + 5 6 arcg 69 e 68 sh arcsin 6 e ( + + ) e e
6 e + Задача 7 Намерете производните + + + 7 ( + a ) + ln a a 7 7 ln + 7 75 ( ) ln + + 76 ln ln a a + ln a 77 ln ( + cos ) 78 ( + ) ln cos π 79 ln 7 lng + 7 + ln π 7 + ln + a + + 7 ln sin 7 log6 log5g + 75 loglogg 76 ( + ) cos ln sin ln 77 79 + ln cos + log a 78 lg ln cg ln g g 7 ( + + ) 7 ln arcsin e 7 ln arccos e 7 ( b a ) b ln + + 7 75 ln arccos 5 + g 77 ln 5 g + + ln + 76 ( e + + e ) 78 ln ln ln sin
79 ln lnsin + 7 ln ln ln 7 ln ln ln Задача 8 Намерете производните sin cos 8 sin + 8 cosln cos6 sin 6 sin cos 8 glg + 8 cg 5 cos8 8 sin8 cossin5 sin sin cos cos 85 86 cos sin 87 7cos cosln 7 sin 7 88 sin 6 cg cos + 8 6 cos 89 cos 8 cos cg 6 sin6 cos cg sin sin cos 8 cos g + 8 ln sin cos sin sin 5 8sin cg + 8 5 cos 8 cos cg cos 8sin 8 cos g sin 5 sin g cos 6 85 7 86 5cos sin cg sin sin 7 5 87 cg cos 8 88 7 cos 6sin 6 89 8 g( ln ) sin 9 8 9cos8 sin g cos + 8 cos cg cos5 sin cos cos ln sin sin cos 8 ln cos + 8 cg sin cos 6 8 sin 8
sin 5 85 sin ln + 86 5cos5 sin 7 7 g cos + 88 7 cos5 87 sin 9 89 cos sin + 8 9cos58 sin g cos + cos 6 8 cos 6 cos 5 sin 5 cos 8 sin g 56sin 56 cos sin cos 6sin 6 Задача 9 Намерете производните 9 g cg arcg 9 arcsin 5 9 9 + + 8 arcsin 95 97 99 arccos 96 + 6 ln arcg + ( + ) + 9 arcg 98 arcg + 9 arcg 6 8 7 9arccos 6 + 9 arccos 9 9 + arcg + + arccos + 9 + arcg + 9 arcsin + arcg + arccos 95 6 + 6arcsin 96 ( )
97 + 6 8 arcsin 98 + arcg 99 arcsin + 9 5 9 + 5 arcsin 9 + arcg + ln 5 6 + 9 arcsin ( ) 9 95 arcsin 9 arcg 97 + ( ) 99 arcsin ln 8 98 + + arcg + 8 + arcg + arcg 96 + + 6+ 5 arcg + + arcg 9 ( ) g + arcg arcsin ln + 9 + ( + ) Задача Намерете производните + 5 h ln 5 5 h sh sh arcg sh + + ch 8ch 8 + h ln arcg h h + h h ln 8 h h ( )
5 + h h + ln h ch 6 ln h sh 7 a+ + a h ln a a a a + + h 8 + ch ln 8 ch sh 9 arcg ch sh + h h ch sh + 8ch ln ch 5 6 ch sh + arcsin h 8 7 ch + 8 h 9 ln 8 8 h sh ln 6 + sh sh + ch sh ch 6 sh + sh + ch arcsin 8 + ch + ch ln h ln sh 5 + ch 8ch arcsin + 5ch ch sh 5 arcg sh + + sh sh ch 5 8 ch ch sh sh ch arcg sh 6 ln h + ch ch sh sh arcg sh 7 ch sh sh ch arcg sh 9 + sh arcg sh 8 + ch ch ln h sh
ch ch sh Задача Намерете производните ln arcg ( sin sin ) ( ) ln( arcg ) 5e e sin arcsin ln 6 5 arcsin cg 8 7 e g e 9 ( g ) e e cos5 8ln( sin ) ( sin ) ( ) ch 5 + g sin 5 5 ( ) sh 6 ( + ) cg 7 5 sin 8 ( + ) cos 9 9 9 9 e sin cg e 5 7 9 cos e 5 sin e ln 6 ( g ) g arcg e 8 8 ( + ) h 9 ln ( cos ) 9 cos e 9 Задача Намерете производните + 8 + arcsin, > 6
+ + + arcg 6 + 8+ ( + ) ln e e arcsin e + + + 5 9 5 arcg ln 9 5 + + ln + + > 8 8 arcsin 8 9, 6 7 arcg + + 6 8 ( + ) ln e e arcsin e 9 ( + ) + + ( ) ln 6 8 6 8 arcg + ln + + + + arcsin + + + + +, + > + + + + arcg + + 6 5 5 ( + ) 5 ln e e arcsin e + + + 5 8 7 arcg ln 8 7 + + ln + + + 9 + + arcsin, > 6 7 arcg + +
5 5 8 ( + ) + ln e e arcsin e 9 ( + ) + + ( ) ln arcg + + ln + + arcsin, > + arcg + 8 + ( + ) ( + + ) + 5 arcsin e ln e e ln 5 5 5 arcg 5 + + 9 + + 9 ln + arcsin + + + 9 + 6, + > + 6 + + 7 arcg + + + 6 8 ( + ) + ln e e arcsin e 9 + + + 9 arcg 7 ln 7 9 + + + ln + ( + ) arcsin e ln e e Задача Намерете производните arcsin + ln ln +
( ) + + + + + 5 ln 5 7 + + + > + arcsin, + + + + > + arcsin 9, + arcsin + 6 + + + arcg ln 8 ( ) + + + + ln + ln + + 9 ( ) ( + )( + ) + ( + + + ) ln + + arcsin 7 + ln + arcg + ln arcg + 5 + + + > + arcsin 9 6, 7 ( ) + + ( + + ) ln + + + > + arcsin 7, + arcg 6 8 9 ln + arcg + + + ln + +
ln arcg ln arcsin ( + + ) + ( ) + + + arcsin 5 + + + 5arcsin 5 arcsin + arcsin 5 + arcsin 6 + arccos 7 9 + + + ln + 8 + + + + > + arcsin, 6arcsin arcsin + arcg + arcsin + ln + Задача Намерете производните ln g cg sinα ( + α ) α + α ( α) sin ln cos ln + sin sin 5 cos cos + 6 ( a b ) cos sin lnsin cos arcg cos a + b sin + arcsin b
( + ) 7 sin cos ln 7 7 9 + ln 7 9 arcg( acos ) + alng a + ( a ) ( ) arcg + e α sin arcg α sin ( ) 6 sin ln 6 cos 5 6 + ln 6 sin 8 ln cos + cos + sin + ln sin sin sin cg + cg + arcg, > g 6 arcg g sin 5 sin + cos ln5 7 arcg 8 9cos + ln 5 + h sin + ln cos 9 ln h 6 + ln ( ) ln sin cos 6 + ln 5 sin ln5 cos 9 + ln 5 ( + ) sin cos ln 5 + ln cos cos lng sin ln + e e arcge ( + cgα ) ln cg 6 sinα cos cos 7 + sin sin cos g( ) + 8 + arcg + sin ln sin cos 9 ln + + cos ln cos cos cos
g + g + g g + Задача 5 Намерете производните 5 +, sin + 5, g + 5, ( ) ( + + ) 55 57 59 ln, + cg e, ln ge e + arcge, ln, 5 arcsin + ( ) 5 arcsin, ( arccos ) 5 56 58 5 5 5 ( ) ( ) arcsin sin, arccos cos, arcsin ( ) ( ) ln cg, cos ln, +,, + ln
+ cos, 55 cos sin 56 ln, + 57 arccos, + arcsin 58, ln + ln 59 arcsin, + 5 ( ) arcsin, 5 5 55 57 59 +, + + ln ( ) ln, arcsin sin ln, + sin + g ln cos lng, sin sec e, g ln cos + g arcg, 5 + ln + 5 56 558 5 + arcg, arcsin arcg, arcsin ln ln, + + arcsin ln + arcsin ln,
ln + +, 5 + + + ln Задача 6 Намерете уравненията на допирателната и на нормалата към кривата в точката, съответстваща на стойността на параметъра 6 asin, a π cos, 6 cos, sin, π 6 ( sin ), a a cos, π 6,, 65 +, +, + 66 arcsin, + arccos, + 67 ( cos sin ), sin + cos, π 68 a, + a, + 69 6 6 ln cg + cg, g + cg, π a cos, a sin, π arcsin, + arccos, + 6 6 6, +, sin, cos, π 6 + ln, + ln,
+, 65 +, 67 69 ( sin cos ), a + a sin cos, π,, 66 68 asin, a π cos, 6 +,, ( + ) 6 ln, arcg, 6 sin, cos, 6 +,, 6 cos, sin, π 6,, 65 +, + +, 66 cos, sin, π 67 g, + π sin sin, 68 +,, 69 sin, a, 6 sin, cos, π 6 6 e, e, Задача 7 Намерете производните от n -ти порядък a 7 e 7 + ( + ) sin cos 5 7 7 e 7 75 ( ) lg 5 + 76 a + 7 +
77 ( + ) 78 ( + ) lg + 5 79 7 + 7 + 5 7 sin + + cos + 7 e 7 75 ( ) lg + 76 5 7 + 5 5 + 77 79 7 9 9 ( + ) 78 ( + ) lg 5 + 7 + a + 7 sin + + cos5 + + 7 e 7 6 + 5 k lg + 7 76 75 ( ) 77 78 ( + ) + log 5 + 7 + 79 7 7 + + 5 7 Задача 8 Намерете производните от зададения порядък 8 ( 7) ln( ), V? 8 8 85 cos, III? 8 log III,? III ln,? ( ) ln, III? + 86 87 + V 5 e,? sin 5, III? ln 88, IV?
ln, III? + 8 89 ln 8, IV? 8 IV e sin +,? 8 8 III + arcg,? V +,? ( + ) ln III,? + 85 ( ) cos, V +? 86 87 ( ) ( ) IV e,? 88 IV + ln,? sin, III? 89 ( + 7) ln ( + ), V? 8 8 ( + ) ln 5, III? + 5 ln 8 5, III? 8 IV 7,? IV e sin,? 8 + V 85 87 IV ln,? IV + + e,? 86 ( 5 8),? ( ) ln, V? IV e cos sin,? 89 88 III 5 ln,? 8 + IV + e,? 8 log IV,? Задача 9 Намерете производните от втори порядък параметрично: ( ) на функции, зададени 9 cos, sec 9, 9 e cos, e sin sh, 9 ch
+ sin, 95 cos 96, ( + ) 97, 98 sin, sec g, 99 sin 9, 9 9, cos + cos, sin + cos 9 ln, 9 sh, h 95, 96 cos, g 97, ln( ) 98 sin, ln cos 99 + sin, + cos 9 sin, cos 9 cos, lnsin 9 cos+ sin, sin cos 9 e, arcsin 9 cos, ( ) sin 95 ch, sh 96 arcg, 97 ( ) sin, + cos 98 sin cos, cos + sin 99, ( + ) cos+ sin, 9 sin
ln, 9 arcg Задача Покажете, че функциите удовлетворяват уравненията () e, () sin, + cos () 5 7 9 + 5e e, + e (),, + c () () c, + d d () ( ) g e, sin ln () b+, + b b + () 6 8 + c, + () c, cos g () ( c ) ln + e, e () c ( ) ln, d + d () +, + + () +, () 5 + e ln +, + e e () gln, 6 + d d (), 7 + + () 8 ln, ln + ()
9 7 a+, a + a + () a ag, + + () a a + +, 8 () + +, + ( + ) + ( ) () ( ) + e, e () + e + e, + e () sin +, cos +, 5 6 sin + cos + sin () cos sin () 7 9 +, () ( ) + ( ) n ( ) + e, n n e ( + ) () +, 8 cos g sec () sin + cos, + sin ( sin cos ) sin cos (), () Използвана литература: Сборник заданий по высшей математике Кузнецов ЛА (-е изд, 98г) Проверка на получените решения: hps://wwwsmbolabcom ; hp://wwwderivaive-calculaorne/ wwwwolframalphacom/calculaors/ ; hps://wwweascalculaioncom/ hp://wwwemahhelpne/calculaors/ ; wwwmahporalorg/calculaors/